Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ю. С. Ильяшенко, А. А. Щербаков, О косых цилиндрах и одновременной уни- формизации, Труды МИАН, 1997, том 213, 112–122
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
4 ноября 2022 г., 20:57:15
УДК 517.5
О косых цилиндрах и одновременной униформизации
1©1997 г. Ю. С. Ильяшенко, А. А. Щербаков
Поступило в декабре 1995 г.
1. В В Е Д Е Н И Е
Р а с с м о т р и м семейство римановых поверхностей, гладко зависящих о т п а р а м е т р а , причем на их объединении существует с т р у к т у р а комплексного многообразия, согласованная с ком
плексной с т р у к т у р о й на слоях. Такое семейство является гладким расслоением над множе
ством параметров (базой), и, если база односвязна, оно гладко послойно эквивалентно прямому произведению базы на слой. Очевидно, что подобной голоморфной эквивалентности может не б ы т ь д а ж е в простейших нетривиальных случаях: например, ш а р в С2, рассматриваемый как семейство кругов, параметризованное кругом К в С1, биголоморфно неэквивалентен произве
дению К х К. Однако нетривиальным является вопрос, существует ли послойное голоморф
ное вложение нашего семейства в произведение базы на некоторую "объемлющую" риманову поверхность, например, если слой односвязен, в произведение базы на сферу. Э т о т вопрос представляет интерес д л я теории слоений на аналитические кривые, в частности для теории аналитических дифференциальных уравнений с комплексным временем. Перейдем к точным формулировкам.
О п р е д е л е н и е 1. Косым цилиндром M с базой В и слоем Е называется набор ( М , В, Е, 7T,s), где M и В — комплексные многообразия, Е — риманова поверхность, тг: M -> В — голоморфное сюрьективное отображение всюду максимального ранга такое, ч т о к а ж д ы й слой 7 г_ 1( Б ) , р € В биголоморфно (конформно) эквивалентен Е, и s: В -» M — голоморфное сече
ние. Слой в точке р будем обычно обозначать Мр.
Далее мы будем предполагать, что слой Е односвязен. Основным примером является се
мейство универсальных накрывающих над слоями некоторого голоморфного слоения на ана
литические кривые, которое рассматривалось в работах [1-3]. М ы т а к ж е обычно будем ото
ж д е с т в л я т ь базу с образом голоморфного сечения sB и с ч и т а т ь , что она вложена в косой цилиндр.
О п р е д е л е н и е 2 . Косой цилиндр с базой В и односвязным слоем Е называется одновре
менно униформизуемым или просто униформизуемым (соответственно сильно униформизу- емым), если существует послойное голоморфное вложение г: M -+ В х CP1 (соответственно М - + В Х С1) .
В дальнейшем нас будет интересовать ситуация, локальная по базе, поэтому мы будем с ч и т а т ь базу стягиваемой псевдовыпуклой областью в Сп (обычно полидиском или ш а р о м ) . Предположим, ч т о косой цилиндр M вложен в некоторое объемлющее многообразие, т а к ж е
1 Работа выполнена при поддержке Международного научного фонда (грант М98300), а также Российского фонда фундаментальных исследований (проект 950101258) и INTAS (грант 930570).
112
О К О С Ы Х Ц И Л И Н Д Р А Х И О Д Н О В Р Е М Е Н Н О Й У Н И Ф О Р М И З А Ц И И 113 имеющее с т р у к т у р у косого цилиндра. Тогда можно говорить о границе косого цилиндра, в которую в дальнейшем мы не будем в к л ю ч а т ь множество, проектирующееся на границу базы.
Следующий р е з у л ь т а т знаком специалистам, но, насколько нам известно, не опубликован:
Т е о р е м а 1. Косой цилиндр со слоем сфера CP1 униформизуем.
В отличие от этого не всякий косой цилиндр со слоем комплексная плоскость С1 или круг К является униформизуемым. Мы приводим примеры, а т а к ж е доказательство теоремы 1 в разд. 2. Основной интерес представляют косые цилиндры, являющиеся многообразиями Штейна, для которых имеется следующая
Г и п о т е з а 1 (сильная гипотеза 1). Штейнов косой цилиндр униформизуем (сильно уни
формизуем) .
Можно сформулировать т а к ж е "компактный" вариант этой гипотезы.
Г и п о т е з а 2 (сильная гипотеза 2). Косой цилиндр со строго псевдовыпуклой гладкой границей униформизуем (сильно униформизуем),
В целом проблема остается открытой, имеются только некоторые частичные р е з у л ь т а т ы . По-видимому, можно свести сильную гипотезу 1 к сильной гипотезе 2. Редукция в настоящее время проведена только для случая одномерной базы и будет предметом следующей с т а т ь и . В этой работе мы рассматриваем комплексные с т р у к т у р ы на косых цилиндрах со строго псевдовыпуклой гладкой границей и их деформации.
Т е о р е м а 2 . Если косой цилиндр с гладкой строго псевдовыпуклой границей униформи
зуем (сильно униформизуем) и его образ при вложении г имеет гладкую границу, то уни- формизуемосmь (сильная униформизуемость) сохраняется при малых деформациях его ком- плексной структуры.
2. П О Ч Т И К О М П Л Е К С Н Ы Е С Т Р У К Т У Р Ы НА К О С Ы Х Ц И Л И Н Д Р А Х
Косой цилиндр M с базой В и слоем Е диффеоморфен произведению В X Е, при этом диффеоморфизм можно с ч и т а т ь конформным на слоях. На произведении В х Е перенесением комплексной с т р у к т у р ы с M задается почти комплексная с т р у к т у р а . Ее можно з а д а в а т ь т а к же выбором некоторого базиса дифференциальных форм, объявляемых формами т и п а ( 1 , 0 ) . Пусть В — о б л а с т ь в С7 1, z = (z,-), 1 < г < п, — набор координат в В, w — координата на Е; в случае плоскости С или круга К — это глобальная координата, в случае сферы C P1
— координата на сфере с выколотой точкой. Косой цилиндр (М, В, Е, 7Г, 5'), диффеоморфный произведению В х Е, может б ы т ь задан как произведение В х Е с интегрируемой почти комплексной с т р у к т у р о й на нем. А именно, предположим, что диффеоморфизм / : M —> В х Е послойный и биголоморфный на каждом слое, а т а к ж е что / о sB = В х {0}. Отображение / превращает комплексную с т р у к т у р у на M в интегрируемую почти комплексную с т р у к т у р у Q на В х Е. Э т а с т р у к т у р а удовлетворяет следующим требованиям.
1. Ограничение функции w на слои голоморфно.
2. Поднятие векторной координаты z с базы на M голоморфно в смысле с т р у к т у р ы Q.
П р е д л о ж е н и е 1. Структура ÇI, удовлетворяющая предыдущим требованиям и инте
грируемая, задается следующими 1-формами, имеющими тип (1,0) в смысле структуры Çt:
шг = dz{, 1 < г < n, (1)
vn+i = dw + с dz. (2)
8 ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213
дс;
dcj dcj _ dci дс{
dzi С% dw dzj °J dw
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ниже для краткости вместо "форма т и п а (р, q) в смысле с т р у к т у р ы fi" говорим просто "форма т и п а (р,q)". Формы dz{ — т и п а (1,0) на М, т а к как Z{ — голо
морфные функции (ретракция ж: M —> В голоморфна по определению 1). К о о р д и н а т а w на Е выбрана т а к , ч т о она голоморфно зависит от локальной голоморфной координаты на каждом слое, при этом она не обязана голоморфно зависеть о т точки базы. В этом случае ф о р м а т и п а (1,0) не может с о д е р ж а т ь члена, пропорционального dw, следовательно, ф о р м а u ;n +i , линейно независимая с dz{, 1 < г < п, д о л ж н а иметь вид и;п+\ — dw + с dz + Ь dz. В ы ч и т а я линейную комбинацию форм Ш( = dz{, 1 < i < п, получим базис форм т и п а (1,0) вида (1), (2). По теореме Ниренберга-Ньюлендера почти комплексная с т р у к т у р а индуцирована комплексной, если она интегрируема, т.е. если в разложении по бистепеням дифференциала формы т и п а (1,0) о т с у т с т в у ю т члены т и п а ( 0 , 2 ) . Уравнения (3), (4) как раз означают выполнение этого условия, как показывает простое вычисление. Предложение 1 доказано.
Введенная нами почти комплексная с т р у к т у р а определяется формой v = с dz. О п е р а т о р К о ш и - Р и м а н а относительно этой почти комплексной с т р у к т у р ы мы будем обозначать ди. Нетрудно видеть, ч т о если / — функция, т о
п+1
d„f=Yl9iui, ( 5 )
(4)
i где
* = дъ~«м
1-
г~
щ вп+1 =д^'
(6)Нам понадобится т а к ж е выражение для действия ^ - о п е р а т о р а на форму ш вида и = gdz + +рйп+г :
д»и= J2 / t f ^ i A ô y , (7) i<nj<n+l
где
д . •
t <*>
Условия (3), (4) означают 9^-замкнутость формы и = с dz, т . е . их можно переписать в виде
dvv = 0. (9)
Д л я д о к а з а т е л ь с т в а теоремы 1 нам потребуется следующая
Л е м м а 1 . Карту w, голоморфную на слоях, можно выбрать так, что вектор-функция с из формулы (2) имеет вид c(z,w) = a(z)w) + ..т.е. ее разложение по w в окрестности гиперповерхности w = 0 начинается с членов по крайней мере первого порядка по w.
Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213 Функции С{ удовлетворяют следующим условиям интегрируемости:
О КОСЫХ ЦИЛИНДРАХ И ОДНОВРЕМЕННОЙ УНИФОРМИЗАЦИИ 115 Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем карту w на слоях т а к , чтобы нуль совпадал с образом голо
морфного сечения s: В -+ М. В окрестности этого сечения существует голоморфная функция
h, обращающаяся в нуль при w = О, т . е . имеющая вид h(z,w) = a ( z ) wk + o ( wk) , где k > 1 и функция a ( z ) не равна нулю тождественно. Подставляя h в уравнения К о ш и - Р и м а н а и ис
пользуя д л я d^-оператора выражения (5), (6), получим, ч т о ряд Тейлора по w вектор-функции с должен начинаться с членов по крайней мере первого порядка. Лемма 1 доказана.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1 . Пусть w — к а р т а на сфере с выколотой точкой, голоморф
ная на слоях. М ы задаем почти комплексную с т р у к т у р у формами вида (1), (2). Функции с,- должны б ы т ь голоморфны по w и при замене переменной W\ — \ / w форма u;n+i д о л ж н а заме
няться формой £п+ ъ в которой соответствующие функции с, будут голоморфны по w \ . Легко видеть, ч т о функции с,- имеют вид Ci(z,w\) = —w\ci(z, 1/wi). Они могут б ы т ь голоморфными по w \ только в том случае, когда с, — многочлены по w степени не выше второй. Если к а р т а w выбрана в соответствии с предыдущей леммой, т о в многочленах ct о т с у т с т в у ю т члены нулевого порядка по го, а в многочленах с,- — члены второго порядка соответственно. Иными словами, они имеют вид C{(z, wi) — oti(z) + ß i ( z ) w1. Условия совместности (4) д а ю т
dßi dßj dai д а ,
при
i ф j .
М ы покажем, ч т о существует послойное отображение, переводящее форму u>n+i в форму т и п а (1,0) относительно обычной комплексной с т р у к т у р ы на Cn+1, т . е . т а к у ю , ч т о в ней о т с у т с т в у е т член, пропорциональный d z . Э т о и будет о з н а ч а т ь униформизуемость М. М ы сделаем э т о в д в а э т а п а . С н а ч а л а найдем отображение вида z —> г, w \ —> b(z)w\ такое, ч т о форма а >п+ 1 примет вид dw\ + ä(z) dz. После элементарных выкладок получаем, ч т о функция b д о л ж н а удовлетворять системе уравнений
dzi
и, делая замену функции b = с5, д л я g получим обычную систему уравнений К о ш и - Р и м а н а dg = ß d z (ö-оператор рассматриватся относительно обычной комплексной с т р у к т у р ы на ба
зе), причем первое из уравнений (10) д а е т условия совместности этой системы. Т а к как система К о ш и - Р и м а н а разрешима на базе, мы можем найти функцию g, а вместе с ней и Ь. Обозначая новую к а р т у на слое снова через W i и делая аналогичную замену перемен
ной w i —> w \ + a ( z ) , мы можем у б р а т ь слагаемое ä ( z ) d z в форме ün+ \ . Д л я a ( z ) получаются уравнения К о ш и - Р и м а н а да = ä d z , а из второго из условий (10) в случае ß = 0 получим условия совместности этой системы d(àdz) = 0. Теорема 1 доказана.
С л е д с т в и е 1 . Как видно из рассуждений в начале доказательства, косой цилиндр со слоем плоскость С1 может быть униформизуем только в том случае, когда вектор-функция с в правой части выражения (2) является многочленом степени не выше второй. Отсюда следует, что униформизуем далеко не всякий косой цилиндр.
Ч т о касается сильной униформизуемости, то для косого цилиндра со слоем плоскость она означает, ч т о в форме u;n+i член, пропорциональный d z , исчезает при замене переменной w ,
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213 8 *
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213 биголоморфной на плоскости С1, т.е. линейной по w. К а к легко видеть, э т о возможно, только если вектор-функция с является многочленом не выше первой степени по w.
С л е д с т в и е 2 . Косой цилиндр со слоем круг униформизуем в том и только том слу
чае, когда его комплексная структура продолжается до интегрируемой почти комплексной структуры косого цилиндра со слоем сфера.
Если косой цилиндр вложен в объемлющий косой цилиндр, мы будем понимать униформи- зуемость в несколько более сильном смысле, чем раньше. Вложение одного косого цилиндра в другой мы везде понимаем как послойное.
О п р е д е л е н и е 3 . Косой цилиндр M со слоем круг К, вложенный в некоторый объемлю
щий косой цилиндр, мы будем наз ыват ь униформизуемым с границей, если существует косой цилиндр М' со слоем круг, т а к ж е униформизуемый и такой, что МидМ С М'.
Выберем к а р т у w' на слое так, что граница косого цилиндра представляет собой мно
жество (\w'\ = 1) и введем логарифмическую карту w = (27гг)- 1 \n(wf). В этой карте слой представляеся верхней полуплоскостью , а коэффициенты С{ формы u;n+i являются функ
циями, 1-периодическими по w. Если к а р т а wf выбрана в соответствии с леммой 1, то эти функции являются равномерно ограниченными на и поэтому голоморфно продолжаются на бесконечность.
П у с т ь косой цилиндр M униформизуем с границей, h — униформизующее отображение.
Т о г д а граница каждого слоя есть простая гладкая кривая в C P1 и дополнение (В X C P1) \hM т а к ж е диффеоморфно произведению В х К. Следующее предложение легко получается из следствия 2 теоремы 1.
П р е д л о ж е н и е 2. Пусть структура косого цилиндра со слоем круг задана формами (3), (4) на произведении В X Е+, как описано выше. Косой цилиндр униформизуем с границей в том и только том случае, когда эта почти комплексная структура продолжается на произведение базы на нижнюю полуплоскость Е~~, причем продолженная почти комплексная структура интегрируема и задается формами, 1-периодическими по w и ограниченными на бесконечности (при Im (w) —> —оо).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Требуется показать только, что если продолженная почти комплекс
ная с т р у к т у р а интегрируема и задается формами, коэффициенты которых ограничены на бес
конечности, т о она продолжается до интегрируемой почти комплексной с т р у к т у р ы на ВхСР1. Но почти комплексная с т р у к т у р а , продолженная на произведение В X Е~, з а д а е т с т р у к т у р у косого цилиндра на произведении базы на круг с выколотой точкой и после подходящей заме
ны к а р т ы w может б ы т ь задана формами вида (1), (2) с условиями (3), (4). Функции сг- теперь можно продолжить в выколотую точку на каждом слое по теореме об устранимой особенности.
Предложение 2 доказано.
По-другому мы можем сформулировать последний результат следующим образом. Ком
плексная с т р у к т у р а на косом цилиндре M индуцирует естественную C R - с т р у к т у р у на гра
нице дМ. Нетрудно видеть, что следующая форма аннулирует комплексное касательное под- расслоение Т°:
т = du+ 2Re (сdz), (11) где и — координата на вещественной прямой, т.е. w = u+iv. Вектор-функция с продолжается
до вектор-функции, голоморфной по w на верхнем полупространстве В х Е~. В продолжен
ной комплексной с т р у к т у р е , вообще говоря, к а р т а w уже не будет конформной на слоях в нижнем полупространстве. Переход к новой карте w', конформной на слоях и отображающей
О КОСЫХ ЦИЛИНДРАХ И ОДНОВРЕМЕННОЙ УНИФОРМИЗАЦИИ 117 дополнение каждого слоя в CP на нижнюю полуплоскость Е~, индуцирует послойную замену переменной и -> и! на границе дМ. В новых переменных C R - с т р у к т у р а определяется формой т', задаваемой выражением (11), в котором вектор-функция с заменяется на вектор-функцию с', допускающую голоморфное по wf продолжение на нижнее полупространство В х Е~. Су
ществование такой замены переменной в форме (11) является необходимым и достаточным условием униформизуемости.
3. Д Е Ф О Р М А Ц И И КОМПЛЕКСНОЙ С Т Р У К Т У Р Ы НА К О С О М Ц И Л И Н Д Р Е Пусть с т р у к т у р а косого цилиндра со слоем круг задана, как в предложении 1, формами (1), (2). Можно ввести топологию на множестве косых цилиндров (или почти комплексных с т р у к т у р на В X Е+) как топологию на множестве вектор-функций с, например при помощи некоторой нормы в соответствующем функциональном пространстве. Э т у норму мы будем распространять на вектор-функции и на формы заданной бистепени как максимум норм ком
понент. М а л у ю деформацию комплексной с т р у к т у р ы на M определим как возмущение вектор- функции с (или формы с dz), малое в избранной нами норме. М ы покажем в этом разделе, что если косой цилиндр M униформизуем и его граница псевдовыпукла, то возмущенный в соот
ветствующей норме косой цилиндр т а к ж е униформизуем. М ы доказываем т а к ж е следующую модификацию теоремы 2.
Т е о р е м а 2;. Пусть M — псевдовыпуклый косой цилиндр, униформизуемый (сильно уни- формизуемый) с границей, с комплексной структурой, определяемой вектор-функцией с.
Тогда существует такое г, что всякий косой цилиндр с гладкой границей, комплексная структура которого достаточно близка в СТ-норме к структуре на M, униформизуем с границей.
Э т а теорема (и теорема 2) доказывается рассуждениями, использующими процесс Н э ш а и близкими к доказательству основной теоремы работы [4]. Разница только в том, что у нас сужен класс деформаций (деформированное многообразие должно б ы т ь косым цилиндром) и т а к ж е сужен класс вложений (они должны б ы т ь послойными). Проведем д о к а з а т е л ь с т в о в несколько этапов.
1) Нелинейный комплекс. Нам удобно определять почти комплексную с т р у к т у р у на В х Е+ не вектор-функцией с, а формой и = с dz. Будем называть ее для краткости ^/-структурой.
Униформизуемость (соответственно сильная униформизуемость) означает, ч т о существует функция / , В X Е+ —» C P1 (соответственно В х Р+ - * С1), голоморфная по совокупности переменных в смысле ^ - с т р у к т у р ы и однолистная на каждом слое. Для определенности мы в дальнейшем будем всегда говорить об униформизуемости. Униформизуемая почти комплекс
ная с т р у к т у р а на M определяется формулой
v = cdz=(fw)-15f, (12)
где 9-оператор берется относительно обычной комплексной с т р у к т у р ы на С7 1. Э т о следует из того, что формы df, dz{ являются формами типа (1,0) в смысле //-структуры.
Далее нам придется р а с с м а т р и в а т ь почти комплексные с т р у к т у р ы более общего вида, в которых координата w не является голоморфной на слоях. Т а к а я почти комплексная с т р у к т у р а задается формами типа (1,0) аналогично (1), (2), только форма un+i имеет вид
u)n+i = dw + р dw + с dz. (13)
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т . 213
118 ИЛЬЯШЕНКО, ЩЕРБАКОВ
аналогично формуле (12)
Здесь
Р : Р ( М , С Р1) - ^ Л1( М ) ,
f^v=UwY\àJ + fwdw). (14)
п
Отображение Р определено д л я тех отображений / , для которых fw не обращается в нуль.
Форма u>n+i = dw + v определяет почти комплексную с т р у к т у р у на произведении В х Е+, совпадающую с почти комплексной структурой, определяемой формой (13), при /г = (fw)~lfw и с dz = (fw)~1dzf. Обратно, если форма
г/ = с dz + fidw (15) имеет вид P(f) д л я некоторого / , то соответствующая почти комплексная с т р у к т у р а (у-
с т р у к т у р а ) униформизуема и, как следствие, интегрируема, т а к как она получается переносом комплексной с т р у к т у р ы с В х C P1. Условия интегрируемости для ^ - с т р у к т у р ы получаются из требования обращения в нуль членов бистепени (0,2) в форме du>n+i:
— = ^ i + ^ _ c — (16) dw ^dw dzi 1 dw'
(л I \ ï \d c i (d c i -dci\ i - 9^
П у с т ь Л2( М ) — пространство комплекснозначных 2-форм на М. Определим отображение Q:AX(M) —¥ Л2( М ) . Если форма v имеет вид (15), то положим
Qiy') = (1 ~ \v>\2)dz(cdz) - (сdz) Л (cwdz) - fi(cdz) Л {cujdz)+
+£L(C dz) Л (dzß) - {су) - ficw + cßw) dz Л u)n+i + (dz/n) Л ün+i. (18) Равенство Q(uf) = 0 означает выполнение условий интегрируемости (16), (17). Следовательно,
Q о Р = 0, т.е. мы получили нелинейный комплекс
Р ( М , С РХ) А ЛХ( М ) А Л2( М ) . (19)
Д л я д о к а з а т е л ь с т в а теоремы 2 (или 2') нам достаточно показать, ч т о э т о т комплекс "точен с оценками", т.е. д о к а з а т ь следующее утверждение:
Обозначим через F ( M , C P1) многообразие гладких отображений / из косого цилиндра M в C P1 и через Аг(М) пространство форм на M типа (ОД) относительно обычной комплексной с т р у к т у р ы . Определим отображение
Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213
О КОСЫХ ЦИЛИНДРАХ И ОДНОВРЕМЕННОЙ УНИФОРМИЗАЦИИ 119 Если форма v9 близка к v в Сг- н о р м е и Q{y') — 0, то существует отображение / ' такое, что P(f) — v1 ж f близко к / в Сг- н о р м е .
Действительно, если д л я формы v в выражении (15) /i = 0 и dci/dw — О д л я всех i < п (т.е.
форма v определяет обычную с т р у к т у р у косого цилиндра), т о , как видно из выражения (14), fûj должно б ы т ь равно нулю, т а к как иначе в форме и1 было бы слагаемое, пропорциональное йп+1 • Далее, отображение / ' будет однолистным на слоях, если это верно д л я отображения / . О т с ю д а следует теорема 2. Ч т о касается теоремы 2', то нужно только з а м е т и т ь , ч т о если отображение / голоморфно продолжается как вложение на окрестность границы, то близкое к нему в Сг- н о р м е (г > 2) отображение / ' , униформизующее косой цилиндр с ^ - с т р у к т у р о й , продолжается непрерывно до взаимно однозначного отображения границы и образ границы каждого слоя является простой кривой. Отсюда следует теорема 2'.
2) Теорема Нэша-Мозера для комплексов. Э т а теорема д а е т условие точности нелиней
ного комплекса отображений пространств Фреше. Она является принадлежащим Г а м и л ь т о н у [4] обобщением теоремы Н э ш а - М о з е р а [5, 6] об обратном отображении. Ч т о б ы и з б е ж а т ь несу
щественных технических деталей, мы формулируем ее для отображений п р о с т р а н с т в г л а д к и х сечений векторных расслоений.
П у с т ь X, Y — векторные расслоения с базой В\ E,F — множества их г л а д к и х сечений, топология пространств Фреше на которых задается последовательностью Сп- н о р м || | |п (п —
= О , 1 , 2 , . . . ) . М ы говорим, ч т о отображение областей Р: U С Е -> V С F
является ручным, если каждая точка х € U имеет окрестность, в которой д л я некоторого г выполняются оценки
| | Р ( х ) | | „ < С ( И |я + Р + 1)
(С может зависеть о т п ) . М ы говорим, что отображение Р гладкое ручное, если все его про
изводные существуют и являются ручными. Любой нелинейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами является гладким ручным отображением.
Напомним, ч т о производной отображения Р называется такое линейное отображение DP:
U х Е -+ F, ч т о для f €U, h е Е
DP(f)h = lim [P(f + th) - P{f)]/t.
r—ЮО
(Требуется, чтобы предел существовал.)
Т е о р е м а Н э ш а - М о з е р а д л я к о м п л е к с о в [4]. Предположим, что X,Y,Z — вектор
ные расслоения с базой В; E,F,G — пространства Фреше их гладких сечений, U,V,W — окрестности нуля в E,F,G соответственно. Пусть имеется нелинейный комплекс
UCE-^VCF-^WCG,
где Р и Q — гладкие ручные отображения, Q о Р — 0. Пусть DP:U X Е —» F и DQ:
V X F —>• G — производные отображений Р и Q и для каждого f £ U Im DP(f) = KerDQ{Pf),
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213 так что точен линеаризованный комплекс операторов DP, DQ. Предположим также, что этот комплекс расщепляется, т.е. существуют гладкие ручные отображения
VP: U х F -> Е, VQ:U х С - » F такие, что для любого h £ F
DP(f)VP(f)h + VQ(f)DQ(Pf)h = h.
Тогда нелинейный комплекс точен в некоторой окрестности нуля Vf С V, более того, существует гладкое ручное отображение S:Vf —» U С Е такое, что PSy = у, если Qy — 0.
Д л я д о к а з а т е л ь с т в а теоремы 2 (2') нам нужно показать, что нелинейный комплекс (19) удовлетворяет условиям теоремы Нэша-Мозера для комплексов.
3) Линеаризованный комплекс. Найдем производные отображений Р и Q из комплекса (19).
Э т и вычисления представляют собой по существу упрощенный вариант вычислений из [4].
З а м е т и м , ч т о если почти комплексная с т р у к т у р а определяется формой вида (15), то при j/x| < А < 1 послойной гладкой заменой переменной w ее можно привести к виду (1), (2), где в соответствующей форме v коэффициент при dw равен нулю. Э т о сводится к решению уравнения Б е л ь т р а м и с коэффициентом f.i, гладко зависящим от п а р а м е т р а z. Нетрудно ви
д е т ь , ч т о если линеаризованный комплекс расщепляется в точке и п р о с т р а н с т в а форм, то он расщепляется и в точке и, и наоборот. Поэтому можно с ч и т а т ь , что в невозмущеной форме коэффициент при dw равен нулю.
З а м е т и м далее, ч т о если невозмущенная почти комплексная с т р у к т у р а определяется фор
мой o ;n +i = dw + с dz, а возмущенная — формой dw 4- с1 dz -f- jidw, то последняя совпадает со с т р у к т у р о й , определенной формой dw + c'd~z + /i^n+i- При рассмотрении возмущения мы можем, следовательно, с ч и т а т ь пространство Аг(М) пространством форм т и п а (0,1) отно
сительно невозмущенной г/-структуры. Приступим теперь к вычислению линеаризованного комплекса.
П у с т ь форма v — с dz определяет невозмущенную почти комплексную с т р у к т у р у , / — уни- формизующее отображение, h — приращение отображения / , которому с о о т в е т с т в у е т прира
щение S вектор-функции с и коэффициент /л при йп+\. Подставляя в выражение (14) / + h и с + S и оставляя члены первого порядка по h, получим
fw(Sdz + ^ c jn+1 ) = dzh,- chw dz + / i ^ n + i •
Если мы вспомним выражения (5), (6) для (^-оператора, то можно переписать последнее ра
венство в виде
DP(h) = {fw)-xdyh. (20)
Найдем теперь производную отображения Q. Пусть, как и выше, 5 — приращение вектор- функции с, /i — коэффициент при форме ö>n+i. Используя выражение (18) и вычисляя прира
щение формы Q(v) с точностью до членов второго порядка, получим
dz(8dz) - (сdz) A (5W dz) + (cw dz) A (Sdz) - (Sw dz) A c jn+1 +
+ (dzp - cfiw dz) A ö>n+i + fi(cw dz) A ün+1.
О КОСЫХ ЦИЛИНДРАХ И ОДНОВРЕМЕННОЙ УНИФОРМИЗАЦИИ 121
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213 У ч и т ы в а я формулы (7), ( 8 ) , последнее выражение можно переписать в виде
d,,(Sdz +fiûn+г) + (cwdz) А (5dz + j_iu>n+1). (21) Из условий интегрируемости (3), (4) немедленно следует, что dv{cwdz) — 0 и, следовательно,
на косом цилиндре M существует решение А уравнения
duA + (cwdz) = 0. (22)
Теперь выражение (21) можно переписать в виде е~Ад„[еА(6 dz + / i û >n +i ) ] . Т а к и м образом, мы получили
DQ(u)(Sdz) = e-Ad^[eA{8dz + fiûn+1)]. (23) Правую ч а с т ь формулы (20) можно привести к виду, аналогичному (23). Действительно, ис
пользуя равенство (22) и голоморфность на M отображения / в смысле ^/-структуры, получим e-Adv[eAUUI)-lh] = {fw)-lcwh +
dvKUr^h + (Ur'Bvh
== {fw)-2{dvf)wh + (fw)-lBuh
= Uv,)-
lB
vh.
Таким образом, вместо равенства (20) можно написать
DP(h) = e-Ad„[eA(fw)-lh], (24)
М ы видим, ч т о наш линеаризованный комплекс с точностью до умножения в первом члене на нигде не равную нулю функцию ( /ю) ~г совпадает с комплексом, цепно эквивалентным обычному о^-комплексу на косом цилиндре М. Нам достаточно показать, ч т о существует расщепление д л я этого с^-комплекса.
Действительно, если существуют операторы L и К такие, что
дуК + Ьд„ — id , (25)
то из (24) и (25) следует
DP(f) о €~AfwK оеА + е~АЬ о eADQ(Pf) = id .
4) Расщепление для ди-комплекса. Воспользуемся хорошо известными р е з у л ь т а т а м и о разрешимости ô-проблемы. М ы можем ввести на многообразии M эрмитову метрику и на пространствах форм т и п а (р, q) — £2-норму и соболевские нормы. Скалярное произведение на формах т и п а (р, q) задается как сумма скалярных произведений членов одинаковой би- степени. Топология Фреше, задаваемая этими нормами, эквивалентна топологии, заданной Сп- н о р м а м и . Существует расщепление (25) с гладкими ручными операторами L и К [7], причем оценки в наших нормах являются равномерными по v (последнее показано в работе [4]). Подпространство Im (дуК) совпадает с множеством 9^-замкнутых форм, и оператор К — правый обратный к д„ на этом подпространстве. Множество Im (Ьду) образует ортогональное дополнение к Im (д„К).
Теорема 2 (2') доказана.
122
Авторы выражают благодарность А. Глуцюку, который прочитал рукопись и сделал ряд замечаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вегз L. Simultaneous uniformisation / / Bull. Amer. Math. Soc. 1960. Vol. 66. P. 94-97. Рус. пер. в кн.: Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961. С. 9 1 - 98.
2. Griffiths P. Complex-analytic properties of certain Zariski open sets of algebraic variétés / / A n n . Math. 1971.
V. 94. P. 21-51.
3. Ильяшенко Ю.С. Слоения на аналитические кривые //Мат. сб. 1972. Т. 88, Ш 4. С. 558-577.
4. Hamilton R.S. Deformation of complex structures on manifolds with boundary / / J . Diff. Geom. 1977. V. 12.
P. 1-45.
5. Nash J. The imbedding problem for Riemannian manifolds //Ann. Math. 1956. V. 63. P. 20-63.
6. Moser J. A new technique for the construction of solution of nonlinear differential equations //Ргос. Nat. Acad.
Sei. USA. 1961. V. 47. P. 1824-1831.
7. Folland G.B., Kohn J.I. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex. Princeton: Princeton Univ.
Press, 1972.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213
