И. С. Литвинчев, С. Рангель, Сравнение лагранжевых оценок для одного класса обобщенных задач о назначении, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008, том 48, номер 5, 779–787

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

И. С. Литвинчев, С. Рангель, Сравнение лагранжевых оценок для одного класса обобщенных задач о назначении, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008, том 48, номер 5, 779–787

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:25:25

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, № 5, с. 779-787

УДК 519.658

СРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОЦЕНОК ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОБОБЩЕННЫХ З А Д А Ч О НАЗНАЧЕНИИ^

© 2008 г. И. С. Литвинчев*, С. Рангель**

(* 119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; ** Ун-т штата Сан-Пауло, Бразилия) e-mail: Iitvin@ccas.ru; socorro@ibilce.unesp.br

Поступила в редакцию 31.07.2007 г.

Рассматриваются классические и модифицированные лагранжевы оценки оптимального зна­

чения для задач оптимизации, имеющих двойную декомпозиционную структуру. Для класса о б о б щ е н н ы х задач о назначении указанная специфика ограничений используется при постро­

ении алгоритма решения модифицированной двойственной задачи методом Бендерса. Приво­

дятся результаты численного сравнения качества классических и модифицированных оце­

нок. Библ. 18. Табл. 2.

Ключевые слова: л а г р а н ж е в ы оценки в задачах оптимизации, улучшение лагранжевых оце­

нок, обобщенная задача о назначениях.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из эффективных способов использования специальной структуры ограничений в зада­

чах оптимизации является лагранжева релаксация (см. [1]). Условия задачи разделяются на так называемые "хорошие" и "плохие" таким образом, что исходная задача решалась бы существен­

но проще, если бы в ней были оставлены только "хорошие" ограничения. Затем "плохие" огра­

ничения игнорируются, но в целевую функцию добавляется "штрафное" слагаемое, характери­

зующее нарушение этих ограничений. В классическом случае такой мерой отклонения от допу­

стимости служит линейная комбинация невязок ограничений, взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа. Полученная лагранжева задача, рассматриваемая при фиксированных множителях, содержит только хорошие ограничения и во многих случаях суще­

ственно проще исходной. Оптимальное значение лагранжевой задачи дает верхнюю (для задач максимизации) оценку оптимального значения исходной задачи. Задачу выбора наилучших, т.е.

минимизирующих верхнюю оценку множителей Лагранжа принято называть лагранжевой двой­

ственной задачей. Качество оценок исходного оптимального значения играет существенную роль как при построении численных методов решения (например, в различных вариантах метода ветвей и границ), так и при оценке их сходимости, позволяя оценить близость по функционалу текущего и оптимального решений (см. [2]-[8]).

Во многих случаях имеется несколько способов деления ограничений на хорошие и плохие, приводящих к различным лагранжевым релаксациям (см. [1], [5], [8]). Например, в сложной си­

стеме можно по-разному определять подсистемы. В этом случае при определенном разбиении вектора исходных переменных на подвектора часть ограничений рассматриваются как связыва­

ющие (в блочной постановке) и, следовательно, являются кандидатами на релаксацию. Однако те же ограничения могут интерпретироваться уже как блочные при иной группировке перемен­

ных (для другого определения подсистем). Будем говорить, что задача, обладающая указанным свойством, имеет двойную декомпозируемую структуру. Такую структуру имеют многие при­

кладные задачи, в которых используются переменные с двумя (или более) индексами типа х^ и имеются ограничения в виде сумм только по первому и только по второму индексу. Двойную де­

композируемую структуру имеет, например, обобщенная задача о назначениях, задача о не­

скольких рюкзаках, многие формулировки задач о раскрое/упаковке (см. [9]-[11]).

В [12] рассмотрена возможность улучшения классических лагранжевых оценок оптимально­

го значения, основанная на оценке штрафного слагаемого, вводимого в функцию Лагранжа. При

^ Р а б о т а И . С . Литвинчева выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-81020-Бел_а), р а б о т а С. Рангель частично поддержана CNPq (проект 473001/2004-7).

779 4*

таком подходе, наряду с классической лагранжевой задачей, имеющей только хорошие ограни­

чения, рассматривается вспомогательная задача, содержащая плохие ограничения. Если исход­

ная задача имеет двойную декомпозируемую структуру, то при определенных условиях обе за­

дачи - классическая лагранжева и вспомогательная - распадаются на независимые подзадачи меньших размерностей. В данной работе на примере одного класса обобщенных задач о назна­

чении рассматривается возможность использования двойной декомпозируемой структуры при решении двойственной задачи, а также проводится численное сравнение классических и улуч­

шенных лагранжевых оценок.

Работа организована следующим образом. В разд. 1 кратко излагаются основные построения метода улучшения классических лагранжевых оценок, детально представленные в [12]. В разд. 2 для обобщенной задачи о назначениях рассмотрена процедура решения модифицированной двойственной задачи, учитывающая двойную декомпозируемую структуру постановки. В по­

следнем разделе представлены результаты вычислительного эксперимента.

1. ОСНОВНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ Пусть исходная задача имеет вид

z* = max{c^Tx\Dx<d, хе X},

где De I R^{m x}" , X ç IR", a вектор-столбцы с, d, x и матрица D имеют согласованные размерности.

Ограничения Dx<d считаются плохими, т.е. без них исходная постановка существенно упроща­

ется. Обозначим через J C* оптимальное решение исходной постановки задачи.

Для m-мерного вектора множителей и = {u^t} > 0 лагранжева задача определяется следующим образом:

z(u) = m a x { c^r* + u{d-Dx)},

X G X

давая хорошо известную (см. [2], [5]) лагранжеву оценку z * < z ( w ) Vw>0.

Наилучшая (наименьшая) лагранжева оценка и соответствующие множители Лагранжа и*

определяются из решения двойственной задачи

z(u*) - minz(w) = vv^D.

и > 0

Оценку z* < w^D будем называть классической лагранжевой оценкой.

Предположим, что имеется некоторая априорная информация об оптимальном решении исходной задачи. Именно, пусть задано множество W cz [R^п такое, что e W. Будем называть множество \У локализацией оптимального решения J C* , или просто локализацией. Множество W может быть получено путем комбинации исходных ограничений, в результате опроса экспертов и т.п.

Обозначим через 9(w, W) оптимальное значение следующей вспомогательной задачи при и > 0:

Э(и, W) = minu^T(d-Dy).

У G W

В [12] показано, что для любой локализации W и любого и > 0 выполнено соотношение z*<z^M(u, W) = z(u)-Q(u, W).

Наилучшая оценка этого вида определяется из модифицированной двойственной задачи

W M D( W ) = minz^M(«, W).

И>()

Предположим теперь, что локализация имеет вид

= {у\уе Y,Py<p},

где матрица Р и вектор р имеют согласованную размерность. Будем считать, что множество Y имеет специальную структуру (например, декомпозируемую), так что ограничения у e Y жела­

тельно учитывать в явном виде, тогда как условия Ру <р эту структуру нарушают и будут исполь­

зоваться в функции Лагранжа с множителями v > 0. Действуя таким образом, получаем 9(w, W^{) = mmu\d-Dy)>mm{u\d-Dy) + v\Py-p)} V w > 0 ,

yeW{ ye Y

так что

6(и, W^x)>maxmin{u\d-Dy) + v{Py-p)}.

v >

v

Используя это соотношение в модифицированной двойственной задаче, приходим к модифици­

рованной лагранжевой оценке (см. [12])

z* < w^MD(W^{) = min {z(u) - 6(и, v, W^x)}⁹

u,v>0

в(м, v, W^{) = mm{u(d-Dv) + v(Py-p)}.

y G Y

Особый интерес представляет случай, когда множество X, задающее хорошие ограничения, и множество У, фигурирующее в определении локализации W^{, декомпозируемы: X = Х^{ ® ... ® X^R,

Y- Y^x ® ... ® Y^K. В этом случае лагранжева задача вычисления z{u) распадается на R независимых подзадач меньших размерностей, а вспомогательная задача вычисления 9 («, v, W^{) сводится к решению К независимых подзадач. Известно немало прикладных постановок (см., например, [1], [11]), в которых можно определить X и Y так, что оба этих множества будут иметь указанную специфику. Такая двойная декомпозируемая структура характерна, например, для задач, в фор­

мулировке которых используются целочисленные переменные x^tj и имеются ограничения в виде сумм только по первому и только по второму индексу. Сюда относится обобщенная задача о на­

значениях, задача размещения производства и задача о нескольких рюкзаках, задача о раскрое и упаковке. В разд. 2 отмеченная специфика постановки используется при построении алгоритма вычисления модифицированной лагранжевой оценки для одного класса обобщенных задач о на­

значении.

2. МОДИФИЦИРОВАННАЯ Л А Г Р А Н Ж Е В А О Ц Е Н К А ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ З А Д А Ч И О Н А З Н А Ч Е Н И Я Х

Различные постановки задачи о назначениях (ЗН), как правило, заключаются в сопоставле­

нии элементов двух или более множеств. При этом под размерностью З Н подразумевается число таких множеств (см. [10]). В том случае, когда имеется только два множества, их часто именуют

"задачами" и "исполнителями". Так, например, "задачами" могут быть работы, которые необхо­

димо выполнить, а "исполнителями" - люди или машины, которые могут это сделать. В своей классической постановке З Н состоит в назначении задач исполнителям так, что каждому назна­

чается не более одной задачи (назначение "один к одному"). В обобщенной задаче о назначениях (ОЗН) каждая задача назначается одному исполнителю, как и в классической постановке, но разрешается назначение нескольких задач одному и тому же исполнителю. При этом предпола­

гается, что на решение задачи может быть использована лишь часть ресурса, имеющегося у ис­

полнителя, а не весь ресурс, как в классическом случае. Таким образом, в О З Н рассматривается назначение "один ко многим" с учетом ограниченности ресурсов у исполнителей. Дальнейшим обобщением З Н является назначение "многих ко многим" с учетом ограничений по ресурсу как для исполнителей, так и для задач (см. [10]).

Zip = m a x ^ ^ c , ^ ,

i = u = I (MMAP)

n m

^ аихи < Ь( 9 i = 1 , 2 , . . . , m , ^dijXij^dj, j = 1, 2, л, *; ye { 0 , 1 } ,

7= 1 / = 1

где = 1, если исполнитель / назначается на задачу j , и x^tj = 0 в противном случае; с,-, - "полез­

ность" назначения исполнителя / на задачу у; atj - доля ресурса исполнителя /, используемая для выполнения задачи у, и Ъ[ - имеющийся у исполнителя / ресурс. Предполагается, что каждая за­

дача также имеет свой собственный ресурс и d^{t j} - доля ресурса задачи у, используемая при выпол­

нении ее исполнителем /, a dj - полный ресурс задачи у. Будем считать, что все коэффициенты задачи неотрицательны.

Отметим, что (ММАР) имеет двойную декомпозируемую структуру. Если мы дуализируем первые m ограничений, то лагранжева задача распадается на п независимых подзадач, каждая из которых имеет одно ограничение рюкзачного типа X,w= \ ацХ^ < dp Хц е {0, 1}. При релаксации второй группы ограничений получаем га независимых подзадач с рюкзачным ограничением. Для определенности будем рассматривать вторую группу ограничений как плохие, усложняющие ре­

шение задачи, которые будут релаксироваться при построении функции Лагранжа.

Введем обозначения

X, = Uje { О , 1}\£а

х

<ь\, X = J\X

i = 1

Yj^UjGiOA^d^dX Y = ] J Y^J9

L j ^J y = i

W{ = {ytJG { 0 , l } | y e Y,Py<ph

{Ру<р} = у^а^иу^и<Ь⁽,1= 1,2, . . . , r a l .

^ j *

Исходные ограничения, включенные в X, рассматриваются как хорошие, а условия, представ­

ленные в F, считаются плохими и будут включены в функцию Лагранжа. Локализация W^{ ис­

пользуется в модифицированной двойственной задаче, причем ограничения у e Y учитываются в явном виде, а условия Ру < р дуализируются во вспомогательной задаче. Пусть и = {ир] - 1, 2 , . . . , n \ и v == { vh i = 1,2, ..., m} - множители Лагранжа для соответствующих ограничений. Аналогично [12] получаем z^ip < w^MD (W^{), где

w^{M D}( W , ) = mm{z(u)-Q(u, v, W^{)}⁹ (MD)

u, v > 0

и для задачи (MMAP) имеем

z(u) = ^ujdj + maxj

XX

<; "

| = X

X

</ "

j

/ L / ; J ; ; L

y

Рассматривается следующая постановка (many-to-many assignment problem):

в(и, v, W^x) = ^ U j d j - ^ V i b i + i m n l ^

s

X

А - X

^<-

1 X™? Х

^ ~ "А)?* г

Модифицированная двойственная задача (MD) представляет собой выпуклую задачу недиф- ференцируемой оптимизации относительно переменных и, v, для решения которой могут ис­

пользоваться субградиентный метод, метод двойственного спуска из [13] или bundle-методы (см., например, [14, § 6.3]). В настоящей работе используется следующий подход: задача (MD) сводит­

ся к задаче линейного программирования с большим числом условий, которая решается методом релаксации/генерации ограничений (Бендерса, [1], [11]). Выбор метода Бендерса обусловлен тем, что он позволяет на каждой итерации получать (сходящиеся) верхние и нижние оценки зна­

чения модифицированной двойственной задачи и тем самым генерировать ее субоптимальное решение с гарантированной точностью. Основная цель настоящей работы - сравнение качества модифицированной и классической лагранжевых оценок. Поэтому мы не ставили цель найти наиболее быстрый способ решения двойственной задачи, основное внимание уделялось точно­

сти вычисления лагранжевых оценок.

Обозначим через {x\j ,t = 1,2, T^t} и {у\^{} ;}, / = 1,2, L⁷} все допустимые точки множеств Х⁽ и Yj. Тогда задача (MD) эквивалентна следующей (координирующей) задаче линейного програм­

мирования:

w^MD(W^{) = m i n ^ v ^ +

^ i - X ^ '

i i j

Т 1 > £ ( с ^г и ^ ) 4 , t = \,2, ...,T„ i=\,2,...,m, (MPI) j

^j-y^(^vi^aij-^uj^dübij^ l = 1,2, . . . , L - , j = 1,2,

" / (^{M p}2 )

n , v > 0 , £^у, Л , - е 1 й \

где переменные r|^z используются для представления минимума и максимума по у e YjHx e X^t соответственно. В задаче (MP) имеется 2(т + п) переменных и большое количество ограничений - по одному для каждой допустимой точки множеств X^t и Yj. Для решения коорди­

нирующей проблемы (MP) используется процедура генерации ограничений в форме метода Бен­

дерса. Мы опустим здесь подробное описание этого известного метода (см., например, [1]), оста­

новившись только на схеме генерации ограничений в возникающих подзадачах.

Пусть на к-и итерации метода имеется ограниченная координирующая задача (МРк), содержа­

щая лишь часть линейных условий задачи (MP). Обозначим через (w, v, ri)^ ее оптимальное ре­

шение. Для проверки допустимости этого решения ко всем ограничениям типа (MPI) необходи­

мо проверить выполнимость неравенств

Л | ^ Х ^ "

^ 4 "

или, что то ж е самое, неравенств

к X"* к

ц⁽ > т а х > (си-Ujd^Xij Vi = 1,2, . . . , т . (SI) j

Таким образом, для проверки допустимости текущего решения (и, v, Т | ) * к ограничениям (MPI) необходимо решить m независимых подзадач, каждая из которых имеет одно ограничение рюк­

зачного типа и п булевых переменных. Обозначим через J C* оптимальные решения этих подза­

дач.

Аналогично, для проверки допустимости текущего решения в случае ограничения (МР2) не­

обходимо проверить выполнимость неравенств

£ * < m i n Y ( v U i j - u j d ^ y i j V/ = 1,2, . . . , n , (S2)

y e У •} A M J

i

что сводится к решению п независимых подзадач с одним линейным ограничением и m булевыми переменными. Обозначим через у*, оптимальное решение этих подзадач.

Если неравенства (SI), (S2) выполнены, то текущее решение (м, v, г\)к оптимально для зада­

чи (MP), а (и, v)k - соответственно, для модифицированной двойственной задачи (MD).

Пусть условия (SI), (S2) не выполнены. Обозначим через / \ J^k множества индексов нару­

шенных ограничений: Ik çzl = { 1 , 2 , m}, Jk çz J = { 1 , 2 , n), Ik ; u Jk Ф 0 . Ограниченная ко­

ординирующая задача, соответствующая итерации (к + 1), формулируется путем добавления ограничений

к ограниченной координирующей задаче (MPk). Заметим, что всего может быть добавлено мак­

симум m + п ограничений.

На к-й итерации метода имеются верхняя и нижняя оценки оптимального значения w^UD(W^x)

модифицированной двойственной задачи:

LBk s £ v f o + £лf - £ Ç * < vvM D( W,) < _rain ^ z ( ns) - 6( и \ vs)} = S*,

где минимум берется по всем предыдущим итерациям и

z(u) = Y,^lli^dJ ⁺ XX^'ü " "Я/К'

7 * 7

Э(м\ VS) = ХМХ' ~ X V' ^ + ХХ( V' " " ' " 1Ча'^Уц-

7 ' ' 7

Итеративный процесс прекращается, например, при (UB^k - LB^k)/LB^k < £, где £ > 0 - заданная от­

носительная погрешность вычисления значения wMD(W{) модифицированной двойственной за­

дачи.

\ ( bi = ос 1 , d; = а

V j )

Все сгенерированные задачи были разделены на три класса (А, /?, С) в соответствии со значени­

ями ос: А (ос = 1), В (ос = 0.9) и С ( а = 0.8).

Обе лагранжевы оценки, классическая и модифицированная, вычислялись с помощью метода генерации ограничений, описанного выше. Вычисления прекращались при (UBk - LBk)/LBk <

< 0.0001. Алгоритм программировался с помощью языка AMPL (см. [18]), возникающие оптими­

зационные подзадачи решались пакетом CPLEX 10.0 на компьютере Pentium 4, 3.2 GHz, 2 GB RAM.

Для всех сгенерированных задач вычислялась величина z^ip (оптимальное значение исходной задачи), а также ее верхние оценки: z^{l p} - оптимальное значение непрерывной линейной релакса­

ции; z\us> - классическая лагранжева оценка wD; zmd - модифицированная лагранжева оценка WM D W ) .

Сравнительное качество оценок характеризовалось следующими показателями:

rell ⁼ ^ £ L P x 100%, rel2 = х 100%, ге13 = ^LpÎR х 100%,

4 a g ^ip ^-lp ^ip ^lp ^ip

где rell показывает, насколько модифицированная оценка лучше классической, а ге12, ге13 ис­

пользуются для сравнения лагранжевых оценок с LP-релаксацией.

Отметим также, что если нижняя оценка строго возрастает на последовательных итерациях, LB^k > LB^kx, то можно удалить ограничения (MPI), (МР2), не активные на оптимальном решении (и, v, ri)* (см., например, [1]).

Поскольку коэффициенты целевой функции исходной задачи неотрицательны, то Zi^P > 0. То­

гда для оптимального решения (м, v, £ Т | ) * координирующей задачи (MP) выполнены следующие условия:

0<z^ip<w^MD(W^{)

= X ^ + Z^-S^*'

' ' j

o<z^ip< z(u*) =

5>;ц+2>,*.

j ¹

Соответствующие тривиальные ограничения на (w, v, Г|) можно добавить (опуская индекс оп­

тимальности) в координирующую задачу с самого начала, чтобы избежать неограниченного убывания целевой функции на ранних итерациях метода.

3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Вычислительный эксперимент проводился с целью сравнения относительного качества клас­

сической и модифицированной лагранжевой оценки, а также их близости к исходному оптималь­

ному значению. При генерации тестовых задач использовались рекомендации, изложенные в [15]—[17]. Сравнение лагранжевых оценок проводилось для двух классов (ММАР) отличающихся размерностью тхп: "небольшие" с m G {5, 8, 10} И "средние" с m е {5, 10, 20} и п = 100. В каче­

стве исходных данных для каждого класса рассматривались целочисленные величины, сгенери­

рованные следующим образом:

с^ие t / [ 1 0 , 5 0 ] , a^tJe ( / [ 5 , 2 5 ] , d^ue £ / [ 3 , 2 0 ] ,

m п класс rell rel2 rel3 gapl gap2 gap3 iter(zl a g) iter(z^{m d})

5 50 А 61.28 60.22 98.73 6.63 10.82 11.01 545 426

5 50 В 77.82 77.71 99.87 5.58 7.17 7.18 516 577

5 50 С 67.28 66.67 99.07 2.20 3.27 3.30 755 860

8 50 А 77.99 72.66 93.16 4.36 5.59 6.00 576 609

8 50 В 88.07 86.88 97.82 1.92 2.18 2.21 748 751

8 50 С 97.77 95.65 97.83 3.08 3.15 3.22 915 925

10 50 А 82.48 74.03 89.75 3.25 3.94 4.39 543 639

10 50 В 95.74 90.60 94.63 1.35 1.41 1.49 854 844

10 50 С 99.38 93.06 93.64 1.61 1.62 1.73 811 851

Таблица 2

m п класс rell rel2 rel3 gapl gap2 gap3 iter(zi^{a g}) iter(z^{m d})

5 100 А 66.66 66.66 100 7.40 11.10 11.10 1938 1195

5 100 В 77.81 77.81 100 5.05 6.49 6.49 1258 1548

5 100 С 76.85 76.85 100 3.42 4.45 4.45 2452 2717

10 100 А 79.62 77.62 97.49 3.40 4.27 4.38 2253 1941

10 100 В 95.00 93.44 98.36 1.14 1.20 1.22 2843 2508

10 100 С 98.93 98.50 99.50 1.96 1.98 1.99 3548 2822

20 100 А 86.95 76.50 87.98 1.40 1.61 1.83 2414 2474

20 100 В 96.00 92.31 96.15 0.72 0.75 0.78 3898 3988

20 100 С 93.22 90.16 93.44 0.55 0.59 0.61 3931 3117

Для характеристики близости оценок к оптимальному значению использовались стандарт­

ные показатели:

gapl ^{= Zmd}~ZiP х 100%, gap2 = ^Zh*~^Z[* x 100%, gap3 = ^x 100%.

^ip ^ip ^ip

Результаты расчетов для небольших задач представлены в табл. 1, в табл. 2 даны результаты для средних задач. Для каждой задачи в таблице указана ее размерность (га, я), класс, к которому она относится (А, В, С), относительное качество оценок (rell, rel2, ге13), близость к исходному оп­

тимальному значению (gapl, gap2, gap3) и число итераций метода генерации ограничений, пона­

добившихся для вычисления лагранжевых оценок iter(z^{l a g}), iter(z^{m d}) соответственно.

Как видно из таблиц, для всех сгенерированных задач модифицированная оценка лучше клас­

сической (rell < ге13), причем для некоторых классов данных существенно лучше (задачи класса А).

Улучшение оценки для задач класса С незначительно. В тех случаях, когда значение z\^v близко к Zip (малые величины gap3), для обеих лагранжевых оценок имеется немного возможностей для улучшения по сравнению с z^{i p}. В целом можно отметить, что чем больше gap3, тем больше раз­

ница между модифицированной и классической оценками. Иными словами, чем хуже непрерыв­

ная релаксация, тем больше возможностей для улучшения классической лагранжевой оценки.

Для всех задач, за исключением двух последних в табл. 1, имеет место соотношение rell < ге13, т.е. если считать, что для этих задач классическая лагранжева оценка zJ a g "достаточно" улучшает непрерывную релаксацию z.\r то аналогичное заключение справедливо и для соотношения меж- Таблица 1

ДУ ^md ^и 4ag- Число итераций метода слабо зависит от типа лагранжевой оценки и имеет тенден­

цию к росту с возрастанием размерности.

Следует отметить, что указанные выводы можно расматривать только как предварительные, поскольку как число решенных задач, так и их размерность недостаточны для каких-либо общих заключений. Более представительный вычислительный эксперимент, в особенности для задач большой размерности и более узких классов постановок с двойной декомпозируемой структу­

рой, представляется интересной темой дальнейшего исследования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. ЛэсдонЛ.С. Оптимизация больших систем. М.: Наука, 1975.

2. Geoffrion A.M. Lagrangian relaxation and its uses in integer programming // Math. Program. Study. 1974. V. 2.

P. 82-114.

3. Fisher ML. An application oriented guide to Lagrangian relaxation // Interfaces. 1985. V. 15. P. 10-21.

4. Frangioni A. About Lagrangian methods in integer optimization // Ann. Operat. Res. 2005. V. 139. P. 163-169.

5. Guignard M. Lagrangian relaxation // TOP. 2003. V. 11. № 2. P. 151-228.

6. Guignard M., Rosenwein M.B. An application-oriented guide for designing Lagrangian dual ascent algorithms //

European J. Operat. Res. 1989. V. 43. P. 197-205.

7. Lamareehal C. Lagrangian relaxation // Comput. Combinatorial Optimizat. Heidelberg: Springer, 2001. P. 115—

160.

8. Shapiro J.F. A survey of Lagrangian techniques for discrete optimization // Ann. Discrete Math. 1974. V. 5.

P. 113-138.

9. Корбут A.A., Финкелъштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. M.: Наука, 1969.

10. Pentico D.W. Assignment problems: A golden anniversary survey // European J. Operat. Res. 2007. V. 176.

P. 774-793.

11. Martin R.K. Large scale linear and integer programming: A unified approach. Boston: Kluwer, 1999.

12. Литвиннев И.С. Улучшение лагранжевых оценок в задачах оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. 2007. Т. 47. № 7. С. 1151-1157.

13. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наук, думка, 1979.

14. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003.

15. Narciso M.G., Lorena LA. Lagrangean/surrogate relaxation for the generalized assignment problem // European J. Operat. Res. 1999. V. 114. P. 165-167.

16. Yagiura M., Ibaraki T., Glover F. A path relinking approach with ejection chains for the generalized assignment problem // European J. Operat. Res. 2006. V. 169. P. 548-569.

17. Jeet V., Kutanoglu E. Lagrangian relaxation guided problem space search heuristics for generalized assignment problems // European J. Operat. Res. 2007. V. 182. P. 1039-1056.

18. F ourer R., Gay M.D., Kernighan B.W. AMPL - a modeling language for mathematical programming. Denvers, Massachusetts: Scient. Press, 1993.