О. К. Калашников, Е. С. Фрадкин, Применение метода спектральных плотностей в системе с парным взаимо- действием, ТМФ , 1970, том 5, номер 3, 417–438

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

О. К. Калашников, Е. С. Фрадкин, Применение метода спектральных плотностей в системе с парным взаимо- действием, ТМФ , 1970, том 5, номер 3, 417–438

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 18:58:23

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ II МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Ф И З И К А Том 5, № 3

декабрь 1970

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ К СИСТЕМАМ С ПАРНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

О. К. Калашников, Е. С. Фрадкин

Для систем ферми (бозе)-частиц с парным взаимодействием сфор­

мулирован метод спектральных плотностей и указань^ простейшие ап­

проксимации. Метод иллюстрируется решением модели^ Хаббарда и мо­

дельного «парного гамильтониана». В простейшем приближении иссле­

дуется спектр системы взаимодействующих бозонов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Метод функций Грина (см., например, [1]) IB настоящее время явля­

ется классическим методом исследования различных проблем статистиче­

ской физики. Функции Грина, так же как и корреляционные функции, тесно связаны с вычислением наблюдаемых величин и представляют из­

вестные преимущества при построении и решении различных приближен­

ных уравнений. При этом, поскольку чаще 'всего интересуются термоди­

намическими характеристиками системы, задача в конечном счете сводит­

ся к нахождению достаточно хорошей аппроксимации для одночастичной функции Грина. Эта проблема довольно успешно решается при наличии в системе эффективного параметра малости, что позволяет выделить и просуммировать наиболее существенные диаграммы. В тех же случаях, когда эффективный параметр малости в задаче отсутствует, проблема получения замкнутых аппроксимационных уравнений для функций Гри­

на не нашла еще своего решения, а обычно применяемые в таких случаях расцепления высших корреляционных функций являются вынужденными и мало оправданными.

В этой связи существенный интерес может представить метод, который позволяет обойти указанные выше трудности. В этом методе предлагается рассматривать не сами функции Грина, а соответствующие им спектраль­

ные плотности и, что самое главное, выписывать для них не дифферен­

циальные уравнения, а систему замкнутых точных соотношений. Эти соотношения выражают интегральную связь различных моментов от спектральной плотности с одновременными коммутаторами операторов поля с гамильтонианом системы и отражают точную динамику рассмат­

риваемой модели. Выбор той или иной аппроксимация для спектральной плотности эквивалентен предположению о ее функциональном виде, что в свою очередь позволяет превратить систему соотношений в конечную систему замкнутых интегральных уравнений, которая может быть решена обычными методами.

7 Теоретическая и математическая физика, т. 5, № 3 417

В работе (рассматриваются простейшие аппроксимации одночастичной и двухчастичной спектральной плотности; найдено, что уже простейшие приближения приводят к существенным результатам. Так, например^г спектральная плотность в виде одной 6-функции приводит к уравнению Хартри — Фока, которое на обычном языке функций Грина соответствует суммированию бесконечного ряда диаграмм. Аппроксимация спектраль­

ной плотности двумя б-функциями соответствует в некоторых частных случаях (см., например, раздел 4) методу линейного канонического преоб­

разования, однако в общем случае для систем с парным взаимодействием обеспечивает значительно лучшие результаты. Метод иллюстрируется рассмотрением приближения «парного гамильтониана» и модели Хаббар- да, причем полученные решения справедливы для произвольных темпе­

ратур и произвольных констант связи, т. е. взаимодействие не предпола­

гается слабым. В некоторых предельных случаях, для которых известны точные результаты, решения либо переходят в точные, либо хорошо с ними согласуются. Кроме того, в работе качественно исследуется спектр элементарных /возбуждений бозонов, взаимодействующих посредством парных сил. В отличие от работ Н. Н. Боголюбова и С. Т. Беляева иссле­

дуется полное 4-бозонное взаимодействие, причем никаких ограничений на силу взаимодействия и плотность числа частиц не накладывается.

Таким образом, метод спектральных плотностей, который уже был предложен в работе авторов [2] применительно к 4-фермионному взаимо­

действию в этой статье обобщается на случай систем ферми (бозе)-частиц с парным взаимодействием. Для удобства читателя некоторые результаты предыдущей работы кратко повторяются.

2. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ 2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассматривается система взаимодействующих ферми (бозе)-частиц в большом, но конечном объеме V. В окончательных результатах предпо­

лагается устремлять N и V к бесконечности, но таким образом, чтобы плотность числа частиц п = N / V оставалась постоянной, т. е. предпола­

гается переходить к термодинамическому пределу. Считается, что частицы взаимодействуют посредством парных сил, зависящих только от относи­

тельного расстояния (между ними. Динамическое поведение такой системы определяется заданием гамильтониана Н = Н(а^ру+; а^ру), который в пред­

ставлении вторичного квантования может быть приведен к виду

Н = Но -f- /lint* Но = У Spyttpy Ctpv, Р , V

Hint = •—— У^ б р1 + р2; р3+Р4 < Р ( ^ 2 Рз) flp,Yiap2V2aP3V2aP4Vn ( 2 . 1 )

P i . . . P 4 ; V i V²

где а^ру+ и а^рч— операторы рождения и уничтожения фермиоиа (бозона), соответственно; гру содержит обычным образом химический потенциал |i;

(р(р) —фурье-компонента потенциала взаимодействия О (.г); g — кон­

станта связи. В силу эрмитовости гамильтониана (р(р) — ч е т н а я функ­

ция р, т. е. (р(р) ='Ф'(—р). Гамильтониан в виде (2.1) не является, ко- 418

нечно, наиболее общим видом гамильтониана для систем, взаимодействую­

щих посредством парных сил, однако к такому виду может быть приве­

дено достаточно большое количество практически интересных задач.

Согласно предлагаемому методу термодинамические свойства таких систем следует изучать с помощью функции вида

APY(t) = ±([аРУ+; aPY(x)]±>, (2.2) где верхний знак относится к фермионам, а нижний к бозонам, причем

такое обозначение будет соблюдаться везде в дальнейшем. Усреднение понимается по большому каноническому ансамблю Гиббса, и а^РУ(т) — оператор поля в представлении Гайзенберга. Через функцию (2.2), кото­

рую мы в дальнейшем будем называть одночастичной спектральной плот­

ностью, просто выражается термодинамический потенциал системы, а следовательно, все термодинамические характеристики легко находятся по известным формулам. Переходя к фурье-преобразованию по % от AP V( T ) и предполагая, что гамильтониан имеет полную ортонормированную си­

стему собственных функций, т. е. Н\п) =Еп\п,у, (п\п) = 1, \п)(п\= 1, можно написать спектральное представление по переменной со для функции Ap^Y(a)). Действительно, непосредственно преобразуя опреде­

ление спектральной плотности (2.2), убеждаемся в справедливости фор­

мулы

Л^{Р 7}( с о ) = + ^ | < т | а^Р/ | г г > |²2 я б ( с о + £^п- ^^т) б - ^ - ( 1 ± е ^ ) . (2.3) Из последнего выражения мы видим, что как в случаи ферми-, так и бозе- статистики одночастичная спектральная плотность является действитель­

ной функцией, а в случае ферми-статистики она к тому же и положитель­

но определена.

Из формулы (2.3) после несложных преобразований следует выраже­

ние для средних чисел заполнения

npv = <aPY+ aPY> = -- — , (2.4) J 2я exp Pco ± 1

которое является следствием спектральных свойств функции Л^РТ(со).

Теперь покажем, что энергия основного состояния системы так же легко выражается через одночастичную спектральную плотность. Действитель­

но, используя уравнение движения для оператора поля а^г,^у(т), получаем следующее дифференциальное уравнение для спектральной плотности:

П ~ - £ P Y ) AP Y( T ) = ± < [ [ # m t ; aP V +]_; аРЧ(х)]±\

которое для гамильтониана (2.1) после вычисления одновременного ком­

мутатора приобретает вид

li — — e

JA

(x) =

V

Pi.-.Рз; v,

/ ^Pi + P2; РЗ + Р Ф (Р2 Рз) \ [flp,Yap2Yi#P3Yp aPY \Ч J ± / •

Если теперь для правой части последнего выражения выписать спектраль­

ное представление, подобное (2.3), то для энергии взаимодействия полу- 7* 419

чаем следующую формулу:

Е ^ <^int> 1 УТЛ Г dOj ((О — Еру)

- T ^ ~ V ~ = WLl 2 ^ е х рРс о ± 1Л-( С й )- ( 2'5 )

Аналогичная формула имеет место также и для энергии основного состоя­

ния системы

Е <#> 1 г-, г йш (со + еРУ) к ,

р, v

Далее, определяя обычным образом термодинамический потенциал, т. е.

как

а = - у l n S p e x p ( - p # ) , (2.7) замечаем, что если &РУ не является функцией g, то справедливы следующие

выражения:

!F\T)-T—' ~v \ir\~)' ⁽² ' ⁸⁾

а используя формулу (2.5), получаем искомое выражение для термодина­

мического потенциала через спектральную плотность

Q — Qp _ г dgi / 1 Y^ J- dco (со — ePY) д \

v ~J ^gi \2F2jJ^r ^e xppco±i ^pv(co) ;'

где йо — термодинамический потенциал системы при g = . О, обычно легко вычисляемая величина.

Таким образом, если одночастичная спектральная плотность Apv((o) известна, то с помощью формул (2.4), (2.6) и (2.9) и других известных соотношений исследование термодинамических характеристик системы не представляет труда, а поэтому мы переходим к формулировке метода вычисления последней.

2.2. СИСТЕМА ЗАМКНУТЫХ СООТНОШЕНИЙ И ПРОСТЕЙШАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ApY(co)

Для одночастичной спектральной плотности APY((o), используя урав­

нения движения для оператора поля #P V +( T ) , легко выписать бесконечную систему моментов

/-^•ю,вЛрт(а>) = ± < [ Я ; [H...[H;aP+]-...]-m;apy]±), (2.10) которая, если гамильтониан системы известен и мы можем вычислить в

явном виде правые части (2.10), позволяет восстановить известным обра­

зом явный вид ЛР?(со). Однако такая программа, как правило, реализуется для простых задач, которые точно решаются обычными методами. Напри­

мер, в тривиальном случае свободных ферми (бозе)-частиц, которые опи­

сываются гамильтонианом (2.1) при g = . 0, система моментов (2.10) лег­

ко выписывается

р dco r d®

- — APV(©) = 1, —-(со —ePV)W7APV((o) = 0, m = 1,2,...,

J 2 Я J 2 Я (2.11)

420

и ее решение имеет простои вид

A^PV(co) = 2я6(со - e^PY). (2.12)

Однако в более сложных случаях такая ситуация вряд ли имеет место и даже, если мы в принципе и можем вычислить достаточно большое число моментов, то проблема все же остается, так как высшие моменты будут содержать корреляционные функции, которые не выражаются через Лр-Дсо), т. е. необходимо строить схему самосогласования. Построение схе­

мы самосогласования IBO всех практически интересных задачах является необходимым, и в этом лежит осно!вная трудность. Тем не менее в ряде случаев такая схема может быть построена, не прибегая к расцеплению высших корреляционных функций, что является несомненным достоинст­

вом предлагаемого метода.

Таким образом, для подавляющего большинства задач аппроксимация спектральной плотности должна быть построена исходя из конечного чис­

ла первых моментов, что, в свою очередь, вносит в предлагаемый метод элемент неоднозначности и вынуждает предполагать функциональный вид искомой спектральной плотности.

Допустим, что мы ограничились нулевым и первым моментом для Ap^Y((o):

г do) r d o

J y A p v ( ' ( o ) = 1, J — ( о — 8^PY)A^PY(o)) = =b<[[#int; otp^V+]-; ctpv]±> =

= ^<р(0)^г + у ^ ф ( р - р 1 ) / г р ^ (2.13)

Pi

и хотим восстановить с их помощью явный вид одночастичной спектраль­

ной плотности. В этом случае, так как выписанная выше система первых двух моментов представляет собой систему точных и замкнутых соотно­

шений, схема самосогласования тривиальна (nPV легко выражаются через

AUY(CO), СМ. формулу (2.4)), и для определения одночастичной спектраль­

ной плотности достаточно предположить лишь ее функциональный вид.

В качестве простейшей аппроксимации для Л ^ с о ) можно рассматривать ее приближение одной б-функцией, т. е.

ApV (со) = 2яб (со — o)PY), (2.14)

где coPY— некая неизвестная функция, легко определяемая подстановкой (2.14) в (2.13) и приводящая к интегральному уравнению

co^PT = (e^PV + g<p(0)tt)=F-|rV ^{Ф (} ^ ~ ^ , , (2.15) V ^ J exp pcoPlY + l

Pi

которое может быть решено обычными методами. Таким образом, мы ви­

дим, что выбор спектральной плотности в виде (2.14), который соответст­

вует попытке заменить истинный спектр элементарных возбуждений не­

затухающим эффективным одночастичным спектром, приводит к интег­

ральному уравнению Хартри — Фока, которое на обычном языке функ­

ций Грина соответствует суммированию бесконечного ряда диаграмм. Не­

смотря на свою простоту это приближение приводит к фазовым переходам, 421

т. е. является далеко не тривиальным. Поясним это на примере системы фермионов со спином ⁱ/², изучив возможность появления в такой системе спонтанной намагниченности R = (п^— П[) / п при достаточно низких температурах. Исходным пунктом получения уравнения самоюогласова- ния, определяющего Д, может служить уравнение

п^ру = j e x p p ^ (ep^V + £<p(0)rc) — — ^ ф(/? — pi)n^PlA + l \ ,

PI

которое легко получается с помощью формул (2.4), (2.14) и (2.15).

Если теперь средние числа заполнения пРУ выразить через спиновую плотность sp и плотность числа частиц пР посредством формул пР + sp =

= пР\ и йр — sP = пР\, а также считать, что ePV = ' еР, ТО после несложных преобразований можно получить следующее уравнение самосогласования:

nR _1 у\

v

s h — ^ < p ( p —p.)s^{P l}

c h p j ( ep+ g < p ( 0 ) n ) — — ^ ф ( р — p O u p J + c h - y ^ q ) ^ — p , ) sP l

Pi Pi

(2.16) определяющее возможность появления спонтанной намагниченности R.

Уравнение (2.16) является сложным нелинейным интегральным уравне­

нием, которое, кроме тривиального решения s^p = 0, имеет, вообще говоря, еще и ненулевое решение. Полное исследование уравнения (2.16) выходит за рамки этой статьи (см., например, [ 3 ] ) , поэтому мы лишь схематиче­

ски укажем его направление. Ненулевое решение уравнения (2.16) воз­

никает в окрестности точки бифуркации, для определения которой необ­

ходимо линеаризовать исходное нелинейное интегральное уравнение. Ре­

зультатом линеаризации является однородное уравнение Фредгольма 2-го рода, и возможность существования ненулевого решения нелинейного интегрального уравнения оказывается эквивалентной возможности суще­

ствования ненулевого решения линеаризованного уравнения, которая лег­

ко выясняется с помощью стандартной теории интегральных уравнений.

Таким образом, при некоторых условиях уравнение (2.16) допускает не­

нулевое решение, т. е. система испытывает фазовый переход второго рода, результатом которого является появление спонтанной намагниченности и конечный скачок теплоемкости.

2.3. БОЛЕЕ СЛОЖНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ Apv(co) И ПРОСТЕЙШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ ДВУХЧАСТИЧНОЙ

СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Аппроксимация одночастичной спектральной плотности в виде одной б-функпии является простейшим нетривиальным приближением, которое, хотя и приводит к интересным результатам, но по ряду причин нуждается 422

в улучшении. Основным недостатком этого приближения является то, что оно не отражает корреляции между взаимодействующими ферми (бозе)- частицами, которые не всегда бывают малы, а зачастую приводят к обра­

зованию связанных состояний (пар частица-частица или частица-дырка) или являются причиной возникновения в системе коллективных возбуж­

дений. Простейшей аппроксимацией одночастичной спектральной плот­

ности, которая эффективным образом учитывает парные корреляции, может служить набор двух одинаковых б-функций, т. е. представление ЛРТ((о) в виде

ЛР7((0) = Л^(1 + YPV) б (СО — <COj>Y) + я ( 1 — YPY)6(0) + CDpv), (2.17) где (Opv и уру — неизвестные функции, которые необходимо определить из расширенной системы соотношений, требуя чтобы APV(w) удовлетворяла системе первых трех моментов.

Расширенная система соотношений, т. е. система соотношений (2.13), пополненная вторым моментом для одночастичной спектральной плотно­

сти,

f —-(со — 8pV)2ApV(co)= ± < [ [ Я ш ; ap v +] _ ; [aPy; #i nt ] - ] ± > =

J ^п 2

= Ь й = ( — ) ^ Ф ( Р — Pl)<P(Pl — Р2)П^Р2уЧ¹

^^(P-P^^-^i^^M (2-18)

V L*A J 2я exp Роз ± 1

в этом случае не является замкнутой и нуждается в построении схемы самосогласования, так как эффективная константа L

L = b— J 2 J 6P I + ^ ; РЗ+Р4 Ф2 (Р* — Р*) <aptv^p4v^ptv2aP3v2> (2.19)

Р , . . . Р4; V|Y2

не может быть выражена в случае произвольного потенциала точно через ApV(co). Однако с точностью до эффективной константы L рассмотренная система соотношений все же позволяет найти явный вид одночастичной спектральной плотности. Действительно, после введения удобных обозна­

чений

тт Z V» / \ ~ , fd(0 ((О —8pV)

UPV = -^T> Mp — Pi)n^Plv+ iA^PY((u) 2V *—l J 2rc exp pco ± 1

Pi

находим, что спектру элементарных возбуждений системы ферми (бозе)- частиц будет соответствовать выражение

< V == L + - у ^ - Е ф (Р - Pi) ^Uv« + e^PYT(epY + 2£ф (0) п) -+-

*- PI '-

Т 4 Г 2 Ф ( Р - Л ) ***]}, (2.20)

Pi J )

а средние числа заполнения будут иметь вид

1 / shpcOp^Y \

пРУ = — ( ± 1 - YPY , , , ft , 2 \ 1 ± en Во™ / 1 ± ch Pcop

423

(вру + СТ(0)га) + — Yjfjp — Pi)nPl7

YPV = . (2.21)

(Ору

Теперь в качестве следующего шага мы вынуждены, кроме ЛРУ(со), рас­

сматривать высшие спектральные плотности, с помощью которых L точно определяется. Функциональный вид высшей спектральной плотности и количество моментов, которым она должна удовлетворять в рамках этого метода, не могут быть указаны однозначно и предполагаются исходя из физических требований. Заметим, что от удачной аппроксимации двухчас­

тичной спектральной плотности в значительной степени зависит харак­

тер особенности, которая отражает фазовый переход и проявляется в тер­

модинамических характеристиках системы, например в теплоемкости, если имеется фазовый переход второго рода. В этой работе мы ограничимся рассмотрением двух простейших аппроксимаций, которые отражают раз­

ные аспекты многочастичной задачи.

Например, наиболее просто эффективную константу L можно вычис­

лить, если заметить, что она допускает представление вида

L = — У \2( Ж | и р+|2Х ир+ = — - Н ^/ 2д - р/ 2 |а , (2.22)

V к , <*

которое дает возможность найти ее явный вид, рассматривая двухчастич­

ную спектральную плотность, определенную следующим образом:

Dhy(p\x) =. -fV<[uP+; Скт(/>|т)]->, (2.23) гдеСЛт+(р|т) = л+_р / м (т)аЛ_р/2, vOO- Эта функция, кроме одночастичных

возбуждений, отражает также и коллективные возбуждения системы фер­

ма (бозе)-частиц, и знание ее явного вида достаточно для самосогласован­

ного решения задачи. Простейшую аппроксимацию функции Dkv(p\x) можно получить, если выписать для нее первые два момента

J "T—Dhy\P I CO) Uh-p/2, у — Пк+р/2, v»

§^<DDky(p\(u) = -<[[H;uP+]-.;Chy(p)]-y =

= (jlh-p/г, Y Пк+р/2, у) (бЛ+р/2, v &к-р/2, v) (2.24)

и найти их решение на классе одной б-функции, т. е.

Dhy(p\<o) == 2n(nk-p/2, v — Kk+p/2, Y)6[CD — (ek+p/2, v — ^h-v/2, v)L (2.25) Это приближение соответствует простейшему учету только одночастич­

ных возбуждений, рднако в некоторых задачах его применение вполне оправдано. Теперь, используя спектральные свойства функции Dkv(p[co)r

получим в этом случае следующее выражение для функции корреляции плотности:

< K

.

_

T + ) - - i V f ^ ^ ! ^ =

V ^-J «> 2я exp Poo — 1

h, у

1 V"1 Пк-р/2, v Пк+р/2, v

—

У la

V ^J e x p p [гк+р/2, у — Zk-p/2, y] — 1

h, v

(2.26)

424

с помощью которого эффективная константа L получается простым сум­

мированием. На обычном языке функций Грина это имеет своей анало­

гией вычисление поляризационного оператора в простом приближении^

когда не учитывается «обрастание» вершинной части.

Существует и другая возможность, которая также позволяет вычис­

лить эффективную константу L, рассматривая несколько иную двухчас­

тичную спектральную плотность

V2, P3IY2

которая удовлетворяет точно системе первых двух моментов

С da)

J 7 ^ (^W — Sp^4Yl) Л ^Pl; ^P4,^Yl (©) = gTZ (ф (/?! — p⁴) — ф (0) ) ±

r da (со — 6^PlTl) g Y¹ л v

± ^ ~ о 7~7А™Л®) + -{7 > . oPl+ft4; fel+P4 X

•J 2я exp pco ± 1 У ^-J

fti; й4 ^2

X [ф ( & i — ft⁴) =F ф (/?4 — & i ) 6^{Y l}; ^V2] fefe,; ft⁴|^Y2,

(2.27)

^fci;ft4lv2 — 7 Г4 Q Г Т ' t ^ . ^ o )

J ZJT. exD Bco -4- 1

а ее функциональный вид в соответствии с одночастичной спектральной плотностью следует определить выражением

Ари P4lYi(^) = ^ ( Ь р , ; P,lY, + hi, P4lY,)6('W -— 0)p4Yl) +

+ л(ЬР1; p4|Tl — ZPl; Р4!7,)б(о) + (oP4Yl). (2.29) Теперь система соотношений (2.28) превращается в систему интеграль­

ных уравнений для определения неизвестных функций o^Vi; p^4)Yl и h^{Pl] P4}|^Yl, которая имеет следующий вид:

^ Р ь P4lYi VH6Pl; p4 -f- MpjYp

1 shpo)³ 2o)p^4Yl 1 dz ch Po)p^4Yl

_ ^ 1 shpo)p^{4Yl w}

^PI; P4IY1— rP b P 4 i Y i 7: "~; : г т : A

X — 2_J бР»+^^, + Р4[ф(^1 — ^4)— ф(А4— Р4> 6Vl; VJ Aft,; ft4lVa, (2.30) где через FPl] P4iYl мы обозначили известную функцию

" 1 UPx, P4lYi£PiYi i

_ bpi;P4lv, 1 Shpco

* P 1 J P4IY1 — = f c

2 2o)^P4Yl 1 ± ch |3cOp^4Yl

AD (СО — 8 ^PlYl )

(•ao) (со — 8PlYl) , v , 1

Ь / о l / w . W + ^ ^ t f ' - ^ - ' P C ) ) [• (2-31)

J zn exp {— pco) dz 1 J _42*

Таким образом, мы снова получили замкнутую систему уравнений, после решения которой L находится с помощью простой формулы

Ь =

Т ^

| г £

(2.32)

V\ Pi; P4I V I

Итак, в обоих вышерассмотренных случаях удается построить самосогла­

сованные решения для систем ферми (бозе)-частиц с произвольным парным взаимодействием, не предполагая расцепления высших корреляционных функций.

3. СПЕКТР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗОНОВ

Цель данного раздела — изучить более подробно спектр элементарных возбуждений системы бесспиновых бозе-частиц, взаимодействующих по­

средством парных сил, принимая за основу приближение одночастичной спектральной плотности двумя одинаковыми б-функциями (см. формулы

(2.17) — (2.21)). Не будет лишним еще раз подчеркнуть, что рассматрива­

ется полный (а не редуцированный) гамильтониан 4-бозонного взаимодей­

ствия и не делается никаких ограничений на силу взаимодействия и плотность числа частиц. Так как рассматриваемое решение является при­

ближенным, то в дальнейшем основное внимание будет направлено на развитие метода, пригодного для анализа любого приближенного решения и позволяющего определить химический потенциал, критическую точку и асимптотики спектра при Т ^ Тс. К сожалению, до сих пор не сущест­

вует ни одной точно решаемой модели неидеального бозепгаза, хотя вид спектра элементарных возбуждений, впервые феноменологически предло­

женный Л. Д. Ландау, неоднократно обсуждался в литературе.

В большинстве работ все основные характеристики спектра определя­

ются исходя из предположения макроскопического заполнения состояния с нулевым импульсом и рассмотрения на этой основе или редуцирован­

ного гамильтониана, который затем может быть решен, например, мето­

дом линейного канонического преобразования [4], или с применением ме­

тодов теории поля [5] при соблюдении определенных предосторожностей.

Существуют и другие методы исследования, например вариационный [ 6 ] , однако в большинстве случае© полученный таким образом спектр не имеет звукового закона дисперсии при Т < Т^С1 что физически само по себе не совсем понятно. В такой ситуации разумно, отказавшись от использования того или иного точного термодинамического соотношения, предположить физически понятное требование (например, существование звука при Т ^ Гс), а затем, построив соответствующие уравнения самосогласования, исследовать их разрешимость.

Итак, возвращаясь к вышепоставленной задаче, удобно в качестве пер­

вого шага предположить, что при всех Г, меньших некоторого Тс, система взаимодействующих бозе-частиц образует конденсат, т. е. макроскопиче­

ское заселение некоего уровня в импульсном пространстве. В рамках на­

шего приближенного решения (см. формулы (2.17) — (2.21), которые пред­

полагаются справедливыми при всех температурах) это находит свое отра- 426

жение в том, что при некоторых р = р⁰ средние числа заполнения должны обращаться в бесконечность, которая, если ограничить свое рассмотрение сферически-симметричной нормальной фазой, должна быть интегрируе­

ма в обычном смысле, так как в противном случае плотность надконден- сатных частиц при Т = Тс не будет конечной. Такая возможность может реализоваться только в 3-мерном импульсном пространстве, если бозе- конденсация происходит в состоянии с нулевым импульсом. Для данного приближенного решения вышеизложенные условия с необходимостью тре­

буют обращения в нуль спектра элементарных возбуждений сор (см. фор­

мулу (2.20)) при ро = 0, что в свою очередь приводит к уравнению для определения \i^c при всех Т ^ Т^с как функции тг⁰, Т. Считая, что г^Р =

— /г / 2m — |i, легко находим соответствующее уравнение:

Pi Pi

с помощью которого спектр сор при Т ^ Тс приобретает вид

"'={4(^- ² "-) ⁺ ^( ^2ет(о) "+111^-'" ^> "") ⁺

Pi

+ ^£Ыр-р>)-<?Ы]и

}'

. (3.2)

Pi

Если теперь заменить суммы интегралами с обязательным выделением членов, имеющих отношение к конденсированной фазе, и выполнить ин­

тегрирование по углам, учитывая тот факт, что нормальная фаза сфери­

чески симметрична, т. е. в результате везде заменить ф ( | р — к | ) на 1 4Г

%(р\к) = —\ dx<((}'p> + k*-2pkx),

то последнее выражение дает возможность изучить асимптотики спектра элементарных возбуждений как при малых, так и при больших р при до­

статочно общих предположениях относительно потенциала взаимодейст­

вия. В случае больших р главным оказывается первый член, так как %(р\к) должна достаточно быстро убывать при р и / г - ^ о о , и спектр соответствует квазисвободным частицам, имея следующий закон диспер­

сии сор = р21 2т-\- (g^(0)n — \ikP). При малых /?, разлагая %{р\к) в ряд по р

%

(р\к) = ц(к) + —-^— + _ _ _ + • • " (

*

)

1! др I р=0 2! др* I р=0

сталкиваемся с существованием двух возможностей: либо о)^Р ^~|ф, если [д%(р\к) Iдр]р=0 ф 0, либо со? ~ р в противном случае. Хорошо известно, что реальному спектру системы взаимодействующих бозонов соответствует последний случай, т. е. и при малых р реализуется линейная зависимость энергии от импульса, поэтому для реального потенциала взаимодействия, по всей видимости, [д%(р\к) / др]р=0 = 0.

427

Последнее условие не является достаточно жестким, гак как многие реальные потенциалы ему удовлетворяют. Например, потенциал Юкавы

• W--4-- x W ^ I » 1^ ^P+ ^ (")

удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям, в чем легко убе­

диться непосредственной проверкой. Таким образом, при Т ^ Тс, если си­

стема конденсируется в импульсном пространстве, то спектр элементар­

ных возбуждений при малых р имеет звуковую дисперсию. Далее, урав­

нение самосогласования для определения п0 возникает из требования со­

хранения полной плотности числа частиц, т. е.

п = — ^ (Яг,)"=,1с = п° + $^Г~ {"р)^е - Т<ТС, (3.5)

р О

где \1С определяется как решение уравнения (3.2) и является сложной функцией По и Т. Это же уравнение при п0 = О определяет также и кри­

тическую температуру Тс, ниже которой возникает конденсированная фаза. Итак, если последнее уравнение имеет решение, то указанный выше метод анализа является внутренне непротиворечивым, а построенное та­

ким образом решение отражает понятные с физической точки зрения ха­

рактеристики системы. Однако в ряде простых моделей, например в моде­

ли «парного гамильтониана» (см. работы [7]), ранее известные резуль­

таты не описываются вышепредложенным методом. В этих работах химический потенциал JLLC определялся из требования минимума по п0 тер­

модинамического потенциала, и в спектре элементарных возбуждений возникала щель при всех Т < Тс. Хотя незначительного видоизменения метода достаточно для получения вышеуказанных результатов, тем не менее вопрос о корректности метода работы [7] до конца не является яс­

ным и требует дальнейшего исследования. В заключение следует отметить,, что возможность системы конденсироваться в импульсном пространстве еще не означает сверхтекучести такой системы. Исследование этого вопро­

са, несомненно, представляет самостоятельный интерес, однако ввиду сложности проблемы, оно выходит за рамки этого раздела.

4. ПРИБЛИЖЕНИЕ «ПАРНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА»

Исследование в общем виде термодинамических характеристик систе­

мы ферми (бозе)-частиц, взаимодействующих посредством парных сил,, обычно вызывает значительные трудности. Поэтому возникает настоя­

тельная необходимость с первых шагов либо упрощать потенциал взаимо­

действия (метод псевдопотенциала), либо выделять из полного гамильто­

ниана ту или иную группу членов, рассматривая их в качестве самостоя­

тельного модельного гамильтониана (приближение «парного гамильто­

ниана»). Мы остановимся на последней возможности, выбрав в качестве модельного гамильтониана выражение вида

V, У V\f\\ Р2У2

+ — 2 j ф(/?1"-/?2)аР^-Р1-У1«-Р2-7,«Р£Т1, (4.1)

428

которое изучалось рядом авторов [7] в качестве аппроксимации полного гамильтониана. Здесь /^Yl, ^V2(pi — р²) = ф(0) =F 6^Yl, ⁷²ф(р — /?i). В рамках этой простой модели мы хотим изучить взаимосвязь результатов, получен­

ных с помощью метода линейного канонического преобразования и метода спектральных плотностей, причем, как и в предыдущих случаях, предпо­

лагается, что одночастич/ная спектральная плотность реализуется через набор двух одинаковых 6-функций (см. формулу (2.17)) и удовлетворяет точно первым трем моментам

С da*

J - A^{P Y}( c o ) = l ; г d o g Y l

J " 2 ^ ^ " " 8^)ApY(0)) = ^ 2 j / v ; v1(JP — Pi)nPlVl, r d(o

J ^ ( c o —8pY)2APY(co) =

= ± y-yj ^ Ф ( Р — Р1)ф(Р2 — p)(ap^lVa_Vv«-P²-7«P²v> +

Pi; P2

+ ( ~ F ) Л | Ь'>ъ(Р — Р*)Ъп(Р — Р*)<Пр1ъПр*2>. (4-2)

P1V1; p2v2

Так как функциональный (вид одночастичной спектральной плотности уже выбран, то решение системы соотношений (4.2) не представляет труда, и в результате для неизвестных функций coPV и yPV мы получаем следующее представление:

= ] / у e^pv + — ^ /^{v; Vl} (p — Pi)n^PlVlj ± Ap^V2;

P1V1

6pv + — / , / v ; vi (/? Pi)^PiVi

(4.3)

YPV

где через A^PV2 обозначена функция

д 2 2 , д 2 1Лру A l | p v ~Г ^ 2 | р

AllPV = ( — ) 7 ^(p—Pi)<9(P— P*) <^Р^-Рг-Уа-Р2-УаР2уУх

Р\\ Р2

А2 2| р7= ( — J YJ ^ ; V , ( P — Pi)U,v2(P — P2) [<пР1У1пР2У2} — nPlVlnP2y2]. ( 4 . 4 )

P1V1; P2V2

Теперь необходимо построить схему самосогласования, изучая две высшие спектральные плотности:

A^Pl; p²; v VV ^{= =} i \ L^PiV^-Pi-V^-P2-Y? ^P²V \ V J ± Л

/ £ \ Л.

^"PlVb P2V2 ( ^ ) : = = i \ L^PlVl^P2V2? ^P2V2 ( v J ±/l {^•^)

429

и требуя, чтобы каждая из них удовлетворяла первым двум моментам, явный вид которых легко выписывается. Так, например, для А ⁽²⁾ (т) соответствующие моменты равны

л dco ⁽2) _ _

J о ^PlVil P2V2K®) nV\V\l

Г ^ (2)

J 2Jt eP2V2)^P,vi; ^{P2V2(^)} =

(2)

к ^ - J J 2я exp 6co ± 1

Р з , V3

(4.6)

а их решение можно найти, если выорать высшую спектральную плотность в виде

(2)

^PIYI; P²v²(co) = йр¹⁷¹Лр²т²(со) + 2л;Гр¹⁷¹;р²⁷²(б((о + (o^P2Y2)— б(w — (o^P2Y2)), (4.7) которая удовлетворяет системе соотношений (4.6), если функция rPlYi; P2Y2. является решением следующего интегрального уравнения:

„ Г — g Y* 4 /n Я\ Г S h NPSVS / / Q 4 WP2 Y 2I PiVi; P2V2 оT7 / . fraivs VP2 P3) L P1V1; P3V3 л Г " ! • V ^ -6;

^ K ^ - J 1 zh en Bco^v, P3; v3 P3Y3

Наличие свободного индекса в уравнении (4.8) дает возможность после несложных преобразований непосредственно для A2|pV получить уравнение самосогласования

= -±Yf

(p-p

)^

****** , (4.9)

2 F ^ - J (oPlYl l±chp(Opl Y l

которое должно решаться совместно с аналогичным уравнением для Ац^Р7. Вывод уравнения самосогласования для определения ДцР7 совершенно идентичен, поэтому мы приведем здесь лишь окончательный результат

(см., например, [ 2 ] ) :

AM^V = -f- —— > Ф (р — /74) . (4.10 2 F ^ - J G)plY l=hcnP(0plYl

Pi

Теперь одночастичная спектральная плотность полностью определена, но следует заметить, что полученные здесь результаты отличаются от обще­

известных, т. е. от результатов, полученных с помощью метода линейного канонического преобразования (см., например, [ 7 ] ) или других методов, а соответствие наступает, только если A²|^PY = 0. Уравнение самосогласо­

вания (4.9) действительно содержит такое решение, однако оно не соот­

ветствует общему случаю, так как при некоторых условиях возможны и ненулевые решения. Таким образом, на примере простой модели мы убеж­

даемся в том, что результаты метода линейного канонического преобра­

зования представляют собой лишь частный случай решения, найденного с помощью метода спектральных плотностей, в рамках приближения одно- частичной спектральной плотности двумя одинаковыми б-функциями, а поэтому в более сложных случаях это приближение заведомо приведет к лучшим результатам.

430