А. В. Кравцов, Асимптотическое решение задачи о свободных колебаниях вяз- кой стратифицированной жидкости, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998, том 38, номер 5, 807–812

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. В. Кравцов, Асимптотическое решение задачи о свободных колебаниях вяз- кой стратифицированной жидкости, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998, том 38, номер 5, 807–812

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 23:29:02

УДК 517.958:531.327

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ З А Д А Ч И О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

¹

*

©1998г. А.В.Кравцов

(119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, физфак)

Поступила в редакцию 22.11.96 г.

Рассматривается линейная задача о двумерных свободных колебаниях вязкой экспоненциаль­

но стратифицированной жидкости в замкнутом сосуде. В предположении малой вязкости строится асимптотическое решение при использовании метода пограничных функций теории сингулярных возмущений. Получены в явном виде нулевое и первое приближение.

Свободные колебания вязкой однородной жидкости в сосуде произвольной ф о р м ы исследо­

вались в [1]. Аналогичная задача для двухслойной жидкости изучалась в [2]. В [3] рассматрива­

лись свободные колебания вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости. П р и совме­

стном использовании идей методов усреднения и пограничных функций получено в явном виде нулевое приближение.

1. П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И

Пусть некоторый замкнутый сосуд, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, пол­

ностью заполнен вязкой экспоненциально стратифицированной несжимаемой тяжелой жидкос­

тью. Рассматривая двумерные движения такой жидкости, введем декартову систему координат xz с осями, параллельными стенкам сосуда. Считаем, что жидкость стратифицирована вдоль оси z. Система уравнений, описывающая двумерные бесконечно малые движения рассматриваемой жидкости, и граничные условия имеют вид

Р О Э У / Э Г = - V / ? - e²p g + p⁰v A v , (1.1)

divv = 0, др/dt = C 0⁰p o V^z/ g , v |^r = О,

где v - вектор скорости частиц жидкости, р и р - возмущения, соответственно, давления и плот­

ности, вызванные движением жидкости, р⁰ = Aexp(-(3z) - стационарная плотность, g - ускорение силы тяжести, v = const - кинематическая вязкость жидкости, e^z- орт оси z, со⁰ = [3g - квадрат частоты В е й с я л я - Б р е н т а (см. [4]), D - область, занятая жидкостью, Г - твердая граница области D.

С помощью функции тока U, определяемой соотношениями v^x = dU/dz, v^z = -dU/дх, в (1.1) ис­

ключаем р и р . Переходя к безразмерным переменным и сохраняя у всех безразмерных величин прежние обозначения, получаем задачу для функции тока U

• • • ' • -

Э ² Л „ adU\ 2дГ^А2^{ТТ а А} ( д и \ \ 2d²U А

= о,

где г² = v/(d^x щ), d^x - характерный размер области Д C0j - наименьшая собственная частота к о ­ лебаний идеальной стратифицированной жидкости, п - внутренняя нормаль к границе Г.

Представим функцию U в виде

U(x,z,t) = W(x, z)txp(iXt).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код 96-01-00337).

on

8.07

808 КРАВЦОВ

Л dz J. + с о⁰-^т = 0, (1.2)

OX

] W\^r = 0, dW/dn\^r = 0. (1.3)

Необходимо найти такие значения параметра X (собственные частоты), при которых сущест­

вует нетривиальное решение задачи (1.2), (1.3)ш само это решение.

Далее будем считать, что вязкость v жидкости мала, т.е. е <^ 1.

2. А Л Г О Р И Т М П О С Т Р О Е Н И Я А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Г О Р А З Л О Ж Е Н И Я . Н У Л Е В О Е П Р И Б Л И Ж Е Н И Е

Задача (1.2), (1.3) является сингулярно возмущенной, так как содержит малый параметр £ при старшей производной [5]. Асимптотику собственной функции W ищем в виде

4

W = и+^П^{1\ и = и⁰ + ги^{ + г²и²+ (2.1)

n

^{( , ) s}

e n | '

⁾

+ e

²

nf +..., n f =

n f ( & , z ) , i= 1,2, к =1,2,.:., П^{а )} = Е П |^{л +} е²П ^ + . . . , П <^л = ri^kJ\x,4j), j = 3,4, к

=1,2,....

Здесь и - регулярная часть асимптотического разложения, а П^{( / )}, / = 1, 2, 3 , 4 , - п о г р а н с л о й н ы е части, существенные лишь вблизи с т о р о н х - 0 } х = a , z = 0, z-hпрямоугольникаD соответствен­

но; ^ = JC/£, £² = (^а ~ ^х)/£г % = г/£, Т|4 = (h - z)/£ у "растянутые" переменные.

Асимптотику собственного значения Я, ищем в виде

X = Х⁰ + гХ^]+е²Х² + ... (2.2)

Потребуем, ч т о б ы погранслойные функции удовлетворяли соотношениям

П^{( 0} — 0 при ^ — оо, / = 1,2; П^{( 7 )} — 0 при

л, — ~>

j = 3 , 4 . (2.3) Подставив разложения (2.1), (2.2) в уравнение (1.2), получим отдельно уравнения для регуляр­

ных и погранслойных членов. Подставив разложения (2.1) в граничные условия (1.3), получим соотношения, связывающие погранслойные и регулярные части. Сравнив в этих уравнениях ве­

личины одного порядка по £, получим цепочку краевых задач, из которых находятся последова­

тельные приближения решения задачи (1.2), (1.3).

Полагая £ = 0 в уравнении (1.2) и рассматривая первое граничное условие (1.3) с точностью 0(1)j для регулярной функции щ получаем задачу

- ^ Д ^ о - Р ^ + с О о ^ = 0, и⁰\^г = 0. (2.4)

С п о м о щ ь ю замены щ = Qexp(pz/2)w⁰(x, ^z) ( С⁰ - произвольная постоянная) сведем задачу (2.4) к более простой

if ^А р² V 2Э²УУ⁰

- ^ A w⁰- ^ w ⁰J ⁺ ^^{0 z}—^и = 0, w⁰|^r = 0. (2.5) Задача (2.5) будет иметь нетривиальное решение, если X^Q и w⁰ - соответственно, ее собствен­

ное значение и собственная функция, которые можно легко получить методом разделения пере­

менных. Эти величины имеют вид ^!

\ . (кпх\ . (nmz\

w⁰(x,z) = s i n ^ — j s m ^ — j ,

л nn

0 = Ю

°1Г

1/2 nh\² (%m\ B²

n = 1, 2 . . . , m = 1, 2 . . . .

Ж У Р Н А Л ВЬГЧИСЛИТЕЛЬНОЙ М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 5 1998

Для искомой функции W получим задачу

Функция й0 = C0exp(pz/2)vv0(x, z)Re[exp(/?i00i описывает собственные колебания идеальной экспоненциально стратифицированной жидкости, имеющие постоянную амплитуду С⁰ и равно­

мерно изменяющуюся во времени фазу X⁰t.

Рассматривая уравнение (1.2) вблизи стороны х = 0 с точностью 0 ( е- 1) и второе граничное ус­

ловие (1.3) при х = 0 с точностью 0 ( 1 ) , с учетом (2.3) получаем Т Т Т О ) / ² 1 ²МГТ(¹) "\ ^{0 А А}1 п

эп

^{Э§1 (1) ЭиЭх 0}

(2.6)

х = 0

, п!

⁰

—0 при — ^ о о .

Решение задачи (2.6) имеет вид

П( 1 ) = (1 +£)Эи0

2а дх А н а л о г и ч н ы м образом получаем

. е х р [ ( / - 1 ) а ^ ] , а =

jt = 0 V

2 ^Л 2^V 1/2 С 00- Л0

2А,П

(2) _ (1 +i)du⁰ П Г = -

2 а Эх е х р [ ( / - 1 ) а у .

Рассматривая уравнение (1.2) вблизи стороны z - 0 с точностью 0 ( е- 1) и второе граничное ус­

ловие (1.3) при z = Ос точностью 0 ( 1 ) , с учетом (2.3) получаем

^ 2ⁿ( 3 ) .

г т т <³> - 1²г т <³> _ 1 - л ^d; .^AAi • л

L^l^x = AoHj + IKQ — = О, Элз

ЭП (3) Элз Л³ = 0

ди0

~~э7

(2.7) , П |^{3 )}— с 0 при Лз —

z = 0

Решение задачи (2.7) имеет вид

ri

³⁾

=

^{(1 -i)du0}

1 2 а dz А н а л о г и ч н ы м образом получаем

е х р [ - ( 1

+i)or\

³

],

с = - .

г = о 4 2

„ ( 4 ) _ (1 -рЭИр'

г = А

е х р [ - ( 1 + 0 с я 1⁴] .

3. П Е Р В О Е П Р И Б Л И Ж Е Н И Е

Получим ф о р м у л ы для коэффициента затухания и поправки к частоте собственных колеба­

ний идеальной стратифицированной жидкости.

З а д а ч а для функции wx = и, ехр(-(Зг/2) имеет вид:

,2

(l + i)dw⁰

x = 0

l | z = 0

• ( 1 - 1 ) 9

" 0 2 a 3z _{z =} 0

где

_ , / ч i n

0 +

0 ^ 0

- * i \ i ^ (1 - 0Э н ,о

7 2 (nn\2 (nm\2

z = h

(3.1)

(3.2)

Ж У Р Н А Л ВЫЧИСЛРГГЕЛЬНОЙ М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 5 1998

810 КРАВЦОВ

Так как ^⁰ - собственное значение оператора L, т о решение задачи существует не всегда, а ес­

ли существует, т о неединственно. Условие разрешимости задачи (3.1), (3.2), которое позволяет найти Х^ь имеет вид

d²w^{ Э²и>(Л

С0⁰ | 11 ^{W0 - - W}

D дх ох

dS + Xljw^dl^ -2Х^[к^{2пт +} £)jj^w20dS, _(3.3) где п - внешняя нормаль к области D.

Интегрируя (3.3) по частям и подставляя значения w^x на Г из (3.2), после несложных преобра­

зований получаем выражение для Х^х:

_ vX С?

г ^{2Х2Х0 0}

И 1 И 1 ₁

^Кт) ^I

a h

I = jj(Vw⁰fdxdz = k^{2 n}J ^ .

0 0

И з (3.4) следует, что Re(i^¹) < 0. Отсюда при достаточно малых е следует неравенство Re(iX) < 0, ч т о соответствует затухающему характеру колебаний вязкости жидкости. Н о

ba{ik

^x

)

является знакопеременной величиной. Возвращаясь к размерным переменным, для к о э ф ф и ц и ­ ента затухания (X и поправки Дсо к собственной частоте получаем следующие выражения:

2 , ч 1 « г , . . 2 , 2 , 1 / 2 ,

.2 ( v у^{/ 2}[ ( ю⁰- ^⁰) Л + У ² ] ( 4 * 1 + р²) /

2 ( v у^д[ ( а ) о - ^ ) '^й/ , - У²]

2 г»2^ч w

(4С

^{+ Р ) /}

Найдем решение задачи (3.1), (3.2). Для этого сделаем замену

i= ¹

a a n n Подставляя w^{ в уравнение (3.1) и граничные условия (3.2), для функции w^x получаем задачу с однородными граничными условиями

~ \ , ' (3.5) (3.6) М о ж н о показать, ч т о при А,,, определяемом соотношением (3.4), задача (3.5), (3.6) т а к ж е яв­

ляется разрешимой, т.е.

2 4

wi | r ⁼ °-

JJ

Fw.dS = 0.

Е е решение ищем в виде

it,/

(it, /) 5* (n, m), Q - произвольная постоянная.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 5 1998

Для нахождения коэффициентов разложения А^{к 1}, умножим уравнение (3.5) на w^u и проинтег­

рируем полученное соотношение по области D . После несложных вычислений получим

if кку ¹

\ i = F^kA К fnk\^l fnl\² В²1

Fkl = jJFwkldS = FW + Fff, D

(1

) " ( l + O n U o [ l + ( - l ) ]

* kl = ~C- 0 <

4ak

8/

^m

,

(2)_

^r

( 1 - < >

^И

[ Н , ( - 1 ) ' " ] [ л Г ^

²

P

²

1 ^ f l t i f l . '

f w - ~^c° i o T — ^— \ ^x ° L I T J j r ^{8 t e}"

Найдем функции , / = 1, 2, 3,4. Для функции z) получаем задачу

- ) 2^пО )

дх , П ^⁰

— 0

при ^ — о о ,

х = 0

решение которой имеет вид

по ) ⁼

( 1 + 0

2 а ^Эх 2Х⁰а ^э* Аналогичным образом получаем

e x p [ o c ( / - l ) £ i ] + ^{^ , ( Я}

0 + а ) Э и⁰

х = 0 2Х^па ^дх

£ , е х р [ а ( * - ! ) £ , ] .

х = 0

П( 2 ) ^g _ ( Ь ь О 2 а

2 \ Э«! Х^х(к⁰ + а ) Э и⁰

э* 2 Х^па^{2 э}*

е х р [ а ( г - 1 ) £²]

A.J(Л-о + а ) Э м⁰ 2Х^па ^дх

£²е х р [ а ( / - 1 ) £²] . (3)

Для функции П² (г|з, х) получаем задачу

Д2П(3)

г(3)

ЭЛз

Элз ^{Л3 = 0}

, П2^{3 )}

0

^{При Г |3 • с о ,}

г = 0

решение которой имеет вид

п( 3 ) ( l - Q ^ M ) Я,! Эи⁰

2 ( 2 X⁰)^{1 / 2}U z 2 X⁰3 z Аналогичным образом получаем

п( 4 ) _ (1 - / ) Гдщ Х^х диЛ

( 2 ^⁰)^{1 / 2}U z 2Х⁰ dz) ЛЬ

« Р Н . . < ) * Ы - | $ Л³е х р [ - ( 1 + ОЛз].

z = 0

z = h

ехр[-(1 + 0 ^ ] + ^ ^ г ц е х р [ - ( 1 + 0 л⁴] .

z = А-

Функции П² , / = 1, 2, 3, 4, имеют экспоненциальную оценку.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 5 1 1998

812 КРАВЦОВ

Таким образом, приближенное решение задачи о свободных колебаниях вязкой экспоненци­

ально стратифицированной жидкости, справедливое всюду в прямоугольнике Д за исключени­

ем его вершин, имеет вид

1. Черноусъко ФЛ. О свободных колебаниях вязкой жидкости в сосуде // Прикл. матем. и механ. 1966.

Т. 30. Вып. 6. С. 836-847.

2. Секерж-Зенъкович С.Я. Собственные колебания вязкой двухслойной жидкости в замкнутом сосуде //

Прикл. матем. и механ. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 51-57.

3. Кравцов А.В., Секерж-Зенъкович С.Я Собственные колебания вязкой непрерывно стратифицирован­

ной жидкости в замкнутом сосуде // Ж. вычисли матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 2. С. 119-125.

4. БреховскихЛМ., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982.

5. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения сингулярно возмущенных уравнений. М.:

Наука, 1973.

U^{1) -

Re<^

и⁰ + ги^х + £(ell[^j) + г²П^(2л) exp[i(Xo + е ^ ) * ]

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 5 1998