Г. Ю. Куликов, Теоремы сходимости для итеративных ме- тодов Рунге–Кутты с постоянным шагом интегрирования, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, том 36, но- мер 8, 73–89

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. Ю. Куликов, Теоремы сходимости для итеративных ме- тодов Рунге–Кутты с постоянным шагом интегрирования, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, том 36, но- мер 8, 73–89

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 16:35:00

ЖУРНАЛ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Том 36,1996 • № 8

У Д К 519.622

© 1 9 9 6 г. Г . Ш . К У Л И К О В

(Ульяновск)

Т Е О Р Е М Ы С Х О Д И М О С Т И ДЛЯ И Т Е Р А Т И В Н Ы Х М Е Т О Д О В Р У Н Г Е - К У Т Т Ы С П О С Т О Я Н Н Ы М Ш А Г О М

И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я

Рассмотрены численные методы решения задачи Коши для системы дифференциально-алгеб­

раических уравнений, построенные на основе неявных методов Рунге - Кутты с использованием итерационных методов, таких как метод простой итерации, модифицированный метод Ньютона и метод Ньютона. Для этих комбинированных методов доказаны теоремы сходимости и получены оценки точности решения. Теоретические результаты подкреплены численными примерами.

§ 1. Введение

В настоящее время системы дифференциально-алгебраических уравнений пользу­

ются п о с т о я н н ы м вниманием исследователей не т о л ь к о из-за многочисленных и разнообразных приложений, но и потому, что, являясь предельным случаем жестких систем о б ы к н о в е н н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений, п о з в о л я ю т л у ч ш е понять поведение и свойства последних. •

В статье рассматриваются численные методы решения систем дифференциально- алгебраических уравнений вида

(1.1а) *'(*) = y{t\ а ( 0 ) , (1.16) y(t) = f(x(t\ y(tl а ( 0 ) , (1.1в) х(0)=х°, у(0) = у°,

г д е / е [ 0 , Г ] , x(t)eU^m, y(t)eU\ a(t) е I T , отображение g:D с U^m+n+s -> R^mrf:D с

с U^m+n+s —> и^п, причем начальные условия заданы корректно: у⁰ - /(*°, у°\ ос(0)).

Следуя традиции, заложенной работами [1]-[4], систему (1.1) будем называть задачей К о ш и с алгебраической связью. Для таких задач построим и исследуем три класса комбинированных численных методов.

Используя неявные методы Рунге - К у т т ы , заменяем н е п р е р ы в н у ю задачу (1.1) дискретной, решение которой будем находить с п о м о щ ь ю н е к о т о р ы х итерационных процессов. П е р в ы й класс комбинированных методов получится, если для решения системы нелинейных алгебраических уравнений применить метод простых итераций.

В т о р о й и т р е т и й классы базируются, соответственно, на о б ы к н о в е н н о м и моди­

фицированном методах Ньютона.

Ч и с л е н н ы е м е т о д ы , п р е д л о ж е н н ы е в н а с т о я щ е й статье, п о с т р о е н ы с использо­

в а н и е м подхода, к о т о р ы й м о ж н о о п р е д е л и т ь к а к опосредованный, следуя к л а с ­ сификации, введенной в [5]. Э т о т подход явно требует, ч т о б ы численное р е ш е н и е в к а ж д о й т о ч к е сетки у д о в л е т в о р я л о а л г е б р а и ч е с к о м у с о о т н о ш е н и ю (1.16). О п о ­ с р е д о в а н н ы й подход п о з в о л я е т и с п о л ь з о в а т ь для д и с к р е т и з а ц и и з а д а ч и К о ш и с а л г е б р а и ч е с к о й связью даже я в н ы е к о н е ч н о - р а з н о с т н ы е м е т о д ы , хотя применение таких методов на практике вряд ли даст хорошие результаты, поскольку задача К о ш и с а л г е б р а и ч е с к о й связью является предельным случаем жестких систем д и ф ф е р е н ­ ц и а л ь н ы х уравнений. Ч и с л е н н ы е м е т о д ы , п о с т р о е н н ы е с и с п о л ь з о в а н и е м другого подхода, названного непосредственным, можно найти, например, в работах [5] - [ 7 ] .

В § 2 указан способ построения комбинированных численных методов р е ш е н и я задачи (1.1) с постоянным шагом интегрирования. В § 3 для таких методов доказаны т е о р е м ы о сходимости приближенного решения к точному и получены оценки пог­

р е ш н о с т и в зависимости от шага сетки и числа итераций. Теоретические р е з у л ь т а т ы подкреплены численными экспериментами для задачи с известным решением.

§ 2. Ч и с л е н н ы е м е т о д ы с п о с т о я н н ы м ш а г о м интегрирования

Б е з ограничения общности далее будем рассматривать т о л ь к о а в т о н о м н ы е задачи:

(2.1а) x'(t) = g(x(t\ y(t)l (2.16) = / ( * ( ' ) , У0)\

(2.1 в) х ( 0 ) = * ° , (2,1г) у(0)=У>,

г д е г е [ 0 , Г ] , x(t)eU^m) y(t)eU\ о т о б р а ж е н и е g : D с R^{w + n}- > К Г \ f '^D^ с U^m+n -> Uⁿ, а начальные условия (2.1 в, г) заданы корректно, т.е. у⁰ == / ( * ° , у⁰) .

В качестве нормы и расстояния в Ш^т+п возьмем l l d l = max p ( z ' , z " ) = l l z ' - z " l l .

1</<т+л

Для численного решения задачи (2.1) введем на отрезке [0, 7] равномерную сетку w^x={t^k=kz, к = 0,1 ЛГ, Кт = Т].

Н е я в н ы й /-стадийный метод Рунге - К у т т ы (Р.К.) для системы о б ы к н о в е н н ы х д и ф ­ ференциальных уравнений

x'(t) = g(t,x(t))

имеет вид [8], [9]

(2.2а) o,.=g

( i

i = l,2,.,.,/,

/

(2.26) * * + I = * * + T I Ьрц

Теорема сходимости для методов Рунге-Кутты 75

г д е я ^ , Ъ^{(/,у = 1 , 2 , . . . , О - в е щ е с т в е н н ы е числа.

Пусть к о э ф ф и ц и е н т ы Р.К.-метода (2.2) удовлетворяют следующим у п р о щ а ю щ и м предположениям:

(2.3а) i aijC]-¹ =с?/д, / = 1,2,...,/, 4 = 1,2*.

7=1 /

(2.36) X bjOijcf'¹ =bj(l-c⁴j)/q, У = 1.2 /, (=1

4 = 1,2,...,$,

(2.3в) X V r ' = l / ? > 9 = 1,2,...,*.

i=\

Т о г д а , по т е о р е м е Б у т ч е р а [8, с. 218], Р.К.-метод (2.2) и м е е т п о р я д о к я, если .у<£ + £ + 1 и j < 2 t ; + 2.

П р и использовании метода (2.2) для решения задачи (2.1) удобно переписать его в следующем эквивалентном виде:

(2.4а) t^ki = t^k + с/с,

(2.46) x^ki = х^к + т X a^ijg(t^kj,x^kj\ / = 1,2,...,/, 7=1

/

(2.4в) * *^{+ 1}= * * + т 2 b^ig(t^ki,x^ki\ где

7=1

П р и м е н и т ь Р.К.-метод к задаче (2.1) м о ж н о по крайней м е р е двумя способами.

Здесь используется опосредованный подход, к о т о р ы й явно требует, ч т о б ы значения п е р е м е н н ы х х и у на внутренних стадиях м е т о д а (2.4) и в т о ч к а х с е т к и w^x удовлетворяли алгебраическому соотношению (2.16). С учетом автономности (2.1) получаем следующую дискретную задачу;

/

(2.5а) x^ki = х^к + х I a^ijg(x^kj, y^kj), 7=1

(2.56) y^ki=f(x^khy^kil / = 1,2,...,/, (2.5в) т S , Л / ) .

/=1

(2.5г) л

1 = / и *

1 , у

1 ) , * = o,i,...,*-i,

(2.5д) *о.= *°,- у⁰ = У°.

Т а к и м о б р а з о м , вместо (т + л)-мерной н е п р е р ы в н о й задачи (2.1) м ы получили [(m + n)(l + 1)]-мерную дискретную задачу (2.5).

О б о з н а ч и м ч е р е з z(t) в е к т о р , с о с т а в л е н н ы й из к о м п о н е н т в е к т о р о в х(у) и y(t) (z(t) = (x(t),y(t))^T е R^{m + n}) , а через G - о т о б р а ж е н и е , п о л у ч е н н о е о б ъ е д и н е н и е м о т о б р а ж е н и й g и / (G = (g,f)^T:Dс Ш^т+п - » R^{w + n}) . Пусть z(t^k) - значение т о ч н о г о

решения задачи (2.1) в т о ч к е t^h z^k - значение точного решения задачи (2.5) в т о ч к е h ^и Ч ⁼ z^k(N)- значение п р и б л и ж е н н о г о р е ш е н и я задачи (2.5) в т о ч к е t^h полу­

ченное после N итераций некоторого итерационного метода.

Дополнительно введем вектор

и определим отображения

Gl'.Dd ^{Ц 5(т+п)(/+1)} _ > [ T ^ ( w + n ) ( / + l ) Q^D^ [ f l [ ( m + n ) ( / + l ) _ ^ j j ( m + n ) ( / + l )

* = 0,1 следующим образом:

Gk^Zk+\ =

Г l l

* * + x X (*\jg(ziq\ / f e ) i ] f c + x l <*tjg(z^kj)> f(*ki)>

V

/ ( W

X^k + X I ^ ( Z * / ) , ) ^ + X X <*ijg(Zbj), / U « ),

7=1 7=1 / у

^ + x 2 b^ig(z^ki\ f(z^k+x) .

1=1

;

У ч и т ы в а я введенные обозначения, задачу (2.5) запишем в более компактном виде:

(2.6а) Z^k+l=G^xkZ^k+1,

ik="0,l

(2.66) Z⁰ = Z^u= ( z V . . , z ° )^T€ (т+л)(/+1)

Для р е ш е н и я системы (2.6) можно применять р а з л и ч н ы е итерационные методы. Рас­

смотрим три наиболее известных: метод простых итераций, метод Н ь ю т о н а и моди­

фицированный метод Ньютона.

А л г о р и т м метода Рунге - К у т т ы - простых итераций (Р.К.п.и.) имеет следующий вид:

(2.7а) (2.76) (2.7в)

к+\ - ^ик

(т+л)(/+1) , z^k- z ^k, £ = 0 , 1 , . . . , # - 1 , / = 1,2,...,N,

Z⁰= Z^u= ( z^u, . . , z^u°\)^т а Ю>(т+п)(1+\) ^Te

Равенство z^k = z^k означает, ч т о в качестве приближенного р е ш е н и я задачи (2.5) на к-м ш а г е б е р е м последние m + п к о о р д и н а т в е к т о р а Z ^ , п о л у ч е н н о г о после N итераций алгоритма (2.7а).

А л г о р и т м метода Р у н г е - К у т т ы - Н ь ю т о н а (Р.К.Н.) легко получить, если привести задачу (2.6) к следующей ф о р м е :

F * %^{+ 1}= 0 , * = 0 , 1 , . . . , Х - 1 ,

Теорема сходимости для методов Рунге-Кутты 77

Z0= Z° = ( z⁰, . . . , z° )TG[ R( m + w ) ( / + 1 ), ¹

где F^k = Е{ т + п ) { М ) - G\ (Е^{т+п){М) - единичная матрица размера (m + m)(l + 1)). При­

менение метода Н ь ю т о н а к этой задаче дает искомый алгоритм

(2.8а) Zl^+l=Zti-^(ZJ-\T^lF,?Zti,

(2.86) Z°^k+l=(z^k,...,z^kY e U( m + n ) ( M\ z^k=4, * = 0 , l , . . . , t f - l , / = 1,2,...,W, (2.8B) Z⁰= Z⁰= ( Z ° , . . . , Z ° )^{t 6}R⁽"⁺"^{) (}'^{+ l )},

где F^kx = £ (^{m +}„ ) ( ( + i ) - G^{t T}. А л г о р и т м с использованием м о д и ф и ц и р о в а н н о г о метода Н ь ю т о н а (Р.К.м.Н.) отличается от предыдущего тем, ч т о в к а ж д о й т о ч к е сетки w^x обратная матрица вычисляется один раз:

(2.9а) Z J+ 1 =Z£;1 -dFk\Z^kT^xF?z£^v

(2.96) Z°^k+]=(z^ki...,z^k)^T e U{ m + n ) i M\ z^k=zF, "* = 0;1 AT—1, i = 1,2,...,/V, (2.9B) Z⁰ = Z ° = ( Z⁰, . . . , Z ° )^TG R( W + / , ) ( / + 1 ).

И т а к , п о с т р о е н ы т р и класса комбинированных численных методов для прибли­

женного решения задачи (2.1). Исследуем сходимость и оценим погрешность каждого

из этих классов алгоритмов. !

§ 3. Т е о р е м ы сходимости

П р е д п о л о ж и м , ч т о на компактном множестве D\ задача (2.1) удовлетворяет сле­

дующим условиям.

[ . У с л о в и е г л а д к о с т и . О т о б р а ж е н и е G: Д с U^m+n —» Ш^т+п имеет на мно­

жестве Di непрерывные частные производные до порядка s + 2 включительно. В част­

ности, отсюда следует / WdG(z')-dG(z")<y\\z' -z"\\ Vz', г ' е Д ,

где у- некоторая константа.

II. У с л о в и е н е в ы р о ж д е н н о с т и . Матрица Е^п - df^y(z) не в ы р о ж д е н а для л ю б о г о z е Д .

I I I . У с л о в и е в к л ю ч е н и я . Существует выпуклое множество D⁰ т а к о е , что z° е D⁰ с Dj. (Включение D⁰ с Д означает, что множество D⁰ содержится в D\ вмес­

те с некоторой окрестностью.)

Известно [3], ч т о в э т о м случае задача (2.1) имеет единственное решение z{t) с D^Q. Н и ж е нам понадобится

Л е м м а 1. Пусть задана (2.1) удовлетворяет условию невырожденности на множестве Д с ( R^{m + ,}\ Тогда для любого z е Д блочная матрица размера (т + л)-

•(/+ 1 ) Х ( т + л)(/ + 1)

где каждый блок P, ( z ) размера (т + п) X (т + п) имеет вид 1 О

О О

-bfⁿlbx^x

о о .» О

0 О О

1 о ... о

^}/.bmJ-W -Э/l / Эуи

- Э /^п / дхт - Э /^л / Эу! ... 1 - Э/^й / дуп

не вырождена.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что для л ю б о й правой части систе­

ма линейных алгебраических уравнений с матрицей P(z) имеет единственное решение.

Это легко сделать с помощью метода Гаусса с выбором главного элемента. Лемма до­

казана.

Используя лемму 1, докажем теорему о сходимости точного решения задачи (2.5) к точному р е ш е н и ю задачи (2.1) при т —> 0.

Т е о р е м а 1. Пусть задача (2.1) удовлетворяет на множестве D\ условиям гладкости, невырожденности и включения. Тогда существует такое т⁰ > 0, что для любого х < т⁰ существует единственное решение задачи (2.5), сходящееся к точному решению задачи (2А) при X - » 0. При этом справедлива оценка

(3.1) И г ( у - 2 * 1 1 = 0 ( т / ) > к = 0,1 ЛГ,

где s - порядок Р.К.-формулы, положенной в основу дискретной задачи (2.5).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим множество (3.2) D = {zeR^m+n:p(z,D⁰)<Rx^l}.

Во-первых, для л ю б о г о 0 < R < °° множество D существует. В о - в т о р ы х , из условия включения следует, что Х\ можно в ы б р а т ь таким образом, ч т о б ы выполнялось в к л ю ­ чение D с D^x. В-третьих, в статье [2] доказано, что множество D выпуклое.

Н и ж е покажем, что R можно выбрать так, ч т о б ы z^k € D для л ю б о г о к = 0, 1,...,АГ.

П о л о ж и м

т⁰ = т и н т а х { А , # } ' т а х { А , В } С £ ' 1 ¹

ЕМу + С - ^ ЕМу (ЕМу + 1С) т а х { А , # } С²£ ^ll г»

где

^=1 /=1

supllg(z)ll<M, SUpll3^(z)ll<C, supll/>U)ll<£

zebi

(P(z) - матрица из л е м м ы 1). Теперь зафиксируем произвольное х < х⁰ и воспользуемся индукцией по £.

1. Пусть к = 0. Задача (2.5) имеет вид

(3.3) FQZ^X = 0, так как FQ = F^{0 T}.

Для решения (3.3) используем метод Н ь ю т о н а

(3.4) z ; = z { -

- э д а г

) -

^ -

, / = 1,2,.

Теорема сходимости для методов Рунге-Кутты 7 9

О ч е в и д н о , ч т о оценка (3.1) при к = 0 выполнена. У ч и т ы в а я условия I—III, имеем следующее:

а) т а к к а к I I P ( Z ° ) - 3 F^{0 T}( Z ° ) I I < m a x { A , # } C x , матрица P(Z) в силу л е м м ы 1 непре­

рывна и не вырождена на множестве D, а т а х { А , В}Ст < 1 (следует из определения т⁰) , то, используя лемму о возмущении [10, с. 49], получаем, что существует 3 F^{0 T}( Z ° )^{_ 1}, причем

lldF^{0 x}(Z⁰)-^lll£ т = Р;

0 l - m a x { A , B } C F x

б) \ldFS(Z⁰)-^]F^Z⁰\\<\\dFS(Z⁰y^l\\ I 1 G^{0 T}Z^Q- Z^Q1 I < ^т^ А ' В } £ М т ^{= у ? ;} 1 - т а х { Л , В } С с Г

в) l i a F^{0 T}( Z ' ) - 9 F^{0 T}( Z " ) l l = l i a G j ( Z " ) - 3 G j ( Z ' ) i l ^ l l 9 G^{/ + 1}( Z " ) - 3 G^{/ + l}( Z ' ) l l ^

< y l l Z ' - Z " l l ,

т.е. liaFo^T(Z')-aFo^T(Z")ll<YHZ'-Z"ll V Z ' , Z" e P^{, + 1}, для = £ > х . . . х £ ) с R( m + n ) { , + 1 ), G^{( + 1}= ( G G )^T: D '^{+ 1} c R^{( r t ) (}'^{+ 1 )}- > R^{( ,}"⁺" !^{( ( t l )};

о max{A, В}Е²Му та\{А,В}Е²Му

г ) а = Вуц = ! — - • '-^-T⁰<\/2;

( 1 - т а х { А , В } С £ т )² ( 1 - . т а х { А , Я } С £ т⁰)² д) докажем, что замкнутый шар S ( Z⁰, р*) с £ ) '^{+ 1}, где

(35 ) р, ⁼ 1 - т а х { Л , Д } С £ т^{( 1}_ ^^т- ^ F y

Пусть Z е S(Z°,p*)~ произвольная точка, т.е. \\Z-Z°\\< р*. Разлагая правую часть ф о р м у л ы (3.5) в ряд Тейлора в окрестности х = 0, нетрудно получить

(3.6) р* = О(х).

Н о ZQ = z(0) s D⁰, следовательно, вспоминая определение множеств D из (3.2) и D^t+l\ константу R можно выбрать так, ч т о б ы Z е D^M.

И з выпуклости множества D (или D^{/ + 1}) и утверждений а) - д) следует, что в точке Z⁰ справедлива т е о р е м а К а н т о р о в и ч а [10, с. 404], п о э т о м у и т е р а ц и и (3.4) л е ж а т в 5 ( Z ° , p * ) и сходятся к единственному решению уравнения (3.3) в S ( Z ° , / ? * * ) n D^{/ + 1}, где

(37) ^ ⁼ 1 - т а х { Л , Д } С £ т^{( 1 + л / г г} ^ ⁾

П р и э т о м имеет место оценка ошибки

(3.8) l l ^ Z / l l < ^^maxi^A^^}C£T( 2 a )^2f , / = 0 , 1 , . . . .

1 1 2 ' F y :•

Следствием (3.8) является оценка

(3.9) \ \ 1 ^{- г ^ < ^Х - ™ ^{х [} * ^ЖЕ \ г * ) ^г \ « = 0 , 1 , . . . . 2 Fy

Таким образом, при к = 0 существует единственное решение задачи (2.5).

2. Пусть для к = 0, существует единственное решение задачи (2.5). Д о к а ж е м , ч т о для z⁷ с п р а в е д л и в о (3.1) и с у щ е с т в у е т Z^{; 4 1} - единственное р е ш е н и е задачи

FfZj^+l = 0. Для э т о г о рассмотрим итерационный процесс

(зло) z ;

= z ) ; i - a ^ ( z j ; l ) -

^ z ; ; l , 1 = 1,2,...,

Z?^{+ 1}. = ( 2^у- , . . . , 2⁷)^т е

u

\

Д о к а ж е м оценку (3.1). И з определения нормы имеем (3.11) \\z(tj)-Zj\\=max{\\x(tj)-Xj\\, "IIyCf/> — • • >-

Во-первых, из выпуклости множества D и предположения индукции для k=j следует, что [x(tj),Xj]e D. Во-вторых, из условий I—III имеем, что в т о ч к е x(tj). применима т е о р е м а о неявной функции [10, с. 128], т.е. существует т а к о й ш а р S(x(tj),г)с 1 й^т, ч т о для л ю б о г о х Е S(x(tj), г) существует единственное р е ш е н и е у = п(х) системы У =/(*» У)> п р и ч е м h:S(x(tj),r) с R ^M —> Ш^п F - д и ф ф е р е н ц и р у е м о в т о ч к е x(tj) и

dh(x(tj)) = -[Eⁿ-д/^уЩ))Г*д/^хЩ)).

Далее заметим, что для л ю б о г о х e[x(tj%Xj]nS(x(tj)ⁱr) снова применима теорема о неявной функции. Поступая подобным образом, получаем о т к р ы т о е п о к р ы т и е от­

р е з к а [x(tj),Xj\

В силу компактности отрезка в (R^m, из о т к р ы т о г о покрытия м о ж н о извлечь конеч­

ное подпокрытие (лемма Гейне - Б о р е л я ) . Тем самым существует система о т к р ы т ы х ш а р о в S(x^hr^t) = S^h / = 0 , 1 , . . . , / , x⁰=x(tj), x^I=Xjⁱ к о т о р а я п о к р ы в а е т [x(tj),Xj]^t причем jc^{f > 1}. G [x(tj)>Xj]r\S^t (см. фигуру).

Тогда с учетом т е о р е м ы о среднем имеем

11у(г^;)-у,.||< I \\y^M-y^t\\Zl suv\\(Eⁿ-df^y(z)T^ldf^x(z)\\ \\x^i+l-^Xi\\<

i=l i=l

*

A

ud&Hxit'^-XjU,

где

$щ\\(Е^п-д/^)Г¹\\<4^

su ^H3 /

(z)ll<rf

,

Теорема сходимости для методов Рунге-Кутты 81

а у; - решение системы уравнений y=f(x^h у). Тем самым получена оценка (3.12) Uyit^-yjUud^Uxit^-XjU.

( З д е с ь и с п о л ь з о в а л с я с л е д у ю щ и й п р о с т о й ф а к т : если хе[х',х"\ т о l | j t ' - ; t l l +

+11х - х"\I =11х' - х"\I для л ю б ы х х\х" е Ш^т.) >.

Подставляя (3.12) в (3.11), имеем

(3.13) Uzit^-ZjUumMihd^Wxit^-XjW.

Т а к и м образом, (3.13) позволяет оценить полную погрешность в точке t^} через по­

грешность в х-компонентах решений задач (2.1) и (2.5). С учетом предположений (2.3), из т е о р е м ы Б у т ч е р а следует, что Р.К.-метод имеет порядок s, поэтому для погреш­

ности справедлива оценка (3.1). (Подробное доказательство э т о г о ф а к т а содержится ниже в лемме 2.)

Т е п е р ь , использовав э т о т р е з у л ь т а т , д о к а ж е м существование и единственность В т о ч к е Z^+j условия а) - г) проверяются аналогично п.1. Остановимся отдельно на условии д).

П о к а ж е м , что S(Zj^+lip*)cz D^{/ + 1}, гдер* определено в (3.5). Пусть Ze S(Z^^+]i/?*)- произвольная т о ч к а , т.е. I I Z - Z ^^{+ 1}I I < р*. Тогда, у ч и т ы в а я (3.6), получаем, что при достаточно малом т справедливо

\\Z-Z(tj)\\<\\Z-Z°^+l\\+\\zy^+l -Z(tj)\\<^Kp* +0(T^S)<RT.

Н о z(tj) е D⁰, следовательно, Z e .

Применяя теорему Канторовича, получаем, что итерации (3.10) л е ж а т в S(Z^^+l,p*) и сходятся к единственному решению уравнения FjZj+\ = 0 в 5 ( Z ^^{+ 1}, p * * ) n Д где р**

определено в (3.7). Теорема доказана.

Л е м м а 2. Пусть Р К-метод (2.2) имеет порядок s. Тогда если задана (2.1) удовлетворяет на множестве D^x условиям гладкости, невырожденности и включения, то справедливо представление.

(3.14) x(t^k+i)-x^w=0(z^s+^l),

где x^k+i суть х-компоненты решения задачи (2.5) с условием z^k = z(t^k).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства этой л е м м ы м о ж н о б ы л о бы, напри­

мер, по аналогии с теорией Б у т ч е р а [8] вывести условия порядка для дискретной за­

дачи (2.5) и показать, что они следуют из обычных условий порядка для Р.К.-метода.

Тем самым оценка (3.14) была бы доказана. Однако вывод условий порядка для (2.5) т р е б у е т з н а ч и т е л ь н ы х усилий и к тому ж е не является н е о б х о д и м ы м в р а м к а х н а с т о я щ е й статьи. П о э т о м у д о к а ж е м оценку (3.14) без вывода условий порядка.

Воспользуемся индукцией по порядку Р.К.-метода, используемого для построения разностной схемы (2.5).

1. Пусть 5= 1 , тогда лемма 2 верна. Д о к а з а т е л ь с т в о э т о г о ф а к т а для неявного метода Эйлера нетрудно получить с п о м о щ ь ю тейлоровского р а з л о ж е н и я решений задач (2.1) и (2.5) по степеням т в окрестности точки t^k (см. [11, с. 68-70]).

2. Предположим, что для л ю б о г о Р.К.-метода до порядка s - 1 включительно пред­

ставление (3.14) справедливо. Тогда докажем, что оно имеет место и для Р.К.-метода порядка s.

Д и ф ф е р е н ц и р у я в е к т о р н о е уравнение (2.16), с учетом условий I - III перейдем от задачи (2.1) к эквивалентной задаче (см. [3])

(3.15а) x'(t) = g(x(t),y(t)), y'(t) = h(x(t)),y(t)), (3.156) *(0) = Л У(0) = у ° ,

где h(x(t\y(t)) = [Eⁿ-df^y(x(t\ y(t))]~^ldf^x(x(t), y(t))g(x(t)), y(t)). Р . К . - м е т о д для за­

дачи (3.15) имеет вид

(3.16а) x^ki=x^k+T%-a^ijg(x^ki,y^kj), 7 = 1

/

(3.166) ^ = ^ + т Х ^ Ц , ^{Л ;} . ) , / = 1,2,...,/, 7=1

/

(3.16B) x^k+l = х^к + т X b^ig(x^ki,y^kil

(3.16г) У^к+1=У^к+*Ъ ЬМхи>Уш)> * = 0 , 1 , . . . , К - 1 ,

/=1

(3.16д) х⁰=х°, у⁰ = У°-

Обозначим через z^k+l решение задачи (3.16) в т о ч к е t^k+\, тогда из т е о р е м ы Б у т ч е р а с учетом предположения z^к = z^k = z(t^k) следует

(3.17) z(t^k+l)-z^M=0(x^s+l).

П о определению, Р.К.-метод имеет порядок 5, если ряды Т е й л о р а т о ч н о г о и при­

ближенного решений по степеням х в т о ч к е t^k совпадают до порядка s в к л ю ч и т е л ь н о . П о э т о м у для решений задач (3.15) и (3.16) справедливо

(3.18) г^{( 0}( * * ) = # \ i = 0,l 5.

С учетом предположения индукции, из оценки (3.13) имеем (3.19) z(t^M)-~z^k+l=0(v^s\

что подразумевает

Z⁽ⁱ⁾(t^k) = z[ⁱ\ / = 0 , 1 , . . . , 5- 1 , а принимая во внимание (3.18), получаем (3.20)

4°=^°,

П о к а ж е м , что

( 3 2 1 ) 2l^s)=xl'\

Тогда из (3.17) следует (3.14).

Для производных (s - 1)-го п о р я д к а х ^^{- 0} и х^(к~¹⁾ в силу ф о р м у л ы Лейбница [8, с. 151] справедливо представление

(3.22а) ^ -¹> = ( 5- 1 ) I d*~²g .Ai^k,y^k)il^p)ft\

p+q=s-2 ^{Х }}

Теорема сходимости для методов Рунге-Кутты 8 3

(3.226) x t^{l )} = ( 5 - 1 ) I d°-²g ^гРЛ^Юх[^

где

g(x^k,y^t) = i⁴ + T S ,у^к) , , & ) = + х I ,у*),

/ = i . / = i

Э'^?- \ , / * , у ) = ( dx^Pi

д^р"

дх^р*

д⁴¹ а * ад

(g(x,y)...

Х(Р) ^=Х(РО дс^'^{г а )}, =y\^4l) ... yl?"\p И q - мультииндексы, причем р^х + ... + р^т=р,

<7i + ... + qn = q и суммирование берется по всевозможным наборам индексов р „ j = 1 , 2 , т , qj,j = 1 , 2 , и , для которых р + q = s — 2.

Продифференцировав формулы (3.22), получим

(3.23а) xis)=(s-l)

I [О'"

1

(3.236) + Э * -² 8^хРуЯ (х^к,у^к) Сх[^р) )'№ + Э -²1 ^ , ( X , , у⁴) ( # > ) ' ] ,

+ Э ' -²^ ( д -⁴, у * ) ( ; ^

П о условию л е м м ы 2, ^ = поэтому из (2.5а) и (3.16а) имеем g(z) = g(z). Следо­

вательно, из представления

т г) ^п г)

/=1 dxj

и (3.20) при / = 1 получаем

(3.24) ( ^ ^ ' ( ^ й ) Г т е = Г 1 ^ ( * . й ) ) ' ^

Аналогично, из равенства z^k=z^kn (3.20) приходим к

(3.25) Э -2 i , . Схк, Ук )С4Р) Уу[ч) = Э -2 i p . (хк, ук) ( # > ) ' я

(3.26) Э -а ^

(5*.л)*1'

(Й«

)'

у ^ У .

П р и н и м а я во внимание ф о р м у л ы (3.24)-(3.26), из (3.23) п о л у ч а е м (3.21), ч т о завершает доказательство леммы.

Т е м с а м ы м доказано, ч т о задача (2.5) поставлена к о р р е к т н о и аппроксимирует задачу (2.1) с точностью 0(х⁵).

З а м е т и м , ч т о похожий результат получен в [5], [6]. О д н а к о в нашем случае не требуется обратимости матрицы, составленной из к о э ф ф и ц и е н т о в Р.К.-метода, ч т о позволяет применять теорему 1 даже к явным методам. К р о м е того, теорема 1 имеет конструктивный характер, т.е. дает практический способ решения задачи (2.5), но об этом более подробно будет сказано ниже.

Таблица 1

N

X

К Г1 io-² IO"3 IO"4 IO'⁵

1 1.002-10^{+ 2} 6.453-10° 5.81110"1 5.749-IO"2 5.743-1Q"³

10 2.755-10"¹ ' 1.986-10"2 1.883-IO"3 1.883 10"4 1.882-IO"⁵

20 1.742-10"2 3.566-10"⁵ 3.173 10"6 3 . 1 7 0 1 0 "7 3 . 1 6 7 1 0 "8

30 1.734-10"² 1.741 10"6 5.685-IO"9 5.580-IO"1 0 5 . 5 7 4 - I O- 1 1

40 1.734-10"2 1.71910"6 1.761 IO"^{1 0} 1.029-IO"^{1 2} 1 . 0 1 9 1 0 "^{1 3}

50 1.734-10"² 1.71910"⁶ 1.718-10"1 0 1.836 1 0 "1 4 7.633-IO"1 6

Таблица 2

N

X

К Г¹ IO"2 IO"3 IO"4 IO"5

1 1.003-10+ 2 6.453-10° 5.811 IO"1 5.749-IO"2 5.743-10~3

20 1.079-10"3 3.478-10'5 3 . 1 7 3 1 0 "6 3 . 1 7 0 1 0 "7 3 . 1 7 6 1 0 "⁸

40 8.906-10"5 1.654-10"^{1 0} 1.023-IO"^{1 1} 1.019 IO"1 2 1 . 0 1 9 1 0 "1 3

60 8.906-10"5 8.783 10"1 1 2 . 2 2 0 - 1 0- 1 6 2.359 1 0 "1 6 8.049-10"1 6

80 8.906-10"5 8.783-10"1 1 2.359-10"1 6 2.359-10"1 6 8.049-IO"^{1 6}

Таблица 3

N

X

ю-¹ IO"2 IO"3 IO"5

1 2 . 3 4 7 - 1 0+ l 1.627.10"1 1.670 10"³ 1.674 10"5 1.674- iO"⁷

2 1.141-10° 5 . 2 1 8 1 0 "5 4.400-10"9 4.362-IO"^{1 3} 1.811 IO"1 5

3 1.735 10"2 1.71910"6 1 . 7 1 8 1 0 "1 0 1.855 1 0 ~^{1 4} 8 . 1 8 8 I O "1 6

5 1.734 10"2 1.71910"6 1 . 7 1 8 1 0 "1 0 1 . 7 6 1 1 0 "1 4 8.188-Ю"^{1 6}

7 1.734-10~² 1.71910"⁶ 1.718-10"^{1 0} 1.761-10"1 4 8.188-10"^{1 6}

П р о и з в о л ь н ы й Р.К.п.и.-метод имеет вид (2.7) и определяется заданием к о э ф ф и ­ циентов а-ф b^h с⁽ и /, причем эти к о э ф ф и ц и е н т ы должны удовлетворять условиям (2.3).

О т н о с и т е л ь н о задачи (2.1) будем т е п е р ь предполагать, ч т о она на к о м п а к т н о м множестве D\ С Ш^т+п удовлетворяет условиям гладкости, ограниченности и в к л ю ч е ­ ния. П е р в о е и третье условия уже определены в ы ш е , а второе имеет следующий вид.

Теорема сходимости для методов Рунге-Кутты 85

Таблица 4

N

, х

IO"¹ IO"² IO"³ IO"4 IO"5

1 2.349-10+ 1 1.627-IO"1 1.670 10"3 1.674 10"⁵ 1.674 10"7

2 1.146-10° 5.305-10"5 4.493-10~9 4.455 10"1 3 1.818 1 0 ~^{1 5}

3 3.658-10^ 8.724-IO"^{1 1} 2.706-IO"^{1 6} 1.721- IO"1 5 8.327 1 0 "1 6

5 8.906-10"⁵ 8.783-IO"^{1 1} 2.498-10~^{1 6} 2.220- IO"^{1 6} 8 . 1 8 8 1 0 "1 6

7 8.906-10"5 8.783-10"1 1 2.498-10"1 6 2.220-10"1 6 8.188-10"1 6

Таблица 5

N

х

IO"1 IO"2 10~³ IO"⁴ КГ5

1 2 . 3 4 7 - 1 0+ l 1.627-IO"1 1.670-IO"³ 1.674-IO"⁵ 1.674-IO"7

2 1.731-10*1 1.624-Id"2 1.611 1 0^{- 5} 1.61110"8 1.61110"^{1 1}

3 4.396-10"1 2.505-10~5 2.587-10~9 2.623-IO"1 3 1.320-10"1 4

5 2.033-10"2, 1.718-10"6 1.718-IO"1 0 1.761 IO"1 4 8 . 1 8 8 1 0 "1 6

7 1.727-10"2 1.719 10"6 1.718-IO"^{1 0} 1.761 1 0 "^{1 4} 8 . 1 8 8 1 0 "1 6

Таблица 6

X

IO"¹ IO"2 IO"3 IO"5

1 2.349-10+ 1 1.627-IO"¹ 1.670-ИТ³ 1.674-IO"5 1.674 10"7

2 1.733 1 0^{+ 1} , 1.624 10"2 1.611-ГО"5 1.61 MO"8 1.61 M O "^{1 1}

3 4.580-10"1 2.654-IO"5 2.544-IO"⁹ 2.534-IO"1 3 1.320 1 0 "1 4

5 1.139 10~2 2.234-10"⁹ 2.290-Ю"1 5 2.220-10"1 6 8.188-10"1 6

7 2.592-10"4 8.788-IO"1 1 2.498-10~^{1 6} 2.220-10"1 6 8.188-10"1 6

IV. У с л о в и е о г р а н и ч е н н о с т и :

| | Э Д 2 ) И ^ < 1 V z e D , .

Н е т р у д н о видеть, ч т о из условия ограниченности следует условие н е в ы р о ж д е н ­ ности. П о э т о м у теорема 1 остается справедливой и в этом случае. Усиление условия II связано с использованием метода простых итераций, чтобы гарантировать сходимость Р.К.п.и.-метода. Справедлива следующая