Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. М. Лукацкий, О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру двумерного компактного многообразия, Сиб. ма- тем. журн., 1988, том 29, номер 6, 95–99
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
2 ноября 2022 г., 22:24:35
Т. XXIX, № 6
СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ 1988
У Д К 519.46
А. М. Л У К А Ц К И Й
О СТРУКТУРЕ ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ Г Р У П П Ы ДИФФЕОМОРФИЗМОВ, С О Х Р А Н Я Ю Щ И Х МЕРУ ДВУМЕРНОГО КОМПАКТНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Пусть дано гладкое компактное двумерное риманово многообразие М. Обозначим через Diff^(M) группу С°°-диффеоморфизмов Л/, сохраняю
щих меру, определяемую римановой метрикой. Как было установлено В. И. Арнольдом [1, 2], задача решения уравнений Эйлера движения иде
альной несжимаемой жидкости на М эквивалентна нахождению геоде
зических правоинвариантной римановой метрики на группе Diff^(M), заданной в единице формой кинетической энергии
<u, v} = j <u(x), v(x)yd\i.
м
Здесь гг, v лежат в пространстве V»(M) векторных полей нулевой дивер
генции, являющемся алгеброй Ли группы Diii^iM). Исследование устой
чивости течений идеальной несжимаемой жидкости на М приводит к за
даче вычисления кривизн по двумерным направлениям, взятым в еди
нице группы
Diffn(M).
В. И. Арнольдом был предложен метод вычисления указанных кри
визн, основанный на определении оператора коприсоединенного пред
ставления для алгебры Ли V^M). Указанный оператор может быть пол
ностью вычислен для случая тора [1, 2]. В то же время его вычисление для сферы уже приводит к серьезным техническим трудностям.
В настоящей работе выводится явная формула для кривизны груп
пы
Diffn(M)
в виде выражения, включающего операции коммутирования векторных полей и оператор Лапласа. В заключение рассматриваются примеры.1. Вычисление тензора кривизны
Предварительно нам понадобится выражение тензора кривизны пра
воинвариантной метрики на группе Ли G через ее структурные констан
ты. Пусть в алгебре Ли © группы G выбран ортонормированный базис в смысле правоинвариантной метрики, а структурные константы обозна
чаются так: с% = е,], ek}. Из [3] для тензора кривизны имеем
= <# (ей ej) eh eh} = 2 ( т +
4i +
4 ) ( 4 + + 4 ) — рv
- (cvu + 4 + 4 ) ( 4 + 4
+ c&) -
4 c% (4t + c[p + сЩ.В частности, для кривизны по двумерному направлению, натянутому элементами базиса ег, е„ получаем выражение
К (в{, ej) = 2 | (cji + cpi "t" cpj) ( 4 "т" cji + 4 ) — 4 4 —
P 1
2 ( 4 + 4 "t"
96 Л . М. Лукацкий
Далее рассмотрим случай, когда G = Diiill(M)—- группа диффеомор
физмов, сохраняющих меру. Выберем в ее алгебре Ли ® == Vll(M) орто- нормированный базис таким образом, чтобы элементы е{ являлись соб
ственными для оператора Лапласа Д на векторных полях. Пусть Предложение 1.1. В выбранном базисе ( e j имеем следующее соот
ношение для структурных констант алгебры Ли V^M):
Vij = ~ ^ 4 . '
(1.1)Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы будем использовать представление век
торных полей нулевой дивергенции их функциями тока: i? = / g r a d / , / = / ( i ? ) . Здесь / — оператор поворота вправо на 90°. Отметим, что опе
ратор Лапласа на бездивергентных векторных полях — это оператор Лапласа на их функциях тока. Получим с%• = <ad^(^j), ek} = <£j, (adeO* (eh)}. В обозначениях [2] (dLdei)*(eh)=B(ek, d). Пусть в,-= / ( / » ) , B{eh ^ ) = / ( / « ) . Ввиду [2] B(eh, е() = — Д (/t)grad/f e + grada. Отсюда I(B(eh, е{)) = — Д (фй)^ + / ( а ) . Учитывая, что d i v / ( a ) = 0 и d i v / ( 5 ( ef t, в»)) = div (—I2 grad Дг) = — Д (fhi), приводим предыдущее равенство к ви
ду — Д (Д<) = — ( Д Д ) = —Квг (Д). Остается заметить, что <Д# (г*,
езУ = < # («Л, ^г), A*j> = XjC?j = — ^fe <[*г, £j> = — ^FE£RJFT.
Следствие 1.1. В собственном базисе оператора Лапласа с^ = 0 при Яь = 0.
Мы ограничимся изучением полей с однозначной функцией тока, которые натягивают подалгебру ®+ cz ® = У^(М). Поскольку мы рассмат
риваем векторные поля класса С0 0, оператор Д | ®+ биективен. В случае двумерной сферы ®+ = F^(.S2), а в случае тора ®+ = fv = 2 (1 ;*С 0 8^ Ф +
I
л+ Mf cs i n * 9 ) | i ;0 = 0 j = (ta)\
Установленное свойство структурных констант алгебры Ли У»(М) для случая двумерного многообразия М связано с существованием поло
жительно определенной биинвариантной метрики на группе Б ШЦ( Ж ) , введенной в [4, 5]. Препятствием для существования подобной метрики в трехмерном случае является более сложная групповая структура Diffn(M). В частности, в группе D i f f ^ S3) имеются конечномерные под
группы Ли с некомпактными алгебрами Ли. Это хорошо известные дей
ствия на трехмерной сфере серии групп Ли SU(2)Rk, к > 1,— полупря
мое, но не прямое произведение. В то же время следует отметить, что все утверждения п. 1 легко обобщаются на группу симплектических диф
феоморфизмов компактного четномерного многообразия.
Далее мы преобразуем формулу для тензора кривизны.
Предложение 1.2. В собственном ортонормированном базисе опера
тора Лапласа Д коэффициенты тензора кривизны имеют вид
ЕШ = 2 77F - h + h) (К ~ h + К) с?кс$ - 4 (Xp - X* + h) X
X (K - h + h) c%epH + 2XP (Xp - Xh - A,,) cpijCplh}. (1.2) Д о к а з а т е л ь с т в о представляет собой прямую выкладку, ис
пользующую свойство (1.1).
Теорема 1.1. Для пары ортонормированных векторных полей и, е @ + кривизна по двумерному направлению, ими натянутому и взятому в единице группы Diff^(if), имеет вид
К (и, v) - - 1 1 [и, v]\*+\\ Д -1 ([и, А*] - [Аи, v]) I2 +
+ - | <[и, i;], Д"1 ((Ащ v] +[и, At;])) - < Д- 1 [и, Аи], Д"1 [и, Аи]\ (1.3)
О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов 97
а тензор кривизны дается выражением
<# {и, и) w, г> =; 1 ([W, v] + Д~' ([Ли;, V]]— [ш, Аи]), [и, г] +
••+ Д""1 ([и, Дг] - [Да, г])> - <[ш, и] + Д "1 ([Дм;, и] — [w, Дм]), [у, г] + + А "1 ([у, Дг] - [Д*. г])) + 4 <[и, i;], [w, г] - Д^ДДи;, г] + [w, Дг])>. (1.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно установить вид тензора кривизны, откуда легко следует соотношение (1.3). Преобразуем (1.2):
2 - L (ЛР ~ Я; + Я< ) С& (ХР + ^ ) 4 = (leu *j] + Д""1 ([Aeh в,-] - [в,, А*,]),
р. Хр
ef e] + Д "1 {[еи Aeh] - [Аеи ek]) >.
Аналогично
2 (ЛР + Я0 4 (^р - h + К) c?h = (lei, ей + А"1 ([Аеи е{] - [е,, Д*4]),
Р • v
[eh ek] + A-l([eh Aeh]-[Aej, ek])>,
P ' p
Используя полилинейность тензора кривизны, получаем выражение (1.4).
Следствие 1.2. Для пары ортонормированных векторных полей, яв
ляющихся собственными для оператора Лапласа А со значениями К, \i, имеем
К (и, v) = - 4 | [и, v] р + . < Ц ! ! £ - 1 А "1 [и, v]\*~ <М«* [и *]]>.
Если же .К = ji, то
K(u,v) = -^\[u,v]f-<v,{u[uv]]).
2. Примеры
1. Рассмотрим плоскую прямоугольную область, заданную в R2: К = {0^х<а, О^у^Ь}.
В качестве ортогонального базиса в У»(К) выберем векторные поля с функциями тока:
еы = /(ФАО» Фы = ( 2 | j / \ £2 + r2) n . ( # ) ) s i n b r s i n 7 * / ;
они являются собственными для оператора Лапласа Д со значениями Xw = — ( Р + Г2) , где % = я&/а, l = nl/b. Примем следующие обозначения:
Pi — V ^ 2 + Р, Р2 = V ^ 2 + s2, % = p i c o s a i , r = p i s i n a i , r==p2COsa21 s =
= P2 Sin (X2.
Предложение 2.1. Кривизна no двумерному направлению, заданному векторными полями eki, era, записывается в виде
К (ekl, ers) = - (р2! + р2 2) (U + М - (2.1)
sin4 (ai ± ao )
Здесь t+ = — L i . — и —.
( p2 1- P2 2) + ^ i n2( a1± a2) p2p2
Д о к а з а т е л ь с т в о основано на прямом использовании «фор
мулы (1.3).
7 Сибирский математический журнал № 6, 1988 г.
А. М. Лукацкий
Следствие 2.1. Кривизна Риччи группы ШИ»(К) имеет вид R i c c < i ; ) - - - ^ | / = A i ; | \
Д о к а з а т е л ь с т в о основано на легко получаемой из (2.1) асимп
тотической формуле
К — у pi {sin4 (аг — а2) + sin4 ( ах + а2) } , р2 - > оо,
и проводится по аналогии с [7]. Заметим, что вид кривизны Риччи отли
чается от случая тора лишь коэффициентом.
2. Рассмотрим двумерную сферу S2, заданную в R3 уравнением х2 + + у2 + 22 = 1. Определим векторные поля u, {v^, W G N ) И Х функциями тока v = I (/), v& = / (g±), где / = / (z), ^ == Re lm (х + iy)m, g~ =
= (1/i) lm Xm (x + i y )m, константа же Xm задается из условия нормировки.
Выведем асимптотическую формулу для кривизн К (и, и^) при m «>.
Напомним, что i>m являются старшим и младшим векторами для непри
водимых SO(3) модулей в Уц( 52) со старшим весом ттгЛ, где Л — в е с присоединенного представления группы 5 0 ( 3 ) (см. [6]). Обозначим рт=
=-gm, Чт = gTn, ат = (/, Рт), $т = (А/, + {/, ApJ, Tfm = { Д / , pm> ~
— {/, Арт). Заметим, что скалярное произведение векторных полей из Уц( 52) и их функций тока связаны соотношением (и, v) = —<A/t t l /v> . Для вычисления кривизн нам понадобятся следующие формулы (мы проведем выкладки для случая серии полей Vm):
am = mf'qm, А ( / ) - ( ! - z2) / " - 2z/',
£ (/<Zm) = (1 - z2) / " Ят - 2 ( m + 1)zf'qm - m(m + 1) fqm.
Кроме того, ( А / , pm) =m{A(f') — 2zf" — 2f)qm. Отсюда <Om, A ( am) > =
= m2<f'qm, A ( / ' gm) >. Аналогично <a™, pm> == m2<f'qm, A (/'gm) + + 2 ( m — i)f"zqtn-- 2f'qm>. Далее заметим, что TfTO = m ( 2 A ( / ' )<?m —
— 2 ( m + l ) / " z gm — A ( / ' gm) — 2 / ' gm) . Величину же А ~ ^т удобно предста
вить в виде A~l(^m) = m(—fqm + A_ 1( rw) ) , где rm = 2 A ( /,) gr n- 2 ( т + 1 ) Х Xj"zqmr-2f qm. Имеем fw = m ( - A ( / ' gm) + rw) , причем rw= = o ( | A ( / ' gm) I ) , m oo. Отсюда при m-+ °o получаем <fm, A- 1 ( fw) > = m2{<f'qm, A (/' gm) > + + 2 < / ' gm, rm> + em} , где em = < A ~I( rr„ ) , rm> = o ( | r J2) , m-+ <*>. Используя формулу (1.3), приходим к такому выражению для кривизны:
K = m2<f'qm, A(f'qm)+2mf"zqm> + o(l).
Применяя интегрирование по частям к члену <f'qm, mf" zqm>, приводим это выражение к виду
к - - т* Ы п < ( / г ? ™ + 1 > ~ < / , д ( / , ) ' ^ } + 0 Легко показать, что для функций вида Ф = Ф ( г )
Резюмируя проведенные выкладки, формулируем Следствие 2.2.
lim К (и, й ) - - ( Г (о))». (2.2) Заметим, что в качестве частного случая получается установленная
в [8] асимптотика для кривизн пассатного потока на 52, и = —У15/8я X X z ( — у , 0 ) , ибо /ц = ( 1 / 2 ) У 1 5 / 8 я z2, а из равенства (2.2) имеем lim К (u, i ^ ) - —• / 1 5 / 8 я .
Автор выражает благодарность В. И. Арнольду за постоянное вни
мание к работе, а также А . Л. Онищику за обсуждения.
О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов 99
ЛИТЕРАТУРА
1. Arnold V. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a Fhydrodinamique des fluid parfais / / Ann. de Tinstitut Fouri
er.— 1966 — T. 16, N 1 - P. 3 1 9 - 3 6 1 .
2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М.: Наука, 1974.
3. Кобояси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии.— М.: Наука, Ш 1 . - Т . 1.
4. Смоленцев И. К. Биинвариантная метрика на группе диффеоморфизмов трехмер
ного многообразия / / Сиб. мат. ж у р н . — 1 9 8 3 . — Т . 24> № 1.—С. 152—159.
5. Смоленцев II. К. О группе диффеоморфизмов, оставляющих неподвижным век
торное поле II Сиб. мат. журн.— 1984— Т. 25, № 2.— С. 180—185.
6. Кириллов А. А. Представление группы вращений n-мерного евклидова пространст
ва сферическими векторными полями / / Докл. А Н СССР.— 1957.— Т. 116, № 4.—
С. 5 3 8 - 5 4 1 .
7. Лукацкий А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру га- мерного тора / Сиб. мат. журн.— 1984 — Т. 25, № 6.— С. 76—88.
8. Лукацкий А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру дву
мерной сферы / Функцион. анализ и его прил.— 1979.— Т. 13, вып. 3.— С. 23—27.
г, Москва Статья поступила ' 1 августа 1986 г.
7*
