Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
О. Б. Москалев, H -теорема Больцмана для газа в термостате, Докл. АН СССР, 1977, том 232, но- мер 3, 521–523
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
2 ноября 2022 г., 22:44:32
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1977. Том 232, № 3
УДК 517.9:533.9 МАТЕМАТИКА О. Б. МОСКАЛЕВ
Н -ТЕОРЕМА БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ГАЗА В ТЕРМОСТАТЕ (Представлено академиком А. П. Тихоновым 22 X 1976)
1. Одночастичная функция распределения, описывающая поведение разреженного газа, удовлетворяет уравнению Больцмана (4) :
• ^ 7 + | V / = = / ( / , / ) ; (1) dt
здесь / = / ( # , I, t) — функция распределения, зависящая от пространствен
ной координаты x^R3, скорости %^R3 и времени t^R\ а / ( / , /) — интеграл соударений. Решение уравнения (1) должно удовлетворять некоторым краевым условиям.
Для случая, когда газ находится в области, ограниченной неподвижны
ми стенками, причем при столкновении со стенкой молекула газа зеркаль
но от нее отражается. Больцман доказал свою Я-теорему (4) : если fix, t) удовлетворяет уравнению (1), то dH/dt<0, где Н-фунщия Больц
мана определяется равенством Н (i) =ldx d%f\n. f. При помощи Я-функции понятие энтропии обобщается на неравновесные состояния разреженного газа.
Классическая Я-теорема, вообще говоря, не будет справедлива при произвольных граничных условиях, поскольку поток Я-функции через границу области не будет иметь определенного знака.
Для двух типов граничных условий (зеркальное и диффузное отраже
ние) в предположении, что газ находится в сосуде, не отдающем тепло окружающим телам, Я-теорему доказал Карлеман (2) . Дарроз и Гиро (3) доказали Я-теорему в случае, когда граничные условия представляются линейным интегральным оператором, а стенка является неподвижной и теплоизолирующей.
В настоящей работе строится Я-функция для газа, находящегося в тер
мостате, причем в процессе установления равновесия газ может обмени
ваться с ним энергией и частицами.
2. Пусть в некоторой ограниченной трехмерной области с гладкой гра
ницей ищется решение уравнения (1) с граничными условиями
I6«l/(*r, 6,
0 = р|'Я(*г,
Г , I) 1б»'1/(*г, Г , t) +\U
( 1 - а ) Ш ; (2) где |п> 0 , £ п ' < 0 , а функция R(xT, | ) обладает следующими свойствами:Д ( * г , Г , ! ) > 0 , J <*|Д(*г, 0 < а < 1 , l E n l a / . ( 6 ) - J d E/f l ( o :P lE/, 6 ) l 6 »/l / « ( V ) ;
здесь хт — координата точки границы области, в которой ищется решение уравнения ( 1 ) , £п —проекция скорости \ на внутреннюю нормаль к гра
нице в точке хт, а /0( | ) — максвелловское распределение с фиксированны
ми плотностью п и температурой Г,
521
Граничное условие (2) означает, что молекулы, столкнувшиеся с не
подвижной стенкой, ограничивающей объем, занятый газом, мгновенно от нее отражаются, так что проекция их скорости на нормаль становится по
ложительной. При этом часть из них поглощается стенкой, а к потоку от
раженных молекул добавляется поток независимого от / источника, обла
дающего максвелловским распределением скоростей с «температурой стенки» Т.
Не будем здесь обсуждать вид функции R (хт, £ ) , поскольку он оп
ределяется механизмом взаимодействия молекул газа со стенкой, изучение которого представляет собой самостоятельную задачу. Заметим только, что ограничения, наложенные нами на функцию R(xT, | ) , не противо
речат ее физическому смыслу и что функция /0( £ ) удовлетворяет гранич
ному условию (2) и уравнению (1) и, следовательно, является стационар
ным решением сформулированной задачи.
3. Покажем теперь, что величина
Ф ( 0 = | ^ ^ / 0 Ш Ф [ / } - 1 ] d * d | ( / l n ^ - - / + / „ ) s * 0 , (3)
где интегрирование ведется по пространству скоростей и по объему, заня
тому газом, не возрастает при увеличении t\ здесь f(x, |, t) — решение уравнения (1) с граничными условиями ( 2 ) , /0( | ) была определена выше, а <р(и) = (и+1)1п(и+1) —и — выпуклая функция действительного перемен
ного, определенная и положительная при и>—1, <р(—1) = 1 . В самом деле,
с1Ф с f
— = J dx<*6[-6V/+/(/,/)-]1п^—
= J da dHn [fhij- - f ] + J dxdl 1 п ^ - / ( / , / ) - h+h.
Интегрирование в /4 производится по пространству скоростей и по по
верхности, ограничивающей объем, занятый газом. Неположительность величины h устанавливается так же, как и при доказательстве классиче
ской Я-теоремы Больцмана.
Определим теперь знак величины /4. Поскольку § d | | „ /0( 1 ) = 0 ,
/i = J<tod6Woq>[///o-l].
Рассмотрим теперь такие чтобы были справедливы неравенства Еп> 0 , £«'<(). Вводя положительную функцию
будем иметь
Неравенство следует из выпуклости функции ф и из того, что ф ( 0 ) = 0 .
Далее получаем, что
т. е. 7 i < 0 . Здесь была использована положительность ф.
522
Итак, мы показали, что <№/dt<0. Последнее неравенство обобщает на неравновесные состояния второй закон термодинамики для газа, нахо
дящегося в термостате постоянного объема,
(здесь U — внутренняя энергия, S — энтропия, [х — химический потенциал, N — число частиц). Из формулы (3) можно получить обобщение функции Крамерса дРа в н ( 1 / 7 \ F , р / Г ) , известной в термодинамике (см., напри
мер, (4) ) , на неравновесные состояния разреженного газа д ( 0 = - М > ( 0 + ? р а в н ( 1 / Г , F , ii/T);
здесь к — постоянная Больцмана, V — объем области, a — обобщенная функция Крамерса.
4. Рассмотрим теперь случай, когда величина а в граничном условии (2) равна 1. Это значит, что газ, помещенный в термостат, может обмени
ваться со стенкой энергией, но не частицами. В этом случае «температура стенки» Т в функции /0( £ ) — фиксированный параметр, а плотность п определяется из условия nV=ldx d% f(x, £, 0 ) . Выражение (3) приводит
ся к виду
Ф ( * ) = f d s d f c / l n - p .
J / о
Из последней формулы можно получить обобщение функции Массье (4) Чг Равн(1/Г, F , N) на неравновесные состояния разреженного газа
4'(l)=-k<t)(t)+W^R(l/T, V, N), где W (t) — обобщенная функция Массье.
Наконец, если кроме числа частиц сохраняется и энергия, т. е. в гра
ничном условии (2) а = 1 , а параметры п ж Т в максвелловском распреде
лении / о ( £ ) можно взять любыми, определим их из условий nV=fdxd%f(x, | , 0 ) , 3knVT=m J* dx d\ |2/ (x, 1,0).
В этом случае
-kH (t) =-кФ (t) - к J dx d\ / о In / о .
Последняя формула связывает величину Ф с классической Я-функцией Больцмана.
Автор приносит благодарность акад. А. Н. Тихонову за внимание к ра
боте и М. В. Масленникову и С. С. Филиппову за обсуждения.
Институт п р и к л а д н о й м а т е м а т и к и Поступило А к а д е м и и н а у к СССР 8 X 1976
Москва
Л И Т Е Р А Т У Р А
1 Л . Больцман, Л е к ц и и по теории газов, М., ГИТТЛ, 1953. 2 Т. Карлеман, Ма
т е м а т и ч е с к и е задачи к и н е т и ч е с к о й теории газов, М., ИЛ, 1960. 3 / . Darrozes, J.-P. Guiraud, С. R., А 262, № 24, 1368 (1966). 4 Р. Кубо, Термодинамика, М., «Мир»,
523
