А. Г. Кузьмин, Модифицированная задача Франкля–Моравец о тран- сзвуковом обтекании аэродинамического профиля, Дифференц. уравне- ния, 2004, том 40, номер 10, 1379–1384

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Г. Кузьмин, Модифицированная задача Франкля–Моравец о тран- сзвуковом обтекании аэродинамического профиля, Дифференц. уравне- ния, 2004, том 40, номер 10, 1379–1384

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы про- читали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 23:01:29

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2004, том 40, № 10, с. 1379-1384

У Р А В Н Е Н И Я С Ч А С Т Н Ы М И П Р О И З В О Д Н Ы М И = = = = = УДК 517.956.6

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ЗАДАЧА Ф Р А Н К Л Я - М О Р А В Е Ц О Т Р А Н С З В У К О В О М ОБТЕКАНИИ

А Э Р О Д И Н А М И Ч Е С К О Г О П Р О Ф И Л Я

© 2004 г. А . Г. К у з ь м и н

1. В в е д е н и е , В настоящей работе рассматривается двумерное стационарное течение невяз­

кого газа со сверхзвуковой подобластью, прилегающей к аэродинамическому профилю. Такое течение в околозвуковом приближении может быть описано потенциалом скорости <р(х,у), который удовлетворяет уравнению Кармана-Фальковича [1, с. 33]

(7 + 1)(1 - (рх)(рхх + (руу = О, (1)

где 7 > 1 - постоянная адиабаты, ж, у - декартовы координаты. Различные методы постро­

ения частных решений уравнения (1) и полного уравнения д л я потенциала скорости предло­

жены в работах [2-7].

Пусть (р(х,у) - гладкое частное решение уравнения ( 1 ) , описывающее симметричное относительно оси х течение со сверхзвуковой подобластью около профиля у = ± / ( ж ) , О < х < 1 (рис. 1а). Возмущение и(х,у) потенциала <р(х,у) удовлетворяет уравнению эллиптико-гиперболического типа

(7 + 1)[(1 - срх)их + и2х/2]х + иуу = 0, (2) которое следует из уравнения ( 1 ) . В силу симметрии течения достаточно изучить задачу в

верхней полуплоскости в области, внешней относительно профиля, при условии Неймана на оси х

и^у(х, 0) = 0 при — оо < х < 0, 1 < х < оо. (3)

Рис. 1. Схема симметричного трансзвукового течения со сверхзвуковой подобластью, прилегающей к аэродинамическому профилю.

Прямая задача обтекания аэродинамического профиля состоит в нахождении решения и(х,у) уравнения (2) при заданном возмущении скорости и^х на бесконечности, условии сим­

метрии (3) и условии скольжения на профиле

ип = ( V u , п ) = 0 при у — / ( ж ) , 0 < х < 1, . (4) где п - направление нормали. Доказательство разрешимости задачи ( 2 ) - ( 4 ) в том или ином классе функций остается до настоящего времени открытой проблемой.

1380 КУЗЬМИН

Задача Франкля [8] д л я уравнения (2) состоит в нахождении гладкого решения этого урав­

нения при заданном возмущении скорости и^х на бесконечности, условии симметрии (3) и условии скольжения на части профиля

Un — ( V l i , fi) — 0 П р и y = f(x), 0<Х<ХЕц ХЕ2<Х<1. (5)

Здесь Е\ и £?2 - точки пересечения с профилем характеристических линий, определяемых уравнением dx/dy = ±[(7 — l)((fx — I ) ]1 ? которые начинаются в точке Е звуковой линии Фх(х,у) = 1 (см. рис. 16).

Условие (5) в случае тонкого профиля сводится с помощью асимптотических разложений к условию иу — 6'(х) на оси ж, где 0'(х) - возмущение угла, образуемого касательной к профилю с осью х [9, с. 43]. Таким образом, можно перейти от краевой задачи в области, указанной на рис. 16, к аналогичной задаче в полуплоскости у > 0 с условием Неймана при у — 0, —оо < х < ХЕ1 И ХЕ2 < Х < 0 0• Ниже мы ограничимся рассмотрением случая, когда носовая и хвостовая части профиля заострены, т.е. точки (0,0) и (0,1) являются точками возврата, что определяет отсутствие сингулярностей потенциала в них [9, с. 221; 10].

Единственность решения задачи Франкля была доказана Моравец [11, 12] с использованием плоскости годографа. Позднее К у к [13] доказала аналогичную теорему непосредственно на плоскости (х,у). Из теоремы единственности следует, что

а) если решение задачи Франкля существует, то оно однозначно определяет скорость те­

чения V i a при XEI < Х < ХЕ^{2 и} положение нулевой линии тока, прилегающей к аэродинами­

ческому профилю, а значит, и сам профиль, поэтому задача Франкля фактически связана с адаптацией профиля к изменению условий его обтекания;

б) если на дуге Е1Е2 задать некоторое краевое условие в дополнение к (5) (например, рассмотреть прямую задачу ( 3 ) , (4) с условием Неймана вдоль всего контура), то такая задача является переопределенной в классе гладких функций. В этом случае если решение существует, то оно должно содержать ударные волны.

Чтобы избежать формирования ударных волн около заданного профиля, вместо условия Неймана (4) можно использовать краевое условие с наклонной производной, которое с физи­

ческой точки зрения означает обтекание проницаемой (пористой или перфорированной) по­

верхности. Разрешимость такой задачи для уравнения (2) исследована в [14].

Вместе с тем в практике аэродинамического проектирования широко используются алго­

ритмы с применением смешанного условия Неймана-Дирихле. Согласно ему, вдоль некоторого участка профиля задается непрерывное распределение модуля скорости, в то время как коор­

динаты этого участка должны быть найдены в процессе численного решения задачи [15, 16].

Непрерывное распределение модуля скорости означает отсутствие ударных волн на профиле.

Однако при этом остается открытым вопрос существования внутренних ударных волн.

Поэтому исследование условий существования гладких решений краевых задач для урав­

нения (2) является весьма актуальным. В частности, большой интерес представляет изучение случаев с заданием касательной производной потенциала (определяющей модуль скорости те­

чения) на некотором участке границы. В работе [17, с. 139] установлена единственность реше­

ния такой задачи в неограниченной области с использованием асимптотических разложений для функций (р(х,у) и и(х,у) в окрестности бесконечно удаленной точки. В настоящей работе рассматривается конечная область и доказывается аналогичная теорема.

2. П о с т а н о в к а м о д и ф и ц и р о в а н н о й з а д а ч и Ф р а н к л я - М о р а в е ц . Пусть <р(х,у) - гладкое решение уравнения (1) в полуплоскости у > 0, — 00 < х < оо такое, что <рх > 1 в подобласти, прилегающей к оси х и ограниченной звуковой линией (р^х — 1 с концами в точках А и В (0 < ХА < %в < ! ) • Ниже рассматривается задача, в которой на отрезках РЕ\

и E2Q оси х, принадлежащих сверхзвуковой части АВ границы области, вместо нормальной производной, как в задаче ( 5 ) , задана касательная производная их. При этом отрезок Е1Е2 остается свободным от краевых условий.

. Обозначим через Г простую гладкую кривую с концами в точках F\ и F² оси х, рас­

положенную в верхней полуплоскости и состоящую из дуг F 1 F 3 , F²F± и прямолинейного участка F 3 F 4 . Пусть D - область, содержащая звуковую линию А В и ограниченная кривой Г и отрезком F 1 F 2 , где хрх < 0, хр2 > 1 (рис. 2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 40 № 10 2004

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ЗАДАЧА Ф Р А Н К Л Я - М О Р А В Е Ц 1381

Е <Р* < 1

;<Р*>У\ \

а/

р

д\в

Поставим краевые условия для возмущения потенциала иу — 0'(ж) на отрезках F\P и Q F 2 * оси х, (6)

— ^{н а} отрезках РЕ\ и оси х, (7) г^х = A'(s) на дугах F1F3 и

F2F4

их — г(х)иу = У{х) на отрезке F3F4, (9) где 5 - длина дуги вдоль Г. Так как условия ( 6 ) - ( 9 ) содержат только производные от и(х,у), то они могут

определять решение лишь с точностью до произвольной постоянной. Поэтому дополнительно потребуем выполнения условия

и(0,0) = 0 . (10) Линеаризация уравнения (2) приводит к виду

Ei Е2 ^{F2 х} Рис. 2. Область, в которой формули­

руется задача (6)—(11).

[к(х, у)их]х + иуу = 0, _{( П )}

к — const

где к(х,у) = (7 + 1)(1 - <рх). Требуется найти решение и е Cl(D) П C2{D \ (ЕЕг U ЕЕ2)) уравнения (11), удовлетворяющее краевым условиям (6)—(10).

При исследовании поставленной задачи важную роль играет поведение первых производ­

ных коэффициента к(х,у) на границе области D и в подобласти D~ = DC\(k < 0 ) . В извест­

ном течении Ринглеба около выпуклой стенки [4; 9, с. 98] скорость потока сначала монотонно возрастает (р^хх > 0 и к^х < 0 при —00 < х < 0 ) , а затем монотонно убывает ((р^хх < 0 и кх > 0 при 0 < х < оо). Однако этот случай не представляет практического интереса.

Как показывают частные точные решения уравнения ( 1 ) , а также численные исследования, в случае обтекания аэродинамического профиля поведение функции к(х, у) является более слож­

ным. Течение сначала тормозится перед профи­

лем, и его скорость достигает минимума в нос­

ке (если угол заострения отличен от нуля) или в некоторой точке С\ на профиле (если угол за­

острения равен н у л ю ) . Затем с увеличением ко­

ординаты х скорость течения возрастает, пере­

ходит через скорость звука и достигает максиму­

ма. Далее поток тормозится вплоть до некоторой точки С² на профиле и снова ускоряется. Поэто­

му в предположении, что ударные волны отсут­

ствуют, получаем качественное поведение линий к(х,у) = const, показанное на рис. 3.

Таким образом, при безударном обтекании аэродинамического профиля обычно выполнены неравенства

кх{х,0)<0 на некотором отрезке С\С оси х и при х > X Q2, (12)

кх{х,0)>0 на некотором отрезке СС2 оси х и при х<хсх- (13) Кроме (12), (13), важным условием для доказательства теоремы единственности методом, ко­

торый используется в данной работе, так же как и в [13], является выполнение неравенства Л , 7.2

Рис. 3. Качественное поведение линий к(х,у) =

= const и функции к(х, 0) для профиля с нуле­

вым углом заострения в носке и в концевой точке.

кк^гх + А£ > 0 ₍₁₄₎

в области D. Это справедливо для широкого класса аэродинамических профилей в связи со следующим. Касательная к звуковой линии к(х,у) = 0 по предположению нигде не парал­

лельна оси у, значит, к^у ф 0, и поэтому условие (14) выполнено на звуковой линии, включая

1382 К У З Ь М И Н

концевые точки Л и Б . На оси х при смещении от точки А или В к точке С величина \к\

увеличивается, однако вместе с этим растет и величина к^у/\к^х\, так как убывает модуль угла, составленного касательными к линиям к = const с осью х. Это обеспечивает выполнение условия (14) на отрезке АВ, а также во всей сверхзвуковой подобласти D~. В дозвуковой подобласти на множестве точек, где к^х = 0, имеем к^у ф 0 (рис. 3 ) , поэтому неравенство (14) выполнено.

Будем предполагать, что

к^х dx/dy — к^у > 0 на дугах F1F3 и F2F4 кривой Г . (15) 3. Теорема единственности.

Теорема. Пусть потенциал </>(#, у ) Е C*(D) трансзвукового течения таков, что функ­

ция k(x,y) = (7+1)(1—ip^x) удовлетворяет неравенствам (12)-(Ц), и вдоль кривой Г с конца­

ми в точках F\ и F² оси х выполнены неравенства (15). Пусть заданы краевые условия (6)- (10), где Е\ и Е² - точки пересечения с осью х характеристических линий, выходящих из точки Е звуковой линии, функция k{x,fy имеет минимум в точке С отрезка Е\Е2 и коэф­

фициент г ( х ) , входящий в условие (9), определен выражением r(x) = kx/(ky + (kk2 + к2)1!2).

Тогда задача (6)-(11) для возмущения потенциала может иметь не более одного решения и е Cl(D) П C2{D \ (EEi U ЕЕ2)).

На рис. 2 стрелками показаны направления на кривой Г, в которых задана производная функции и(х,у) согласно условиям (8) и ( 9 ) .

Доказательство. Если и\{х,у) и и2(х,у) - два решения поставленной задачи, то и = щ —и2 удовлетворяет уравнению (11) и краевым условиям (6)—(10) с Л' = 0' = 0. Введем вспомогательную функцию [11, 13]

Ф(ж,у) = j 4!^xdx + 4!y dy, (0,0)

где

= (-kkxul - 2k^yu^xUy + кхи2)/{кк2 + к2),

фу

=

-

-

(16)

(17) (18) Независимость интеграла, стоящего в правой части выражения (16), от пути интегрирования устанавливается прямой проверкой тождества Ф^{Х 2 /} = ^ух [14].

В подобласти D+ = D П (к > 0) функция Ф(ж,у) является решением квазилинейного эллиптического уравнения [13], поэтому она удовлетворяет принципу максимума. В подобласти D~ = D П (к < 0) производная от Ф в характеристических направлениях dx/dy = ±\к\¹/² неположительна

(kkl + k²) ^ -ЙФ dx

kkyUj, 2kkxuxUy kyUy (kkxux -f~ 2kyUxUy kxUy}°~^

dx\

ku^T ( ky k^x J 2u^xUy ( kk^x -h ку J u„. ( ky k^x ,

V dy J y \ * dy) y \ y dy J

1 2 dx ol Л г dx\ ( dx \ 2 Л , dx\

kux - 2uxuy— - uy^ [ky - kx—j=-(jix — + uyJ [ky - kx—J < 0

в силу неравенства (14). Поэтому максимум функции Ф ( ж , у ) достигается на границе облас­

ти D , т.е. на кривой Г или на отрезке F\F² оси х.

Вдоль дуги F1F3 имеем их = 0 в силу краевого условия (8) с А' = 0, поэтому из (16) получаем

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 40 № 10 2004

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ЗАДАЧА Ф Р А Н К Л Я - М О Р А В Е Ц 1383

^y)=^+T

i

f

%

<

Fi ^У

где подынтегральное выражение неположительно на дуге F \ F $ согласно неравенству (15).

Следовательно, функция Ф ( я , у ) может только возрастать вдоль этой дуги. Аналогично по­

лучаем, что и вдоль дуги (рис. 4) функция Ф ( ж , у ) может только (нестрого) возрастать.

На прямолинейном участке кривой Г в силу краевого условия (9) с А⁷ = 0 из (17) получаем

= {-кк^хг² - 2к^уг + к^х)и^2у/(кк^2х + к^2у) ЕЕ О по определению коэффициента г(х). При этом в точке, расположенной на F 3 F 4 , в которой кх = 0, имеем г = О

и их — 0 согласно условию ( 9 ) . Поэтому из формулы ^ "aP'eI E-iQ^B С 2 Fo*^x (18) находим Ф^у = ky²(—kyU²) < 0, что противоречит

известной теореме о нормальной производной решения ^{Р ис}- ⁴- Направления на кривой Г и уравнения эллиптического типа в точке максимума, рас- ° £и в К 0 Т 0РЫ Х Ф у н к ц и я Ф(*,у) не

J ^ . убывает,

положенной на границе области.

Значит, на кривой Г максимума функции Ф ( я , у ) быть не может. Следовательно, он может достигаться только на оси х. Из (17) и условия Неймана (6) следует, что Ф^ж = —кк^хи² на F \ P и Qi*2, поэтому в силу условий (12) и (13) получаем Ф^ж < 0 на отрезках F \ C \ , А Р , В С² и Ф^ж > Она отрезках A , Q B , C2F2. Наконец, из (17) и краевого условия (7) следует, что фж = кхи2 на Р Е \ и поэтому в силу (12) и (13) получаем, что Фх < 0 на отрезке Р Е \ , Ф^ж > 0 на отрезке Значит, в подобласти расположенной выше линии F1E1EE2F2, максимум функции Ф ( х , у ) может достигаться только в концевых точках А или В звуковой линии (рис. 4 ) . Как показано в [13] (см. также [17, с. 128]), это влечет за собой тождества

Ф ( х , у ) Е О и и ^ Е ^ у Е О в D e - Поэтому, согласно (10), и(х,у) = 0 в D e - В частности, функция и(х,у) обращается в нуль на характеристических линиях Е Е \ и ЕЕ2. Из теории вырождающихся уравнений гиперболического типа [18, с. 162] следует, что полученная задача Гурса имеет только нулевое решение, поэтому и(х,у) = 0 в треугольной области Е Е \ Е².

Таким образом, и{х,у) = 0 во всей области D , значит, щ(х,у) = U2(x,y). Теорема доказана.

4. З а к л ю ч е н и е . Приведенное выше исследование краевой задачи в конечной области представляет интерес в связи с используемыми на практике вычислительными алгоритма­

ми, в которых обычно рассматриваются конечные двусвязные области, причем на внешней границе ставится условие, отражающее состояние потока на бесконечности.

При численном проектировании аэродинамических профилей на основе уравнений Эйлера в некоторых работах наблюдалось возникновение внутренних ударных волн, несмотря на за­

данное непрерывное распределение скорости на профиле [15], однако причины возникновения таких волн не были объяснены. Доказанная выше теорема единственности д л я линеаризован­

ного уравнения Кармана-Фальковича свидетельствует о том, что формирование внутренних ударных волн обусловлено переопределенностью краевой задачи в классе гладких функций, если скорость течения задана на всей сверхзвуковой части профиля, включая отрезок Е1Е2.

В других примерах численного проектирования профилей возникновения ударных волн не отмечалось. Это объясняется тем, что в случаях, когда разрывы скорости незначительны или существенно сглаживаются схемной вязкостью, их практическая визуализация весьма затруднена.

Таким образом, установленная в данной работе теорема единственности показывает, что задание непрерывного распределения скорости на аэродинамическом профиле не гарантирует отсутствия внутренних ударных волн и не является оправданным, если ставится задача по­

строения безударного течения. Вместе с тем условие заданной скорости является корректным, если цель расчетов состоит не в построении гладкого течения и соответствующего профиля, а, например, в достижении максимального аэродинамического качества итерационным путем.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Российской Федерации (проект Е 02-1.0-157).

1384 КУЗЬМИН

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М., 1961.

2. Taylor G.I. II J. London Math. Soc. 1930. V. 5. P. 224-240.

3. Франкль Ф.И. II Мат. сб. 1933. Т. 40. № 1. С. 59-72.

4. Ringleb // Zeitschrift fur Angew. Math. Mech. 1940. V. 20. P. 185-198.

5. Goldstein S., Lighthill M.J., Craggs J.W. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1948. V. 1. P. 442-450.

6. Cherry T.M. If Proc. Royal Soc. 1949. V. A196. P. 1-31.

7. Takami H. // J. Phys. Soc. of Japan. 1956. V. 11. P. 145-154.

8. Франкль Ф.И. If Прикл. математика и механика. 1947. Т. 11. № 1. С. 199-202.

9..Коул Дж., Кук П. Трансзвуковая аэродинамика. М., 1989.

10. Rusak Z. II J. Fluid Mechanics. 1993. V. 248. P. 1-26.

11. Morawetz CS. // Comm. on Pure and Applied Math. 1956. V. 9. P. 45-68.

12. Morawetz CS. // Comm. on Pure and Applied Math. 1957. V. 10. P. 107-131.

13. Cook L.P. II Indiana University Math. J. 1978. V. 27. № 1. P. 51-71.

14. Kuz'min A.G. // J. Nonlinear Differ. Equat. and Appl. 2001. V. 8. № 3. P. 299-321.

15. Giles M.B., Drela M. / / A I A A J. 1987. V. 25. № 9. P. 1199-1206.

16. Obayashi S. // A I A A Paper. 1995. № 95-1649-CP. P. 33-42.

17. Kuz'min A.G. Boundary value problems for transonic flow. Chichester, 2002.

18. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М., 1966.

Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 17.09.2003 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 40 Л* 10 2004