к^^гчздэт^т-тог, r = ( q +iy\ (1.23)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. Ш. Бирман, А. Лаптев, Т. А. Суслина, Дискретный спектр двумерного периодического эллиптического опе- ратора второго порядка, возмущенного убывающим по- тенциалом. I. Полубесконечная лакуна, Алгебра и анализ, 2000, том 12, выпуск 4, 36–78

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 00:01:14

Том 12 (2000), вып. 4

ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР ДВУМЕРНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО

ПОРЯДКА, ВОЗМУЩЕННОГО УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ. I. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ЛАКУНА

© М. Ш . Бирман, А. Лаптев, Т. А. Суслина

Рассматривается положительный Х2-периодический дифференциальный опера­

тор А второго порядка, возмущенный убывающим потенциалом V. Изучается поведение числа 91(a) отрицательных собственных значений оператора А — aV, а > 0, при больших значениях а. Исследуется возможность конкуренции меж­

ду вейлевским (квазиклассическим) вкладом в <П(а) и вкладом от порогового эффекта. Последний определяется вспомогательной задачей на полуоси.

§0. Введение

1. Пусть А — самосопряженный положительный дифференциальный оператор в L2(Rd), d > 2, и V — оператор умножения на функцию, стремящуюся к нулю на бесконечности. В последующем обсуждении во избежание второстепенных деталей будем считать V ^ 0 (в основном тексте это не предполагается). При­

мем также, что inf spec A = 0. У оператора

A(a) = A-aV, a € R+,

появляется левее нуля дискретный спектр. Если V убывает достаточно быстро, то число 91(a) = 01(а; А, V) отрицательных собственных значений конечно при любом а > 0. Представляет интерес изучение поведения 01(a) при a —>• оо (асимптотика в пределе большой константы связи). Соответствующие асим­

птотики довольно разнообразны по характеру, что зависит как от А, так и от V. Они изучались в ряде работ (см., например, [ВЗ, В5, BL] и особенно обзор [В4] и имеющуюся там библиографию).

Уже в случае А = -А наблюдаются нетривиальные эффекты, зависящие от размерности d и от характера убывания V. Картина при d ^ 3 существенно

Ключевые слова: периодический оператор, возмущение, дискретный спектр, пороговый эффект.

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ 99-01-00681.

36

отличается от случая d = 2. При d ^ 3 и V е Ld/2(№d) функция 91(a) имеет вейлевскую асимптотику

01(a) ~ (2*)-лШл ad'2 f Vd'2 dx, a -> oo; (0.1) здесь w<i — объем единичного шара в Rd. Если V $. Ld/2(Rd), то оценка

91(a) = 0{adl2) заведомо невозможна, а 91(a) может иметь любой порядок роста, больший, чем d/2. Существенно, что асимптотика (0.1) имеет „высоко­

энергетическое" происхождение, а поведение 91(a) при V £ £^/2 определяется зоной малых импульсов в Фурье-представлении оператора (—Д). Во втором случае уместно говорить о „пороговом" эффекте вблизи края спектра невоз­

мущенного оператора (вблизи нуля). Подробнее об этом см., например, [В4,

§2]. Если говорить о поведении 91(a) в старшем по a —¥ оо порядке, то при d > 3 реализуется альтернатива: либо V € ЬЛ/2, и тогда выполнено (0.1), либо У & Ld/2> и тогда заведомо преобладает пороговый эффект.

Подобным же образом при d > 3 обстоит дело и в случае, когда А — са­

мосопряженный эллиптический оператор второго порядка с периодическими коэффициентами. В этом случае пороговый эффект определяется зоной ма­

лых квазиимпульсов в разложении Флоке-Блоха для А. Аналоги этих явлений наблюдаются и вблизи краев внутренних лакун. Соответствующий анализ про­

веден в работах [ВЗ, В5].

2. Заметно сложнее обстоит дело при d = 2. Для А = - Д и даже для

А= - Д + с|х|~2, с > 0 , (0.2)

условие V е Ь\ заведомо недостаточно для справедливости (0.1). За счет поро­

говых эффектов 91(a) для А = - Д может иметь любой порядок роста, больший d/2; более того, может оказаться 91(a) — оо. Для оператора (0.2) можно указать сравнительно простое условие¹ на V, достаточное для справедливости (0.1).

Однако для А = - Д это условие не устраняет пороговых эффектов. Оказалось, что за них отвечает сравнительно „тощий" особый канал. Речь идет о задаче на полуоси, получающейся сужением —Д — aV на подпространство функций, зависящих только от |х|. При этом потенциал V усредняется по полярному углу. Этот канал на уровне оценок был обнаружен в [S1]. В [BL] было подробно исследовано его влияние на асимптотическое поведение 91(a). Было, в частно­

сти, выяснено, что он может вносить в асимптотику 91(a) вклад вейлевского порядка а, который следует просто прибавить к вейлевскому члену. Статья [BL]

явилась исходной для предлагаемой работы.

'См. ниже (1-5). Это условие может быть несколько ослаблено [SI, S2] за счет перехода к нормам Орлича L log L. Другой вариант ослабления условия (15) содержится в [LN].

3. Пусть теперь д(х) — вещественная (2 х 2)-матрица-функция, д(х) > 0, д + д'¹ € Loo(R²) и пусть

А = -div5(x) grad, d = 2. (0.3) Если матрица д постоянна, то результаты из [BL] сразу пересчитываются на

этот случай. В общем случае простые вариационные соображения показывают, что по-прежнему пороговый эффект совместим с условием (1.5). Не видно, однако, какая одномерная задача могла бы дать асимптотически точное описа­

ние порогового вклада. Исключением являются периодические операторы (0.3) или, общее, (1.2). Описание особого канала здесь дается в терминах разложе­

ния Флоке-Блоха. В ответ входят так называемый тензор эффективных масс на краю спектра и положительное периодическое решение у уравнения Aip = 0.

Точная формулировка соответствует основной теореме 2.3. Для оператора (0.3) у = 1, что упрощает ответ. Для оператора (1.2) это уже не так, но устранить tp из ответа можно при дополнительном условии „правильности" функции V.

Соответствующий результат содержится в теореме 2.5. Исключить из ответа тензор эффективных масс принципиально нельзя. Впрочем, это типично для любых пороговых эффектов в периодических задачах.

Примерно по той же схеме может быть исследовано „рождение" дискретно­

го спектра на краях внутренних лакун периодического оператора (1.2). Здесь, правда, картина несколько сложнее. Этим вопросам посвящена работа [BSu2].

4. Настоящая работа была выполнена несколько лет назад, ее результаты неод­

нократно докладывались. Однако авторы задерживали публикацию в надежде упростить громоздкие доказательства. В статье [BL] рассмотрения велись в ко­

ординатном представлении и были достаточно прозрачны. Теперь приходится работать в квазиимпульсном представлении и использовать многочисленные аппроксимации и регуляризации. Упростить схему не удалось.

Близкие по постановке вопросы сейчас рассмотрены в работе [BS5] для вол­

новода размерности d > 2, периодического по одной из координат. В целом принятая в статье [BS5] схема исследования следует плану настоящей ра­

боты. Однако технические различия довольно значительны. Это связано как с отличием самих задач, так и с тем, что в [BS5] рассматриваются не только степенные асимптотики.

В недавнем докладе В. Иврия [Iv] описан другой подход к обсуждаемому клас­

су задач. Он приспособлен к случаю операторов с гладкими коэффициентами и имеет своей целью получение оценок остатка в асимптотических формулах.

5. Авторы благодарят М. 3. Соломяка, который прочитал рукопись и сделал по­

лезные замечания. Первый и третий авторы с благодарностью отмечают, что значительная часть работы над статьей была проделана в ходе их визитов в Королевский технический университет и в Институт Миттаг-Леффлера в Сток­

гольме; подготовке окончательной версии текста способствовало их пребывание весной 2000 г. в Университете Торонто, где они пользовались гостеприимством проф. В. Иврия.

6. Обозначения. Ниже Q2 — открытый единичный квадрат в R2. Символ {-, •) означает стандартное скалярное произведение в С2, | • | — норма вектора или оператора (матрицы) в С2; 1 — единичная (2 х 2)-матрица. Знак х означает двустороннюю оценку. Если / = / , то /± := | / | ± / . Через || • || обозначается норма в 12(К2). Интеграл без указания области интегрирования распространен по R2. Далее, V = grad, V* = —div. Через Я", s > 0, обозначаются классы Собо­

лева. Оператор умножения на функцию / обозначается либо тем же символом / , либо символом [/] — в зависимости от контекста. Различные постоянные в оценках обозначаются через С, с, возможно с индексами. Для последователь­

ности операторов в гильбертовом пространстве (s)-lim, (u)-lim, (6)-lim озна­

чают соответственно сильный предел, предел по операторной норме и предел по норме в каком-либо симметрично-нормированном идеале 6 (см. [GoKr]) операторов.

§1. Постановка задачи. Предварительные сведения

1. Дифференциальные операторы. В качестве невозмущенного рассматривается периодический эллиптический оператор второго порядка в R². Не уменьшая общности, можно считать, что решетка периодов есть Z². Пусть д — (2 х 2)- матрица-функция, р — скалярная функция, причем

д = ^д > 0, р = р, g + g-'eL^R²), р е - М »²) , ) д{х + п)=д(х), p(x + n ) = p ( x ) , x в R2, n G Z2. ]

Невозмущенный оператор А формально задается дифференциальным выраже­

нием

Au = V*gVu+pu. (1.2) Точное определение А как самосопряженного оператора в гильбертовом про­

странстве L² (R²) вводится через замкнутую полуограниченную снизу квадра­

тичную форму

а[и,и) = j({gVu,Vu)+p\u\2)dx, н £ Я ' ( К2) . (1.3) За счет добавления к р подходящей постоянной будем считать, что

inf spec А = 0. (1.4) При условии (1.4) форма а[и,и] + -у2 j |u|2<fx, 7 > 0, определяет на Я1^2)

метрику, эквивалентную стандартной.

Возмущение вводится посредством оператора умножения на функцию V = V, удовлетворяющую следующему условию:

Условие 1.1. При некотором а > 1

dx

+ Е ( / l ^ r N ^ - ^ d x ) " < о о , <т>\. (1.5)

k^1 ek-!^|xKef c

Сразу же отметим, что из (1.5) вытекает условие

1 / "

(1.6)

n € Z2 П 2+ П

и тем более

VeLriU2). (1.7)

Рассмотрим квадратичную форму

u[u,u] = / V | w |2d x .

При условии (1.6) (и тем более при условии (1.5)) эта форма компактна в H¹(R²). Следовательно, форма а(а),

а(а)[и,и) := а[и,и] — av[u,u], и € Л"1 (К. ), а > 0,

полуограничена снизу и замкнута в L2(R2), а ее отрицательный спектр дискре­

тен. Форма а(а) порождает самосопряженный в L2(R2) оператор А(а). Таким образом, в смысле форм-сумм,

А{а) = А - aV, a > 0. (1.8) Формально оператор А(а) соответствует дифференциальному выражению

Л(а)и = V*jfVu + ри — aVu.

Обозначим через

% Т ; А П а > 0 , 7> 0 , . (1.9) число собственных значений оператора А(а) (или, что то же, формы а(а)), лежащих левее точки (—у2). Функция 01 не убывает при уменьшении 7- При 7 — 0 будем писать

m{a-A,V):=m{a,0;A,V). (1.10)

В дальнейшем на V будет наложено дополнительное ограничение (см. в п. 2.1 условие 2.1(g)), которое, в частности, вместе с (1.5) гарантирует конечность величины (1.10) при всех а > 0.

Введем обозначение для „вейлевского коэффициента"

J(V,g) := (4*)-1 J V+idetg)-1'2 dx. (1.11) В следующем утверждении условие (1.5) заменяется более слабым ограниче­

нием (1.6).

Предложение 1.2. При условии (1.6) справедливы соотношения

Vl(a,r,A,V)<Ca((V))a, С = C(g,p,v,i), а > 1, 7 > 0, (1.12) lim а-'Ща,7; А, V) = J(V,g), 7 > 0. (1.13) Доказательство. Оценка (1.12) — прямое следствие леммы 2.1 статьи [ВВог].

Асимптотика (1.13) устанавливается так же, как доказана теорема 2.1 в [ВВог];

ср. также доказательство теоремы 9.2 в [BS3]. •

Асимптотика (1.13) имеет „вейлевский" характер. При 7 = 0 она может нарушаться даже при условии (1.5) за счет спектральных „пороговых" эффек­

тов. Ранее эти явления были исследованы в работе [BL] на примере оператора

—Д — aV, т.е. для случая g = 1, р = 0. Теперь наша цель состоит в том, чтобы изучить поведение функции (1.10) при а —>• оо в общем случае периодического оператора (1.2). Эта задача заметно сложнее; даже формулировка результатов потребует определенной подготовки.

2. При спектральном анализе периодических операторов обычно используется их частичная диагонализация (теория Флоке-Блоха). Здесь мы напомним нуж­

ные нам факты на этот счет. Будем пользоваться (временным) обозначением Z2 для двойственной решетки (2л-2)2; в качестве элементарной ячейки для Z2

выберем Q2 = (-7г,7г)2.

Пусть Я1^2) — подпространство тех функций из H1(Qi2), для которых Z2- периодическое продолжение принадлежит классу Щос(Ш.2). Далее, через #i(Q2) обозначим пространство функций вида

и(х) - е, хЧ х) , veH'iQ2), £GR2. (1.14) Параметр £ обычно называют квазиимпульсом.

В L2(Q2) рассмотрим семейство квадратичных форм

а([и,и}= [({gVu,Vu)+p\u\2)dx, и е Щ(<$), £ е Ж2. (1.15)

Порожденный формой (1.15) самосопряженный в L2{Q2) оператор обозна­

чим через А(£). (Операторы А(£) соответствуют выражению (1.2) при (£)- квазипериодических граничных условиях). При сдвиге £ на вектор решетки Z2 оператор А(£) переходит в унитарно эквивалентный. Все операторы А(£) имеют дискретный спектр. Пусть £;(£), / € N, — последовательные (с учетом кратностей) собственные значения оператора А(£); ^/(х, £) — соответствующие нормированные в L2(Q2) собственные функции. При I = 1 нижний индекс будем опускать. Тогда

( К Я ( £ К Я2( £ К • • • < £ / ( £ ) < . . .

Функции Ei непрерывны и Z2 -периодичны. При этом spec Л совпадает с объ­

единением отрезков (зон), являющихся образами функций Е\. Существенно, что Е(0) = 0, Е(£) > 0 при £ ф 0 (mod Z2) и min^ Е2(£) > 0. Таким образом, при не­

котором (достаточно малом) 8 > 0 собственное значение Е{£), ||| ^ S, простое.

Отсюда следует вещественная аналитичность Е(£) в указанной окрестности точки £ = 0. Более того, справедливо представление

£(£) = Ь(£) + 0(|£|4), К | < S, (1.16) где Ь — положительно-определенная квадратичная форма. Через скалярное про­

изведение (•,•) форму Ь(£) можно записать в виде

ь(0-=(ь*,0 = 1ЭД2, /з = ь1/2, (1.17)

где Ь — постоянная положительно-определенная матрица. (Матрица Ь-1 опре­

деляет собой так называемый тензор эффективных масс, отвечающий крайней точке спектра Е — 0).

В силу (1.14) собственные функции V>/ имеют представление ф,{х,£) = е***^*,®, ¥>«(•,*) еЯЧО2)-

Функции (pi, а тогда и фг гёльдеровски непрерывны по х. Периодическая функ­

ция </>(х) := ф(х,0) = v?(x, 0) строго положительна. Функции <£>(•,£) и т/'(',С) можно выбрать при |£| < <5 вещественно аналитическими Я1(Q2)-знaчными функциями.

3. Рассмотрим теперь интегральные операторы

(ф|«)(0 = (27Г)-1 у 0,(Х) €)«(х) Ас, г е N. (1.18) Отображения

Ф, :L2(R2)->L2(Q2)

— частично изометрические отображения „на". Операторы Ф^Ф;, I e N, суть ортопроекторы в L²(R²). Они попарно ортогональны и

£>?*! = /.

При / = 1 нижний индекс будем опускать: $ j = Ф.

Операторы (1.18) дают частичную диагонализацию оператора А. Именно, пусть [ЕЦ означает оператор умножения на функцию Ei(£) в L²{Q²). Тогда

А = £ * № ] * ' • (1.19) 4. О компактных операторах. Пусть $j, 0 — сепарабельные гильбертовы про­

странства. Пространство непрерывных линейных отображений обозначается через 5К, компактных — через боо- Если нужно, будем писать подробнее: Щ$э),

©оо(Й,25) и т. п. Пусть Т е воо и Sjt(T) — сингулярные числа (s-числа) для Г, т.е. последовательные собственные значения (с учетом кратностей) положи­

тельного оператора {Т*Т)112. Обозначим

n(s,T) :=caxd{k:sk(T)>s}, s > 0.

Для Т = Т* полагаем 2Г± = |Т| ± Т и

n±(s,T) := п(з,Т±), s>0.

Ясно, что п+(-,Т) — функция распределения для последовательности {AJt (T)}

положительных собственных значений оператора Т. Аналогичную роль п-(-,Т) играет для последовательности {х[~ (Г)}, где \\ (Т) — Х^\—Т). При этом n(s,T) = n+(s, T) + n-(s,T), s > 0.

Через Е „ 0 < q < оо, обозначается пространство (идеал) компактных опера­

торов, выделяемых условием

| Г Г : = s u p sqn { s , T ) < оо, q > 0.

4 s>0

Пространство E? полно относительно квазинормы j • | ; при q > 1 оно нор­

мируемо. Пространство Е, несепарабельно. В нем вьщеляется сепарабельное подпространство (идеал)

Е° = {Г е Е, : п(з, Т) = о(л-«), s -+ 0}.

На пространстве Е^? вводятся функционалы

Д.,(Г) :=limsups«n(s,T), (1.20)

< L ( T ) : = l i m i n f s » n ( s , T ) . (1.21)

а—*0

Для Т = Г е S, полагаем

АЮ(Т) := Д,(Т±), ^ ( Т ) := *,(Т±). (1.22) Пусть D? обозначает любой из функционалов (1.20)-(1.22). Справедливо нера­

венство [BS2]

к^^гчздэт^т-тог, r = ( ^q +iy\ (1.23)

Из (1.23), в частности, вытекает

Предложение 1.3. Все шесть функционалов (1.20)-(1.22) непрерывны в Hq. Они не меняются при добавлении к Т слагаемого класса Е°. Иначе говоря, эти функ­

ционалы определены на фактор-пространстве £ , / £ , . Они непрерывны относи­

тельно фактор-квазинормы (Д(7(-))1/? на Е,/Е°.

Как обычно,

6^Я :={Т£боо :^4(^Т) < о о } , 0 < q < оо.

А:

Отметим, что 6Ч С Е°. Класс &% образуют операторы Гильберта-Шмидта, класс &i — ядерные операторы.

ЕслиТ* = Т е 6oo(i3) nt[u,u] = (Ги,и)й, то числа \[+)(Т) (числа (-А^_)(Т))) совпадают с последовательными положительными максимумами (отрицатель­

ными минимумами) отношения квадратичных форм

t[«,u]/||«|||, utfi. (1.24) Переход от оператора Т к отношению (1.24) облегчает использование вариаци­

онных соображений. Поэтому мы станем использовать упрощенные обозначе­

ния следующего вида: n±(s,(1.24)) вместо n±(s,T), |(1.24)| вместо | Т | , D?(1.24) вместо Dq{T) и т.п.

Нам потребуется также следующее простое техническое предложение (см., например, [GoKr]).

Лемма 1.4. Пусть последовательность операторов Хп сильно сходится:

(a)- lim Xn = Х0 € «К,

п—+оо

и пусть Т е 6, где 6 — какой-либо сепарабельныи симметрично нормированный идеал. Тогда существуют пределы

(б)- lim ХпТ = Х0Т, (6)- lim ТХ*п = ТХ*.

5. Вспомогательная задача на полуоси. В терминах спектра вспомогательной задачи описывается „невейлевский" вклад в асимптотику функции Ща;А, V) при а —• оо. Значение этой задачи для асимптотики было выявлено в [BL]. Здесь мы (в несколько измененных обозначениях) воспроизведем нужный материал из [BL].

Пусть / == / € Liio c(R+). При каком-либо R > 1 рассмотрим отношение квадратичных форм

ОО I О О

f f(r)\z(r)\²rdr / f\z'{r)\²rdr, z{R)=0, R^l. (1.25)

R ' R

Отношение (1.25) рассматривается для всех абсолютно непрерывных на R+

функций z, для которых конечен интеграл в знаменателе. На / налагается „не­

явное" условие: при некотором q > 1/2

1(1.25)1, < оо, g > 1/2. (1.26), Оно выполняется (или нет) одновременно для всех R ^ 1. Кроме того, при

выполнении (1.26), все шесть функционалов D,(1.25) не зависят от R ^ 1.

Можно указать (см. [ВЦ, а также [BS3]) элементарное достаточное условие для справедливости (1.26),, которое становится необходимым для неотрица­

тельных / . Именно, положим

C o ( / ) : = | | / (e' ) | e2 t< f t , C»(/):= J № ) | е2' < Й , n € N,

О ет > - 1

С(/) := {&(/)}, neZ+.

Используем обозначения

l i a / ) ! ! ^ := supS'card{n : С„(/) > s}, 2q > 1,

s>0

Д«(С(Л) == limsups«card{n : С„(/) > a}, 2q > 1,

a->0

S^q(C{f)) := liminf s«card{n : C„(/) > s}, 2q > 1.

a—>0

Предложение 1.5. a) Пусть выполнено условие

IIC(/)ll,,oo < со, 2q>l. (1.27), Тогда выполнено (1.26), и

Д , ( 1 . 2 5 ) < С (д) Д , ( С ( / ) ) , 2q>l.

b) Пусть при каком-либо Ro > 1 выполнено f(r) > О, г > RQ. Тогда из (1.26), вытекает (1.27),, а также неравенства

5,(1.25) >c(g)d,(C(/)), 0 = Д Д 29> 1 .

§2. Формулировка основных результатов

1. Наша цель состоит в изучении асимптотики функции 9Т(а; А, V) (см. (1.10)) при а -*• оо. Введем в рассмотрение величины

A,(A,V) = limsupa-««n(a;>L,V), g > 1, (2.1)

a—*-oo

8JA, V) = liminf а-«91(а; А, У), g > 1. (2.2)

a—• oo

Из (1.13) видно, что рассматривать значения g < 1 нет смысла. Как уже отме­

чалось, помимо „вейлевского" вклада вида (1.13) величины (2.1), (2.2) могут содержать вклад от вспомогательной задачи на полуоси.

Введем необходимые обозначения. Для функции F(x), x € R², положим Fp(x) = F(f}x); здесь /3 — положительная постоянная матрица, введенная в (1.16), (1.17). Пусть (г, в) — полярные координаты точки х € R²; будем писать -F(x) = F(r,0). Через (F) обозначим „усреднение F по углу":

7Г

<F)(r) = (27Г)-1 J F{r,e)de.

— 7Г

Будет использоваться и композиция этих преобразований (Fp).

Наряду с условием 1.1 наложим на V следующее Условие 2.1(g). При некотором g > 1 выполнено

1(1.25)1, < оо при f = (\V\), 0 1- (2.3)?

В силу предложения 1.5 соотношение (2.3), равносильно условию

11С«И»||,10о < оо. (2.4),

В [BL, п. 4.4], а также ниже в §8 указаны примеры (для любого q ^ 1), показы­

вающие совместимость условий 1.1 и 2.1(g).

Основную роль ниже играет заданный на R+ „потенциал"

ffilV := <(v>2V)/»>- (2.5) Напомним, что ip — непрерывная положительная периодическая функция, о

которой идет речь в конце п. 1.2. Обозначим через

Д^У,/?,¥>)> ^ ( V . / S . V ) , q>h (2.6)

функционалы Д ^ О б ) , 5^(1.25) при / = fpt41.

Поясним, что условие (2.3)?, наложенное при / = (|V|), равносильно такому же условию при f = {(<p2\V\)p). Более того, справедлива двусторонняя оценка

д , ( 1 П 0) ¥о х д , ( т 1 Д ) . q^L <2-7)

Сказанное проверяется вполне элементарно с использованием предложения 1.5.

Мы не станем входить здесь в дальнейшие детали. Вместе с тем отметим, что условие (2.3), удобнее для проверки, так как не включает (3 и <р.

Отметим также, что функционалы (2.6) одинаковы для асимптотически близ­

ких при |х] —у оо потенциалов. Справедливо следующее простое

Предложение 2.2. Пусть V u S — вещественные локально суммируемые в Ш2

функции и пусть

У(х) = 5(х)(1 + о(1)) при |х| ->• оо. (2.8) Предположим, что V удовлетворяет условию 2.1 (q). Тогда S также удовле­

творяет условию 2.1 (q) и

dff\V,fi,4>) = d[f\S,(i,4>), д = А,5. (2.9) Доказательство. Из (2.8) следует, что при достаточно больших R ^ 1 выпол­

нено

|У(х)-5(х)|^е(Д)|У(х)|, | х | £ Я , (2.10) lim e(R) = 0.

Я-+оо

Из (2.10) на основании стандартных вариационных соображений вытекают оценки

1(1.25)1, < оо при / = (|5|>,

Aq(V - 5,/?, <р) < e(R)«Aq(\V|, р, v). (2.11) Поскольку величины Aq для отношения вида (1.25) не зависят от R ^ 1, то при

Д -^ оо из (2.11) получаем

At{V-S,l3,<p) = 0.

Отсюда и из предложения 1.3 следуют соотношения (2.9). в 2. Наш основной результат составляет следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть потенциал V для оператора (1.8) удовлетворяет условию 1.L Тогда для величин (2.1), (2.2) справедливо следующее:

(a) Если выполнено (2.3), при q = 1, то

d1(A,V) = J(V,g) + d[+)(V,P,v), д = А,6, (2.12) где J{V,g) определено в (1.11).

(b) Если выполнено (2.3), при q > 1, то

dq(A,V) = d(+\V,0,v), q>l, д = А,5. (2.13) (c) Для справедливости вейлевской асимптотики

Аг (A,V) = Sx (A,V) = J(V, g) (2.14) достаточно, чтобы наряду с (2.3),, при q - 1 было

A[+)(V,(3,v) = 0. (2.15)

Если

V{\) ^ 0 при |х| > Ло ^ 1, (2.16) то из (2.14) следует (2.3), при q=lu (2.15).

Интересно отметить, что при условии (2.16) вейлевская асимптотика (2.14) справедлива (или нет) сразу для всех невозмущенных операторов А Действи­

тельно, если (2.14) выполнено, то в силу утверждения (с) выполнено (2.3), при q — 1. Это условие от А не зависит. Остается принять во внимание, что в силу (2.7) условие (2.15) тоже не зависит от А.

При g — 1, р — О (а тогда /3 — 1, у = 1) теорема 2.3 переходит в теорему 5.1 из [BL]. Однако метод доказательства последней теоремы, основанный на рассмотрениях в координатном представлении, не удается распространить на более общую теорему 2.3. Напротив, здесь требуются довольно кропотливые рассмотрения в квазиимпульсном представлении, которым посвящены §3-6.

3. В асимптотические равенства (2.12), (2.13) входят матрица 0 (а следователь­

но, тензор эффективных масс на краю спектра) и функция <р — положительное периодическое решение уравнения А<р = 0. Это и позволяет говорить о влиянии

„энергетического порога" при Е = 0, в то время как вейлевский член J(V, g) в (2.12) имеет высокоэнергетическое происхождение. Избежать зависимости от /3 в формулах (2.12), (2.13) нельзя. Иначе обстоит дело с (более неприятной) зависимостью от if. Прежде всего, у = 1 при р = 0. Но и в общем случае опе­

ратора (1.2) можно устранить ^ из (2.12), (2.13) при дополнительных условиях

„правильности" поведения возмущения V. Этот вопрос решается теоремой 2.5, к формулировке которой мы переходим.

В дополнение к условиям 1.1 и 2.1(g) наложим на V следующее условие.

Условие 2.4. Существует функция S = S, удовлетворяющая условию (1.5) (с заменой V на S) и такая, что

V(x) = 5(x)(l+o(l)) при | х | - ю о . (2.17) Предположим, что для каждой точки вида 27гт, т е Z2 \ {0}, найдется такая

окрестность От, что для Фурье-образа Ф5 функции S выполнено

Ф5 € Н"{От), т £ Z2 \ {0}, х > 1. (2.18) Теорема 2.5. Пусть потенциал V для оператора (1.8) таков, что выполнены

условия 1.1, 2.1(g) и 2.4. Тогда для асимптотических функционалов (2.1), (2.2) справедливо следующее:

(a) .Если в (2.3), q = l,mo

u(ATO = J(A,V) + 0{+)(V,/U), 3 = Д, *, (2-19) где ./(V,g) определено в (1.11).

(b) Если в (2.3), g > 1, то

dq{A,V) = d?\V,p,l), q>l, д = А,5. (2.20) Заметим, что в соответствии с предложением 2.2, в (2.19), (2.20) функцио­

налы d+(V,fi,l) можно заменить на 9+(<S,/3,1). Доказательство теоремы 2.5 приведено в §7.

§3. Модельные интегральные операторы

Здесь изучаются интегральные операторы „ответственные" за появление в (2.12), (2.13) невейлевского вклада. Фактически нам потребуется заново по­

лучить результаты статьи [BL], действуя в импульсном, а не в координатном представлении. При этом наши построения формально независимы от [BL], но эта статья во многом способствует пониманию сути дела.

1. Пусть функция V удовлетворяет условиям (1.5) и (2.3), (с заменой V на V) и пусть

W:=|V|1 / 2. (3.1)

Далее, пусть хо(»7) = Хо(|»?|) — характеристическая функция круга |TJ| ^ 5 при некотором 6 > 0 и 6(f) — интегральный оператор в L2(R2):

(0(7)»)(У) = ^ Г ' М У ) [jyT,Xo(v)(\Ti\2+'r2)-1,2»(ri)dT), 7 > 0. (3.2)

Иначе говоря,

$(7) = [И>]Ф*[хо][(Ы2+.7Т1/2], 7 > 0 , (3.3) где Ф — оператор Фурье. Наша цель — выделить в операторе (3.3) „главную

часть", которая имеет предел при -у —> 0, принадлежащий £г^д.

Через Q обозначим ортопроектор в L2(R2) на подпространство функций, за­

висящих только от г = |х|, и положим Р = I—Q. Оба проектора перестановочны с тремя последними сомножителями в правой части (3.3). В разложении

Gb) = Gb)P + Gb)Q (3-4) займемся прежде всего первым слагаемым.

Предложение 3.1. Оператор Q(G)P корректно определен, причем

9{0)Р € £ ° . (3.5) Доказательство. Квадраты s-чисел оператора G(0)P суть последовательные

максимумы отношения квадратичных форм

Положим

а тогда и

| | д ( 0 И |2/ и2, veL2(R2), v = pv. (3.6)

М(у) = (27Г)-¹ J e^{i y}" x o ( ^ ) | ^ r¹4 ^ ) dri,

-iV/i(y) = (27Г)-1 J e^xoin^lnr'virj) A/. (3.7) Из v = Pv следует, что ц = Рц. Последнее условие позволяет применить к ц

неравенство Харди:

J\tf\y\-

dy^J\Vtfdy. (3.8)

Учитывая (3.7), (3.8), получаем оценку

2J\v\

d

>2J\Vtfdy>j{\V

jL\

+ \y\-

\tf)dy

>||V

i|

rfy+ j |y|-

|

u|

dy+ J H

dy=:SH.

| y | > i |y|<i

В итоге отношение (3.6) оценивается сверху через отношение форм

2 | | V | H2d y / % ] , fien'iR2). (3.9)

Здесь ^ ( R2) := {ц € Щос{К2) : B[/J] < оо}, а связь ц = Рц снята. Для n(s, (3.9)) известна оценка (см., например, [BL, лемма 3.3])

^ ( з . э ж с ^ щ у ц и .

Таким образом, а следовательно,

!а(о)р|

^с|уцУ

. (з.ю)

Оценка (3.10) показывает, что теперь достаточно проверить (3.5) для какого- либо плотного относительно метрики (1.5) множества функций V. Пусть опре­

деленная в (3.1) функция W € C£°(R2) и пусть supp W С В, где В — какой-либо круг. Воспользуемся оценкой

] Г | | D ^ | |2 < C2 f \n\2Xo(v)Hv)\2 А/ 4 C2S2\\v\\2.

\а\=2

Тогда отношение (3.6) оценивается сверху отношением

Сз||НЯ

ыв)/|Ин=(в)> мея

(Б). (з.и)

Для отношения (3.11) хорошо известна (см., например, [BS1]) оценка п(з,(2.П)) = 0{з-^2).

Отсюда n(y/I,g{0)P) = 0{s-ll2) и д{0)Р еЛгС Е°. • Предложение 3.2. Существует предел

(£2)-lima(7)P = e ( 0 ) P € £ ° . (3.12)

-у—J-0

Доказательство. Запишем G{j)P в виде

а(0)Р[|г,|(|,,|2 + 72)-1 / 2].

Оператор умножения (в скобках [•]) сильно сходится к /. Поэтому (3.12) следует из (3.5) и леммы 1.4. •

2. Теперь исследуем оператор Q(i)Q — второе слагаемое в (3.4). Его ненулевая часть сводится к оператору 6(7): Li(R+,pdp) -»• Ь2{Ш.2), заданному формулой

(gh)v)(y) = (27r)-lW(y)Jei^xo(v)(\v\2+l2r1/2v(\l\)dv

ОО

= W(y) jxo(p)(P2 + j2)-1'2Mrp)v(p)pdp; (3.13) о

здесь г = |у| и Jo — функция Бесселя нулевого порядка. Наряду с (3.13) рас­

смотрим регуляризованный оператор GR{J),

(§R(l)v)(y) = Щу) IXo(p)(Mrp)-MRp))(p2W)-1,2v(p)pdp, Д > 1, (3.14) о

а также оператор G^R{y):

0 0

(&(7)«)(У) = W(y) J(Mrp) - Jo(RP))(p2 + !2)-1/2<P)pdp, R>1. (3.15)

0

Оператор (3.15) отличается от оператора (3.14) отсутствием в ядре срезающей функции хо-

Предложение 3.3. Операторы §R{0) и GR(0) корректно определены и

0я(0) € £2„ дя( 0 ) е Е2„ R>1. (3.16) Доказательство. Достаточно рассмотреть оператор QR(0). Квадраты его з-

чисел совпадают с последовательными максимумами отношения форм

ll^(0)4lL(R2)/ll4ll2(R+,p^)- (3-17)

Положим

ОО

<"(»•) = j(J0(rp)-Jo(Rp))v(p)dp. (3.18) о

Тогда

ОО

Ц Д ) = 0 , uj'(r) = -Jj1(rp)v(p)pdp, (3.19)

и в силу равенства Парсеваля для преобразования Фурье-Бесселя

оо оо

f \u'(r)\²r dr = f \v{^P)\^2Pdp. (3.20) о о

Далее,

со

H&flJHlW) = j\myM\y\)?dy = 2ж J (\V\)(r)Hr)\'r dr. (3.21) о

В силу (3.19)-(3.21) отношение (3.17) переходит в отношение форм

ОО I ОО

2п f{\V\)(r)\w(r)\²rdr / f\w'(r)\²rdr, w(R) = 0. (3.22) о ' о

Граничное условие u(R) = 0 приводит к распадению (3.22) в ортогональную сумму двух отношений того же вида, но с интегрированием по (О, R) (отноше­

ние (3.22),) и по (R,oo) (отношение (3.22)*). В силу условия (2.3),, наложен­

ного на V, имеем п(з, (3.22)*) = 0(з~^ч). Нетрудно проверить, что

п(л,(3.22).) = 0(я^{- 1}/²). (3.23)

Таким образом, n(s,(3.22)) = 0(s~^q), что равносильно включению (3.16) для бд(0). Остается пояснить (3.23). Замена переменной г = е~* приводит (3.22), к виду

оо / °°

/' F(t)\ut(t)\2 dt I I \wt'{t)\2 dt, ы.(Г)=0. (3.24)

T ' T

Здесь T = -logiJ, F(t) = 2тге-²'(|У|)(е-'), w,(i) = w(r). Оценка n(s,(3.24)) = 0(s^{- 1}/²) обеспечивается, например, условием (см. [BBor]) j ^ F(t)\t\^l+C dt < oo, e > 0, или, что то же, /⁰ (|V|)(r)r|logr|^1+e dr < оо. Последнее условие заведомо выполнено в силу (1.5), т.е. условия ЩУЦ^ < со. •

Из (3.16) (ср. доказательство (3.12)) сразу выводится, что существуют пре­

делы

(n)-lima°(⁷) = S°(0), (u)-\im§^R(¹)=g^R(0), Д > 1 . (3.25) Поясним, что в (3.25) можно было бы поставить (S^p)-lim при любом р > 2q, но не (E^2?)-lim, поскольку идеал Е^2? не сепарабелен.

Положим ZR(7)j= G{I\-QR{I}- Ясно, что rankZ^(7) = 1. Перейдем теперь от операторов £(7), GR(~/), GR{I), ZR{I) К их несущественным расширениям (рас­

ширению нулем на подпространство PL²(R²)) соответственно G(j)Q, GR{I),

G^R{~/), Z^R(f). Тогда предложение 3.3 вместе с (3.25) приводит к следующему утверждению, где все операторы действуют в L²(

Предложение 3.4. Справедливо представление

G(l)Q = QR{l) + ZR{1), rankZR(7) = l, Д > 1 , причем существует предел

(и)- lim gR(i) = 0Я(О) € S2g.

7—»-о

Следующее утверждение показывает, что операторы GR(0) И G°R(0) отлича­

ются друг от друга несущественно.

Предложение 3.5. Справедливо включение

£ я : = е £ ( 0 ) - е я ( 0 ) € б2, Л ^ 1 . (3.26) Доказательство. Достаточно доказать, что £R := QR(0) — GR{0) 6 62, где опера­

тор £R переводит L2(№.+,pdp) в L2(R2) и задается формулой

оо

(£я«)(у) = W(y) J Р^ХоШМгр) - MRp)Hp)p dp, хо ~ 1 ~ Хо.

о

Квадрат 62-нормы оператора £я оценивается через

оо

2У dy W2(y) Jp-2(\Mrp)\2 + \Jo(RP)\2)pdp = 2Jh(r)\V(y)\dy, (3.27) s

где г = |у| и

ОО ОО

h(r) := | ( | J 0 M I2 + I J o C ^ H p -1 dp = С(Д) + У | J o M f r "1 dr.

Легко видеть, что /г(г) — ограниченная функция при г ) 1 и допускает оценку

\h(r)\ ^ c|logr| при 0 < г < 1. В силу наложенного на V(y) условия (1.5) V £ bi(R2) П L(Tioc(R2) при сг > 1. Отсюда вытекает конечность интеграла в правой части (3.27), а вместе с ней и включение (3.26). •

Объединим теперь предложения 3.1-3.5.

Предложение 3.6. При каждом R > 1 справедливо представление G(j) = GR(I) + ZR(-y), rank ZB(7) = 1, где GR(J) = GR{I) + G{i)P и существует предел

(и)- lim 0д(7) = ^я(О) + £(0)Р =: GR(0) £ S^{2 g},

7—Ю

причем _

0я(О) - 0Я(О) (mod Е°,), £я(0) = <?й(0) (mod Е°?).

3. В заключение рассмотрим вопрос об асимптотических функционалах А , , 5\ , q > 1, для операторов

HR:=GR(OysignVGR(0), nR:=GR(0)*signVGR(0). (3.28) В силу (3.16), (3.26) значения этих функционалов для обоих операторов одина­

ковы. Удобнее, однако, иметь дело с HR. Его положительные (отрицательные) собственные значения совпадают (ср. с (3.17)) с последовательными максиму­

мами (минимумами) отношения

(signV G°^R(0)v, & ( 0 ) « ) M I P ) /M4l²ⁱR⁺,^pdl>y Подстановка (3.18) преобразует (ср. с (3.22)) это отношение к виду

f(V)(r)\u(r)\2rdr I f\w'(r)\2rdr, ы(Я) = 0. (3.29)

Точно так же, как и при обсуждении (3.22), показывается, что значения Д ^ З . г Э ) , 4 ^ (3.29) опред

ванием по полуоси (R, со)

Ад (3.29), 5q (3.29) определяются лишь отношением вида (3.29) с интегриро

оо * оо

f(V){r)\uj(r)\2rdr I f\uj'(r)\2rdr, ш ( Д ) = 0 , R>1. (3.30)Л

R ' R

Таким образом, справедливо

Предложение 3.7. При сделанных о функции V предположениях справедливы со­

отношения

д(^±\Н^н) = д(^±\Ч^н) = д\^±\(3.30)^к), O l , Д £ 1 , д = А,5.

§4. Доказательство теоремы 2.3 (начало) 1. Сведение к компактным операторам. Введем обозначения

ж = и

,

G(7) = W(A + 72/ r1 / 2, 7 > 0 , (4.1) 5(7) = G(jY(signV)G{1) = {A + 7 2/ Г1 / 2У ( А + 7 2/ ) "1 / 2, 7 > 0. (4.2)

Хорошо известен прием (см. [Bl, BS4]), связывающий функцию (1.9) с функ­

цией распределения спектра оператора 5(7):

9t(a)7;A,V) = n+(t,5(7)), t a = l , . 7 > 0. (4.3) В (4.3) не удается перейти к пределу при 7 —> 0, так как не существует предела

у операторов (4.1), (4.2). Приходится прибегать к подходящей регуляризации.

Допустим, что для 5(7) получено представление

5(7) = Г(7) + У(7), (4.4)

где Г(7)* = Г(7), существует предел

(«)-1ш1Г(7)=:Г,

7—»-0

и (равномерно по 7 > 0)

rank Г (7) < г < 6о. (4.5) Из (4.3), (4.4), (4.5) следует неравенство

|<ЯК7;А,У)-п+(<,Г(7)Жг, ta = l.

В нем уже можно перейти к пределу при 7 ->• 0:

| Э Т ( а ; А , У ) - п+( а - \ Г ) К г (4.6) во всяком случае в точках непрерывности функции тг+(-,Г). Предположим те­

перь, что предельный оператор Г принадлежит £,:

(и)- lira Г(7) = Г е Е„ 0 1 - (4-7)

у—*-0

Из (4.6) и (4.7) сразу следует, что для функционалов (2.1), (2.2) справедливы соотношения

Aq(A,V) = Д<+>(Г), 8q(A,V) = 5<+\Г), д> 1. (4.8) Соотношения (4.8) составляют основу дальнейшего. Существенно также, что

соотношения (4.8) сохраняются при добавлении к Г оператора класса Е°. Ниже предполагается, что число q ^ 1 — то же, что и в (2,3)г

2. Перейдем к регуляризации оператора S(j). Выберем число 5 > 0 столь ма­

лым, чтобы было выполнено

Е(£)<тЬЕ2, №\<6.

Обозначим через х характеристическую функцию эллипса |/3£| < 5, положим X = 1 - х и введем перестановочные с А проекторы

ЛГ = ф*[х]Ф, Х = 1-Х.

Тогда в силу (1.19)

(А + 7 2/ ) -1 / 2 = (А + 7 а/ ) -1 / 2* + (А + -у2/)"1/2.?

= Я>*{Х(Е + 72Г1/21* + (**[х(Я + 72Г1/2]Ф + £ ф/ № + Ч2Г1/2]*!)-

Вне эллипса |/?£| ^ S функция Е отделена от нуля, а потому корректно опреде­

лен и ограничен оператор

Л "1'2* = Ф*[х£~1/2]Ф + Y, Ф?[Я,"1/2]Ф|,

;^2

а также оператор А~ХХ. Основываясь на разложении

ад = ад* + ад.*,

введем операторы

A-(7):=(G(7WsignV(G(7W, (4.9)

I(7):=(G(7)-?)*signV(G(7)*), (4.10) M(7):*=(G(7)<*)*signV(G(7)*). (4.11) Тогда, очевидно,

5(7) = А'(7) +1(7) + {M{l) + M(7)*). (4.12) Нам предстоит отдельно регуляризовать операторы (4.9)-(4.11) и учесть вклад

каждого из них в предельные (при 7 -»• 0) величины Д^+'(Г), б\+\т).