О. Л. Карелова, М. А. Банько, Применение марковских цепей для прогнозиро- вания демографической ситуации в мире, Матем. моделирование, 2006, том 18, номер 2, 43–50

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

О. Л. Карелова, М. А. Банько, Применение марковских цепей для прогнозиро- вания демографической ситуации в мире, Матем. моделирование, 2006, том 18, номер 2, 43–50

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:55:22

(2)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2006г., том 18, номер 2, стр. 43-50



ПРИМЕНЕНИЕ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИ В МИРЕ

 О.Л. Карелова, М.А. Банько

Российский государственный социальный университет, г. Москва Ставропольский институт управления, г. Ставрополь

Представлена марковская модель прогнозирования численности населения. Проведен расчет и по- казаны кривые зависимости демографической ситуации по группам стран мира с перспективой на 100 лет.

APPLICATION OF MARKOV CIRCUITS FOR PREDICTION OF THE DEMOGRAPHIC SITUATION IN THE WORLD O.L.Karelova, M.A.Banko

Russian State Social University, Moscow Stavropol Institute of Management, Stavropol

The Markov model of prediction of a population is submitted. Calculation is lead and curve associations of a demographic situation on groups of the countries of the world with prospect for 100 years are shown.

Введение

Математическое моделирование является одним из основных методов изучения демо- графических процессов. Применение математических моделей способствует более глубокому познанию закономерностей их развития, проверке научных гипотез. Одним из условий прове- дения эффективной социально-экономической политики является возможность достоверного прогнозирования численности населении и выявление динамики ее изменения.

При построении демографических моделей используются различные математические ме- тоды. Наиболее широкое распространение получили регрессионный анализ, марковские и ими- тационные модели.

1. Марковские модели прогнозирования численности населения

Марковские модели, преимущественно в форме цепей Маркова, рассматривают демогра- фические процессы как стационарные стохастические процессы. Изменение численности насе- ления зависит от показателей рождаемости, смертности и миграции. Совокупность вероятно- стей переходов этих показателей из одного состояния в другое можно записать в виде матрицы переходных вероятностей. Элементы матрицы переходных вероятностей Π должны удовле- творять следующим условиям [1]:

все элементы должны быть неотрицательны, то есть π ≥_ij 0,

сумма элементов каждого столбца должна равняться единице, то есть _ij 1.

i

∑

π =

Если исследуемый стационарный случайный процесс является эргодическим, то пре- дельные вероятности состояний не зависят от начальных условий и последовательные во вре- мени значения вероятностей группируются вблизи среднего значения, отражающего своего ро- да состояние статистического равновесия системы. В этом случае отклонения отдельных значе-

(3)

44 О.Л. Карелова, М.А. Банько ний элементов матрицы вероятностей взаимно уравновешиваются, поэтому миграционные

движения внутри системы будут носить компенсационный характер [1]. Использование цепей Маркова обосновано в тех случаях, когда миграции образуют замкнутую систему, а вероятно- сти миграций существенно не меняются во времени.

Модель эволюции биологических популяций, описанная уравнением Мальтуса, основана на предположении, что численность популяции в момент начала исследования X и абсолютная скорость dX/dt изменения численности во времени t пропорциональны:

dX ,

dt = αX (1)

где α – биотический потенциал населения (способность к увеличению численности населения за данный промежуток времени), который можно трактовать как разность коэффициентов рож- даемости и смертности.

Для дискретного времени используется разностный аналог уравнения Мальтуса

1 ,

n n

Х ₊ = αX ^{1000 (} ⁾,

1000

p c

K K

+ −

α = (2)

где Kc – коэффициент смертности (ежегодное число смертей на 1000 населения),

Kp – коэффициент рождаемости (ежегодное число родившихся детей на 1000 населения).

Демографические процессы в различных странах носят явно выраженный случайный ха- рактер, поэтому уравнение Мальтуса будет точнее описывать численность населения, если считать коэффициент α зависящим от случайного процесса. Этот процесс можно рассматривать как марковский процесс, полумарковский процесс, или какой-либо другой случайный процесс.

Рождаемость, смертность и миграционный прирост населения случайны по своей приро- де и не зависят непосредственно от того, сколько людей родилось или умерло в предыдущем году. Поэтому можно считать, что рождаемость и смертность носят случайный характер и не зависят от своей предыстории [2]. Количество смертей и рождений являются конкретными цифрами в каждом году, то есть мы можем считать, что случайные величины рождаемости и смертности будут принимать некоторое конечное число состояний. Исходя из этой предпосыл- ки, коэффициент α будем считать зависящим от конечнозначной марковской цепи.

Таким образом, коэффициент α в модели (2) зависит от случайного процесса, а, следова- тельно, и решение этого уравнения является случайным. Исследование случайных процессов, как правило, сводится к исследованию поведения числовых характеристик этих процессов (ма- тематическое ожидание, дисперсия, асимметрия, эксцесс и др.). Поскольку мы исследуем дина- мику численности населения, то ограничимся рассмотрением первых моментов (математиче- ских ожиданий) решения уравнения (2) при ограниченности дисперсий. Разностное уравнение для частных первых моментов решения уравнения (2) имеет вид [3]

3 1

( 1) ( ),

j js s s

s

M h a M h

=

+ =

∑

π ³

1

( ) _s( ),

s

M h M h

=

∑

⁽j=^{1, 2, 3;} h=0, 1, 2, ...), (3)

где ( ) ( , )

m

s s

E

M h =

∫

Xf h X dX − частные моменты первого порядка,

h – шаг изменения времени (в данном случае 1 год), π_js – элементы матрицы переходных вероятностей,

α_s – коэффициенты уравнения Мальтуса (2) для случаев максимальной, средней и мини- мальной рождаемости и смертности.

Уравнение (3) может быть использовано при компьютерном моделировании демографи- ческих процессов. Для этого необходимо составить матрицу переходных вероятностей, которая характеризует распределение марковских величин Kc,Kp. Разброс этих показателей в последние годы незначителен, поэтому при построении матрицы переходных вероятностей можно ограни-

(4)

читься только крайними и средними значениями характеристик Kc и Kp, и считать, что система имеет только эти два крайних и среднее состояния. Возьмем в качестве значений показатели ко- эффициентов Kc и Kp, рассчитанные Всемирным Банком.

Таким образом, рассматривается марковская цепь с тремя состояниями и стохастической матрицей переходных вероятностей

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

π π π

 

 

Π = π π π 

π π π 

 

(4)

которая меняется в зависимости от рассматриваемой группы стран.

2. Прогнозирование изменения численности населения мира

Составим прогноз изменения численности населения мира вообще и, в частности, по ре- гионам (см.рис.1-7), используя уравнение Мальтуса (2) и учитывая, что коэффициент α этого уравнения зависит от марковского конечнозначного процесса.

В соответствии с данными Всемирного Банка, страны мира объединены в регионы, пред- ставленные в табл.1.

Т а б л и ц а 1.

Регионы мира в соответствии с данными Всемирного Банка

№ Регион Группа стран мира 1 Восточная Азия и

Тихий океан

Малайзия, Филиппины, Камбоджа, Китай, Монголия, Таиланд, Индоне- зия, Мьянма, Корея, Лаос, Папуа Новая Гвинея, Вьетнам

2 Европа и Средняя Азия

Албания, Венгрия, Сербия и Черногория, Армения, Казахстан, Словацкая Республика, Азербайджан, Киргизская Республика, Таджикистан, Бело- руссия, Латвия, Турция, Босния и Герцеговина, Литва, Туркмения, Болга- рия, Македония, Украина, Хорватия, Молдова, Узбекистан, Чешская рес- публика, Польша, Эстония, Румыния, Грузия, Российская Федерация 3

Латинская Америка и страны Карибского моря

Доминиканская Республика, Панама, Аргентина, Эквадор, Парагвай, Сальвадор, Перу, Боливия, Гватемала, Бразилия, Чили, Гаити, Колумбия, Гондурас, Тринидад и Тобаго, Коста-Рика, Ямайка, Уругвай, Куба, Мек- сика, Венесуэла, Никарагуа

4 Ближний Восток и Северная Африка

Алжир, Иордания, Саудовская Аравия, Ливан, сирийская арабская Рес- публика, Египет, Ливия, Тунис, Иран,, Марокко, Западный Берег и Сек- тор Газа, Ирак, Оман, Йемен

5 Южная Азия Афганистан, Индия, Пакистан, Бангладеш, Шри-Ланка, Непал

6 Африка района Са- хары

Ангола, Габон, Нигер, Бенин, Гамбия, Нигерия, Ботсвана, Гана, Руанда, Буркина-Фасо, Гвинея, Бурунди, Гвинея-Бисау, Сенегал, Камерун, Кения, Лесото, Сьерра-Леоне, Центральноафриканская Республика, Либерия, Сомали, Чад, Мадагаскар, Южная Африка, Малави, Судан, Конго, Мали, Свазиленд, Конго, Мавритания, Танзания, Кот-д'Ивуар, Маврикий, Того, Уганда, Эритрея, Мозамбик, Замбия, Эфиопия, Намибия, Зимбабве

Примем за начальный момент времени 2000 год. Для каждого региона определим наи- меньший, средний и наибольший показатели рождаемости и смертности, а также общую чис- ленность населения в начальный момент.

Составим матрицу переходных вероятностей Π следующим образом. Выделим по три группы стран в соответствии с коэффициентами рождаемости и смертности (высокая, средняя и низкая). Получим матрицу A размерности 3х3, элементами которой являются числа, равные ко- личеству стран, попадающих в одну группу по уровню рождаемости и смертности. Таким обра- зом, элементу a11 соответствуют страны с высоким показателем рождаемости и высоким пока- зателем смертности, a12 – с высоким показателем рождаемости и средним показателем смертно-

(5)

46 О.Л. Карелова, М.А. Банько сти, a33 – с низким показателем рождаемости и низким показателем смертности. Матрицу пере-

ходных вероятностей Π получим путем нормировки матрицы A по столбцам и учитывая соот- ношение _ij 1.

i

∑

π =

Для численного моделирования и графического отображения результатов использован пакет Microsoft Excel.

2.1. Восточная Азия и Тихий океан.

Коэффициент рождае- мости, ^о/оо

Коэффициент смерт- ности,^о/оо

максимальный 37 13

средний 17 8

минимальный 15 4

Матрица переходных вероятностей

0.4 0 0

0.3 0.75 0.75 . 0.3 0.25 0.25

 

 

Π =  

 

 

Численность населения в 2000 году – 1805,83 млн. человек.

Восточная Азия и Tихий океан

1500 2500 3500 4500 5500

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

годы начала третьего тысячилетия

млн. человек

Рис.1. Моделирование динамики изменения численности населения стран Восточной Азии и Тихого океана

Таким образом, разница между прогнозными значениями и фактическими данными в 2002 г.

составила около 0,85%. Это говорит о надежности и адекватности модели и возможности ее ис- пользования для дальнейших прогнозов.

2.2. Европа и Средняя Азия.

средний 12 11

Матрица переходных вероятностей 0.1 0 0.7

0.1 0.3 0.2 . 0.8 0.7 0.1

 

 

Π =  

 

 

(6)

Европа и Средняя Азия

400 500 600 700 800

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Рис.2. Моделирование динамики изменения численности населения стран Европы и Средней Азии

Разница между прогнозными значениями и фактическими данными в 2002 г. составила около 1,12%. Высокий процент расхождения объясняется, на наш взгляд, высоким уровнем миграции в страны Европы.

2.3. Латинская Америка и страны Карибского моря.

Коэффициент рождае- мости, ^о/_оо

Коэффициент смерт- ности,^о/_оо

средний 24 7

Матрица переходных вероятностей 0.8 0.1 0.2

0.1 0.6 0.7 . 0.1 0.3 0.1

 

 

Π =  

 

 

Латинская Америка и Карибское море

500 1000 1500 2000 2500

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Рис.3. Моделирование динамики изменения численности населения Латинской Америки и стран Карибского моря

Разница между прогнозными значениями и фактическими данными в 2002 г. составила около 0,27%.

(7)

48 О.Л. Карелова, М.А. Банько 2.4. Ближний Восток и Северная Африка.

средний 26 6

Матрица переходных вероятностей 0.5 0 0.28

0.5 0.67 0.72 . 0 0.33 0

 

 

Π =  

 

 

Ближний Восток и Северная Африка

200 700 1200 1700 2200

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Рис.4. Моделирование динамики изменения численности населения стран Ближнего Востока и Северной Африки

2.5. Южная Азия.

Матрица переходных вероятностей

















= Π

98 . 0 01 . 0 1 . 0

01 . 0 98 . 0 1 . 0

01 . 0 01 . 0 8 . 0

.

Численность населения в 2000 году – 1354 млн. человек.

(8)

Южная Азия

1000 2500 4000 5500 7000

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Рис.5. Моделирование динамики изменения численности населения стран Южной Азии

2.6. Африка района Сахары.

Коэффициент рож- даемости, ^о/оо

Коэффициент смертности,^о/оо

Матрица переходных вероятностей 0.4 0.3 0

0.5 0.6 0.75 . 0.1 0.1 0.25

 

 

Π =  

 

 

Африка района Сахары

0 2000 4000 6000 8000

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Рис.6. Моделирование динамики изменения численности населения стран Африки рай- она Сахары

На рис.7 представлены результаты численного моделирования динамики изменения чис- ленности населения с применением марковских цепей.

(9)

50 О.Л. Карелова, М.А. Банько

Совместный график по группам стран

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 годы начала третьего тысячилетия

Европа и Средняя Азия

Ближний Восток и Северная Африка Восточная Азия и Tихий океан

Латинская Америка и Карибское море Южная Азия

Африка района Сахары

Рис.7. Моделирование динамики изменения численности населения по группам стран мира.

Таким образом, получены кривые зависимости демографической ситуации по группам стран мира с перспективой на 100 лет до 2101 года.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ягельский М. География населения. – М.: 1980, с.312 – 315.

2. Горелов В.И., Соловьев И.А. Моделирование миграционной ситуации на Северном Кавказе // Тезисы международной научной конференции «Проблемы миграции и опыт ее регулирования в полиэтничном Кавказском регионе». – Москва-Ставрополь: 2003, с. 80-85.

3. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициен- тами. – М.: Изд-во РУДН, 1996, 258 с.

Поступила в редакцию05.07.05