Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
О. М. Матейко, О. И. Тавгень, Линейность групп автоморфизмов относительно свобод- ных групп, Матем. заметки , 1995, том 58, выпуск 3, 465–467
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 23:42:48
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ 465
Л И Н Е Й Н О С Т Ь Г Р У П П А В Т О М О Р Ф И З М О В О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О С В О Б О Д Н Ы Х Г Р У П П О . М . Матейко, О. И . Тавгень
Настоящая работа посвящена доказательству критерия линейности групп авто
морфизмов относительно свободных групп.
Пусть G - группа. Будем говорить, что G линейна, если существует ее точное представление матрицами над некоторым полем К характеристики 0. В нашем слу
чае достаточно ниже считать К полем комплексных чисел С.
Пусть Ш - некоторое многообразие групп, т.е. класс групп, замкнутый относи
тельно образования подгрупп, факторгрупп и декартовых произведений. (Все необ
ходимые определения, касающиеся многообразия групп, могут быть найдены в [1].) Обозначим через Fn(9JV) свободную группу ранга п многообразия 9Я (относитель
но свободную группу). Пусть Aut Fn(9Jt) - группа автоморфизмов Fn(9Jt). Если Ш является многообразием всех групп D , то будем писать просто Fn и Aut Fn, со
ответственно. Обозначим через г: Fn(97t) —> Aut Fn(90t) канонический гомомор
физм, индуцированный действием Fn(9Jt) на себя сопряжением. Пусть Z = Кег г - центр Fn(9Jl) и Iniг = Inn Fn(9Я) - группа внутренних автоморфизмов группы Fn№).
Известным вопросом является вопрос о том, будут ли группы Aut Fn, п ^ 2, точ
но представимы матрицами над полем комплексных чисел. В случае п ^ 3 Прочези и Форманек доказали, что Aut Fn нелинейны. Вопрос о линейности Aut F2 открыт.
В [2] Мочизуки заметил, что открыт вопрос о линейности группы автоморфизмов свободной метабелевой группы конечного ранга.
В теореме, которая формулируется ниже, дается ответ на вопрос о линейнос
ти, либо нелинейности группы автоморфизмов свободной группы многообразия Ш в случае, когда ЭД? Ф D. Таким образом, фактически, для любой группы Fn(9ft), исключая F2, исследовано, является ли группа ее автоморфизмов линейной. В дока
зательстве теоремы используются понятия теории алгебраических групп, которые могут быть найдены в [3].
Введем некоторые обозначения.
Пусть У1с - многообразие всех нильпотентных групп класса с (с ^ 1), il - много
образие всех абелевых групп, il^ - многообразие всех абелевых групп экспоненты 1 г , ! 8 т - многообразие всех локально конечных групп экспоненты т. Обозначим че
рез ii*. 11, 9tcH93m ~ произведения этих многообразий. Пусть 6 2 = i t2 обозначает многообразие всех метабелевых групп, G1 - коммутант группы G, Gd - подгруппа G, порожденная элементами вида gd, где д € G,d ^ 0.
Т Е О Р Е М А . Пусть Fn(ffl) - свободная группа ранга п многообразия Шф D.
1. Если Ш g ЧХсШ т, mo AutjPn(9Jl) нелинейна.
Исследования, описанные в этой статье стали возможными частично благода
ря гранту № 17523, полученному вторым из авторов от Международного научного фонда. © О . М . М А Т Е Й К О , О . И. Т А В Г Е Н Ь 1 9 9 5
466 КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
2. Пусть Ж С УХсЖВт и ilfcil g Ж. Тогда группа A u t Fn( 9 f t ) линейна.
3. Пусть Ж С ЧХсШт и ilkil С Ж. Тогда AutFn(9JT) нелинейна.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . 1. Предположим, что Aut Fn(Ж) линейна. Тогда линейна группа Fn (Ж)/Z.Tlo известной альтернативе Титса [4] группа Fn (Ж)/Z содержит разрешимую подгруппу конечного индекса. Далее, применяя теорему Мальцева [5], получаем, что Fn{ffl)/Z 6 91с1Ш5га, для некоторых с и т . Отсюда легко следует, что и Fn(mt) G 9 tc+ i i ! Q 3m.
2. Из [6] следует, что группа Fn( $ T ) при данных условиях является почти ниль
потентной. Значит, группа Aut Fn( 9 # ) точно представима матрицами Z [7].
3. Предположим противное, т.е., что Я = Aut Fn(Ж) ^ GLn(C). Рассмотрим на группе Н топологию, индуцированную топологией Зарисского группы GLn(C).
Пусть Н - замыкание Н в этой топологии. Тогда Н - алгебраическая группа. Рас
смотрим также группу G — Fn {Ж) jZ = Inn Fn (Ж) и ее замыкание G в топо
логии Зарисского. Обозначим через М связную компоненту единицы группы G, т.е. М = G0 П G , где G® - связная компонента единицы алгебраической груп
пы G. Тогда М = G®. Поскольку М - связная разрешимая группа [8, теоре
ма 5.11], то М/и(М) - тор, где и(М) - унипотентный радикал алгебраической груп
пы М . Далее, так как М < Я , то ~М/и(М) < Н/и(М). Пусть Г = Н/и(М). Тог
да группа Г действует яа, М/и(М) сопряжениями. Это определяет гомоморфизм ф: Г —у Aut М/и(М). Так как централизатор тора имеет конечный индекс в его нормализаторе [3, п. 16.3, следствие], то группа Т/Сг(М/и(М)) является конеч
ной. Здесь С-р(М/и(М)) = Кетф - централизатор М/и(М) в Г. Рассмотрим теперь действие Н на М/и(М), т.е. гомоморфизм ф: Н Aut М/и(М). Тогда получаем, что группа Н / С-^{М / и(М)) является конечной. Такой же будет и ее подгруппа Н/Сн(М/и(М)). Наконец, рассмотрим действие Н на М/и(М), где и(М) = М П и(М) - единственная максимальная унипотентная нормальная под
группа группы М. Если некоторый элемент hm Н централизует М/и(М), то он централизует и М/и(М), т.е. C # ( M / ? z ( M ) ) С Сн(М/и(М)). Следовательно, Н/Сн (М/и(М)) - конечная группа. Пусть N обозначает подгруппу Фиттинга G, т.е. максимальную нормальную нильпотентную подгруппу в G. Тогда, поскольку и(М) С М Г) N, то группа H/CH(MN/N) конечна. Возьмем прообразы групп MN и N в группе Fn( 3 # ) и обозначим их через M i и JVi, соответственно. Тогда Mi также характеристическая подгруппа, поскольку Кег г характеристична. Кро
ме того, N\ будет подгруппой Фиттинга в Fn(90t), поскольку Кег г - центр Рп(Ж).
Таким образом, в Fn (Ж) существует характеристическая подгруппа М\ конечного индекса, содержащая N\ - подгруппу Фиттинга Fn (Ж), такая, что Н/Сц [M\jN\) - конечная группа, т.е. почти все автоморфизмы Fn(fXJl) действуют на M\/N\ тож
дественно. Известно, что подгруппа Фиттинга вполне характеристична (эндоморф- но допустима) и, значит, N\ является вербальной подгруппой Fn(9H) [1, теоре
ма 13.31]. Вербальные подгруппы группы Fn(9ft) либо лежат в коммутанте, либо содержат подгруппу Fn( 9 J t )d [1, теорема 12.12]. Но [Fn(9tt) : Fn( 0 J t )d] < со в силу положительного решения проблемы Берснайда для разрешимых групп. Так как группа Fn( 9 H ) не является почти нильпотентной, то N\ ^ Fn(9Jt)'. Значит, H/CH(MiFn{Wy/Fn(Wty) -конечная группа. Тогда Fn( ^ t ) / F n ( 9 t t ) ' - свобод
ная абелева группа, так как Fn(9H) имеет нулевую экспоненту. Группа Н сюръек- тивно отображается на Aut ( Fn (Ж)/Fn (Ж)') = GLn (Z). Отсюда вытекает, что
КРАТКИЕ СООБШЕНИЯ 467 группа Н/Сн(М\ Fn (Ш)'/Fn (Ш)1) бесконечна. Полученное противоречие и до
казывает теорему.
В [7] Верфриц доказал, что группа автоморфизмов почти полициклической груп
пы является линейной. Учитывая этот результат и доказанную теорему, получаем следующее
С Л Е Д С Т В И Е 1. Группа A u t Fn( 9 H ) , где Ш ф О, линейна тогда и только тогда, когда группа Fn(%R) почти нильпотентна (т.е. 9JI С ЭДсЗЗга).
Группы Fn(&2) и Fn(yictt) являются линейными. Для группы Fn(&2) хоро
шо известно представление Магнуса [9], а представление группы Fn( 9 I c i l ) описано в [10]. В то же время, из теоремы получаем
С Л Е Д С Т В И Е 2. Группы Aut Fn(<&2) и Aut Fn(9tci0 нелинейны.
Институт математики АН Белоруси;
Институт повышения квалификации работников Министерства образования Республики Белорусь
Поступило 20.10.94
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Н е й м а н X . Многообразия групп. М.: Мир, 1969. 2. M o c h i z u k i Н . / / Pro
ceeding of Groups. V. 121. St.Andrews: London Math. Soc. Lecture Note Ser, 1985.
P. 15-29. 3. Х а м ф р и Д ж . Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980. 4.
T i t s J. / / J. Algebra. 1972. V. 20. №2. P. 250-270. 5. М а л ь ц е в А . И . / / Матем.
сб. 1951. Т. 28. №3. С. 567-588. 6. G r o v e s J. R . J. / / Bull. Austral. Math. Soc.
1971. V. 5. №3. P. 391-410. 7. W e h r f r i t z B . A . F . / / J. Pure Appl. Algebra. 1974.
V. 4. № 1. P. 55-69. 8. W e h r f r i t z B . A . F . Infinite Linear Groups. Berlin: Springer, 1973. 9. M a g n u s W . / / Ann. Math. 1970. V. 40. №4. P. 764-768. 10. Э й д е л ь - кинд Д . И . / / Алгебра и логика. 1971. Т. 10. №4. С. 449-473.