Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. Д. Коваленко, Об одном свойстве биортогональных разложений по од- нородным решениям, Докл. РАН, 1997, том 352, номер 2, 193–195
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 19:10:40
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 1997, том 352, № 2, с. 193-195
- МЕХАНИКА = = = = = = = = = = =
УДК 539.3
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ БИОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО ОДНОРОДНЫМ РЕШЕНИЯМ
© 1 9 9 7 г. М. Д. Коваленко
Представлено академиком Е.А. Федосовым 05.10.95 г.
Поступило 24.10.95 г.
Рассмотрим симметричное загружение полу
полосы { x > 0 , | j | < l } c однородными граничными условиями по продольным сторонам ау(х, ±1) =
= Tj,, (x, ±1) = 0 и заданными на торце самоуравно
вешенными нормальными напряжениями öx(0, у) =
= о(у) и касательными %ху(0, у) = х(у).
Методом разделения переменных решение рас
сматриваемой краевой задачи приводится к извест
ной проблеме [1] об одновременном (т.е. с одним на
бором коэффициентов) разложении двух заданных на торце полуполосы функций в ряды
а(у) = ^2Ке(акХкак(у)),
*=! (1)
т(у) = ;£2Re(aA4()0)
* = 1
по однородным решениям"
GjtM = (sinA^.-AiCOsA^cosA^- - Хку sm7iksinXky,
хк(у) = cosAj.sinAj.y-у sin A^cosA^y
с неизвестными коэффициентами ак(к > 1). Числа {±АЬ ±Хк}к = 1 = Л - все комплексные нули целой функции L(A) = А + sin A cos А.
В статье [2] при помощи предложенного там ме
тода биортогональных разложений получены яв
ные формулы для коэффициентов разложений (1), названных биортогональными. Однако вычисле
ние коэффициентов ак по этим формулам пред
ставляет определенные трудности.
В этой заметке показывается, как можно эти трудности преодолеть. Кроме того, в данной ра
боте, в сравнении с упомянутой статьей [2], уда
лось упростить методологию метода биортого
нальных разложений.
Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем, Москва
Нижеследующие выкладки, относящиеся к функциямGk(y), сохраняются и для функций хк(у).
Функции
1
о
к((0) =-jS^p-dy, (o = x + iy, к>\, (2)
- î
назовем расширениями Коши (по виду интеграла типа Коши) функций ак(у). Они аналитичны и од
нозначны в комплексной плоскости С(ю), разрезан
ной по отрезку мнимой оси {Г : х = 0, \у\ < 1}, а их скачки на интервале Г равны ak(iy + 0) - ak(iy - 0) =
= 2710*о>).
Система однородных решений {а*(у)}Г=1 н е
минимальна на интервале Г, однако система ее рас
ширений Коши (2) (как показано в [2]) полна и ми
нимальна на некотором контуре S, лежащем в ком
плексной плоскости С(оо) и охватывающем разрез Т, составленный из отрезка Г и луча {Z : у = 0, х < 0}.
В качестве контура S выберем (несколько иной, чем в [2]) контур, образованный (е > 0):
а) прямой {iy + е, \у\ < °°}, проходимой снизу вверх; б) углом, составленным из лучей {х + Ю, х < -£} и {iy - г, у > 0}, проходимым против часо
вой стрелки; углом, составленным из лучей {х - Ю, х < - е } и [iy - г, у < 0} и проходимым также про
тив часовой стрелки.
Согласно [2], существует единственная систе
ма функций {\pv(a>j}~=1 аналитических и одно
значных в области С(со)/Г, биортогональных к расширениям Коши однородных решений
{ок(у) }Г= 1 • Эти функции находятся из уравнений
1 г
—.J о(А, a>)Yv(a>)dœ = s
= \
Х]
Ш2 2=RM, v>i, (3)
(A -AV2)(A2-Av) 4 ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 352 № 2 1997
194 КОВАЛЕНКО здесь G(A, œ) - расширение Коши порождающей тегралов от скачков этих функций на разрезе Т.
функции а(А, у). Например, Введем скачки функций \|/v(co) на разрезе Г по !
формулам \рк(Х) = jyk(y)eiXydy +
¥v(y) = 2^1im{\|rv(i> + e ) - V v O > - e ) } , о
\ ^ W •+ \yk(x)ECk,x)dx, к>\, (7)
¥ v W = 2^.{'Vv(* + » ' 0 ) - ¥ v ( ^ - i O ) } , v > l . ^
Из результатов статьи [2] следует, что функции (4) где Е(к, х) - расширение Коши функции — е'Ху. вещественны и суммируемы с квадратами на своих
носителях. Переходя в (3) к пределу при е -> 0, Рассмотрим выражение для функций Ч^А) по- получим дробнее [2]:
\o(X,y)Wv(y)dy+ ^1ПК[(ПК)2-Х2]
о ^ i rk(nn)]n[l - А {п%) ]sinA
+ \a(X,x)yv(x)dx = Rv(l), v > l , (5) X ~ *>
d 2 W
л ^ „ j , /л ч ^(A) = -£г[А Я^(А)], £ > 1 . где 0(À, x) - расширение Коши функции а(А, у) на а А
ЛУЧ '• Ряды (8) равномерно сходятся, причем образа- Отсюда при А = Хк получаем следующие, более ми Фурье сумм первого ряда являются финитные простые и естественные, чем в статье [2], соотно- функции с носителями на Г [2]
шения биортогональности: j sk(y) = ~-ZT x
" •. 2(A2-Â*)
\<Sk(y)Vy(y)dy+ \ ok(x)\\fv(x)dx =
^ j XkCOsXky XkCOsXky\ , > 1 /m
Atc o s \ ; l s i n^ sinÂ, j
yVjt = 7-, к = v,
Ck2 - Ä ") ^ ^c e с л а г а е м ы е второго ряда (8), как легко ви-
* * деть, равны нулю при А = ±пп (п> 1) и, следова
ло, к * v . . тельно, Интересно отметить, что, согласно равенст- ,. ±.
вам (6), продолжение функций не минимальной х^к(-пК) = j sk(y)e dy, k,n>l. (10) на интервале Г системы {ак(у) } ^= 1 до минималь- -1
ной производится на луч I, перпендикулярный Г. Э т о обстоятельство имеет важное значение Способом такого продолжения служит расшире- ПРИ практической реализации метода биортого- ние Коши (2) нальных разложений, согласно которому коэф
фициенты ак для любого номера к > 1 находятся Следующее утверждение, но в другой форме, п о формулам [2]
имеется в [2].
У т в е р ж д е н и е 1. Система функций {ак(у), а _ ак^к- 1к
<7<:(Х)}Г=1 полна и минимальна в L2(T). At(À*-Afc)Wt
Отсюда получаем г д е ч и с л а
У т в е р ж д е н и е 2. Биортогональная cue- r ° тема функций {¥v(j), X|/V(x)}7=1 полна и мини- а* = )o(y)Vk(y)dy + j o{x)vk(x)dx,
малъна в L2(J). _1 -°° . (\2)
Введенное в статье [2] обобщенное преобразо- 1
сведенное в статье |^J оооощенное иреооразо- _ [ / \ u Г
вание Бореля биортогональных функций также т* = J тО')ф*()0чУ + J t(x)q>k(x)dx, можно представить в виде соответствующих ин- _i
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 352 № 2 1997
О Б О Д Н О М С В О Й С Т В Е Б И О Р Т О Г О Н А Л Ь Н Ы Х Р А З Л О Ж Е Н И И 195
{ф*(у)> 9*0*0 )Г=1 ~ система функций, биортого
нальных к системе [ik(y), тк(х)}к = 1 в смысле ра
венств, получаемых из (6) соответствующей за
меной функций; с(х), т(х) - расширения Коши функций 0(у), %{у) на луч /.
Основная трудность при определении коэф
фициентов ак по формулам (11) заключается в вычислении интегралов (12), так как явный вид функций \|/v(y), \{/V(JC), фу(у), фУС*0 весьма сложен (об этом можно судить по виду их обобщенных преобразований Бореля, например, (8)).
Формулы (12) для чисел ök можно существенно упростить, если воспользоваться свойством (10).
С этой целью функцию о(у) е L2(-l, 1) пред
ставим в виде ряда
и = 1
Тогда ее расширение Коши на луч / равно
о(х) = V апЕ(пп, х)
п = 1
и, следовательно, согласно формулам (7), (10), для чисел ок (12) в этом случае получаем следую
щие выражения, которые обозначим через sk:
~ г1 шж ° л
sk = Ха» | j^k(y)e'nnydy+ jyk(x)E(nn,x)dx\ =
И = 1 L i _oo J
1
= ^апЧ*к(пп) = \o(y)sk(y)dy, k>\. (13)
Аналогично для чисел %к, переобозначив их че
рез tk, получим
h = J4y)h(y)dy, к>\.
(14)Финитные функции tk(y) с носителями на Г имеют вид
h(y) = dsk(y) dy
- 1
2(kl
•Xk) - 2x
x XksinXky Xksmkky]
sin?u sinXjfc (15) Итак, для коэффициентов биортогональных разложений (1) вместо формул (11), (12) получа
ем следующие:
аъ =
Sifik
Xk(Xk-Xk)Nk
к>1.
(16)л = 1
Практическая значимость формул (16) оче
видна, так как определение коэффициентов ак по этим формулам связано с вычислением по суще
ству тех же интегралов, что и в известных реше
ниях Файлона и Рибьера.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова
ний (проект № 94-01-01561а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье AM. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.
2. Коваленко M Д. // ПММ. 1991. Т. 55. В. 6. С. 956- 963.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 352 № 2 1997 4*
