В. М. Кунцевич, Исследование устойчивости свободных и вынужденных движений двух типов импульсных экс- тремальных систем, Автомат. и телемех. , 1965, том 26, выпуск 6, 1010–1020

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. М. Кунцевич, Исследование устойчивости свободных и вынужденных движений двух типов импульсных экс- тремальных систем, Автомат. и телемех. , 1965, том 26, выпуск 6, 1010–1020

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:28:49

Том XXVI «АВТОМАТИКА И ТЕЛЕМЕХАНИКА»

19 6 5

№ в

У Д К 62-504 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ

ДВИЖЕНИЙ ДВУХ ТИПОВ ИМПУЛЬСНЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

В. М. К У Н Ц Е В И Ч (Киев)

Р а с с м а т р и в а е т с я устойчивость «в малом» двух типов э к с т р е м а л ь н ы х систем с м о д у л и р у ю щ и м и воздействиями. Д л я определения устойчивости в ы н у ж д е н н о г о д в и ж е н и я системы с с и н х р о н н ы м детектором п о л у ч е н а у р а в н е н и е в в а р и а ц и я х в виде линейного разностного у р а в н е н и я с перио­

дическими к о э ф ф и ц и е н т а м и и д а н метод его и с с л е д о в а н и я . Д л я системы с д в у м я пробными ш а г а м и п о л у ч е н ы у р а в н е н и я к а к д л я и с с л е д о в а н и я устойчивости свободных колебаний, т а к и д л я определения устойчивости в ы н у ж д е н н о г о д в и ж е н и я т а к ж е в виде л и н е й н ы х р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й с периодическими к о э ф ф и ц и е н т а м и . Проведено сравнение систем обоих типов.

Введение

Несмотря на большое количество опубликованных работ по исследова­

нию экстремальных систем, устойчивость свободных колебаний в них и в особенности устойчивость вынужденных движений (устойчивость в режи­

ме дрейфа экстремума) изучена еще совершенно недостаточно. В настоя­

щей работе излагается (метод исследования устойчивости «в малом» двух указанных выше видов-движения для двух типов импульсных экстремаль­

ных систем с модулирующими воздействиями: а) системы разностного типа с синхронным детектором [1] и б) системы с двумя пробными шага­

ми (см., например, [2—4]).

1. Уравнения движения и анализ устойчивости систем разностного типа с синхронным детектором

Структурная схема рассматриваемой системы приведена на рис. 1.

В дальнейшем принимается, что динамические свойства объекта и крутиз­

на экстремальной характеристики постоянны или квазипостоянны. Урав­

нение нелинейного :звена с экстремальной характеристикой аппроксими­

руем параболой и с учетом двух видов возмущений, смещающих точку экстремума, запишем его в виде

ф : = - а н ( я + г | > )²+ V (1)

где ф —- показатель экстремума; г|), % — возмущения произвольного вида, а^н — крутизна характеристики.

Остальные уравнения системы (рис. 1), принимая импульсные элемен­

ты идеальными, запишем в виде

x(s) =W^xM(s)M(s), (2)

1010

где

где

М = \х + щ

m(s) = W^mV(s)v*(z),

v*\z)=ам-

(3)

z + V

V>(s) =W^m{s)u*{z), yn = A q)n- i ( — l )n, u4z)=W^uy*(z)y>{*).

Здесь (2) — уравнение линейной части объекта; (3) — уравнение цоти модулирующих воздействий; (5) — уравнение регулятора с синхронным

Объект регулирования

<3а).

(4) (5) (6)

М I т ^I

|А I

Az)

ylz)

X

1

Рис. 1. С т р у к т у р н а я схема экстремальной систе­

мы разностного типа с синхронным детектором:

1 — п е р е м н о ж а ю щ е е устройство (синхронный де­

тектор) , 2 — элемент з а д е р ж к и (памяти)

детектором; (6) — уравнение корректирующих звеньев; (4) — уравнение сервомотора; ттг, х, щ у — регулируемые координаты; ам' — амплитуда модулирующего воздействия; y*(z), v*(z)y и* (z) —^-преобразования соот­

ветствующих координат.

Для этой системы уравнений в [1] было получено следующее нелиней­

ное разностное уравнение динамики с переменными во времени коэффи­

циентами:

[2a^Ma^HW(E) (Е + 1) + Е]е^п - a*W(E) [е^п+? - е^п*) ( - 1 ) 4 =

= ^n⁺i-W(E)[^ⁿ(-i)nl (7) где е — регулируемая составляющая ошибки системы:

е = x^v +я|); (7а)

и, кроме того, введены обозначения:

x*{z) = x^p*(z) +x^m*(z), (76)

x^v{z) = (7в>

z^m* (z) = W^mVW^xM* (z) v* (z), (7r>

W(E) = W^xMW^m(E)W^uy(E), (7д>

x^v — регулируемая составляющая координаты x\ x^m — модулирующее?

воздействие на входе нелинейного (звена.

Здесь Е — оператор смещения (Ехп = xn+i), ам* — пересчитанная к входу нелинейного звена амплитуда модулирующего воздействия,

5* Ю Н

определяемая как частное решение разностного уравнения.

; a^M(-l)n = a^M/W^xMW^mV(E){-l)n. (7е) Если ограничиться рассмотрением устойчивости «достаточно малых

отклонений» от (положения равновесия, т. е. таких отклонений, при кото­

рых можно пренебречь вторыми степенями в^п, то устойчивость системы

«в малом» определяется линейным разностным уравнением с постоянны­

ми во времени коэффициентами, получаемыми из (7) при г|)п == Акп — О ш при отбрасывании нелинейных членов. Так как метод исследования та­

ких систем достаточно хорошо известен, то на этом останавливаться не будем. Укажем только, что во многих случаях ограничиться определением устойчивости 'Свободных колебаний «в малом» нельзя и необходимо вести исследование с учетом нелинейных членов, что и было выполнено при по­

мощи приближенного метода *

Рассмотрим теперь устойчивость вынужденного движения системы (7).

Пусть е^п является вынужденным, стационарным движением, устойчивость которого исследуется. В соответствии с теорией устойчивости А. М. Ляпу­

нова будем судить об устойчивости этого движения по поведению системы при достаточно малых возмущениях, т. е. по поведению, близкому к уста­

новившемуся вынужденному движению соседних режимов

е^п = 8^П + 8 е^п, (8)

где 8е^п —• «достаточно малое» отклонение от стационарного режима.

Чтобы дальнейшее исследование было более конкретным, прим:ем опре­

деленные допущения о законе изменения \|)п и Яп. Так как экстремальные системы являются по существу некоторой разновидностью следящих сис­

тем, то, подобно тому как это часто делается при исследовании следящих систем, примем, что 4>n = Р/&, а для Яп примем, что ДА,П = 0. Для большей наглядности и простоты последующих выкладок будем рассматривать систему второго порядка, хотя, как это будет видно из дальнейшего изло­

жения, предлагаемый метод не "накладывает ограничений на порядок системы.

Заимствуя из [1] рассмотренный там пример, принимаем, что W^xM(s) = ail ( T S + 1), Wpuis) = а²/ s, W^uy* (z) = 1, чему соответст­

вует

При этом уравнение (7) запишем в виде

е^п+2 + Афп+,- А ( - 1 ) » е ^ + А &^п + А ( ^ ) » е^п * = (1 _ с?)р, (10)

где

At = 2 a^Ma^s (1 — d) — (1 + d), Аг = 2 a^Ma² (1 — d) + d,

A = an (1 — d), as = a^Hai(X2.

Стационарное установившееся движение г^п в данном случае может быть найдено в виде г^п = Ь = const. Подстановка г^п = h в (10) дает

h= , ¹ p. (llli 4 a^Ma s

Подставляя далее (8) и (11) в (10) и пренебрегая ввиду малости чле­

нами со вторыми степенями бе, получцм искомое уравнение в вариациях

б в^{п +}2 + AJ(n)beⁿ+i + A²'{n)beⁿ = 0, (12)

• Т у н и к А. А. Определение областей устойчивости и м п у л ь с н ы х э к с т р е м а л ь н ы х с и с т е м з модуляцией путем а н а л и з а п а р а м е т р и ч е с к и х колебаний. Т е х н и ч е с к а я кибер­

н е т и к а , № 1, 1965.

1012

где

1013

A^t'(n) = At — 2 M ( — l )ⁿ, A^2r(n) = A² + 2hA(-l)ⁿ. (12a) Поскольку нас интересует только устойчивость решения полученного

однородного линейного уравнения с периодическими коэффициентами, fro воспользуемся методом исследования [ 5 ] , несколько модифицировав его применительно к рассматриваемой задаче. Для этого заменим (12) равно­

сильной системой

беп+1 • = а^пЬе^п + ЬпОп, (13)

On+i = с^п8е^п + й^пОщ (14)

где

ая = Ья = 1, cn = - [ 1 + +А2'(п)], dn = -[l+Aii(n)]. (14а) Полагая п = NK, где iV = 2 — период изменения коэффициентов, на основании уравнений (13), (14) запишем

Se²k+i = 8e^2k + 0 2 f t , (15)

(Т2А+1 = • ' co6e²fe + d⁰G²k (16)

и далее на основании (15) и (16) можно записать

бе²(м-1) ⁼ (8e^2k + G^2k) + {c⁰&e^2k + d⁰o²k), (17)

0 2 ( f t + i ) . ='Ci (8e^2k + o^2k) + di (cQ8e2k + dofek). (1.8) Вводя оператор смещения 2?, уравнения (17), (18) запишем в виде

aⁱⁱ(E)Seⁿ + aⁱ²(E)oⁿ = 0¹ (19) а²¹(Е)8е^п + а²²(Е)в^п = 0, (20) где

dti (Е) = Е* - (1 + со), 0 4 2 (Е) = - (1 + 4 ) , № (Е) = - (^{C l} + фА), а22{Е) =Е*- ( d + codi).

Приравнивая нулю определитель D этой системы, получим ее характе­

ристическое уравнение

£ 4 + № + Г2 = 0 (21)

и после замены переменных Е\ = Е2 имеем

Е? + № + Г² = 0, (21а)

где

Tt = - (ci + d⁰di + 1 + со), Г² = (1 + со) (ct + ФА)- (1 + do) (ci+dtc⁰).

(216) Условия устойчивости для (21а) имеют вид

М + Г г + Г а ^ О , 1 - Г1 + Г2> 0 , 1 - Г2> 0 . (22) Из (14а) и (12а) следует, что

с0 = а = — (1 + Ai + А²) ,]

и

d⁰ = - ( 1 + Ai~2hA), di = - ( 1 +Ai + 2hA). ' ^f После подстановки этих значений в выражения (216) из условий устойчивости (22) получим, что необходимо

или

[2a^Ma^s(l-d)-lf+d2

h < • (2 3а)

Принимая во внимание ( И ) , перепишем (23а) в виде

& K P2< W - . {i

_

Из (24) следует, что устойчивость вынужденного движения зависит не только от параметров системы, но и от абсолютной величины скорости из­

менения возмущения if»n. Полученное выражение позволяет при заданных параметрах системы определить предельно допустимую' скорость дрейфа экстремума, превышение которой нарушает устойчивость системы (что уже 'Отмечалось ранее в [ 1 ] ) .

Для иллюстрации метода исследования устойчивости экстремальных систем, описываемых уравнением более высокого порядка, рассмотрим аналогичную систему с фильтром низких частот, который включается иногда после синхронного детектора для ослабления квазипериодических нелинейных составляющих. Пусть передаточная функция фильтра с фик­

сатором нулевого порядка имеет вид W^uy(s) = (1 —- e~^Ts) / s-1 / (тфб* + 1), чему соответствует W^uy* (z) = (1 — йф) / (z — dф), где йф = е~^т/хФ. В этом

случае уравнение динамики (7) при фп = $п ж АХп — 0 приобретает вид

e^{n + 3} + At^f/eⁿ+² + А²"е^п+1 + А³'е^п — а² (1 — d) X

X [еп+2- вп-ы + йФ( в п+1 ~ en2 ) ] ( - l ) n = ( 1 - _ d ) ( 1 . -

йф)р,

At" = 2 а^ма²( 1 - d ) - ( i + d + <*^ф),

А²" = 2а^мал (1 — d) (1 — d$) + d + d$ + dd$, Az" = —2a^Ma^(l — d)d§ — dd$, a s = a i a²a^H.

Повторяя уже изложенную выше последовательность операций для системы, описываемой уравнением (25), уравнение в вариациях получим в виде

8 еп + 3 + А"' (Л) 8еп+2 + А2'" (п) 6еп+1 + А*'" (п) 8еп = 0, (26)

Г Д 6 АГ{п) = Ai" - 2 / ш2( 1 - d) ( - 1 ) * ,

Л2" » = ^2" + 2Ла2(4 - d)(l - Лф)(->1)п, (26а) А³"'(п) = A³"-2ha*{i-d)d<b{-l)\

/г, как и раньше, определяется по выражению (11).

Приведем разностное уравнение (26) к другой его форме с использова­

нием оператора разности Д. Подставляя в (26) значение Аг = (Е — I )2, получим *

Д36е« + В± {п)АЧеп + В2 (п)А8еп + В3 (л) 8еп = 0, (27) где ' ' '. •

В^±(п) = 3 + А"'(п), В²(п) = 3 + 2Ai"'(n) + А²'"{п), В3 (п) = 1 + АГ (п) + АГ{п) + А*'» (п).

Заменим (27) равносильной системой

А8е^п = у^п, Ау^п = vⁿ, (28)

Avⁿ = —Bi(n) vⁿ — B²(n)yⁿ —- B³(n)8eⁿ или

б в п + i • ' = 6ет е -f г/n, (29)

г/n+i = + vⁿ, (30)

i>n+i = — (1 + # i (я)) i>n — B2 (n)yn — B3 (n) 6 en, (31)

(31) с учетом (26а) можно записать в виде

vn+i'— i{n)vn + j(n)yn-\- к(п)8еп, (31а)

* В работе [ 6 ] приведены формулы, позволяющие определять коэффициенты Вц по заданным коэффициентам Ah.

1 0 1 4

где

1015 i(n) = -{2 + АГ{п)), j(n) = - ( 3 + 2АГ(п) +Аг"'{п)),

к{п) = -(1 + АГ(п) + А²'"{п) +А³'"{п).

Полагая п = NK, где N — 2, уравнения (29) — (31а) запишем в виде

6>2/,! I = бе²& -f yzh, (32) lkk+i — ij-ih + v->^h, (33) v^2k+i = i (0) vzh + / (0) y²k + к (0) 6e^{2 f e} (34)

и далее на основании (32) — (34) получаем, что

б е2 № +1 ) = (6e2 f t + yzh) + (y2k + vzk), (35)

Ущк+i) (yzk + v^2k) + [i (0) v²k + / (0) yzh + A; (0) be^2k], (36) уадт) = 1 ( 1 ) [ » ( 0 ) у а + 7'(0)У2к + А(0)бе»] +

+ /(1) [yzh + v^2k] + к (Л) [6e^2k + у » ] . (37) Вводя оператор смещения Е, уравнения (35) — (37) представим в виде

an' (Е) 6 ей + «и (Я) 2/2ft + аа' (Е) v2k = О, (38)

ом (Я) 6e2 f t + а2/ (Я) z/2ft + а2 3' (Е) v2k = 0, (39)

< (Е) Ье^ш + а3/ (Е) у^2к + «зз' (Я) v^2k = 0, (40) где

аи'(Е) = £ 2 - 1 , а^{1 2}' ( £ ) = - 2 , ^{в 1 8}' ( Я ) = - 1 , а²/ ( Я ) = -к(0), а²²'{Е) = Е*- 1 — ДО), а²/ ( Я ) = *(<>)),

а з/ ( Я ) =.. —(i(.l)A(O) + а^{3 2}'(Я) = - ( * ( 1 ) 7 ( 0 ) + / ( 1 ) + & ( ! ) ) , а^{3 3}' ( £ ) = £² — i ( l ) j ( 0 ) - / ( I ) -

Приравнивая нулю определитель системы, получим характеристиче­

ское уравнение системы

Е^в + Г / Я⁴ + Т²'Е² + Г / = 0 (41).

или, производя замену переменных Е\ — Е²,

Ei3 + Ti'^i2 + + А ' = 0, (41а)

где

IV = - [ 2 + Д О ) + Д 1 ) + * ( 0 ) Д 1 ) ] , Г / = [ДО) + / ( 1 ) + 2 Д 0 ) Д 1 ) + + * ( 0 ) * ( 1 ) Д 0 ) + Д 0 ) Д 1 ) - i(i)H0) - В Д Д 0 ) - *(0)Л(1)Д0) -

— г(0)/(1) — *(0)А.(1) — 2Л:(0) +

1У = Д0)*(1) + Д0)Л(1) + *(0)Д1) + А ( 0 ) / ( 1 ) - * ( 0 ) Л ( 1 ) —

• •• *"(0)Л<1)- — i ( l ) A ( 0 ) — / ( 0 ) / ( 1 ) —

Используя модифицированные условия устойчивости для системы третьего порядка [ 7 ] , в случае (41а) получаем

| Г3' | > 1 , Ts*-K:Tl'W-Tz',

1 + Г / + Г / + Г / > 0, Г / - Г / + Г / - К 0. (42) Поскольку для рассматриваемого примера выражения, определяющде

Ркр, получаются весьма громоздкими, то влияние введения фильтра низ­

ких частот покажем на числовом параметре. Так, например, полагая а^м = 0,5; ai(X2 = 0,5, а^н = 1, d = 0,4, для системы (10) и (24) полу­

чаем, что р^Кр = ± 1 , 3 5 . Подставляя приведенные данные в (42), убеждав

емся в том, что устойчивость системы сохраняется и при р » ± 2 , 2 . Это свидетельствует о том, что в рассматриваемом случае введение фильтра низких частот улучшило качество экстремальной системы, расширив об­

ласть устойчивости вынужденного движения.

2. Уравнения движения и анализ устойчивости системы с двумя пробными шагами

Структурная схема рассматриваемой системы приведена на рис. 2, а.

Поскольку в работах [2—4], где приводилось описание принципа работы таких систем и их анализ, рассматривались лишь системы с безынерцион-

Объект регулирования • Объект регулирования а - Г | 7 ~ " 1л~

"j

Г

М

, /77

0Т- U*(Z)

А у

И

ot(nT)

— &

Рис. 2. С т р у к т у р н а я схема э к с т р е м а л ь н о й системы с д в у м я п р о б н ы м и ш а г а м и : а — и с х о д н а я схема, б —•' э к в и в а л е н т н а я схема

ным объектом, то остановимся кратко на получении уравнения динамики системы.

Как следует из (7в) и (7е), модулирующее воздействие, пересчитанное к входу нелинейного звена, имеет вид

[in —ам{—1)п,

где дискретные моменты времени t = пТ соответствуют моментам замы­

кания импульсного элемента с периодом Г. При этом выражение для пер­

вой разности величины ф при учете (1) и (7а) можно записать как

Л'Фп === +2а^маъ (eⁿ+i + е^п) (— 1 )^п — а^н (e²n+i — е^п2). -f- АК^п. (43) Для удобства исследования заменим импульсный элемент с периодом 2Т импульсным элементом с периодом Т ж усилителем с переменным во времени коэффициентом усиления, выбранным так, что из всей последо­

вательности импульсов он передает далее только импульсы с нечетными порядковыми номерами (рис. 2 , 6 ) . При этом уравнение экстремального регулятора рис. 2, б запишем в виде

Уп+i = а(п + 1)Афп, (44)

где

а(п + 1) = —0,5[1 + ( — 1 }п] . (44а) Таким образом, окончательно динамика системы рис, 2, б описывается

системой линейных разностных уравнений, получающихся из (6) — (7в) заменой их соответствующими разностными уравнениями и уравнениями

(7а), (43) и (44).

Поскольку при действиях с операторными многочленными с перемен­

ными во времени коэффициентами следует проявлять известную осторож­

ность, то сделаем следующие замечания: 1) при умножении произведения двух функций времени на оператор Е оба сомножителя умножаются на этот оператор, т. е. Е(хпуп) = xn+iyn+i\ 2) переменный во времени коэф­

фициент и оператор Е некоммутативны, т. е. [а(п)Е],х^п Ф [Еа(п)]х^п.

1016

После исключения промежуточных переменных уравнение динамики системы, с учетом принятого вида WxM*{z) и WUy* {z) (см. (9)) и закона изменения tyn и окончательно получим в виде нелинейного разностного уравнения с периодическими коэффициентами

e.n+2 + Ai(n)eⁿ+i + Аа{п + 1 ) в^{п + 1 2} + А²{п)е^п — Аа{п + 1)е^п2 =

= ( 1 - й ) р. (45)

Здесь

Ai(n) = . — ( 1 + d) - 2 а^ма * ( 1 — d) (-1)^па(п + 1 ) ,

J²(rc) = d — 2a^Maz(t^d)(~l)ⁿa{n+A}, Л = а²( 1 - d) (45а) а (я + 1 ) определяется по уравнению (44а).

Устойчивость свободных колебаний экстремальных систем с двумя пробными шагами с инерционным объектом, насколько нам известно, ра­

нее не исследовалась, поэтому остановимся на этом несколько подробнее.

Полагая в (2.3) |3 = 0 и пренебрегая ввиду малости отклонений вторыми степенями переменных, для анализа устойчивости «в малом» получим следующее линейное разностное уравнение

в^{п +}2 + Ai(n)eⁿ⁺ⁱ + А²(п) е^п = 0. (46)

Так же, как и выше, заменим его" равносильной системой уравнений первого порядка

eⁿ+i = .е^п + у^п , (47)

Уп+i = с^пе^п + dnyⁿ, (48)

ёп = - [ 1 + Ai(n) + А²(п)], dⁿ = - [ 1 + Ai(n)l (48а) Используя процедуру исследования этой системы, аналогичную изло­

женной выше, определитель системы (47), (48) получаем в виде D\E) = Ek + T i E2 + Г2. В рассматриваемом случае, как следует из (48а), со = — Aa^Maz(l — = 0, d⁰ = — [2a^Maz(l — d) — .d], di = d.

Условия устойчивости (22) в данном случае могут быть записаны в виде

f _j_ (р 1 d²

a^s> 0 , ад < -——, a^s < . — - т - 7 . (49) 2a^M(i — d) 2а^м{1 — d)d

Заметим, что исследование импульсных систем с периодически изме­

няющимися параметрами можно выполнить, привлекая теорию «^-преоб­

разования с пропуском» [ 8 ] , которая позволяет представить результаты исследования в весьма компактной и общей форме (в виде матричных уравнений). В этом смысле она обладает преимуществом по сравнению с методом, использующим разностные уравнения.

Ограниченный объем статьи не позволяет подробно остановиться на применении этого метода исследования для анализа рассматриваемых здесь систем. Укажем только, что хотя оба метода и дают, естественно, одни и те же результаты, но фактический объем требуемых вычислений оказывается различным. По нашему мнению, матричные уравнения [8]

целесообразно применять для анализа экстремальных систем с высоким порядком линейной части (п > 3), поскольку при этом метод исследова­

ния, основанный на использовании разностных уравнений, становится уже громоздким.

Проанализируем теперь устойчивость вынужденного движения в си­

стеме рис. 2,6. Так же, как и прежде, представим регулируемую коорди­

нату в виде (8), но, в отличие от рассмотренной ранее системы рис. 1, ста­

ционарное движение для е^п при г|ь = §п теперь будем искать не в виде г^п = h = const (нетрудно убедиться, что (45) не имеет решения вида 8п ==.<й), а в виде

г^п = h + gy(n), (50)

1017

где

1018

h= const, g = const, y(n) = 0,5[1

+ ( — l )

] . -

h + g\(n) + Ai(n) [h + gy{n + i)\ + Aa(n + l)ih + gy(n + d ) ]² + +Ii(n) [h + gy(n)] - Ia(n + 1) [h + gy(n)]* = (1 - d)p. (51) Для определения искомых величин h и g из (51) запишем это уравне­

ние для моментов времени п = 2N + 1 (N = 0, 1, 2 , ' . . . . ) ' '

h + Ii(l)(h+_g) +A²(l)h=

(1—d)'p.

• 1 - й . ••.

i + T f c ( 5 3 )

и далее запишем (51) для л- = 2Л' (.V = 0, 1, 2 , . . . )

h + g + Ai(0)A - f l a ( 1 ) f t2 + 12( 0 ) (A + g) -

-Ia(i).(h+-g)*=

( l - d ) p ;

/ 2 _ в - 2 ( 1 + < * ) + Д м а д ( 1 ' - <*)]" ад (1 ~ < * )2 Р "

1 2 а2( 1 + й ) [ 2 ам( 1 + й ) - ( 1 - й ) р ] * >

Из (55), в частности, следует, что в отличие от системы рис. 1 для рас­

сматриваемой системы I M P ) I ^ 1 М ~ Р ) L ^т- ^е- величина скоростной ошибки зависит не только от величины скорости изменения но и от ее знака, что является следствием наличия в системе усилителя с пере­

менным коэффициентом усиления. Из (50) и (53) следует далее, что на величину ошибки h накладывается дополнительный сигнал gy(n)^r абсо­

лютная величина которого определяется только динамическими свойства­

ми объекта регулирования и не зависит от величины коэффициента уси­

ления системы.

Определив стационарный режим движения системы под действием сигнала Ai|)ⁿ = р, рассмотрим теперь вопрос о его устойчивости. Для это­

го составим уравнение в вариациях. Подставляя (8) в (45), пренебрегая вторыми степенями 8еп и принимая во внимание (53) и (55), получим уравнение в вариациях в виде линейного- уравнения с периодическими коэффициентами

8еп+2 +Ai/(n)8en+i +Л2(п)6еп = 0, (56) где

Ж^±'(п) = - ( l + d)' + 2az(l-d)<L(n+l)[h + gy(n + l) - ам(-1)^пЪ

Ai'(n) =-+d — 2a±(l — d)afr (56а) Уравнение (56) аналогично уравнению (12), условия устойчивости

для которого были уже получены выше в виде неравенства (22).

Подставляя в (14а) и (216) выражения для Ai(n) и A2{ri), из (56а)

получим „ i ft = - 2 a² (1 - d) (2а^м + g), с / = 0, (57) do' = d + 2 а² (1 — d) (h — а^м), di = d.

Условия устойчивости (22) для рассматриваемого уравнения (56) с учетом (57) и (216) окончательно можно представить в виде

- с о ' > 0, 2 ( 1 + duo') + (1 — d)co'> 0, 1 — d(d⁰' - с⁰') > О. (58)

Ввиду громоздкости выражения, определяющего ркр для рассматривае­

мой системы, сравнение обеих анализируемых в этой работе систем произ­

ведем на конкретном числовом примере.

Так как предельно допустимые величины коэффициента усиления as обеих систем, определяемые из условий устойчивости свободных колеба­

ний, неодинаковы, то для более объективного сравнения систем выберем as каждой из них as « 0,5 (as) макс, что примерно соответствует настрой­

ке их на процесс с минимумом интеграла от квадрата ошибки. Итак, по­

лагая а^м = 0,5, d = 0,4, для системы рис 1 находим, что (as) макс = 1.

Принимая as = 0,5, находим, что |3^Кр = ± 1 , 3 5 и при этом h — р (при введении фильтра в схему рис. 1 при dф = 0,4 получаем, что Ркр' ~ ± 2 , 2 и h^r = р'). Для системы рис. 2 из (49) находим, что (as") макс = 1,94.

Принимая a s " = 1,0, по (53) и (55) определяем, что при р = 1,35 g — —0,58, h" ж 3,5 (h" > h, несмотря на то, что a s " = 2 a²) . Проверка условий устойчивости (58) показывает; что система при величине р = 1,35 неустойчива. Для этой системы при Р > 0 р^Кр" ~ 0,95, при этом Л" « 1,38, g = —0,38, а при р < 0 р^{к р}" » - 0 , 9 3 , при этом h" « - 0 , 8 5 , g & 0,38, а при Р < 0 р^Кр " « —0,93; при этом g = —0,4, h" « —0,87.

Проведенное сравнение показывает преимущество системы разностно­

го типа с синхронным детектором по сравнению с системой с двумя проб­

ными шагами. Как известно, к такому же выводу после анализа линеари­

зированных (при полном пренебрежении всеми нелинейными членами) систем обоих типов, находящихся под действием случайных возмущений, приходят и авторы работ [4, 9],.

В заключение укажем, что изложенный в статье метод исследования устойчивости «в малом» свободных и вынужденных колебаний в экстре­

мальных системах с модулирующими воздействиями произвольного по­

рядка применим, естественно, и при других законах изменения i | )ⁿ и Х^п и, в частности, применим и для часто встречающегося на практике случая, когда i | 3ⁿ = A sin QT, что из-за ограниченности объема статьи здесь не рассматривается.

Заметим также, что в силу нелинейности уравнений динамики режи­

мы работы системы, возникающие при Агр^п ф 0 и АХ^п Ф 0, очевидно, не могут быть получены путем простого наложения режимов с Лгр^п Ф О, АХ^п = 0 и с Дгрп = 0, АК^п ф 0. Поэтому влияние изменения возмущения Х^п может привести к тому, что полученные выше при АХ^п = 0 значения для р^Кр для того, в частности, случая, когда Аг|)^п = const, но АХ^п Ф 0, мо­

гут оказаться завышенными либо заниженными в зависимости от знака АХ^п. Подробное рассмотрение таких режимов не входило в нашу задачу.

Поступила в редакцию 14 я н в а р я 1964 г.

Цитированная литература

1. К у н ц е в и ч В. М. Исследование и м п у л ь с н ы х э к с т р е м а л ь н ы х систем при дрейфе экстремума. Автоматика и телемеханика, т. X X I I I , № 7, 1962 (см. т а к ж е : К у н ­ ц е в и ч В. М., К р е м е н т у л о Ю. В. Т е о р и я и н в а р и а н т н о с т и и м п у л ь с н ы х и са­

м о н а с т р а и в а ю щ и х с я систем. Д о к л а д на II Конгрессе И Ф А К в Б а з е л е , 1963).

2. Ф е л ь д б а у м А . А. Вычислительные устройства в автоматических системах. Ф и з ­ матгиз, 1960.

3. П е р в о з в а н с к и й А . А. О времени поиска в дискретных системах экстремаль­

ного р е г у л и р о в а н и я . Изв. АН СССР, Отд. техн. наук, Энергетика и автоматика,

№ 5, 1960.

4. C h a n g S. S. L. Optimization of t h e Adaptive F u n c t i o n b y Z-transform. Appl. a n d I n d u s t r y , July, 1960.

5. J u r y E. J., M u l l i n F. J. A Note on t h e Operational Solution of Linear Difference E q u a t i o n s . J. F r a n k l i n I n s t , v. 266, No. 3, 1958.

6. Ц ы п к и н Я . 3 . Теория и м п у л ь с н ы х систем. Физматгиз, 1959.

1019

7. Д ж у р и Е. И. О к о р н я х полиномов с действительными к о э ф ф и ц и е н т а м и , л е ж а щ и х в н у т р и единичной окружности, и о к р и т е р и и устойчивости л и н е й н ы х д и с к р е т н ы х систем. Доклад на I I Конгрессе И Ф А К в Б а з е л е , 1963.

8. Ф р и д л а н д Б . И м п у л ь с н ы е системы р е г у л и р о в а н и я с периодически м е н я ю щ и м и ­ ся п а р а м е т р а м и . Тр. I/Конгресса М е ж д у н а р . федер. по автомат, у п р а в л е н и ю , т. 2^f Изд-во АН СССР, 1961.

9. В а н - Н а й с Р . И. Изучение о п т и м а л ь н ы х стратегий экстремального приспособле­

н и я (краткое и з л о ж е н и е д и с с е р т а ц и и ) . Автоматика, № 1, 2, 1961.

STABILITY STUDIES OF F R E E

A N D FORCED MOTIONS OF TWO TYPES OF PULSE EXTREMAL SYSTEMS V. M. KUNTSEVICH

ThG stability in the s m a l l of two types of e x t r e m a l s y s t e m s w i t h m o d u l a t i n g a c t i o n s is discussed. For d e t e r m i n i n g t h e stability of t h e forced m o t i o n of t h e s y n c h r o n o u s detector s y s t e m a n e q u a t i o n i n v a r i a t i o n s i n t h e form of l i n e a r difference e q u a t i o n w i t h periodic coefficients w a s obtained a n d t h e m e t h o d of its studies is given. For t h e sy­

s t e m s w i t h two t r i a l steps t h e e q u a t i o n s w e r e obtained b o t h for studies of free oscil­

l a t i o n s stability a n d d e t e r m i n a t i o n of t h e stability of t h e forced motion, also i n t h e form of l i n e a r difference e q u a t i o n s w i t h periodic coefficients. The comparison of t h e s y s t e m s of both t y p e s is given.