матем. и матем. физ., 1982, том 22, номер 4, 903–912

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. А. Повещенко, Ю. П. Попов, Е. А. Самарская, Об ите- рационных методах решения разностных схем для уравне- ний газовой динамики с теплопроводностью, Ж. вычисл.

матем. и матем. физ., 1982, том 22, номер 4, 903–912

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 21:00:30

ЖУРНАЛ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Й МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Том 22 Июль 1982 Август № 4

У Д К 519.6:533.7

О Б ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ

ПОВЕЩЕН КО 10* А., ПОПОВ 10. II. > САМАРСКАЯ Е. А.

( Москва )

Рассматривается применение метода матричной прогонки к пол­

ностью консервативным разностным схемам для уравнений одномерной нестационарной газовой динамики с теплопроводностью. Проведено сравнение особенностей методов матричной и раздельных прогонок на примере модельной задачи о поршне и их сопоставление.

§ 1. Введение

Задачи, которые ставит практика перед современной прикладной ма­

тематикой, отличаются все возрастающей сложностью. В условиях огра­

ниченных ресурсов ЭВМ это приводит к необходимости разрабатывать и применять новые, более эффективные вычислительные алгоритмы. Одно из направлений этой деятельности состоит в создании для задач матема­

тической физики конечно-разностных ^методов, допускающих использова­

ние грубых сеток и обеспечивающих в то же время достаточную точность.

Объем вычислений, которые необходимо выполнить для нахождения раз­

ностного решения, растет с увеличением числа узлов сетки. Поэтому гру­

бые сетки с относительно небольшим числом узлов дают возможность со­

кратить время расчетов на ЭВМ.

В [1], [2] для нестационарных уравнений газовой динамики с тепло­

проводностью построены полностью консервативные разностные схемы.

Для них не только выполнены основные законы сохранения (массы, им­

пульса, энергии), как для классических консервативных схем, но и спра­

ведливы дополнительные соотношения физического характера, такие, как закон «сохранения объема», баланс энергии по видам (тепловой и кине­

тической) и т. д. Важно подчеркнуть, что эти свойства полностью консер­

вативных схем сохраняются при любых сетках, независимо от величины их шагов. Нарушение условий полной консервативности приводит к появ­

лению в схеме фиктивных источников энергии, имеющих разностное про­

исхождение. Мощность этих источников пропорциональна шагу сетки по времени, и на грубых временных сетках их действие может заметно иска­

зить решение, особенно когда оно описывается функциями, быстро изме­

няющимися во времени и пространстве.

. Неявная полностью консервативная схема представляет собой систему нелинейных уравнений с размерностью, пропорциональной числу узлов сетки. Для ее решения используют различные итерационные методы, ус­

ловие сходимости которых может приводить к весьма жестким ограничен ниям на шаг сетки по времени. Так, в [2] показано, что итерационный процесс типа зейделевского сходится при условии более жестком, чем из­

вестное условие устойчивости Куранта. Отсюда ясно, насколько сущест-

9 0 4 Повещенко Ю. А. и др.

венным для построения эффективного алгоритма является удачный выбор итерационного метода решения разностной схемы. Хорошими качествами в этом отношении отличается итерационный процесс Ньютона, обладающий высокой скоростью сходимости и не требующий сильных ограничений на временной шаг сетки. Способствует успешному применению метода Нью­

тона для задач указанного класса возможность хорошего выбора началь­

ного приближения, в качестве которого принимаются значения функций на предыдущем временном слое.

Таким образом, теоретически, а также путем прямых расчетов пока­

зано (см. [1], [3] —[7]), что для задач нестационарной газодинамики вы­

числительный алгоритм, сочетающий использование полностью консерва­

тивных схем с итерационным методом Ньютона, обладает высокой эффек­

тивностью, допуская применение грубой сетки по времени.

В упомянутых работах рассмотрение проведено в основном для случая изотермической или адиабатической газодинамики, где количество урав­

нений в системе сравнительно невелико. Для более сложных задач, когда, например, дополнительно учитываются магнитные поля, -их диффузия в среду с конечной электропроводностью, процессы теплопроводности, пере­

нос излучения, химические реакции и т. д., число уравнений в системе за­

метно увеличивается. В этом случае часто для решения соответствующей разностной схемы используют так называемый метод раздельных прого­

нок [ 2 ] . Д л я этого разностные уравнения схемы делятся на группы («группа динамических уравнений», «группа электромагнитных уравне­

ний», «тепловая группа» и т, д.); уравнения каждой группы решаются (например, методом Ньютона) независимо от других групп, и затем вво­

дится «внешний» итерационный процесс между группами. Такой прием при реализации на ЭВМ с ограниченным объемом оперативной памяти откры­

вает определенные возможности для более рационального ее использова­

ния. Кроме того, упрощается написание и отладка соответствующих про­

грамм для ЭВМ, которые при этом естественным образом распадаются на ряд сравнительно простых блоков.

Основной недостаток метода раздельных прогонок — наличие заметных ограничений на шаг сетки по времени, которые порождают условия схо­

димости внешнего итерационного процесса, имеющего, как правило, зей- целевский характер. Избежать этого можно, обратившись к алгоритмам, в которых все разностные уравнения схемы решаются одновременно. По­

добный подход (матричный метод) был успешно применен при численном решении уравнений Навье — Стокса и показал высокую эффективность, позволив существенно увеличить шаг сетки по времени и сократить время расчета [ 8 ] .

В настоящей работе рассматривается применение метода матричной прогонки (м.м.п.) к разностным схемам для уравнений газовой динамики с теплопроводностью. Результаты сопоставлены с расчетами, выполнен­

ными по методу раздельных прогонок (м.р.п.)

Об итерационных методах для уравнений газовой динамики

§ 2. Система дифференциальных уравнений ⁽ и разностная схема

Система уравнений газовой динамики, описывающая одномерное пло­

ское нестационарное течение теплопроводного газа в лагранжевых мас­

совых переменных, может быть записана в виде [1]

(о

dv dx

—-=v dt ~ dt

—-=v dx dt d& dv dW

dt~~ # i —

OS ds *

dv ds dT

ds

g=p+(*, с о = й ( р , ^ , p=P(pJ), е = £ ( р , Г ) . Здесь t — время, # —переменная Эйлера, р — плотность, s (ds=pdx) — лагранжева массовая переменная, v — скорость, р — газокинетическое дав­

ление, со — вязкость, g — полное давление, Т — температура, k==k(T) — коэффициент теплопроводности, W — тепловой поток.

Уравнения (1) решаются в некоторой области Q={0<s<M, £>0}, на границах которой 5= 0 и s=M заданы некоторые краевые условия для газодинамических и тепловых функций. В начальный момент £=0 зада­

ется исходное состояние среды (начальные данные). Будем рассматри­

вать идеальный газ с уравнениями состояния (2) P=(>RT, е = Д 7 У ( т - 1 ) , а также линейную вязкость

_ dv ( v, dv/ds<0,

ds A 0, dv/ds>0. , -. о, При построении разностных схем, аппроксимирующих систему дифферен­

циальных уравнений (1), введем в области Q равномерную — для просто­

ты — сетку ^{r ^ , ,rm\}

с о л т= { ( 5 г , г=0, 1 , . . . , N, / = 0 , 1, 2 , . . . ; Si+^Si+h, ^+I=^+T,

5⁰= 0 , s^N=M, t⁰=0}. 'I'

К «целым точкам» ($^г-, t/) сетки co^hx будем относить функции х=х^{\ v=vi^r

W=Wi, а к «полуцелым точкам» tj) — функции р=р¹⁺у^г, p=p,+v»>

ю=со'⁺./^г, g=gi+4» 8 = 8 i+. /2, Т = Т 1+Ъ, где sⁱ⁺4=Si+h/2.

Пользуясь безындексными обозначениями [1]

y=]h\ У—У*\ г / ( ± 1 ) = У .^{± 1}, yW=ay+{i-o\y,

У1=(у-у)/г, y*=[y(+l)-y]/h, yn=[y-y(-l))/h,

запишем семейство полностью консервативных разностных схем газовой динамики, аппроксимирующих систему уравнений (1) (см. [1], [ 2 ] ) :

i V = - S ;^{( 0 , )}, 'x^t=v^\ x.=l/p, (4) ^et=-^g™^v™^^W™ , W=-kT-„

g=p+«>> 0= Q ( p , i l ) , р = Р ( р , Г ) , г=Е(р,Т),

9 0 6 . Повещенко Ю. А. и др.

где O ^ G i , о2< 1 —весовые множители. При O i = 0 , а2= 0 система разност­

ных уравнений (4) решается явно, однако при довольно жестком ограни­

чении на шаг сетки по времени. При d , о2>0.5 разностная схема (4) без­

условно устойчива, но в этом случае она неразрешима явным образом и поэтому для ее решения относительно сеточных функций на верхнем вре­

менном слое необходимо применять итерационные методы.

§ 3 . Итерационные методы матричной прогонки и раздельных прогонок

Для решения схемы (4), представляющей собой систему алгебраиче­

ских нелинейных уравнений, применим итерационный метод Ньютона [ 1 ] . В результате на каждой итерации получим систему линейных уравнений

6 z ; + G i T % 7 = — / i , бх—0.5тбг;=—/²,

б ^ + б р / р²= - / з , б е + 0 . 5 т^{? (}^⁾б 1 ;^в+ а¹т 1 ; Г^{6 )}б^?+ а²т б И ^ з= - / 4 ,

I дг дг \

\доЭр. ^Р дТ I ³ '

/дК дК \

^ - k r ^{8 r} + , ^{f f l} / ,ч б Г ( - 1 ) ) = - /⁸

\дТ дТ(-1) 1 ^J

Здесь 6у — разность значений сеточной функции у на соседних итерациях (&+1)-й и Л-й. Все искомые приращения 8у имеют номер итерации а коэффициенты уравнений и правые части вычисляются на нижней, fe-й итерации и считаются известными. В качестве исходной, «нулевой»

итерации y[G] можно использовать предыдущий временной слой у¹⁰¹=у*.

Система линейных уравнений (5) после исключения всех неизвестных функций, кроме 8v и 6 7 , сводится в каждом узле сетки к векторному трех­

точечному уравнению [1]

( 6 ) AtYt-i-CiYi+BiYi+^-Fi,. 2 , . . . ,

с краевыми условиями

(7) COYQ~\~BQ\I= Fo, AN-\YN-Z C J V - I Y ^ - I — F j v - i .

Здесь Yi={bVi, 8Ti} — искомая сеточная вектор-функция, Fi={Fⁱ⁷ F/} —

вектор правой части, i=0,1,..., N—l, A^H В^и & — заданные квадратные мат­

рицы второго пррядка:

<8)

А = | | ° ' " " 1 | , Ч^'»°И - HI"""

II 0 а^{2 2} II г II b²ⁱ Ъ²² Иг II c²ⁱ с²²

где коэффициенты a^iU aⁱ², а²², b^Xi, Ъ^2и Ь^{2 2}, с^и, с^{1 2}, с^{2 1}, с^{2 2} и правая часть F, зависят только от значений сеточных функций на k-й итерации и определяются формулами

( а ц ) г = — г - , (&и)г = — , ( с^и) г = 1 + -

h h h

О б итерационных методах для уравнений газовой динамики 907

а,х /дР\

дР

, \ Ci Ч I

(0.5)

' 4 0 2 2 ) , = — , ( b²i ) i = - d i - o¹T i ; ,^<. - т - . ( - — ,

h h \dv^s I ⁱ

(c2i) i= (b2i) i, {b^z2)i h

Л9). ^{С с и ) <} - _ _ + ( — ) ^ +^{0 l W} . ( — ) ^{p /}

fi'= { - A+ O i T ^⁰'⁴ Д+Л+о.т (U-T,fs)s+

здесь

dp / г dp а^;= ^ = а , т 0.5 — р²- т — - - — г — ,

\ /г ^С() Л Зу„/ ^J / к

дК

/ ^ о ^ ^ + Ц - Г т )

, т,=

Л/*-Ш.].. .

Для решения векторного уравнения (6) применим алгоритм матричг ной прогонки [ 2 ] . При решении уравнений (6) м.м.п. итерации продол­

жаются до тех пор, пока не будет выполнено некоторое условие сходимо­

сти, например условие вида

( 1 0 ) l l ^+11l l c < e1| | i /[ft,l |c+ 82, 1 Ы |^с= т а х Ы ,

г

z/=Y, 8 i — относительная точность, е² — некоторое малое число. Для его реализации требуется значительный объем оперативной памяти ЭВМ и довольно сложная программа.

В настоящее время на практике используются более простые алгоритмы типа м.р.п. Суть этого метода состоит в следующем. Разностные уравне­

ния (4) делятся на две группы: «динамическую» и «тепловую». Уравне­

ния каждой группы решаются методом Ньютона с последующими допол­

нительными, так называемыми внешними итерациями между группами.

При этом при нахождении решения в одной группе величины, определяе­

мые в другой группе, считаются «замороженными». Система линейных ал­

гебраических уравнений, получающаяся в каждой группе, сводится к трех­

точечным уравнениям относительно неизвестных функций 6 У И б Г соот­

ветственно.

Формально эти уравнения могут быть получены из общих формул ( 6 ) , (8), если a^{1 2}= 0 , b^{2 i}= 0 , с^{1 2}= 0 , с^{2 1}= 0 , а коэффициенты a^iu a^{2 2}, b^iU b²¹, c^iU

908 Повещенко 10. А. и др.

с²² определяются подформулам ( 9 ) . Тогда получим

( И ) ( ^ i i ) x 6 ^ -¹- ( c^H) , 6 yⁱ+ ( b H)ⁱ6 i ;ⁱ⁺¹= - ^ ,

(12) ( а ^{2 2}) ^

Фактически при выводе соотношения (11) температура Т^{ полагалась за­

мороженной, 6 7 \ = 0 , а при выводе (12) замороженной полагалась функ­

ция vt, 8vi=0. Каждое из уравнений (11), (12) решается методом обыч­

ной (скалярной) прогонки при соответствующих граничных условиях, следующих из (7). Значения скорости v^[k+11 и плотности ^pC f t + 1 J, найден­

ные из (11), используются при вычислении коэффициентов уравнения (12), а значение T^[l+i\ в свою очередь, используется при вычислении с^и.

При решении уравнений ( 6 ) м.р.п. в каждой из групп проверяется вы­

полнение условия (10) с у=8и и у=8Т соответственно и только при вы­

полнении (10) осуществляется переход из одной группы в другую. Ре­

зультатом (/+1)-го временного слоя считаются значения сеточных функ­

ций, полученные на последней внешней итерации.

Целью настоящей работы было сравнение особенностей м.м.п. и м.р.п.

на некоторой модельной задаче и их сопоставление.

§ 4. Результаты расчетов. Влияние коэффициента теплопроводности

В качестве тестовой задачи была рассмотрена классическая задача о поршне, вдвигаемом в газ с постоянной скоростью, в результате чего в среде возникает ударная волна. Рассматривалась конечная масса газа (Xs^M, ограниченная слева поршнем, имеющим постоянную скорость i;(0, t) =U, а справа (s=M) — неподвижной стенкой с v{M, t)=0. При к{Т)Ф0 задавались краевые условия вида Т(0, t) =0.1875, Т(М, 0= 0 . Ве­

личина М выбиралась достаточно большой, чтобы режим ударной волны успевал сформироваться. Расчет продолжался до тех пор, пока фронт ударной волны не достигал правой границы. Рассматривался идеальный газ с уравнениями состояния (2) при

ч=

/

лась равной 0.75. При этом, как следует из соотношения Гюгонио, скорость фронта ударной волны D=l. В области 0<s<M вводилась равномерная сетка с шагом h=0A. Шаг сетки по времени варьировался.

Расчеты проводились при различных значениях к=К(Т); В 1-й группе расчетов рассматривалась серия вариантов с линейной теплопроводностью u = Z⁰= c o n s t , i £ o = 0 , 0.001, 0.1, 0.5, 1.5, 10. Во второй группе была рас­

смотрена степенная зависимость коэффициента теплопроводности от тем­

пературы K{T)=kJ^a, где & о = 1 , а а = 1 , 2, 3, 4, 10.

Целью расчетов по м.р.п. и м.м.п. было отыскание максимального зна­

чения шага сетки по времени т^{т а}х , при котором еще сходятся итерации для каждого из методов, а также сопоставление затраченного на расчет одного варианта процессорного времени. При этом полагалось O i = o²= l . Во избежание появления «энтропийного следа» начальные данные задава­

лись в виде гладких профилей, соответствующих распределению парамет­

ров в ударной волне, продвинувшейся в среду на несколько простран­

ственных интервалов сетки. Основное внимание уделялось сходимости

Об итерационных методах для уравнений газовой динамики 9 0 9

Таблица 1

Метод

К(Т) | Метод

0.0 0.01 0.1 0.5 l 5 j Ю

м . р. п . 5/з fki 2 Т м 4 tfci ; 7.5 t^M 12 T M 30 Tfci j 45 tfci м . м . п . 12 хм- 15 Tfti 25 Tfti 30 T M 30 Tfci 45 Tfci 60 T M

Таблица 2

Метод К(Т) Метод К(Т)

6.1

6.1 0.25 0.5 0.75 1 2.5 4 5 10 12 20

м. p. п. 1 4'31" 2Ж 1'33" 1'03" 51" 33" 30" ¹ 27" 2,5" 24"

м. p. п. 0.1 5'50" 2'41" 1'12" 1'24" 1'15" 54" 59" - • - -

м. м. п 1 З'ЗЗ" 2'09" 1'49" 49" 40" 25" 20" 18". 14" 14" 13"

-

м. м. п

0.1 3'55" 2'26" I ' l l " 52" 53" 28" 22" 20" 14" 14" 13"

)

итераций и выявлению характерных особенностей каждого из методов.

За решение задачи, как и в [5]„ [ 6 ] , принимался результат численного расчета, полученный по методу Ньютона, независимо от точности самой разностной схемы, т. е. тот результат, при котором еще сходятся итерации.

Как видно из табл. 1, м.м.п. позволяет проводить расчеты при значи­

тельно больших шагах по времени ( т^{т а}х ) » чем м.р.п., особенно при малых значениях коэффициента теплопроводности. При одном и том же т расчет по м.м.п. требует, как правило, меньшего процессорного времени, чем м.р.п. Это различие особенно существенно при т < т^{А 1} (см. табл. 2, т = Я т^{Л 1}) , т. е. при значениях временных шагов сетки, которые реально использу­

ются на практике. В табл. 2 представлены значения процессорного време­

ни для расчета одного варианта (счет проводился на БЭСМ-6). Здесь T f c i =

=fe / c^Api — величина, вычисленная по условию устойчивости Куранта для параметров за фронтом ударной волны. Видно, что при уменьшении ко­

эффициента теплопроводности различие затрат процессорного времени становится заметнее.

Профили, полученные при расчетах по обоим методам с одним и тем ж е т, как и следовало ожидать, полностью совпадают.

Расчеты также показали, что форма записи исходной системы диффе­

ренциальных уравнений существенно влияет на сходимость итерационно­

го метода Ньютона. Для схемы, полученной из (4) заменой р = 1 / ^ м а к ­ симальный допустимый шаг т^{т а}х оказался значительно меньше, чем для схемы ( 4 ) . Этот факт подтверждает сделанный в [ 5 ] , [6] вывод о том, что способ записи исходной системы разностных уравнений влияет на сходимость соответствующего итерационного процесса Ньютона.

Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры к=

=К{Т)=коТ^а, а = 1 , 2, 3, 4, 10, как видно из табл. 3, оказывает существен­

ное влияние на сходимость метода Ньютона. Как и в случае к=К⁰, м.м.п.

позволяет проводить расчеты при значительно больших шагах по време­

ни т, чем м.р.п. Из табл. 3 видно также, что t^{m a x} с ростом а несколько уменьшается для м.р.п. и остается практически постоянным для м.м.п.

Результаты, полученные в 1-й и 2-й группах расчетов, позволяют от-

910 Повещенко Ю. А. и др.

Таблица &

Метод

а Метод

I 2 3 4 10

м. р. п.

М. М. П.

2.5 Тм 10 т м

2.5 Тм 12 т м

2 Тм 12 Тм

5/ з Тм

12 т м

5/ з Тм

12 Тм Таблица 4

Метод

а Метод

i 2 3 4 10

м. р. п.

м. м. п.

1'07"(7,6) 33"(4)

1 W ( 6 , 5 ) 37"(4)

2'06" (16,14) 37"(4)

2^/17" (18,14) 38"(4)

2'46" (18,16) 39" (5,4)

метить существенные преимущества м.м.п. по сравнению с м.р.п., кото­

рые наглядно проявляются при сравнении процессорного времени и диапа­

зона по т сходимости итерационного процесса Ньютона. Из табл. 4 видно также, как проявляются преимущества м.м.п. по мере роста нелинейно­

сти: при увеличении а процессорное время здесь практически не изме­

няется и в несколько раз меньше соответствующего процессорного вре­

мени для м.р.п., которое заметно увеличивается с ростом а . Следует от­

метить, что при фиксированном к0 увеличение степени нелинейности с&

ведет к уменьшению эффективного коэффициента теплопроводности, что,, как было показано выше, увеличивает время счета и усиливает различия между м.р.п. и м.м.п. Здесь же в скобках указано количество внешних итераций в м.р.п. и количество «ньютоновских» итераций в м.м.п. Видног

что число итераций в процессе Ньютона (м.м.п.) слабо зависит от степени нелинейности а. В то же время количество внешних (зейделевских) итераций в м.р.п. весьма быстро нарастает по мере роста а . Этим объяс­

няется соответствующее увеличение процессорного времени в м.р.п.

§ 5. Влияние весовых множителей

В 1-й группе,

к=К(Т)=К

K

=t

с различными сочетаниями значений о4 и о2. При фиксированном а2=

= 0 . 5 , 1 варьировалось а⁴. При а^А= 0 . 5 и т> Т м наблюдались колебания функций за фронтом ударной волны, что следует рассматривать как про­

явление дискретного характера разностной модели при столь больших т (см. фигуру). Амплитуда колебаний увеличивается с ростом т. Как и в изотермическом случае [ 4 ] , [ 5 ] , оказалось, что при O i= l решение вос­

производится значительно лучше, чем при O i= 0 . 5 (см., например, графи­

ки а и в или б и г). Это явление объясняется действием собственных диссипативных свойств схем.

Г-Форма дифференциального представления [9] для уравнения энер­

гии схемы (4) может быть записана с точностью до 0(%2+h2) в виде дг г ds 1 dv д г dW т

Таким образом, можно рассматривать некоторую суммарную эффек­

тивную вязкость, действующую в схеме, которая для данной задачи м о -

Об итерационных методах для уравнений газовой динамики 911 жет быть записана в виде [ 1 ] , [ 9 ]

Q^—v^pdv/ds,

где v⁸4 > = v + ( < J i — 0 . 5 ) T D²/ р, D —. скорость фронта ударной волны, р — неко­

торое эффективное значение плотности, p0< p < P i . Отсюда видно, что влия­

ние схемной вязкости существенно при G i > 0 . 5 ^Й Т > ТА4. Б Ы Л О также полу­

чено, что при a i = l величина тт ах значительно больше, чем при O i = 0 . 5 .

Как видно из ( 1 3 ) , в дискретной среде можно рассматривать некоторый суммарный поток W=W+(o2—0.5) xdW/dt.

Для рассматриваемой задачи можно показать, что W и SWIdt имеют разные знаки, поэтому уменьшение о², 0 . 5 ^ а²< 1 , при фиксированном Oi

т = 7 . 5 т м , К(Т)=1; а - для C i= a²= 0 . 5 ; б - для a i = 0 . 5 , a²= l ; в - для a i = l , a²= 0 . 5 ; г — для a i = a²= l

приводит к увеличению «схемного потока тепла» и тем самым к большему размазыванию фронта ударной волны, а следовательно, к уменьшению ко­

лебаний за фронтом (графики в и г ) .

Сравнение численных результатов позволяет сделать вывод о том, что м.м.п., реализуемый на современных ЭВМ, несмотря на некоторую слож­

ность алгоритма, эффективнее, чем м.р.п., поскольку требует меньшего процессорного времени и накладывает менее жесткие ограничения на шаг т из-за сходимости итераций. Показано, что при этом итерации сходят­

ся при больших значениях т, заметно превышающих rki.

Авторы выражают благодарность С. Б . Попову за содействие в прове­

дении расчетов.

Литература

1. Попов Ю. П., Самарский А. А. Полностью консервативные разностные с х е м ы . - Ж.

вычисл. матем. и матем. физ.,'1969, т. 9, № 4, с. 953-958.

9 1 2 Повещенко Ю. А. и др.

2 . Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Н а у к а /

1 9 8 0 .

3 . Попов Ю. П., Самарский А. А. О методах численного решения одномерных неста­

ционарных задач газовой д и н а м и к и , - Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1 9 7 6 , т. 1 6v

№ 6 , с. 1 5 0 3 - 1 5 1 8 .

4 . Попов Ю. П., Самарская Е. А. О сходимости итерационного метода Ньютона для решения разностных уравнений газовой динамики.— Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 1 9 7 7 , т. 1 7 , № • 1 , с. 2 7 6 - 2 8 0 .

5 . Попов Ю. П., Самарская Е. А. Особенности численного решения уравнений газовой динамики на грубых с е т к а х , - Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР. М., 1 9 7 9у

№ 1 0 3 .

6 . Самарская Е. А. Об итерационных методах решения разностных уравнений газовой д и н а м и к и . - Вестн. МГУ. Сер. 1 5 . Вычисл. матем. и кибернетика, 1 9 8 0 , № 1 , с. 5 8 -

6 6 .

7. Самарский А. А. и др. Метод конечных разностей для решения одномерных неста­

ционарных задач магнитной гидродинамики.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,.

1 9 6 8 , т. 8 , № 5 , с. 1 0 2 5 - 1 0 3 8 .

8. Мажорова О. С., Попов Ю. П. О методах численного решения уравнений Навье—

С т о к с а . - Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1 9 8 0 , т. 2 0 , № 4 , с. 1 0 0 5 - 1 0 2 0 .

9 . Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1 9 7 9 . Поступила в редакцию 2 5 . V I . 1 9 8 i