Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Л. Бродский, Об одном семействе операторов, связан- ных с обобщенным сдвигом, Дифференц. уравнения, 1980, том 16, номер 10, 1875–1877

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:36:52

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

О К Т Я Б Р Ь 1980 г., Т О М X V I , № 10

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.51: 571.922

А . Л . Б Р О Д С К И Й

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОПЕРАТОРОВ, СВЯЗАННЫХ С ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ

В работе вводится аналог полугруппы сильнонепрерывных операторов. Исследование семейств такого типа позволяет получать р я д результатов, аналогичных классическим (см. [1]), что находит свое применение при решении некоторых абстрактных задач К о ш и .

Рассмотрим в банаховом пространстве Е семейство ограниченных операторов U (t), зависящих от параметра t (0 < t <С 2 ) .

О п р е д е л е н и е 1. Семейство операторов U (t) называется Б-полугруппой, если эти операторы сильнонепрерывны для tg[Q, 2] и для X QE , t, s £ [ 0 , 1]:

я

U

(0

=

( ^

+ s

- 2 ^ c o s 6 )

sin^WB.

0 Здесь т\ — оператор обобщенного сдвига (см [2]), v > 0,

Из свойств оператора т\ [2] вытекают следующие свойства Б-полугрупп:

1) U(t)U(s) = U(s)U(t) для s, te[0y 1 ] ; 2) U (0) = / ;

3) \P(t)ll

О п р е д е л е н и е 2 . Б-полугруппу U (t) назовем Б-полугруппой класса М2, если 1) U (/) сильно непрерывно дифференцируема при t£[0, 1];

d2U (t) х

2) существует и непрерывна на [ р , 1] для уР > 0, х£Е.

dt2

d*

Д л я Б-полугруппы класса М2 рассмотрим выражение BtU (t) х, где Bf = + dt2

2v+l d

_j_ —оператор Бесселя. Отметим, что параметр v имеет то же значение,

I dt

что и в операторе обобщенного сдвига т\. Пусть D — совокупность элементов XQQ E , для которых существует предел lim[—BfU (t) х0] = у0.

О п р е д е л е н и е 3 . Линейный оператор Л, определенный соотношением lim[—В+Х X U (0 х0] = Лх0, называется производящим оператором Б-полугруппы U (t) класса М2.

Л е м м а 1. Если А есть производящий оператор В-полугруппы V (t) класса М2, то область определения D (А) всюду плотна в Е. Более того, в Е всюду плотно множе­

ство элементов, на которых определены все степени оператора А.

Доказательство леммы проводится так ж е , как доказательство теоремы 2 . 3 [1], ис­

пользуется характеристическое свойство оператора обобщенного сдвига (см. [2]):

s~2 [Г*ф (t) — Ф (0] -> Б , ф (0, если s -+ 0 . Л е м м а 2 , Для В-полугруппы U (t) справедливо равенство

BsU(s)U(t)x = U(t)BsU(s)x, (1)

для *е[о, 1], s€( 0 , 1], X QE ; U(t)£M2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению 1 и в силу свойства 1 и предыдущей лем­

мы имеем

BSU (s) U(t)x = l i m A -2 [Th.U (s) U(t)x-U (s) U (t) x) = h - 4 - 0

10*

1876 А . Л . Б Р О Д С К И Й

= lim {fr*U(t) [U(h)U(s)x — U(s)x]} =

= U (t) lim / I "2 [ThsU {s)x-U ( s ) x ] == U (t) BSU ( s ) * , h-+-\- 0

что и требовалось доказать.

Л е м м а 3 . Если А— производящий оператор В-полугруппы U (/) класса М2, то для t£[0, 1 ] , * е £> (Л) = D *шеел«

Лс/ (*)*

= £/(О

Д о к а з а т е л ь с т в о . Считая D ( 4 ) , перейдем к пределу в ( 1 ) при s - * - f - 0 . Существование предела правой части доказывает лемму.

Л е м м а 4. Если А — производящий оператор В-полугруппы U (/) класса М2, то U(t)x£D(A) для te(0, 1], х£Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим U (t) х для х£Е, t > 0. По условию имеет смысл выражение BtU (t) х. Д л я s > 0 имеем (см. [2])

Bsc/ (S) U(t)x = BsTstU (t) x - Т ^ / У (/) x.

Так как существует lim TstBtU (t) x — BtU (t) x, то в силу определения 3 U (t) x £ D (A), что и требовалось доказать.

Следующие теоремы содержат некоторые необходимые условия для производящего оператора.

Т е о р е м а 1. Если А — производящий оператор В-полугруппы U (t) класса М2, то для р > 0, х£Е U (t) х есть решение уравнения —Bty (t) = Ay (t) на отрезке [{?, 1 ] .

Справедливость теоремы следует из результатов предшествующих лемм.

С л е д с т в и е 1. В условиях теоремы U (/) х — решение задачи Коши -Bty(t)=Ay(t), у(0) ==*,

для x£D(A), t£[0, 1 ] .

С л е д с т в и е 2 . Имеет место оценка

WAU(04Е< - 7 для

t £

Т е о р е м а 2. Если U (t) есть В-полугруппа класса М2, то ее производящий опе­

ратор А замкнут.

При доказательстве этой теоремы существенную роль играет оператор 1

Q/(0 = " ^ \G(t, x)f(x)x2v+ldTt

о

1 - T ~2 v, г < т ,

где G(t, i) = { t, r£(0, 1]. В качестве вспомогательного утверждения

U—

-BtQf(t) = f(t)

для < е ( 0 , 1 ] и функций f (t) со значениями в Е, силыюнепрерывных на отрезке [ р \ 1 ] для у Р > 0 и т а к и х , что

p_^-j-0

Простейшим примером В-полугруппы является семейство операторов U (t), определя­

емое формулой

U(t) = Jx(tC),

где С — ограниченный оператор и j (К) = 2vr ( v + 1) >~VJV (А,) — нормированная функ­

ция Бесселя. Производящим оператором этой В-полугруппы является оператор А— С2. Функция U (0 х есть решение задачи Коши

С*у (/) - - Bty (/), у (0) - х, у' (0) = 0, на отрезке [0, 1] д л я любого Х£Е.

Т е о р е м а 3 . Пусть С —замкнутый оператор, D(G) — E, имеющий в некоторой верхней полуплоскости I m ^ > © ^ 0 резольвентуR% (С), для которой

О Б О Д Н О М С Е М Е Й С Т В Е О П Е Р А Т О Р О В

1877

1 | Л^х( С ) | |^в< ( 1 т А, - © ) - 1 . (2)

Тогда семейство операторов U (t):

U (0) = / , io-\- оо

U (0 х = j /v (Л) #я (С) j t t f t , £ > 0, р х о , (3)

ф—оо

е с т ь В-полугруппа, производящим оператором которой является оператор Л = С². Наметим схему доказательства теоремы 3 .

1. Оценка (2) обеспечивает сходимость интеграла (3) на любой горизонтальной пря­

мой Im X

= р, р

2. Доказывается равенство

f j^y (tk) (С) xdl = j* /^v (&) / ?^х (С) * A , Р ь P² > со. (4)

Ф1—°° /p²—°°

3 . Используя свойства функций / (tl) и (4), доказываем, что U (t)—Б-полугруппа.

4. Применяя равенство (tl) = A²/^v (/X) ([2]), получаем последнее утвержде­

ние теоремы.

Из теорем 1 и 3 вытекает, что функция U (/) х вида (3) есть решение задачи Коши Bty(t) = -c*y (0.

1/(0) = *

z> (С

), у (0) = о,

если С у довлетворяет условиям теоремы 3 . Этот результат является некоторым улучше­

нием соотЕетствукщего утгерждения Дснальдсона [3] (случай v > 0).

Пусть Е = L², 2 v+ l (/?+!_!>, z = ( 2 ' , г^{п + 1}) , z' = ( г^ь z², . . . , zⁿ) , г^{п + 1} > 0. В ка­

честве Л рассмотрим дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:

с областью определения D (Л) = Н\™⁺¹ (Я^\) (см. [4]). Считая Л положительным само­

с о п р я ж е н н ы м оператором, получаем решение задачи Коши

— В , ф ( г , /) = Лф(г, 0, ^€(0> П.

Ф(г, 0) = * ( г )

^ ( Л ) , Ф ^ г , 0) = 0 ,

Ф (*> 0 = f /

(Л) я* и

)* (*) л .

/О—оо

Л и т е р а т у р а

1. К р е й н С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом простран­

стве.— М.: Наука, 1967.

2. Л е в и т а н Б. М . — У М Н , 1951, т. 6, № 2, с. 102—143.

3. D o n a l d s o n J. A . — P r o c . of NAS, 1970, vol. 66, N 2, p. 269—274.

4. К и п p и я н о в И. А.— Труды М И А Н СССР, 1967, т. 89, с. 130—213.

Воронежский государственный университет им. Ленинского комсомола

Поступила в редакцию 13 марта 1978 г.