П. А. Кручинин, А. Ю. Мишанов, О. Э. Кудряшов, Алгоритм восстановления по- казаний системы видеоанализа движений человека по измерениям силовой плат- формы, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2009, номер 5, 33–37

Общероссийский математический портал

П. А. Кручинин, А. Ю. Мишанов, О. Э. Кудряшов, Алгоритм восстановления по- казаний системы видеоанализа движений человека по измерениям силовой плат- формы, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2009, номер 5, 33–37

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и со- гласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:47:41

Механика

УДК 531.311:612.087:616.7

АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОКАЗАНИЙ СИСТЕМЫ ВИДЕОАНАЛИЗА ДВИЖЕНИЙ ЧЕЛОВЕКА ПО ИЗМЕРЕНИЯМ

СИЛОВОЙ ПЛАТФОРМЫ

П. А. Кручинин¹, А. Ю. Мишанов², О. Э. Кудряшов³

Предлагается способ восстановления информации системы видеоанализа движений по измерениям силовой платформы. Приводится алгоритм восстановления утерянных значе- ний углов антропоморфного многозвенника, использующего математическую модель дви- жения, идентификацию параметров модели и показания силовой платформы. Алгоритм примененяется для задачи восстановления утерянных значений угла наклона голени к горизонтали при приседаниях человека.

Ключевые слова: система видеоанализа, силовая платформа, математическая модель, восстановление информации.

We consider a lost information recovery algorithm to gap filling. We propose the algorithm to lost joint angles recovery with the mathematical model of 3DOF skeletal model motion, parameter identification and force plate data. It has been applied to gap filling of angle between shin and horizont in time of deep squat when skin markers disappear and the angles cannot be calculated.

Key words: optical motion capture system, gap filling, force plate, mathematical model, information integrity.

В настоящее время при анализе движения человека получила широкое распространение технология, основанная на исследовании видеоизображений движения [1, 2]. Эта технология применяется в спор- тивной медицине, при обследовании больных с нарушениями опорно-двигательной системы и в других смежных областях. Одна из традиционных схем исследования движений человека с использованием си- стемы видеоанализа заключается в следующем. На характерные точки на теле человека наклеиваются светоотражающие элементы (катафоты). Человек совершает движения, записываемые несколькими ви- деокамерами. При компьютерной обработке видеозаписи определяются координаты этих характерных точек, использующиеся для вычисления углов в суставах скелетного многозвенника и дальнейшего ана- лиза движений человека.

Недостатком подобных систем является наличие сбоев при обработке изображений. Сбои возникают, например, если видеокамеры не видят один из катафотов или не могут распознать два катафота при их расположении вблизи оси объектива одной из камер. Таким образом, на некотором интервале времени ин- формация об одном из углов многозвенника оказывается утерянной или некорректной. Между тем часто при анализе движения набор измерений с различного рода аппаратуры бывает избыточен. Эту избы- точность можно использовать в алгоритме восстановления утерянной информации. Рассмотрим случай, когда в качестве избыточной информации выступают измерения силовой платформы и математическая модель движения человека.

Различные варианты алгоритмов восстановления утерянной информации системы видеоанализа пред- лагались ранее авторами в работах [3–5]. В этих алгоритмах использовались параметры математической модели, определенные по результатам антропометрических измерений. Анализ эффективности этих ал- горитмов показал, что результаты восстановления существенно зависят от параметров математической модели, использованной в алгоритмах, а также от качества установки катафотов системы видеоанализа.

Предлагаемая в настоящей статье модификация алгоритма учитывает эту особенность и состоит из двух

1Кручинин Павел Анатольевич— канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pkruch@mech.math.msu.su.

2Мишанов Алексей Юрьевич— асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: bat.03@mail.ru.

3Кудряшов Олег Эдуардович— инж. клинической лаб. Ин-та реабилитации Риж. ун-та им. Страдиня (Латвия).

17 ВМУ, математика, механика, № 5

этапов. На первом этапе для конкретного больного по корректной части измерений восстанавливают- ся коэффициенты математической модели, характеризующие индивидуальные особенности пациента, и погрешности закрепления катафотов системы видеоанализа. На втором этапе указанная модель исполь- зуется для восстановления утерянной информации. Опишем алгоритм на примере модельной задачи.

Рис. 1. Модель антропо- морфного трехзвенника

1. Математическая модель движения человека. Рассмот- рим задачу о движении человека в сагиттальной плоскости. Движе- ние человека моделируется с помощью трехзвенника с тремя степе- нями свободы, которым соответствуют обобщенные координаты — уг- лы ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃ (рис. 1). Эти углы вычисляются по координатам то- чекO₁,O₂,O₃ — центрам голеностопного, коленного и тазобедренного суставов, определяемым из показаний системы видеоанализа. Введем неподвижную систему координат O₁XY. Ее начало поместим в центр голеностопного сустава O₁. Примем следующие обозначения: C₁, C₂, C₃ — центры масс соответствующих звеньев; a_i — расстояние от O_i до C_i (i= 1,2,3); L₁,L₂ — длины звеньев голени и бедра; m₁,m₂ — удвоенные массы голени и бедра;m₃— масса корпуса человека, вклю- чая руки и голову;m=m₁+m₂+m₃;α₁,α₂,α₃ — углы отклонения центра масс соответствующего звена от своей оси, J_C1, J_C2, J_C3 — мо- менты инерции звеньев.

Уравнение изменения кинетического момента относительно оси голеностопного сустава запишем в виде

A₁ϕ¨₁+A₂ϕ¨₂+A₃ϕ¨₃+B

¨

ϕ₁cos(ϕ₂+α₂−ϕ₁) + ˙ϕ²₁sin(ϕ₂+α₂−ϕ₁)+

+ ¨ϕ₂cos(ϕ₂+α₂−ϕ₁)−ϕ˙²₂sin(ϕ₂+α₂−ϕ₁) + +C

¨

ϕ₁cos(ϕ₂−ϕ₁) + ˙ϕ²₁sin(ϕ₂−ϕ₁) + ¨ϕ₂cos(ϕ₂−ϕ₁)−ϕ˙²₂sin(ϕ₂−ϕ₁) + (1) +D

¨

ϕ₁cos(ϕ₃+α₃−ϕ₁) + ˙ϕ²₁sin(ϕ₃+α₃−ϕ₁) + ¨ϕ₃cos(ϕ₃+α₃−ϕ₁)−ϕ˙²₃sin(ϕ₃+α₃−ϕ₁) + +E

¨

ϕ₂cos(ϕ₃+α₃−ϕ₂) + ˙ϕ²₂sin(ϕ₃+α₃−ϕ₂) + ¨ϕ₃cos(ϕ₃+α₃−ϕ₂)−ϕ˙²₃sin(ϕ₃+α₃−ϕ₂) =M₁−mgxC. ЗдесьM₁ — создаваемый мышечными усилиями момент в голеностопном суставе, оценку значений кото- рого получаем по показаниям силовой платформы;

x_C = m₁a₁

m cos(ϕ₁+α₁) +m₂L₁+m₃L₁

m cosϕ₁+m₂a₂

m cos(ϕ₂+α₂) +m₂L₂

m cosϕ₂+m₃a₃

m cos(ϕ₃+α₃) (2)

— горизонтальная координата центра масс трехзвенника, а параметрыA₁,A₂,A₃,B,C,D,E принимают следующие значения:

A₁ =m₁a²₁+m₂L²₁+m₃L²₁+JC₁, A₂=m₂a²₂+m₃L²₂+JC₂, A₃ =m₃a²₃+JC₃, B =m₂L₁a₂, C =m₃L₁L₂, D=m₃L₁a₃, E =m₃L₂a₃.

2. Модель погрешностейизмерений.Определение угловϕ₁,ϕ₂,ϕ₃ при работе системы видеоана- лиза производится с погрешностями. Наибольший вклад в ошибки определения углов вносят погрешности, возникающие вследствие неточного нанесения маркера на центр сустава, и погрешности, вызванные мо- делированием суставов шарнирами с постоянной осью вращения. Если голеностопный и тазобедренный суставы с высокой точностью можно рассматривать как шарниры, то коленный сустав в действительно- сти не имеет постоянной оси вращения [6]. Будем полагать ошибку определения угла в коленном суставе линейно зависящей от величины этого угла. В соответствии с этим предположением примем модель, свя- зывающую углыϕ₁,ϕ₂,ϕ₃ с их измеренными видеосистемой величинамиϕ!₁,ϕ!₂,ϕ!₃, в виде

ϕ₁ =ϕ!₁+λ₁(ϕ!₂−ϕ!₁) +ξ₁+η₁, ϕ₂ =ϕ!₂+λ₂(ϕ!₂−ϕ!₁) +ξ₂+η₂, ϕ₃ =ϕ!₃+ξ₃+η₃.

(3)

Здесь λ₁,λ₂ — параметры предполагаемой модели ошибки определения угла в коленном суставе; ξ₁,ξ₂,

ξ₃ — аддитивные погрешности определения соответствующих углов, вызванные неточным нанесением маркера на “центр сустава”;η₁,η₂,η₃ — составляющие погрешностей неизвестной природы.

Рассмотрим измерения, получаемые с силовой платформы. Силовая платформа представляет собой две металлические плиты, установленные на трех или четырех опорах с закрепленными на них тензо- датчиками. По показаниям датчиков платформы ее программное обеспечение вычисляет вертикальную составляющуюN! нормальной реакции и координаты точки ее приложения в системе координат платфор- мы [7]. Эту точку принято называть центром давления. Положение осей голеностопного сустава в системе координат платформы неизвестно, поэтому примем

M₁ =N!(x_p−x_Δ) +η_plate. (4)

Здесьxp— проекция координат центра давления на сагиттальную плоскость,x_Δ— неизвестное расстояние от оси голеностопного сустава до начала отсчета силовой платформы,η_plate — неизвестная составляющая погрешности платформы. В силу этого предположения модификация предлагаемого алгоритма справед- лива только для движений с небольшими продольными реакциями (например, приседание и вставание, наклон и т.п.). Возможное пренебрежение продольными силами обсуждается в работе [3].

Соотношения (1)–(4) образуют систему уравнений, связывающих измерения системы видеоанализа и силовой платформы. Используем их для совместной обработки показаний системы видеоанализа и силовой платформы.

3. Определение геометрических и масс-инерционных параметров модели движения. По- лученная система уравнений содержит набор коэффициентов, зависящих как от геометрических и масс- инерционных параметров человека, так и от погрешностей, связанных с проведением записи движения.

В связи с этим возникает задача определения этих параметров для каждого конкретного человека и каждой конкретной записи.

Рассмотрим такие моменты времени, для которых измерения углов ϕ!₁, ϕ!₂, ϕ!₃ не содержат сбоев.

Записанные соотношения должны выполняться для всех таких моментов времени. Подставляя (2)–(4) в (1) и предполагая малость величин α₁, α₂, α₃, λ₁, λ₂, ξ₁, ξ₂, ξ₃, запишем линеаризованную систему уравнений. В векторной форме эта система будет иметь вид

Qy−N x! _p=η, (5)

гдеy=

A₁−A₁λ₁, A₁λ₁, A₂λ₂, A₂+A₂λ₂, A₃, B+C,(B+C)λ₁,(B+C)λ₂, Bα₂+(B+C)(ξ₂−ξ₁), D, Dλ₁, Dα₃+ D(ξ₃−ξ₁), E, Eλ₂, Eα₃+E(ξ₃−ξ₂), K₁, K₁λ₁, K₁ξ₁+R₁α₁, K₂, K₂λ₂, K₂ξ₂+R₂α₂, K₃, K₃ξ₃+R₃α₃

— вектор- столбец коэффициентов, требующих оценки; Q, N x! _p — матрица и вектор, компоненты которых вычис- ляются по показаниям системы видеоанализа и силовой платформы. Здесь черезη обозначена величина, связанная с прочими составляющими погрешностей системы, и приняты обозначения

K₁ = m₁a₁+m₂L₁+m₃L₁

m , K₂ = m₂a₂+m₃L₂

m , K₃= m₃a₃ m , R₁= m₁a₁

m , R₂ = m₂a₂

m , R₃ = m₃a₃ m .

Погрешности измерений, неточности моделей и особенности рассматриваемого движения приводят к тому, что переопределенная система уравнений (5) не разрешается корректно относительно компонент вектора y. В этом случае найдем вектор коэффициентов y в результате решения задачи минимизации функционала J = Qy−N x! _p2. Эта задача решается методом наименьших квадратов [8] по формуле y= (Q^TQ)⁻¹Q^TN x! p.

4. Восстановление показанийсистемы видеоанализа по измерениям силовойплатфор- мы. Будем считать, что значения ϕ!₁ утеряны на интервале времени (t₀, t_n). Представим угол ϕ!₁ в виде суммы:

!

ϕ₁=ϕ_S1 +ϕ_Δ1, (6)

гдеϕ_S1 — это выбранное априорное приближенное значение угла, аϕ_Δ1 — неизвестная поправка, которую требуется оценить.

Подставим в (5) выражение (6), линеаризуем полученное соотношение относительно ϕ_Δ1 и запишем его, пренебрегая погрешностямиη, в виде

A₃ϕ¨_Δ1 +A₂ϕ˙_Δ1 +A₁ϕ_Δ1+A₀ =N x! p, (7) гдеA_p =A_p(ϕ!₂,ϕ!˙₂,ϕ¨!₂,ϕ!₃,ϕ˙!₃,ϕ¨!₃, ϕ_S1,ϕ˙_S1,ϕ¨_S1), p= 0,1,2,3, записываются на основании системы (5).

18 ВМУ, математика, механика, № 5

Представим производные из формул (7) в виде конечных разностей:

˙

ϕ_Δ1(ti) = ϕ_Δ1(ti+1)−ϕ_Δ1(ti)

τ , ϕ¨_Δ1(ti) = ϕ_Δ1(ti+1)−2ϕ_Δ1(ti) +ϕ_Δ1(ti−1)

τ² .

Подставим их в (7) и запишем полученные выражения в форме

Φx=b, (8)

гдеx=

ϕ_Δ1(t₁), . . . , ϕ_Δ1(t_n)_T

— вектор-столбец значений поправок ϕ_Δ1;b,Φ(A_p, τ) — вектор-столбец и матрицаn×n, определяемые по измерениям. Решая (8), находим ϕ_Δ1(t_i).

5. Проверка алгоритма на экспериментальных данных.Возможность использования предла- гаемого подхода проанализирована на примере исследования движения человека в сагиттальной плоско- сти при вставании и приседании. Для отработки методики рассмотрена упрощенная модельная задача, соответствующая эксперименту, проведенному в Рижском университете им. Страдиня (Латвия) [4, 5].

В ходе эксперимента испытуемый совершал приседания, стоя на силовой платформе AMTI. При движе- нии испытуемый соблюдал следующие требования: туловище и голову держал прямо (положение головы относительно туловища фиксировалось с помощью шейного ортоза), руки — скрещенными на груди и прижатыми к туловищу, пятки — не отрывая от поверхности силовой платформы.

Рис. 2. Значения момента в голеностопном суставе

Движения человека фиксировались с помо- щью камер системы видеоанализа Qualisys ProReflex с частотой 240 Гц. Катафоты, исполь- зованные при обработке, наклеивались на плечо, тазобедренный сустав, колено, голеностопный су- став. По результатам измерений с помощью про- граммного обеспечения системы трехмерного ана- лиза вычислялись значения углов в суставах ан- тропоморфного многозвенника. Для подавления высокочастотной составляющей погрешности зна- чения углов сглаживались с помощью окна Ханна протяженностью 0,25 с [9].

Движение испытуемого моделировалось с ис- пользованием плоской трехзвенной модели тела человека. Графики значений момента в голено- стопном суставе, полученные в результате расче- тов по показаниям системы видеоанализа и изме- рений силовой платформы, приведены на рис. 2.

Моделировалась задача восстановления утра-

Рис. 3. Сравнение результата восстановления и истинного значения угла

ченных измерений. Считались утерянными показания, поз- воляющие вычислить угол наклона голени ϕ₁. На первом этапе по измерениям на всем участке времени, за исключе- нием интервала (t₀, tn), проводилась идентификация неиз- вестных параметров, на втором этапе выполнялось непо- средственно восстановление утраченных измерений. В ка- честве известного априорного приближения выбрана ли- нейная зависимость ϕS_k(t), которая на границах отрезка [t₀, t_n]принимает значенияϕ₁(t₀)иϕ₁(t_n). Результаты вос- становления измерений приведены на рис. 3. Математиче- ское ожидание и среднеквадратическое отклонение восста- новления информации составили величины порядка одно- го градуса. Наряду с успешными участками восстановле- ния для других данных наблюдались и участки с более значительными погрешностями. Это в первую очередь мо- жет объясняться несоответствием модели движения чело- века реальному движению и наличием значительных про- дольных реакций.

Проведенный эксперимент показал, что предложенная методика применима для восстановления утра- ченных показаний системы видеоанализа для простых движений в том случае, если математическая

модель удовлетворительно описывает совершаемое движение. Следует также отметить, что методика, примененная в настоящей работе, может быть использована при комплексировании других наборов био- механических измерений.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 05–01–00418).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Perry J.Gait Analysis: Normal and Pathological Function. N. Y.: McGraw Hill, Inc., 1992.

2.Gage J.R.Gait Analysis: An essential tool in the treatment of cerebral palsy // Clin. Orthop. and Relat. Res. 1993.

288. 26–34.

3.Кручинин П.А., Мишанов А.Ю., Саенко Д.Г.О возможности совместной обработки показаний системы видео- анализа движений и стабилографической платформы // Математическое моделирование движений человека в норме и при некоторых видах патологии / Под ред. И.В. Новожилова и П.А. Кручинина. М.: Изд-во МГУ, 2005.

28–53.

4.Кручинин П.А., Кудряшов О.Э., Мишанов А.Ю., Паварэ З. Восстановление показаний системы видеоанализа движений человека с использованием измерений нормальной реакции опоры // Bull. Int. Sci. Surgical Assoc. 2007.

2, N 1. 66–68.

5.Кручинин П.А., Кудряшов О.Э., Мишанов А.Ю., Паварэ З.Построение сглаживающего сплайна при восстанов- лении показаний системы видеоанализа по измерениям силовой платформы // Мехатроника и информационные технологии в современной медицине. № 8 (приложение к журналу “Мехатроника, автоматизация, управление”).

М.: Новые технологии, 2007. 16–19.

6.Воронов А.В.Анатомическое строение и биомеханические характеристики мышц и суставов нижней конечности.

М.: Физкультура, образование и наука, 2003.

7.Скворцов Д.В.Клинический анализ движений. Стабилометрия. М.: Научно-медицинская фирма МБН. Антидор, 2000.

8.Лоусон Ч., Хенсон Р.Численное решение задач методом наименьших квадратов. М.: Наука, 1986.

9.Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987.

Поступила в редакцию 04.06.2007

УДК 539.3

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

С. Е. Омаров¹

С использованием метода осреднения определяются материальные функции линей- ной моментной теории упругости. Предложенная методика применяется для отыскания константы материала в задаче о равновесии бесконечной плоскости, ослабленной круго- вым отверстием.

Ключевые слова: материальные функции, моментная теория упругости, теория нуле- вого приближения, асимптотическое разложение.

The homogenization method is used to determine material fuctions in the linear moment theory of elasticity. The proposed technique is applied to find the material constant in the equilibrium problem for an infinite plane weakened by a circular hole.

Key words: material fuctions, moment theory of elasticity, zeroth-approximation theory, asymptotic expansion.

В работе [1] предложен способ определения материальных функций определяющих соотношений линейной моментной теории упругости с использованием основных положений метода осреднения [2].

1Омаров Сансызбай Ембергенович— канд. физ.-мат. наук, докторант каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pob@mail.ru.

19 ВМУ, математика, механика, № 5