Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Е. В. Никитин, Классы Бесова на бесконечномерных пространствах, Матем. заметки , 2013, том 93, вы- пуск 6, 951–953
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10248
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
7 ноября 2022 г., 06:11:57
Классы Бесова на бесконечномерных пространствах Е. В. Никитин
В этой работе вводятся пространства Бесова на бесконечномерных пространствах с гаус- совской мерой аналогично прямому определению через интегральное условие, известному в конечномерном случае (см. [1], [2]). Основной результат – теорема вложения для введен- ных пространств.
Для всякой функции u на Rn и всякого вектора h ∈ Rn положим ∆hu(x) = u(x)− u(x−h). Приs >0,p >1иq>1класс Бесовафункций на пространствеRnопределяется как множество всех функцийu∈Lp(Rn), для которых
Z
Rn
|h|−s−n∥(∆h)mu∥qp(dh)<∞.
ПустьX – локально выпуклое пространство с топологическим сопряженнымX∗. Веро- ятностная мераγ, определенная наσ-алгебреE(X), порожденнойX∗, называетсягауссов- ской (см. [3]), если для всякого функционалаf ∈X∗ мера γ◦f−1 является гауссовской на прямой. Основной пример – стандартная гауссовская мера наX =R∞(счетная степень прямой), равная счетной степени стандартной гауссовской меры на прямой.
Класс гладких цилиндрических функцийF C∞состоит из функций вида f(x) =g(l1(x), . . . , ln(x)), где g∈Cb∞(Rn), li∈X∗.
Если X =R∞, то это функции от конечного числа переменных с ограниченными произ- водными всех порядков.
Для p> 1и r ∈Nклассы Соболева Wp,r(γ) определяются как пополнение простран- ства гладких цилиндрических функцийF C∞по соболевской норме∥ · ∥Wp,r, определяемой по формуле
∥f∥Wp,r=
r
X
k=0
∥DkHf∥Lp(γ,Hk).
ЗдесьDHkfявляется отображением изXв пространствоk-линейных отображений Гильбер- та–Шмидта из H(γ)вR1;DHf для функций изF C∞ определяется дляh∈H(γ)по фор- муле
DHf(x)h= lim
t→0t−1(f(x+th)−f(x)).
Производные более высокого порядка DHkf определяются индуктивно как DH(Dk−1H f).
Подробнее о классах Соболева в бесконечномерных пространствах см. [3]–[7].
Пусть теперь на локально выпуклом пространствеX задана центрированная радонов- ская гауссовская мерой γ(см. [3]). Пространство Камерона–Мартина H =H(γ)состоит из всех векторовh∈X, имеющих конечную норму
|h|H:= sup{l(h) :l∈X∗,∥l∥L2(γ)61}.
Эта норма порождается скалярным произведением ⟨k, h⟩, которое можно задать так: для всякогоh∈Hнайдется элементlhиз замыканияX∗вL2(γ), удовлетворяющий тождеству
l(h) = Z
X
lhl dγ, l∈X∗.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты
№№ 10-01-00518, 11-01-90421-Укр-ф-а).
DOI: 10.4213/mzm10248
⃝c Е. В. Никитин, 2013
951
952 КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Тогда ⟨k, h⟩ = (lh, lk)L2(γ). Для стандартной гауссовской меры на R∞ получаемH = ℓ2 с обычным скалярным произведением.
Положим ∆hu(x) = u(x)−u(x−h), где h ∈ H(γ). Норму в Lp(γ) будем обозначать через∥ · ∥p.
Определение 1. Пусть0< s <∞,1< p <∞,16q <∞,ν– борелевская вероятност- ная мера на H(γ) иm – наименьшее целое, большееs. Класс Бесова Bs;p,q,ν(γ) состоит из всех таких функцийu∈Lp(γ), что
Z
H
|h|−sH ∥(∆h)mu∥qpν(dh)<∞.
Норма вBs;p,q,ν(γ)задается формулой
∥u∥s;p,q,ν:=∥u∥p+ Z
H
|h|−sH∥(∆h)mu∥qpν(dh) 1/q
.
Отметим, что определяемые так пространства существенно зависят не только от трех числовых параметров, как обычные классы Бесова, но и от дополнительного параметра, которым является мера на пространстве Камерона–Мартина.
Лемма 1. Пространства Bs;p,q,ν(γ) являются банаховыми.
Доказательство. Пусть последовательность функций {ϕj}∞j=0 из класса Бесова Bs;p,q,ν(γ) фундаментальна по норме ∥ · ∥s;p,q,ν. Тогда она фундаментальна и по норме вLp(γ)и в силу полнотыLp(γ)сходится к некоторой функцииϕизLp(γ). Перейдя к под- последовательности, можно считать, что {ϕj} сходится к ϕ почти всюду. Из теоремы Фату ясно, что ϕ∈ Bs;p,q,ν(γ). Теперь достаточно доказать, что какая-нибудь подпосле- довательность в {ϕj} сходится к ϕ по норме Bs;p,q,ν(γ). Для этого выберем еще одну подпоследовательность, обозначая ее снова через{ϕj}, для которой
∥ϕk−ϕj∥s;p,q,ν62−j при k > j.
Тогдаlimk→∞(ϕk−ϕj) =ϕ−ϕjпочти всюду. Положив
Qj:=|(∆h)m(ϕ−ϕj)|p, Qj,k=|(∆h)m(ϕk−ϕj)|p,
получим Qj = limk→∞Qj,k почти всюду. Теперь оценим второе слагаемое в выражении для нормы∥ϕ−ϕj∥s;p,q,ν, дважды применяя лемму Фату:
Z
H
|h|−sH Z
X
Qjdγ q/p
dν6 Z
H
|h|−sH lim inf
k→∞
Z
X
Qj,kdγ q/p
dν
6lim inf
k→∞
Z
H
|h|−sH Z
X
Qj,kdγ q/p
dν6lim inf
k→∞ ∥ϕk−ϕj∥qs;p,q,ν62−qj. Таким образом, ∥ϕ−ϕj∥s;p,q,ν→0приj→ ∞. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть вероятностная мераν наH(γ)такова,что функцияexp(M|h|2H) интегрируема по νпри некоторомM > q/(2(p1−p)).Тогда приp1> pи0< s61имеем
Wp1,1(γ)⊂Bs;p,q,ν(γ).
Доказательство. Для всякой функции f ∈ Wp,1 при каждом h ∈ H почти всюду верно равенство
f(x+h)−f(x) = Z1
0
⟨DHf(x+th), h⟩dt.
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ 953 Оценим Lp-норму∆hf (возведенную в степеньp). Чтобы занести степеньpвнутрь инте- грала, применим неравенство Йенсена:
Z
X
|f(x+h)−f(x)|pγ(dx)6|h|p Z
X
Z 1
0
|DHf(x+th)|Hdt p
γ(dx) 6|h|p
Z1
0
Z
X
|DHf(x+th)|pHγ(dx)dt.
В последнем интеграле сделаем замену переменных, взяв x+th за новую переменную и применив формулу Камерона–Мартина, согласно которой при сдвиге гауссовской мерыγ на векторhиз пространства Камерона–Мартина получается эквивалентная исходной мера с плотностьюexp(lh− |h|2H/2). Получаем соотношения
|h|p Z 1
0
Z
X
|DHf(x+th)|pHγ(dx)dt=|h|p Z 1
0
Z
X
|DHf(x)|pHetlh−(t2/2)|h|2γ(dx)dt 6|h|p
Z 1
0
Z
X
|DHf(x)|prH γ(dx) 1/rZ
X
em(tlh−(t2/2)|h|2)γ(dx) 1/m
dt
=|h|p Z
X
|DHf(x)|prH γ(dx) 1/rZ 1
0
e((m−1)/2)|h|2t2
dt.
Чтобы отделить плотность, возникающую из формулы Камерона–Мартина, мы воспользо- вались неравенством Гёльдера для некоторых чиселr >1,m >1таких, чтоr−1+m−1= 1, выбираемых далее. Эта часть явно интегрируется по X. Подставив полученную оценку в выражение для нормы Бесова, получаем
Z
H
|h|−s∥∆hf∥qLpν(dh) 6
Z
X
|DHf(x)|prHγ(dx)
q/(pr)Z
H
|h|1−s Z 1
0
e((m−1)/2)|h|2t2
dt q/p
ν(dh)
6 Z
X
|DHf(x)|pH1γ(dx) q/p1Z
H
|h|1−se(q/(2(p1−p)))|h|2ν(dh) 6C(s, M)
Z
H
eM|h|2ν(dh) Z
X
|DHf(x)|pH1γ(dx) q/p1
.
Положивr=p1/p, получаем, что для любой функцииf∈Wp1,1конечна норма∥f∥Bp,q,1,ν, а это дает нужное вложение с оценкой для норм. Теорема доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1]О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский,Интегральные представления функций и теоремы вложения, Наука, М., 1996. [2]R. A. Adams, J. J. F. Fournier,Sobolev Spaces, Pure Appl. Math. (Amst.),140, Academic Press, New York, 2003. [3]В. И. Богачев,Гауссовские меры, Наука, М., 1997. [4]V. I. Bogachev,J.Math.Sci. (New York),87:4 (1997), 3577–3731.
[5]V. I. Bogachev,Differentiable Measures and the Malliavin Calculus, Math. Surveys Monogr., 164, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010. [6]V. Bogachev, E. Mayer-Wolf,167:1 (1999), 1–68. [7]I. Shigekawa,Stochastic Analysis, Transl. Math. Monogr.,224, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.
Е. В. Никитин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail:yegor.nikitin@gmail.com
Поступило 02.12.2012