Канторовича, Матем. заметки , 1975, том 18, выпуск 6, 921–928

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. С. Волокитин, Об одной задаче оп- тимизации блочных процессов Ньютона–

Канторовича, Матем. заметки , 1975, том 18, выпуск 6, 921–928

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 07:26:34

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 18, № 6 (1975), 921—928

УДК 518:513.828

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ

БЛОЧНЫХ ПРОЦЕССОВ НЬЮТОНА - КАНТОРОВИЧА С. С. Волокитин

Ставится и решается специальная задача нелинейного цело­

численного программирования с нефиксированным числом не­

известных, возникающая при оптимизации блочных итерацион­

ных процессов Ньютона — Канторовича. Библ. 6 назв.

1. В последние годы общие идеи оптимизации вычисле­

ний (см., например, [1], [2]) стали применяться к исследо­

ванию проблемы выбора оптимальных в определенном смысле итерационных алгоритмов решения нелинейных уравнений.

Значительный практический и теоретический ин­

терес представляют задачи оптимизации быстросходя- щихся процессов ньютоновского типа [3], [4], [5]. Одна такая задача рассматривается ниже.

Для решения уравнения

х = Ф (я), (1) где ф — дважды дифференцируемый по Фреше нелиней­

ный оператор, действующий в открытой выпуклой обла­

сти Q банахова пространства, в работе [5] были предло­

жены итерационные процессы произвольного чередования основного метода Ньютона—Канторовича [6] и его неко­

торых модификаций общего вида

4> = 4

-

Ч- АГЧ"-", * = 1 , 2 , . . . , т

, к = 1, 2 , . . .,

где

4

= [/ - Ф' (4

)Г\ Af» = 2X

(A$Wr>)'4°\ ^ > 2,

Ф ^ ^ Ф ' ^ Г ^ - Ф ' Л . Д

^ ^ - ? -

'

Р

*>

- (

)

е Г0 = ф (4S_1)) - Xf», Vs-x С= {О, 1, 2, . . .},

/ — единичный оператор в Q, элемент ^j0 ) ^ Q задан.

Использование таких процессов вместо основного мето­

да позволяет, как правило, сокращать необходимые вы­

числительные затраты.

Развивая результаты [5], можно показать, что алго­

ритм (2), (3) сходится к точному решению х* уравнения (1) при обычных условиях Л. В. Канторовича сходимости метода Ньютона [6, теорема 6 (I.XVIII)], а быстрота сходи­

мости характеризуется неравенством вида к II х - zf* I K [1 ~ а (&!, v«)]* ДО (Ль v^M)J^{г = 1}

•Л(А!)Л1, (4) где

iV (AJAi < (3 (*!, vs_x) < 2Й!, TV (А1) = (1-}/"1 - 2 ^ ) / Л1э

hx ^ a (hv vs_j) < 2А17 смысл Лх, гц см. в. [6];

^1 = 1» ^ = rs-i + 1 + min {rs_l7 vs_i}, s > 2 . (5) Целью настоящей работы является решение сформу­

лированной ниже задачи выбора оптимального алгоритма из класса методов (2), (3), определяемых целочисленными параметрами А*, тк, vs_x. Указанные алгоритмы сравнива­

ются с учетом конечного числа итераций (в отличие от асимптотического подхода).

2. Задача А. Пусть: 1) заданы целые числа к, а, 1 <J

^ к <^ а, и число а G {0, 1, 2, . . . }; 2) дано конкретное уравнение (1) и начальный элемент х^ £= ^ , для кото­

рых выполнены условия сходимости метода Ньютона [6].

Требуется найти числа ть ЕЕ {1, 2, . . . } , j = 1,2, . . ., /с, удовлетворяющие условию

и&1 + я&2 + • • • Л- тъ — а,

922

{О, 1, 2, . . . } , / = 1, 2, . . .,max mt — 1, составляющие в сумме а, которые бы минимизировали норму || х* — хк к ||, где хк к есть а-е приближение к точному решению х* уравнения (1), полученное блочным процессом (2), (3) с допустимыми числами mt и v7-.

В качестве меры точности приближения хк к к х*

естественно принять величину правой части априорной оценки погрешности этого приближения. Мы конкретно принимаем, согласно (4),

к

П(г^т.+1)-1

|| х* _ хрк> Ц — 6 = [1 — hxf ( 2 / ^ Г1 N (М TIL (6) С учетом (6) задача А является задачей нелинейного целочисленного программирования с показательной це­

левой функцией и ставит вопрос об оптимальном (в смы­

сле минимизации б) распределении ресурса итераций а между к блоками итераций (2), (3) и ресурса о чисел v⁷- между итерациями в этих блоках.

Заметим, что при о ^> О число искомых переменных в задаче А становится нефиксированным и зависит от неиз­

вестного значения одного из переменных, так что для этого числа можно указать лишь некоторые границы сверху и снизу, определяемые следующими соотношениями.

Если М — максимальное, а т — минимальное число итераций в блоках рассматриваемого процесса, то области изменения этих взаимосвязанных целых чисел, очевидно, таковы:

1<™ <[-£-]. d<M<a —m(&—1),

или (7)

d < M < a —/с + 1, г<

<Г-4

где

1, а — М ( & - 1 ) < 0 , М ( & - 1 ) , а - М ( / с - 1 ) > 0 . Здесь [а/к] — целая часть числа а/к.

Перейдем к решению аппроксимированной, согласно (6), задачи А. Далее используем обозначение М = тах т^и

1<г</с

d = -

- { . .

а числа mt и v7- предполагаем допустимыми в смысле условий:

2i. лЩ = а, 2). vi = а-

ТЕОРЕМА. Решением задачи А — (6) являются числа Vj, / = 1, 2, . . ., М — 1, и ти г = 1, 2, . . ., /с, вида:

а) ^- = 0, / = 1,2, . . . , d — 1, и /^ е {[-£-], d} , если- G = 0;

б) Vj = 2 ' - 1 , / = 1, 2 г, vI+1 = в, v,- = 0, у = 1 + + 2, . . . , d — 1, и тщ £Е | -|- , dl , если 0 < а =

= Sl

(2^ — 1) + в < S ^ (

" — 1)

где 0 < 8 < 2 ^ - 1 ;

в) Vj > 2•' — 1, у — 1, 2, . . . , М — 1, и т{, при кото- рыя ^ > 2п = ( 2П- 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Случаи /с = 1, а > 1, а = /с > 1 тривиальны. Далее считаем а ^> к > 1.

Согласно (6), искомый min б достигается при max J j . (rmi + 1) по всем допустимым числам mt и \j.

Пусть {mt}i —произвольный фиксированный набор допустимых чисел mt (M фиксировано). Из конечного множества различных последовательностей {rs^}*Li, t =

= 1, 2, . . ., ра, вида (5), которые можно построить на основе ресурса а чисел v7-, 7г = 1, 2, . . ,,М — 1, выделим ниже единственную при заданном а последовательность {rfsq)}sLi = W } f , ? e {1, 2, . . ., j9a}, обладающую свой­

ством: rs > r(sf), s = 1, 2, . . ., Af. Понятно, что max П \ ( ^ + 1)

будет достигаться именно на элементах последователь­

ности {rs}i . Если сг = 0, то, очевидно,

v,- = 0, / = 1, 2, . . . , Д Г - 1 , (8) причем

{«ii = Wf = «f • (9)

924

П р и О < а < ^ ( 2n— 1 ) , согласно (5), нужная после- довательность {г8}г , имеющая вид

14 = 1, r^{i + 1} = 2 i + i - l , у = 1 , 2 , . . . , г , г^{г + 2} = 2 ^ + 0Л rm = 2 ' « + 0 + J - ^ - l , / = г + 2 , . . . , М - 1 , )

(10) будет построена, если выбирать v;- = 2j' — 1 до полного расхода ресурса а, а именно:

у, = 2 ' - 1 , 7 = 1,2 г, v/ + 1 = в, Z < d — 2Л v^{j =} 0, ^{j =} l ⁺ 2,...,M-l,l<d-2, f ⁽ >

где 0 < ; 9 •< 2^{! + 1} — 1, а величина I определяется из ра­

венства 2 ( 2^п- 1 ) + 9 = а.

Действительно, если для фиксированного индекса /^1?

I > 7*!, возьмем v7l > 2jl — 1, то величина vJt — 2J i + + 1 > 0 из ресурса а израсходуется без вклада в увели­

чение чисел г$х (см. (5)) и найдется такой индекс /2 > /1?

начиная с которого rj+i <C rj+ 1, / = h-> • • » М — 1, t Ф q. Если же выбрать vj3 << 2^ — 1, /3 <J /, то по край­

ней мере r i + \ < п+1 для j = j& . . ., I, t Ф g, т. е. сущест- вуют внутренние члены последовательностей {7v}^{s = 1}, t Ф q, меньшие соответствующих членов последователь­

ности { ^ ^ ( Ю ) . В то же время добавление величины 2;'« — 1 — vJ3 > 0 к элементам rf+i, / < / < М — 1, t Ф q, не влечет нарушения неравенств r^s^T^s,s^=

= 1, 2 , . . , М , которые сохраняются и при ином, чем в (11), распределении «остатка» 6. Последние утвержде­

ния сразу следуют из представления rsf) = s + 2 Ум s = 2, 3 , . . . , M , при vj < rf\ / - 1, 2 , . . , s - 1, а также в силу потери части ресурса о без увеличения чисел rj+\ при v⁷- > г/^} (см. (5)).

_ d - l

Теперь заметим, что при 0 < ^ б < 2 J (2П— 1), в силу d ^ М (см. (7)), оптимальный, согласно (8), (11), расход ресурса о не связан с величиной М и, следовательно, с конкретным выбором допустимого набора {т^}. Поэтому 925

max тт (гт\-{-1) для любого {тЛ достигается на

< е { 1 , 2>. . . , рв} 1 1 * = 1 г

элементах единственной при заданном а последователь­

ности {r8\}fK+1 вида (9) или (10).

Пусть К есть множество различных допустимых на­

боров {mi}. Обозначим через {m^t*} оптимальный набор, обеспечивающий

,

f* П*_, <r

+ 1) = П * ^ ('•„г + 1 ) , r

<= {r

)r

{ т ^ } е К г~L г~1 тг

(существование такого набора, возможно не единствен­

ного, вытекает из конечности множества К). Покажем, что для любых г, / ЕЕ {1, 2, . . ., к}

\™t* -mj* | < 1 . (12) Предположим противное: пусть существуют фиксирован­

ные индексы i и / такие, что

т\ — т) > 2 (13) (знак модуля без потери общности можно, очевидно,

опустить). Учтем, что vs ^ r8, vs и rs = s + 2 J vn опреде­

ляются (8), (11) и (9), (10) при / < d —2. Имеем

(г * + 1) (г * + 1) = (г . + 1)(г . + 1) + ml - /и,- - 1 +

х rrij+l m^-i s m-j m^

m

mi

+ У1 vn + v *r * —v * r * + v •—v *—2v * . (14)

^•^ * иг»* w - ' - l m j - i ти-* ni: m,- m , - - i

n = r n. J г г J J г i

Пусть vrn*>vm*_1, тогда, в силу (13), из (14), имеем

5 i

(г . + 1)(г * + 1 ) > ( г . + 1)(г . + 1). (15)

W j + i т П | - 1 ^ ?тгу W |

Это означает, что набор {Щ}, получающийся из {т\}

путем замены т* на т* — 1 и т* на га* + 1, в случае (13) обеспечивает неравенство

n L ^ + i j M i L ^ + i).

что противоречит условию оптимальности набора {ml}.

В (14) нужно еще рассмотреть случай vm* <ут* г. При

г—1 i

926

этом, согласно (11), возможно или vw*_i = 0 или

г

v^m* = 2^{m i}~¹— 1 . Если v^m*_^x = 8, то в предположении (13)

г- 1 г

из (14) получаем (15), что снова противоречиво. Пусть

*

теперь vm*_! = 2ТП|~1—1. Если одновременно vm* = Э, то при

г г

(13) из (14) следует (15). Наконец, в случае vm* = 2т{—1

г

в (15) вместо знака > имеет место знак = . Но поскольку тогда т* <^ d— 2, то всегда можно указать такой индекс т, что т\ < т*, т*^х -- т) > 2, и либо v^m* = 0, либо

vm* = О? ч т о обеспечивает противоречивость неравен-

т

ства вида (15) с заменой т\ на т\.

Таким образом, окончательно заключаем, что в опти­

мальном наборе {т\} любые два числа тщ и т) или рав­

ны или отличаются на единицу. Количество меньших элементов обозначим через к — £, 0 <; \ < ; fc, а величи­

ну каждого элемента — через с > 0. Тогда £ остальных элементов будут равны с + 1 и

2 * ^ 7 п 1 = ( Л - 6 ) с + 6 ( с + 1) = А с + Е = а ,

откуда с = (а — £) / к = [а/fc]. Следовательно, #ц е GE {[a/fc], d } . Полагая в (8) и (11) М = d, получаем ут­

верждения а) и б).

Если d = [a/A;], то оптимальный набор единствен:

т\ = [a/fc]. При d = [a/fc] + 1 ( | = a — fc[a/fc] > 0) существует конечное множество таких наборов, каждый из которых содержит к — £ чисел [a/fc] и \ чисел [а/к] + 1 и отличается перестановкой индексов у элементов.

Аналогично (11) устанавливается, что при a >

S

П = 1

любое из чисел V;, / = 1, 2, . . ., М — 1 вносило максимально возможный вклад в образование чисел г,-⁺¹ = П^{+ 1}= 2^{, + 1}— 1 , / = 1 , 2 , . . , М — 1, т. е. следует выбирать v, >

> 2^J — 1. «Избыток» ресурса a — ^ _ (2^rl — 1) > 0 в рас­

сматриваемых условиях распределяется произвольно.

Далее, если a > 2 J (2ⁿ — 1), то всегда существуют числа

927

к

ть i — 1, 2 , . . .Д% при которых произведение [[._ (гт{ + + 1 ) принимает абсолютно максимальное значение 2^а.

(2^п—1) числа miEE

n=i

€E{[a/k]f d) (и только они) дают (здесь М = d): {] (rmi -f- + 1) = П^{| = = 2} * = ^{2 i = 1} = 2^а- Вообще, если допусти-

(271— 1), то

n = i х

Ц.__ (rmi + 1)— 2а и, следовательно, эти числа образу­

ют оптимальный набор. Получили утверждения в). Тео­

рема доказана.

В частном случае о — О, Q CZ R устанавливаемый теоремой результат соответствует одному результату из [4].

Доказанная теорема дает пример решения задачи не­

линейного целочисленного программирования с нефикси­

рованным числом неизвестных. Этот факт позволяет надеяться на успех при решении аналогичной задачи опти­

мизации процесса (2), (3) с учетом вычислительных за­

трат [5].

Иркутский государственный Поступило педагогический институт 16.1.1975

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Б а х в а л о в Н. С , Об оптимальных методах решения задач, Apl. Mat. Ceskoslovenska Akademie Ved, 13 (1968), 27—38.

[2] И в а н о в В. В., Обзор достижений в области кибернетики и вычислительной техники, Сб. Вопросы точности и эффективно­

сти вычислительных алгоритмов, Киев, Изд-во ИК АН УССР,

№ 2, 1969, 4-133.

[3] В е р т г е й м Б. А., Приближенное решение нелинейных урав­

нений как управляемый процесс, Докл. АН СССР, 194, № 1 (1970), 16-20.

[4] В е р т г е й м Б. А., Оптимальное чередование основного и модифицированного процессов Ньютона — Канторовича, Сб.

Оптимальное планирование, Новосибирск, Изд-во ИМ СО АН СССР, № 17, 1970, 10—31.

[5] Б е л ь т ю к о в Б. А., В о л о к и т и н С. С , Блочные мо­

дификации возмущенного метода Эйткена — Стеффенсена, Ж.

вычисл. матем. и матем. физ., 13, № 6 (1973), 1390—1401.

[6] К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., Физматгиз, 1959.