Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Л. А. Калякин, М. М. Шакирьянов, Асимптотика решения задачи Коши для двумерного однородного волнового уравнения, Дифференц.

уравнения, 1999, том 35, номер 9, 1291–1292

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

3 ноября 2022 г., 00:01:36

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

1999. T.3S, № 9 . С. 1291 — 1292

УДК 517.955.8

А С И М П Т О Т И К А РЕШЕНИЯ З А Д А Ч И КОШИ Д Л Я Д В У М Е Р Н О Г О ОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО У Р А В Н Е Н И Я

Л . А . КАЛЯКИН, М . М . ШАКИРЬЯНОВ

Известная формула Пуассона

( , У

'

^ У JW^

^ d i j -Jwz

V К

P

где интегрирование ведется по кругу К = К(х,у, t) = { £ , ? ? : р² < i²}, р² = (х ~ £ )² + (# - ? j )², дает решение задачи Коши для волнового уравнения. Из этой функции легко получаются асимптотические оценки решения ад(ж,^,<) = 0{i~^l)i t —> со. Нетрудно найти и полное асимптотическое разложение по обратным степеням t~~ⁿ (см., например, [1 — 3]). Однако такие асимптотики не являются равномерными по пространственным переменным. Вблизи границы конуса х² Н- у² = t² асимптотики имеют вид и(х, t/, t) = 0(t~~^ll²), t -* оо.

Зависимость с т р у к т у р ы асимптотики о т направления — обычная ситуация для функции многих перемен­

ных. Выявление таких асимптотик из интегральных представлений не всегда тривиально и в любом случае должно сопровождаться указанием областей пригодности той или иной асимптотической формулы.

Рассмотрим интеграл Пуассона

к

для быстро убывающей функции / ( £ , п) = 0((£²+TJ²)~^N)) + —> оо, VJV > 0. Асимптотика предполагается бесконечно дифференцируемой.

Для описания асимптотики интеграла удобно использовать полярные координаты г — \/х² + у², ф =

= a r c t g ( z / y ) , cr ~ + п², <р = arctg(£/iy).

Наиболее просто получается асимптотика вне конуса при г > t -f t⁶ У6 > 0, t ~> оо. Поскольку область интегрирования приходится на значения cr > t⁶, где функция мала, то интеграл оказывается мал: J(x,y,t) —

= 0(t~N) V/V > 0, t ~+ оо, равномерно по г > t - f t*. Э т о т результат отражает известное свойство наличия переднего волнового фронта.

Для двумерного волнового уравнения о т с у т с т в у е т задний волновой фронт, вследствие чего внутри конуса решение медленно убывает. Асимптотическое разложение получается по обратным степеням t с коэффициен­

тами, зависящими о т характерных конусных переменных ( r / t , ф).

Т е о р е м а 1. Имеет место асимптотическое разложение

оо

п= 0

равномерное внутри конуса т < t — t⁶ V£, 0 < 6 < 1 / 2 . Функции А^п представимы в виде Л^п{г,ф) —

— (1 — z²)~ⁿ~~^l ^² Pⁿ(z, ^гд^е р^п — полиномы по z степени п с коэффициентами, которые вычисляются через различные моменты функции f и гладко зависят от ф, В частности,

оо оо

— оо — о о

Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к разложению части подынтегральной функции [1 — ( p / t )²] "¹^² в ряд Тэйлора при a ft —• 0. Предварительно следует выделить из интеграла т у часть (для а > t⁶), для которой возможна оценка G(t~^N) ViV > 0, вследствие быстрого убывания / . В коэффициентах асимптотики в силу того же свойства убывания возможен переход к интегралам по всей плоскости.

Вблизи границы конуса г » t такая асимптотика не пригодна и это обнаруживается в коэффициентах, име­

ющих особенности (1 — ( т^,/ £ )²) " ~^п" ~¹/². Здесь требуется другое асимптотическое разложение, которое получается по полуцелым степеням с коэффициентами, зависящими о т характерных переменных (г — t, ф). Переменную (г — t) можно т р а к т о в а т ь как растянутую переменную, быструю по сравнению с конусной переменной г ft.

1291

Т е о р е м а 2. Имеет место асимптотическое разложение

J(z, у, t) = ]Г *~

~

Мг ~ <, Ф)> * - оо,

н= 0

равномерно при \r — t\ < V6~, 0 < б < 1 / 2 . Функадгш В^п выражаются через интегралы по полуплоскости:

оо оо ^п

О - с о fc==0

здесь суммирование ведется по номерам р + q = k\ переменные f = zcosip -f рзтф -f ^созя/», .7 = z sin ^ —

— / i c o s ^ - f ^ s m ^ , Р^т(до, у; г/>) — п о л и н о м ы по степени т с коэффициентами, гладко зависящими от ф.

В частности,

оо сю

О ~ оо

Д о к а з а т е л ь с т в о базируется на разложении по формуле Тэйлора части подынтегрального выражения (1 •+• p/t)"¹^² при (t — p)/t —• 0. Предварительно следует выделить т у часть интеграла, где такое разложе­

ние не пригодно и оценить ее через 0(t~^N) в силу быстрого убывания / ( £ , ? ? ) . Получившиеся коэффициенты асимптотики выражаются через двойной интеграл и зависят о т t. Наиболее трудная часть доказательства — сведение этих выражений к интегралам по полуплоскости. При этом существенно используются ограничения для рассматриваемой области |г — t\ < t⁶ V£, 0 < 8 < 1/2 и быстрое убывание / ( £ , ??).

В частном случае, когда начальная функция радиально симметрична и зависит от квадрата радиуса / — / ( t r²) , главный член асимптотики выписывается через полный эллиптический интеграл К (к):

оо И

Д>(*) = 2 ^ 2 / ^f{cr²)K{yJ{l - z/a)/2) dcr + 2(1 - sgn z) f y ^ / ( g²) ~ — i ДГ(у/2/(1 -~ z/tr)) da.

J J J \ - z t r

1*1 ⁰

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (96 — 15 — 96241, 97 — 01 — 00459).

Литература

1. Муравей Л. А. / / Докл. А Н С С С Р . 1970. Т . 193, № 5 . С . 996 —' 999.

2. Муравей Л. А. / / Дифференц. уравнения. 1970. Т . 6, № 1 2 . С . 2248 — 2262.

3. Муравей Л. А. / / Т р . М а т . ин-та им. В. А . Стеклова. 1973. Т . 126, ч . З . С . 73 — 144.

Институт математики с ВЦ РАН, г. Уфа Поступила в редакцию 9 декабря 1997 г.

1292