А. В. Лихачев, Регуляризующая фильтрация проекций в алгоритмах двумерной томографии, Сиб. журн. вычисл. матем., 2008, том 11, номер 2, 187–200

Общероссийский математический портал

А. В. Лихачев, Регуляризующая фильтрация проекций в алгоритмах двумерной томографии, Сиб. журн. вычисл. матем., 2008, том 11, номер 2, 187–200

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

3 ноября 2022 г., 16:28:25

Регуляризующая фильтрация проекций в алгоритмах двумерной томографии

А.В. Лихачёв

УДК 519.642, 519.633.9

Лихачёв А.В. Регуляризующая фильтрация проекций в алгоритмах двумерной томографии // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. –– Новосибирск, 2008. –– Т. 11, № 2. –– С. 187–200.

Предложены и исследованы регуляризующие фильтры для томографических алгоритмов. Разрабо- тан метод определения параметра регуляризации, основанный на критерии невязки. Произведен вычис- лительный эксперимент, в котором, в частности, предлагаемая фильтрация проекций сравнивалась с фильтрацией Шеппа–Логана.

Ключевые слова:томография, регуляризующий алгоритм, критерий невязки.

Likhachov A.V. Regularizing filtrating of projections for two-dimensional tomography algorithms // Siberian J. Num. Math. / Sib. Branch of Russ. Acad. of Sci. –– Novosibirsk, 2008. –– Vol. 11, № 2. –– P. 187–200.

The regularizing filters for tomography algorithms are proposed and investigated. The method for reg- ularization parameter determination was developed on the basis of a discrepancy criterion. The numerical simulations were carried out. In particular, the proposed filtration of projections was compared to be Shepp–

Logan one.

Key words:tomography, regularizing algorithm, discrepancy criterion.

1. Введнеие

Томографические методы в настоящее время широко распространены для восстанов- ления внутренней структуры объектов без разрушения последних и без нарушения их целостности. Обзор областей приложения томографии, описание физических принци- пов, на которых основываются те или иные ее (томографии) виды, а также изложение математического аппарата можно найти, например, в монографиях [1–5]. Далее в ра- боте рассматривается одна из наиболее часто встречающихся задач томографии — вос- становление распределения по объему тела коэффициента поглощения проникающего излучения (в частности рентгеновского). Классический подход к ее решению состоит в послойной реконструкции (отсюда происходит термин томография: tomos в переводе с латинского языка означает слой). При этом измерения производятся в одной плоскости, и по полученным данным восстанавливается распределение коэффициента поглощения в тонком слое объекта. Система регистрации смещается вдоль некоторой оси, после чего процесс измерения и реконструкции повторяется для следующего слоя. Таким образом, в конечном итоге получается распределение коэффициента поглощения по всему трех- мерному телу.

∗Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 06-01-81000, № 07-07-00251-а).

При некоторых предположениях относительно процесса измерения данных задача определения распределения коэффициента поглощения в тонком слое объекта с мате- матической точки зрения сводится к определению функции двух переменных по набору интегралов от нее вдоль некоторого множества прямых [1, 3]. Это является известной в интегральной геометрии задачей обращения двумерного преобразования Радона [2].

Пусть g(ψ, r) — искомая функция, записанная в полярных координатах;ψ — угол меж- ду радиус-вектором точки и положительным направлением оси X, r — расстояние от этой точки до начала координат. Пусть L(ϕ, l) — прямая, заданная длиной перпендику- ляра l, опущенного на нее из начала координат, и углом ϕ между перпендикуляром и положительным направлением осиX. Пустьp— координата вдоль этой прямой, причем проекции начала координат на прямую соответствует значениеp = 0. Тогда двумерное преобразование Радона функцииg(ψ, r)в точке(ϕ, l)записывается следующим образом:

f(ϕ, l) =

+∞

Z

−∞

g(ϕ+ arctan(p/l),p

l²+p²)dp, (1)

гдеl,p∈R¹,ϕ∈[0; 2π]. Функция одной переменнойf_ϕ(l)≡f(ϕ, l)|_ϕ=constназывается од- номерной проекцией функцииg(ψ, r). Согласно (1), значение проекцииf_ϕ(l)в некоторой точке есть интеграл от функции g(ψ, r)вдоль прямой L(ϕ, l).

Для двумерного преобразования Радона (1) имеет место формула обращения [2], ко- торая может быть записана в виде

g(ψ, r) = 1 4π

2π

Z

0





+∞

Z

−∞

|ν|f˜ϕ(ν) exp{iνrcos(ϕ−ψ)}dν



dϕ, (2)

где черезf˜ϕ(ν) обозначен Фурье-образ одномерной проекции, при этом преобразование Фурье определяется следующим образом:

f˜_ϕ(ν) = (2π)^−1/2

+∞

Z

−∞

f_ϕ(l) exp{−iνl}dl. (3)

Внешний интеграл по углу в выражении (2) называется обратным проецированием, внут- ренний — представляет собой фильтрацию одномерных проекций. В уравнении (2) филь- трация производится в частотной области: Фурье-образ проекции умножается на модуль частоты. При численной реализации формулы обращения двумерного преобразования Радона (2) возникают трудности, связанные с наличием бесконечных пределов инте- грирования, поскольку спектр проекции, вообще говоря, неограничен. В связи с этим при построении алгоритмов на основании уравнения (2) вместо функции|ν|используют некоторую функциюΦ(ν), обладающую при ν→ ±∞ нужными свойствами. Различные способы выбора фильтраΦ(ν)приводят к различным алгоритмам томографической ре- конструкции. Подробно фильтрация проекций рассмотрена в монографиях [1, 2, 5]. В настоящей работе исследованы два алгоритма реконструкции, особенностью которых яв- ляется наличие в них в явном виде регуляризующего параметра. О применении методов регуляризации в задачах томографии можно найти в [3–5].

Операция фильтрации проекций может быть проведена также в пространственной области (см., напр., [1]). В этом случае она представляет собой свертку проекции с син- гулярным ядром, причем интеграл понимается в смысле его главного значения. Одна из

возможных реализаций такой свертки была предложена Шеппом и Логаном [6]. В насто- ящее время алгоритм Шеппа–Логана является одним из наиболее часто употребляемых в томографии алгоритмов. По этой причине с ним сравниваются рассматриваемые в данной работе регуляризующие алгоритмы. Другие реализации фильтрации проекций посредствам свертки можно найти в работах [1, 5, 7–9].

2. Регуляризующая фильтрация проекций

Простым способом алгоритмической реализации формулы (2) является ограничение ширины фильтра некоторой частотой νmax, как это было сделано в работе [7]:

Φ(ν) =

|ν|, |ν|/ν_max≤1,

0, |ν|/ν_max>1. (4)

Однако фильтр (4), как это указывалось в литературе (см., напр., [1, 2]), имеет недо- статки, обусловленные его разрывом при ν = ν_max. Вместо (4) предлагается использо- вать следующие два семейства фильтров, зависящие от регуляризующего параметра α и степени модуля частотыn:

Φ_G(ν, α, n) =

|ν|exp (−α|ν|ⁿ), |ν|/ν_max≤1,

0, |ν|/ν_max>1 (5)

и

ΦP(ν, α, n) =

|ν|/(1 +α|ν|ⁿ), |ν|/ν_max≤1,

0, |ν|/ν_max>1. (6)

В формулах (5), (6)α >0,n= 1,2,3, . . ..

При практической реализации томографических алгоритмов ширину полосы пропус- кания фильтра в частотной области 2ν_max обычно полагают равной обратной величине шага сетки h, задаваемого на проекции, т. е. νmax = 1/2h. Обоснование такого выбора можно найти, например, в [1]. В настоящей работе при проведении вычислительного эксперимента также использовалось это значениеν_max.

Фильтр ΦG(ν, α, n) при n = 2 использовался ранее в [10] для томографической ре- конструкции структуры сварных швов в трубопроводах. Однако там не было дано реко- мендаций относительно выбора величины параметра регуляризацииα. В данной работе предлагается искать значение параметра α при фиксированной степени модуля часто- ты nисходя из критерия невязки [3, 11]. Для рассматриваемой задачи томографии его можно записать следующим образом:

kRg_α,n(ϕ, l)−f(ϕ, l)k=δ. (7)

В выражении (7) черезk ◦ kобозначена норма в рассматриваемом функциональном про- странстве, через Rgα,n(ϕ, l) — преобразование Радона от функции gα,n(ψ, r), получен- ной из проекционных данных f(ϕ, l) по формуле (2), в которой |ν| заменен функцией Φ_G(ν, α, n) или Φ_P(ν, α, n). Параметр δ в (7) характеризует точность, с которой извест- ны проекционные данные. Обычноδ определяется какinf_δ1ρ(f^e, f)< δ1, т. е. как точная нижняя грань множества величин δ1, для которых выполняется условие ρ(f^e, f) < δ1, где ρ(◦,◦) — расстояние в соответствующем метрическом пространстве, f и f^e — соот- ветственно точные и имеющиеся проекционные данные.

3. Вычислительный эксперимент

Предлагаемый алгоритм с регуляризующей фильтрацией проекций исследовался по- средством вычислительного эксперимента. Для этого использовалось следующее семей- ство математических фантомов, определяемое целочисленным неотрицательным пара- метром m:

g(ψ, r) =

20

X

i=1

g_i^m(ψ, r),

g_i^m(ψ, r) =











1− x²_i a²_i −y²_i

b²_i m

, x²_i a²_i +y_i²

b²_i ≤1, 0 , x²_i

a²_i +y_i² b²_i >1,

(8)

xi =x0i−rcosψ, y=y0i−rsinψ.

Параметрыa_i,b_i,x_0i,y_0i,i= 1,2, . . . ,20, в (8) были фиксированными и подобранными так, чтобы эллипсы, имеющие полуоси a_i, b_i, с центрами в точках (x_0i,y_0i), не пересе- кались. При выполнении этого условия неотрицательное целое число m характеризует степень гладкости фантома. В частности, приm= 0он имеет разрывы на границах этих эллипсов, приm= 1сама функция непрерывна, но имеет разрыв ее производная и т. д.

На рис. 1а–1г представлены изображения фантомов для m = 0,1,2,3 соответственно.

Выбор модельных функций в виде семейства (8) был обусловлен тем, что одним из ис- следуемых в работе вопросов является выяснение того, как степень модуля частоты в фильтрах (5) и (6) влияет на качество реконструкции функций различной гладкости.

Расчеты производились на квадратной сетке1025×1025узлов. Проекционные данные моделировались как набор одномерных проекций, которые были распределены равномер- но по углу ϕ в интервале от 0^◦ до 360^◦. На каждой проекции задавалась сетка в 1025 узлов. Реконструкция проводилась как при отсутствии случайного шума в проекционных данных, так и при его наличии. Шум предполагался гауссовским со средним, равным ну- лю, и переменной дисперсией, составляющей в каждой точке проекцииξпроцентов от ее значения. В расчетах варьировалось число проекций, уровень шумов, степень модуля ча- стоты в регуляризующих фильтрах и параметрm, характеризующий гладкость фантома.

Результаты реконструкции, полученные алгоритмами с регуляризующей фильтрацией, сравнивались с результатами, которые дает алгоритм Шеппа–Логана.

Для численной оценки точности томографического восстановления использовалась нормированная среднеквадратичная ошибка∆, вычисляемая по следующей формуле:

∆ = kg−g_α,nk

kgk . (9)

В выражении (9)g — математический фантом (точная модель), g_α,n — восстановленное решение, k ◦ k— евклидова норма в конечномерном векторном пространстве.

Результаты исследования влияния степени модуля частоты фильтров на величину ошибки ∆ представлены на рис. 2 и рис. 3, где приведены зависимости ∆(n). Здесь и далее величина параметра регуляризацииαпри заданномnбралась такой, при которой ошибка ∆была минимальной. Это значение определялось путем перебора. Ниже будет изложено о выборе параметра регуляризации по критерию невязки (7). На рис. 2а и рис.

2б кривые 1 и 2 относятся к реконструкции разрывной модели (m= 0), а кривые 3 и 4 — к реконструкции гладкой модели сm= 4. При получении кривых 1 и 3 в регуляризующем алгоритме использовался фильтр Φ_G(ν, α, n), а для кривых 2 и 4 — фильтрΦ_P(ν, α, n).

В проекционных данных присутствовал шум с ξ = 3%. Для рис. 2а число проекций

а б

в г

Рис. 1. Изображение математических фантомов различной гладкости

равнялось 50, а для рис. 2бM = 5000. Из сравнения рис. 2a и рис. 2б был сделан вывод, что при относительно небольшом числе проекций степень модуля частоты n = 2 явля- ется оптимальной для обоих фильтров Φ_G(ν, α, n) и Φ_P(ν, α, n), причем этот результат не зависит от степени гладкости фантома. При большом числе проекций лучшее каче- ство реконструкции обеспечивают фильтры сn >2. Для гладкой модели эта тенденция проявляется сильнее, нежели для разрывной. На рис. 3 показаны зависимости∆(n) при различном уровне шума в проекционных данных. Восстанавливалась разрывная модель, число проекций M составляло 5000. В алгоритме реконструкции использовался фильтр ΦG(ν, α, n). Для кривой 1 ξ = 3%, для кривой 2 ξ = 15%, для кривой 3 ξ = 30%. Из рис. 3 видно, что при повышении уровня шума использование высоких степеней моду- ля частоты в регуляризующих фильтрах приводит к увеличению ошибки реконструк- ции. В процессе вычислительного эксперимента было показано, что регуляризующая

а

б

Рис. 2. Зависимости ошибки∆от степени модуля частоты регуляризующих фильтров,ξ= 3%;

кривые 1, 2 — разрывная модель, 3, 4 — гладкая модель сm= 4; кривые 1, 3 — фильтрΦ_G(ν, α, n), 2 и 4 — фильтрΦ_P(ν, α, n); a:M = 50, б:M = 5000

Рис. 3. Зависимости ошибки ∆ от степени модуля частоты фильтра ΦG(ν, α, n); разрывная модель,M = 5000, кривая 1 —ξ= 3%, 2 —ξ= 15%, 3 —ξ= 30%

фильтрация проекций посредством фильтров (5) и (6) при относительно малом числе ракурсов наблюдения, а также при наличии шумов в данных приводит к лучшему каче- ству томографической реконструкции, нежели фильтрация Шеппа–Логана. На рис. 4а представлены зависимости ошибки ∆ от числа проекций M при нулевом уровне шума, а на рис. 4б — зависимости ∆от уровня шума ξ для M = 200. Кривые 1 и 2 относятся к алгоритму с регуляризующей фильтрацией и алгоритму Шеппа–Логана соответствен- но. Реконструировался разрывный фантом. В регуляризующем алгоритме использовался фильтр Φ_G(ν, α, n) с n = 2. На рис. 4б дополнительно приведена кривая 3. Она также соответствует реконструкции алгоритмом Шеппа–Логана. В отличие от кривой 2, при ее получении проекции предварительно сглаживались сплайнами.

Как видно из рис. 4а, при относительно небольшом числе проекцийM <200регуля- ризующие алгоритмы при правильном выборе параметра регуляризации имеют значи- тельное преимущество перед алгоритмом Шеппа–Логана. Однако при дальнейшем уве- личении количества ракурсов наблюдения точность реконструкции этими алгоритмами в смысле ошибки∆примерно одинакова.

Рис. 4б показывает, что шум, даже невысокого уровня, существенно ухудшает точ- ность реконструкции алгоритмом Шеппа–Логана, если в нем не использована дополни- тельная регуляризация. В то же время регуляризующие алгоритмы дают томограммы приемлемого качества при шуме 30% и более. Использование сглаживания проекцион- ных данных сплайнами значительно повышает устойчивость алгоритма Шеппа–Логана вплоть до уровня шума 15–20%. Однако при дальнейшем увеличении ξ устойчивость падает, кривая 3 начинает идти вверх, отдаляясь от кривой 1.

а

б

Рис. 4. Зависимости ошибки ∆; a: от числа проекций M при ξ = 0; б: от уровня шума ξ приM = 200; кривая 1 — регуляризующий алгоритм, 2 — алгоритм Шеппа–Логана. Кривая 3 на рис. 4б — алгоритм Шеппа–Логана с предварительным сглаживанием проекций сплайнами

Сказанное о реконструкции по зашумленным данным иллюстрирует также рис. 5, на котором изображены томограммы, полученные по двумстам проекциям, содержащим шум сξ = 20%. Рис. 5a относится к регуляризующему алгоритму с фильтромΦG(ν, α, n), n=2,α=0.00054, а рис. 5б и рис. 5в — к алгоритму Шеппа–Логана. Для рис. 5в рекон- струкция производилась по проекциям, сглаженным сплайнами. Видно, что объект на рис. 5б слабо различим на фоне высокого шума. На рис. 5а и рис. 5в шум подавлен, но при этом рис. 5а выглядит предпочтительнее. Хотя границы объекта на нем несколько размыты, но искажений значительно меньше, нежели на рис. 5в. Как было указано вы-

а б

в

Рис. 5. Томограммы, реконструированные по проекционным данным, содержащим шум вы- сокого уровня: ξ = 20%, M = 200; а: ре- гуляризующий алгоритм, ∆ = 0.330; б: ал- горитм Шеппа–Логана, ∆ = 5.812; в: ал- горитм Шеппа–Логана с предваритель-ным сглаживанием проекций сплайнами,∆ = 0.372

ше, при получении зависимостей ошибки∆от параметров реконструкции производилось сканирование по величине параметра регуляризацииαи выбиралось то его значение, при котором∆ была минимальна. Однако на практике такой метод неприменим, поскольку

точное решение задачи, необходимое для вычисления∆, неизвестно. В настоящей работе была исследована возможность применения критерия невязки (7) для рассматриваемой регуляризующей фильтрации проекций. При этом в качестве оценки величины δ ис- пользовалось значение выражения0.01ξkfk, гдеf — имеющиеся проекционные данные.

Заметим, что уравнение (7), вообще говоря, может не иметь решения относительно α.

В этом случае в качестве такового естественно брать тоα, при котором модуль разности σ≡ kRg_α,n(ϕ, l)k −0.01ξkfkимеет минимальное значение.

Рис. 6. Кривая 1 — зависимость∆(α), 2 — зависимость σ(α)

Отдельное замечание сделаем по поводу моделирования в отсутствии шумов. В част- ности, такое моделирование было проделано при получении рис. 4а. В этом случаеξ= 0, иσ равно невязке решения с проекционными данными. Тогда параметр регуляризацииα будет определяться из минимизации величины невязки. Однако известно, что такая за- дача является некорректно поставленной [11]. Тем не менее, трудностей здесь не воз- никает. Дело в том, что теория рассматривает случай, когда невязка стремится к нулю при стремлении к нулю уровня шума. При реконструкции по конечному числу проекций такого не происходит, поскольку в этих условиях алгоритм реконструкции не являет- ся строго обратным оператором для проецирующего оператора, переводящего функцию двух переменных в набор одномерных проекций согласно (1). Специально проведенный вычислительный эксперимент показал, что при реконструкции в отсутствии шумов за- висимости величины невязки от параметра α являются достаточно гладкими кривыми и имеют минимум при α > 0. Близким значениям параметра регуляризации соответ- ствуют близкие значения невязки. Это свидетельствует о том, что задача определения параметра регуляризации в данном случае является корректно поставленной.

На рис. 6 приведены зависимости ошибки ∆ и величины σ от параметра регуляри- зации α, кривые 1 и 2 соответственно. (Точнее, кривая 2 естьσ(α)/20. Так сделано для того, чтобы обе зависимости имели одинаковый порядок величины.) Для рис. 6 m = 0 (т. е. используется разрывная модель), M = 200, ξ = 10%; при реконструкции исполь- зовался регуляризующий алгоритм с фильтромΦ_G(ν, α, n),n= 2. Для других значений n,m,M и ξ, а также для фильтраΦP(ν, α, n) были получены зависимости ∆(α) и σ(α) аналогичной формы.

Из рис. 6 видно, что зависимости∆(α)иσ(α)похожи. Обе они резко спадают при уве- личении параметра регуляризацииα от нуля до некоторой величины, а затем медленно растут с ростомα. Кривая∆(α)имеет единственный минимум. Значение параметра ре- гуляризации, при котором он достигается, в дальнейшем будет обозначаться черезα^∆_min. Зависимостьσ(α) имеет, вообще говоря, не единственный минимум, а множество незна- чительных по амплитуде локальных минимумов и максимумов, расположенных в поло- гой части кривой σ(α). В целом зависимость σ(α) выглядит так, как будто на гладкую кривую, подобную по форме кривой ∆(α), накинут случайный шум небольшой интен- сивности. После сглаживания зависимость σ(α) также имеет единственный минимум в точке, обозначаемой ниже как α^σ_min. Во всех проведенных расчетах было получено α^σ_min < α^∆_min. Однако различие между α^σ_min и α^∆_min было не очень большим: величина (α^∆_min−α_min^σ )/(α^∆_min+α_min^σ ) не превышала 0.15. Более того, разность ∆(α^σ_min)−∆(α^∆_min) всегда была менее 0.02. Из всего сказанного следует важный для практического примене- ния регуляризующей фильтрации вывод. Величина параметра регуляризации, найденная по критерию невязки (7), является хорошей оценкой величиныα^∆_min, при которой ошибка реконструкции минимальна.

Учитывая то, что функция σ(α) немонотонная и недостаточно гладкая, во всяком случае, такой результат получен в проведенном вычислительном эксперименте, автор предлагает находить α^σ_min методом перебора. В настоящей работе это осуществлялось следующим образом. Интервал [0;αmax] сканировался с шагом dα, для каждого значе- ния α вычислялась величина σ(α). Полученная зависимость σ(α) сглаживалась сплай- нами. Оценка шума на сглаживаемой кривой, необходимая для корректного использова- ния сглаживающих сплайнов, делалась приблизительно по высоте пиков на ней. После чего производилась серия расчетов со сканированием по величине уровня шума в ин- тервале вокруг значения выбранной оценки. Из полученных в результате сглаживания кривых выбирались те, которые имеют единственный минимум (в проведенных расче- тах практически все были такими), а из них выбиралась та, которая имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение от исходной кривой. Значение аргумента в минимуме, выбранной таким образом кривой, бралось в качествеα^σ_min. Величиныαmaxиdαзависят от вида фильтра, его степени n, количества проекций M, уровня шума ξ. В проведен- ных рассчетах число точек, в которых вычислялась σ для определения α^σ_min, составля- ло 50–200.

Очевидно, что α^σ_min зависит от степени модуля частоты в фильтрах Φ_G(ν, α, n) и Φ_P(ν, α, n). Расчеты были проделаны для n ∈ [1; 8], см. рис. 2, рис. 3. Было получено, что при увеличенииnна единицу величинаα^σ_minпадает на 1–2 порядка. При этом степень падения увеличивается при увеличении числа проекций. Относительно положения α^σ_min на сглаженной зависимости σ(α) при фиксированном n был сделан следующий вывод.

При уменьшении числа проекций или при увеличении уровня шума α^σ_min смещается в сторону большихα.

На рис. 7 приведены примеры полученных томограмм. Реконструкция производилась по пятистам проекциям, содержащим случайный шум сξ = 3%. При этом использовался

а б

в г

Рис. 7. Томограммы фантомов различной гладкости, изображенных на рис. 1;M = 500, ξ= 3%;

а:m= 0, ∆ = 0.270; б:m= 1, ∆ = 0.190; в:m= 2, ∆ = 0.207; г:m= 3, ∆ = 0.227

регуляризующий фильтрΦ_G(ν, α, n)сn= 2приα=α^σ_min. Величинаα^σ_min находилась по критерию невязки описанным выше образом. На рис. 7а–7г представлены томограммы, полученные для фантомов с гладкостьюm= 0,1,2,3 соответственно.

4. Заключение

В работе предложены и исследованы два семейства регуляризующих фильтров для фильтрации проекционных данных в алгоритмах томографической реконструкции. Для определения параметра регуляризации был разработан метод, основанный на критерии невязки. Путем вычислительного эксперимента установлено, что величина параметра

регуляризации, полученного этим методом, близка к его значению, при котором ошибка реконструкции минимальна.

Проведенные расчеты показали, что при относительно небольшом числе проекций, а также при наличии сильного шума в проекционных данных алгоритмы с регуляризу- ющей фильтрацией обеспечивают значительно лучшее качество реконструкции, нежели известный алгоритм Шеппа–Логана. Причем использование сплайнов для сглаживания зашумленных проекционных данных перед реконструкцией алгоритмом Шеппа–Логана при шумах сξ более 20% также приводит к б´oльшим ошибкам, чем реконструкция пред- лагаемыми алгоритмами без использования предварительной обработки проекций.

Относительно степени модуля частотыnв регуляризующих фильтрах (см. формулы (5), (6)) был получен следующий результат. При числе проекцийM, равным до несколь- ких сотен, оптимальным является значение n = 2. При M порядка нескольких тысяч лучший результат получается при n >2. Причем для гладких моделей разница между ошибкой, полученной при n = 2, и минимальной в зависимости от n ошибкой боль- ше, нежели эта же разница для разрывной модели. Так, например, для гладкой модели с m = 4 (см. уравнение (8)) при реконструкции по 5000-м проекциям регуляризующим алгоритмом с фильтром Φ_P(ν, α, n) приn= 2ошибка∆ составила 0.064, а приn= 8— 0.045, т. е. приблизительно в 1.4 раза меньше.

Сравнение между собой регуляризующих фильтров Φ_G(ν, α, n) (5) и Φ_P(ν, α, n) (6) показало, что в большенстве проведенных вычислительных экспериментах они обеспечи- вают близкие результаты реконструкции. Однако при большом числе проекций (порядка нескольких тысяч) применение фильтра Φ_P(ν, α, n) c n >2 приводит к меньшей ошиб- ке, нежели использование фильтра ΦG(ν, α, n) с такими же значениями n. Это связано, по-видимому, с тем, что фильтр ΦG(ν, α, n), в котором используется экспоненциальное подавление высоких частот, при этих условиях сильнее сглаживает получаемое решение.

Благодарности. Автор выражает благодарность О.Е. Трофимову за руководство ра- ботой, по которой была написана статья, а также за обсуждение текста статьи и ряд ценных замечаний.

Список литературы

[1] Herman G.T. Image Reconstruction from Projections: The Fundamentals of Computerised Tomography. –– New York: Academic Press, 1980.

[2] Natterer F.The Mathematics of Computerized Tomography. –– New York: John Wiley & Sons, 1986.

[3] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. –– М: Наука, 1987.

[4] Пикалов В.В., Мельникова Т.С.Томография плазмы. –– Новосибирск: Наука. Сиб. из- дат. фирма, 1995.

[5] Лаврентьев М.М., Зеркаль С.М., Трофимов О.Е. Численное моделирование в то- мографии и условно-корректные задачи. –– Новосибирск: Изд-во ИДМИ НГУ, 1999.

[6] Shepp L.A. and Logan B.F.The Fourier reconstruction of a head section // IEEE Trans.

Nucl. Sci. –– 1974. –– Vol. 21, № 3. –– P. 21–43.

[7] Ramachandran G.N., Lakshminarayanan A.V. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrographs: application of convolutions instead of Fourier transforms // Proc. Nat. Acad. Sci. US. –– 1971. –– Vol. 68. –– P. 2236–2240.

[8] Herman G.T., Rowland S.W. Three methods for reconstructing objects from x-rays: a comparative study // Cumput. Graph. Img. Proc. –– 1973. –– № 2. –– P. 151–178.

[9] Лихачёв А.В. Исследование 1/z²-фильтрации в алгоритмах томографии // Автомет- рия. –– 2007. –– Т. 43, № 3. –– C. 57–64.

[10] Likhachov A.V., Pickalov V.V., Ewert U., Redmer B. Resolution enhancement in computerized tomography by deconvolution methods // Proc. 2nd Workshop “NDT in Progress”.

Int. Meeting of NDT Experts, October 6–8, 2003, Prague. –– Brno: Brno Univ. Technol., 2003. ––

P. 137–150.

[11] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.Методы решения некорректных задач. –– М: Наука, 1986.

Институт автоматики и электрометрии СО РАН, просп. Акад. Коптюга, 1,

г. Новосибирск„

630090

E-mail: ipm1@iae.nsk.su

Статья поступила 24 августа 2006 г.

Переработанный вариант 17 апреля 2007 г.