А. Г. Никитин, С. П. Онуфрийчук, В. И. Фущич, Высшие симметрии уравнения Шредингера, ТМФ , 1992, том 91, но- мер 2, 268–278

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Г. Никитин, С. П. Онуфрийчук, В. И. Фущич, Высшие симметрии уравнения Шредингера, ТМФ , 1992, том 91, но- мер 2, 268–278

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

7 ноября 2022 г., 06:18:15

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А

Том 91, № 2

*ай, 1992

® 1992 г. А. Г. Никитин, С. П. Онуфрийчук, В. И. Фущич ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Найдены полные наборы операторов симметрии произвольного конеч­

ного порядка для уравнения Шредингера с некоторыми типами потен- циалов, в том числе с потенциалом суперсимметричного гармонического осциллятора. Описаны потенциалы, допускающие нетривиальные вые шие симметрии.

Операторы симметрии (ОС) высших порядков привлекают все боль шее внимание исследователей, см., например, [1—7]. Изучение таких ОС позволяет получать информацию о скрытой симметрии уравнений мате­

матической физики, включая симметрии Ли — Беклунда [ 1 ] и суперсим метрии [2], и вычислять в явном виде законы сохранения и интегралы движения, которые в принципе не могут быть найдены в классическом подходе Ли [ 3 ] . Очень важным приложением ОС высших порядков явля­

ется описание систем координат, в которых уравнение допускает решения в разделяющихся переменных [ 4 ] . Обзор результатов, относящихся к ОС

основных уравнений квантовой теории, имеется в [ 3 ] .

При исследовании высших симметрии уравнений математической фи зики обычно ограничиваются каким-нибудь конкретным классом ОС, на­

пример дифференциальными операторами первого порядка с матричными коэффициентами в случае уравнения Дирака [2, 5 ] . Конечно, естествен­

ный интерес вызывает задача описания ОС возможно более высокого, а в идеале произвольного порядка. Этот интерес стимулируется успешным ис­

пользованием ОС высокого порядка (превышающего порядок уравне­

ния) для разделения переменных [6, 7 ] .

В работах [8—11] найдены полные наборы ОС произвольного порядка п<оо для уравнений Д'Аламбера, Клейна — Гордона — Фока, Шредингера и Дирака, описывающих свободные (невзаимодействующие) частицы.

В настоящей статье исследуются высшие симметрии уравнения Шрединге­

ра с различными потенциалами.

Потенциалы, допускающие нетривиальные лиевские симметрии одно мерного уравнения Шредингера, получены в работах [12—14]. Ниже най дены полные наборы ОС произвольного порядка для уравнения Шрединге ра со всеми этими потенциалами, а также с потенциалом суперсимметрич ного осциллятора. Описаны потенциалы, допускающие высшие симметрии;

показано, что потенциалы, соответствующие точно решаемым уравнениям Шредингера [15), допускают ОС третьего порядка (см. также [11]).

I. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ

Запишем исследуемое одномерное уравнение Шредингера в виде (l.t) №=(р9-Чг(рг+У(х)))ЧГ=0.

где

. д . д

dt дх

Исследование симметрии уравнения (1.1) включает задачи, которые можно условно разделить на два типа:

1) потенциал V задан, найти симметрию;

2) определить потенциалы, допускающие известную (или какую-ни­

будь) симметрию.

В этом разделе приведем общие результаты, относящиеся к обоим ти- нам задач.

О п р е д е л е н и е . Линейный дифференциальный оператор порядка п

(1.2) < ? " — £ (<?•/>)<,

W (qcp)i=*[{qrp)i-up]+, (Яо-р)о=*Чо, [А, В]+=АВ+ВА, 9,=<?*(*, х), на­

зывается ОС (порядка п) уравнения (1.1), если (1.3) [L,Qⁿ}=0.

З а м е ч а н и е 1. Оператор (1.2) не зависит от р0, поскольку на мно­

жестве решений уравнения (1.1) всегда можно выразить /?0 через pz+V.

Это позволяет, не умаляя общности, потребовать равенства нулю комму­

татора L с оператором симметрии, переводящим решения в решения [3].

З а м е ч а н и е 2. Представление Qn в виде суммы i-кратных антиком­

мутаторов упрощает последующие вычисления. Используя тождество [11]

i

операторы дифференцирования всегда можно перенести вправо.

Найдем уравнения для коэффициентов д» ОС. Подставив (1.1 )т (1.2) в (1.3), используя соотношения [11]

[PoAqrp)i]=i(qi-p),>

[ ~Y

' ^rp),\-~(q'p),^.

269

(V, (

т>)яи-.1=-*1],(-1)

'

X ( g «+ 1d ,u "m + ,F-p)2„„ k>{)

2 ( 2 * + 1 ) ! ( 2 / c - 2 m + l ) ! ( 2 m ) !

{где точка и штрих обозначают производные по / и х), и приравнивая ко эффициенты при линейно независимых слагаемых вида (Ар)и приходим к следующей системе уравнений для коэффициентов #, и потенциала V:

(1.4) »„'-П,

Ч -

2 ^ . ,

" Е " ( - 1 ) . - _ ? ! ? £ £ _ . X

* = »»

2Л-2Ж+1

( 2 f c - 2 m + 1 ) ! ( 2 m ) ! X?2fc+1dx8*"3w+,V=0, 2?2, + | + </2,' +

U/2}

где го=0, 1 , . . . , {л/2}; / = 0 , 1 \(п-\)/2}; д - , ^ 0 .

Уравнения (1.4) задают необходимые и достаточные условия сущест­

вования ОС произвольного наперед заданного порядка п для уравнения (1.1). Общее решение уравнения (1.4) для V и г/, определяет явный вид потенциалов, допускающих ОС порядка // и явный вид этого ОС.

2. ПОЛНЫЕ НАБОРЫ ОС ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим задачи типа 1 для уравнения (1.1), в которых потенциал V считается известным. Ограничимся анализом потенциалов следующего вида:

(2.1а) V=VU

(2.16) V=V2*, (2.1в) V^V:ix\

(2.1г) V=V^h—^t, хг

(2.1д) v=Vj?+Vb—%, x^l

где Vu . . . , V6 -- произвольные постоянные.

Формулы (2.1) задают все неэквивалентные потенциалы, допускающие нетривиальные лиевские симметрии (12—14). Здесь мы найдем полные наборы ОС произвольного порядка п для уравнения (1.1) с потенциала ми (2.1).

В случае потенциала (2.1а) задача сводится к описанию ОС свободного уравнения Шредингера [11]. Соответствующие уравнения (1.4) прини­

мают вид

(2.2) $о=0, 0„'=О, 2gf t-g*'-,=0,

где точка и штрих обозначают производные по t и х, соответственно. По­

следовательным дифференцированием (2.2) получаем

(2.3) a*

V=0, dr*

V=0,

откуда

п-к к

(2.4) 9*= £ ЛсГ'*"*',

где Ck* ~ произвольные постоянные коэффициенты, число которых равно

v I

(кЛ-\) (п—k+i). Из (2.2) получаем единственное ограничение на СУ (2.5) 2l(l+i)CkPJ + l + (р+1)С1-У =0, А - 1 , 2 , . . . , п.

Следовательно, общее число независимых параметров в (2.4) равно [11J

п п

(2.6) Л"* = 2 J ( А + 1 ) ( п - А + 1 ) - ^ А ( п - И - 1 ) « 7 , ( п + 1 ) ( п + 2 ) . Соответствующие ОС порядка п (число которых, очевидно, равно N) за­

даются соотношениями (1.2), (2.4) и (2.5) (последние могут рассмат риваться как рекуррентные формулы). Нетрудно заметить, что все ОС уравнения (1.1), (2.1а) представляют собой полиномы порядка п от ОС первого порядка Р=р и G=tp—mx.

Для потенциалов (2.16) и (2.1в) уравнения (1.4) сводятся к систе мам (2.7) и (2.8), соответственно:

(2.7) ^{? n}' = 0 , ?o-2V^{a ? 1}=0, 2qⁿ+qⁿ-^t=0, 2qk+qk-t-2(k+l)Vtqk+l=0, 0<k<n;

(2.8) q/=(K 2 gn- ^ _1= 0 , q9-2Vzxqx=04

2qk+qh-i-4(k+A)V,xqh+i=0, 0<A<#*.

Уравнения (2.7) могут быть решены по полной аналогии с (2.2). Сно ва имеют место дифференциальные следствия (2.3) и справедливо пред ставление (2.4), но вместо (2.5) получаем из (2.7) следующие условия

н а См •:

(2.9) 2 т ( / + 1 ) С Г '+Ч ( р + 1 ) С Д 7,' - 4 ( Л + 1 ) 7гС Г ' = 0 , * = 1 , . . . , л . Таким образом, уравнение (1.1) с потенциалом (2.16) допускает Nⁿ ОС порядка п. Явный вид этих операторов задается формулами (1.2), (2.4), (2.9), a iVn — формулой (2.6). Все ОС являются полиномами порядка п от ОС первого порядка p=p+Vt, G=tp—mx.

Для нахождения общего решения системы (2.8) воспользуемся еле дующими дифференциальными следствиями:

r)< q^O,

271

которые п о з в о л я ю т п р е д с т а в и т ь q^k в виде п—к

(2.10) gfe = / iflfc.iS',

где ам — произвольные функции от t. Подставив (2.10) в (2.8) и прирав­

нивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе Nⁿ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для Nⁿ не­

известных ahti. Воспользовавшись тем фактом, что общее решение такой системы зависит от Nn произвольных параметров [16], мы сразу укажем явный вид соответствующих линейно независимых ОС

п к

(2.11) <?" = 2^'ZaCkAp-l<*x)a(p+Uox)k-aexp[i(2a-k)<ot]

где о) = У1^/з, С^к.^а — произвольные постоянные, число которых равно N"

(2.6).

Мы видим, что все ОС уравнения (1.1), (2.1в) конечного порядка п

сводятся к полиномам от ОС первого порядка p±=(p±mx)exp(:^mt).

В случае п=2 наши результаты сводятся к полученным ранее в [12].

Несколько более громоздких выкладок требует интегрирование систе­

мы (1.4) с потенциалом (2.1г). Мы ограничимся выписыванием явного вида соответствующего ОС порядка 2п

( 2 . 1 2 ) <?

" = YJ ^'"

"<?»,<?». • • • • < ? « , ,

где Х°и м — произвольные симметричные тензоры, а*=1, 2, 3, Q*=-f-~ — i <?г=21<?< -хр + — ,

2т х¹ 2

Qz=eQx-tQt-"l<mx\

Количество линейно независимых операторов (2.12) равно Nn (2.6). ОС нечетного порядка для уравнения (1.1), (2.1г) не существует.

Соотношения (2.6), (2.12) задают полный набор ОС также для урав­

нения (1.1), (2.1д).

3. ОС СУПЕРСИММЕТРИЧНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Уравнение Шредингера для суперсимметричного осциллятора имеет вид [17]

(3.1) lW=\i~ - 72( ^ + о )2о :24 - О з ( о ) 1 ^ = 0 ,

где Ч* — двухкомпонентная волновая функция, <о — произвольный вещест­

венный параметр, о3 — одна из матриц Паули:

/ 1 0 \ / 0 1 \ / 0 ~ 1 \ / 1 0 \

° ^ \ 0 1> °'-Vi о/'

\i о'' ° ' Л - J

Уравнение (3.1) обладает специфической симметрией в классе диф­

ференциальных операторов первого порядка с матричными коэффициен­

тами, определяемой супералгеброй sqm(2) J.17]. Эту алгебру образуют следующие ОС:

(Л ~ --—"[о./у+Ооокг!,, Q* = --(о>/>—о,(»>.*').

V2 " V2 0^s = 7²(/*^z+o>V+o,o>)^t

удовлетворяющие соотношениям

(3.2) [&,(>*| + = 0 , QS=<tf=Qt4 К > „ ( М Н & , & ) « 0 .

Инвариантность относительно алгебры (3.3) является основным свим ством уравнений сунерсимметричной квантовой механики [17],

В работе [18] получен полный набор ОС второго порядка для уравне­

ния (3.1). Мы найдем все неэквивалентные ОС произвольного порядка,

«•писание которых, по сути, сводится к исследованию симметрии уравне ния (1.1), (2.1г). Действительно, подвергая Чг и L из (3.1) преобразо­

ванию

Х'Л) Ч ' - Ч' - е х р ( ™ м1ая ) ч ' \

L ~* L' = ех р ( — •— и) to $ J l ex p (••— со/с» ),

приходим к уравнению //Ч^—О, где г/ 1

i;^l т - т ( р Ч( 1 г г ) at I

оператор, представляющий собой прямую сумму двух операторов ( Ы ) . (2.1 г). Соответствующие ОС, очевидно, можно представить в форме Q* "• =

^oilQ„\ где (V'— ОС уравнения (1.1), (2.1г), задаваемые соотношением (2.11) (где Скща.-*С^:а). Возвращаясь с помощью преобразования, обратно го к (3.3), к исходному уравнению (3.1). получаем полный набор ОС

пого уравнения в виде (ИЛ) <?^п=о'»<?»\

где

, , , <»>/ < • ) /

о» ~0о. Ол —Ои Oi ^ о , cos--—+ о. .sin ---•-,

, (tit <!)/

в, = а> cos - — о, sin

2 2

Количество линейно независимых ОС порядка п равно -IV". где .V" зада но в (2.6).

Симметрия суиерсимметричиого уравнения Шредингера с произволь­

ным потенциалом исследована в [19].

4 'JYopeTHvuM'h-ajt « м.тгематичегкал физика, т. <яи ,\« й 2 7 ^

4. ОС ТРЕХМЕРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКОГО И СУПЕРСИММЕТРИЧНОГО ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Исследование высших симметрии трехмерного уравнения Шредингера (4.1) mr^i£--L(^+V(x)]w=0

может быть проведено по схеме, используемой в разделе 2. Существенное усложнение задачи, связанное с переходом к уравнениям в частных про изводных по пространственным переменным, преодолевается с использо ванием обобщенных тензоров Киллинга [8, 10].

ОС уравнения (4.1) произвольного порядка /? представим в виде

(4.2)

?" = 2 j I I • • • [F

'~'

\ / U

, /U-M • • • Pa J

,

Подставляя L (4.1) и Qn (4.2) в условие инвариантности (1.3) и при­

равнивая коэффициенты при линейно независимых операторах диффе­

ренцирования, приходим к следующей системе определяющих уравнении (ср. (1.4)):

(4.3) d{an"Fa*a'"a*>=0,

{ ( n - O / 2 )

+

V ( _ ! ) — _ _ 2 ( 2 * + l ) l _ _

fc=»

2 / ^а*аг о3гФ«~{- ^(«ai*i/?Tala2...a2 t> _j_

{«/2J

+ 2 J (-1)*+'

,!?,'«„ , , x . H*"

'""«»

k=i + i (2*-2Z-l)!(2Z+l)!

где

ft

da = — - , m = a 1 {n/2), Z=0,1 { ( я - 1 )/2}.

ДОАх^. 3аг 1 ф | = = :^ а , аг о 0. а2 1 4. , 6 , Ьг : 1„ 62 к.г 1_ , ^ 6(^ 6 о ^ ^ ^^2/^-21-11/

if подразумевается симметризация по индексам, заключенным в скобки.

Уравнения (4.3) определяют потенциалы У, допускающие нетривиаль ные симметрии порядка п, и коэффициенты Fai<l2-aK соответствующих ОС Общее решение этих уравнений для У=0 получено в [10]. Здесь мы ра(

смотрим случай потенциала гармонического осциллятора F ( x ) = ( o V

и приведем без доказательства число N" линейно независимых ОС поряд

ка п и явный вид этих операторов:

(4.4) *п=—5--(п+1)(л+2)2(л+3)2(п+4)э

3!4!

о с

<?" =

-'9a,

9«,

• • • <9«~

• • • 0.~/»Л, • • • h ,,

где

qa±S!S{Pay^mXaj)exp(^1mt)4 h=bbcdq*qi".

^G| %fc* J - произвольные постоянные тензоры, симметричные относи­

тельно перестановок a(*-*aJy bh++b, и имеющие нулевой след по любой паре индексов (а,-, 6,).

Исследование симметрии уравнения (4.1) с потенциалом суперсиммет­

ричного осциллятора

F ( X ) = O V + < D O8

может быть проведено в полной аналогии с разделом 3. Общее выражение для соответствующего ОС порядка а задается формулой (3.4), где Q»n — операторы (4.5) (ка%°'"°г ' л~с ^^ °с '"" 7'~с)* число линейно независи­

мых ОС равно 4JV".

5. ПОТЕНЦИАЛЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ Обратимся теперь к задаче второго типа и опишем класс потенциалов, при которых уравнение (1.1) допускает нетривиальные симметрии.

В принципе все такие потенциалы описаны уравнениями (1.4), если и V\

и qt рассматривать как неизвестные.

Рассмотрим последовательно случаи w = l , 2 (которые соответствуют .«невским симметриям) и /г=3 (простейшая нелиевская симметрия).

Полагая в (1.4) /? = !, приходим к следующей системе:

(3.1) 7 , ' « 0 , 2 gf+ g(; = 0 , q«-V'q>=0.

Но определению </,^0, поэтому справедливы следующие дифференциаль н ые ел едствия систем ы (5.1):

?о"=0, Г " = 0 ,

откуда получаем общий вид потенциала V4 допускающего ОС первого по рядка,

V = Vt + V2x+V,x\

где V,, 172 и F3 — произвольные постоянные. Соответствующие ОС' приве дены в разделе 3.

Для / / = 2 система (1.4) принимает вид

(5.2) <//=0, 2 g2+ t f / = 0 , fo-Vq^O.

2qt + q,'-2qiV=0,

275

от [суда получаем но аналогии с вышеизложенным (Г>.3) F = У⁰+ V\x+ V,x² + ^: .

(С*+СххУ

Мы видим, что уравнения (1.4) позволяют элементарно вычислять об щий вид потенциала, допускающего нетривиальную лиевскую симметриго (ОС второго порядка сводятся на множестве решений уравнения ( t . i ) к дифференциальным операторам первого порядка, являющимся генерато ром группы Л и ) .

Случай ?/=3 уже соответствует нелиевской симметрии, Соответствую щие уравнения (1.4) принимают вид

(5.4а) ? / = 0 . 2q³+q²'==0. 2q,+q/-6q*V'=Q, (5.46) 2q>+q(;-Aq2V'=(l

(5.4в) qu-qxV + qtV"'=0.

Как легко убедиться, общее решение уравнений (5.4а) имеет вид (5.5) 9л=0. q-=b—2dx. q^2ax2 — 26x+6aV+c,

где а, 6. с - произвольные функции от /. Дифференцируя (5.46) по /.

а (5.4в) по х и исключая q/. приходим с использованием (5.5) к следую щему уравнению:

(5.6) (aV"-3aV* cVy-2a[(V'x*)' + 4t{xVy + 2V] + +26[ (VxY+2V') = 4 a x2- 4 6 x + 2 c .

Нелинейное уравнение (5.6) является достаточно сложным, поэтому ограничимся исследованием его частных решений. Прежде всего отметим, что все потенциалы (5.3) удовлетворяют (5.6) и, следовательно, допуска ют нетривиальный ОС третьего порядка. Оказывается, однако, класс по тенциалов, допускающих такой ОС, гораздо шире и включает, например следующие решения уравнения (5.6) (11):

(5.7) V - Ц— . V = 2d1 tg2 dx, cos dx

V = 2d(tb*dx-i), V=-.2d*(cth* dx-l).

dz(\±chdx)

~~ stf ~dx. ' где d - произвольный параметр

Уравнения (1.1) с потенциалами (5.7) являются точно решаемыми [15]. Следует подчеркнуть, что эти потенциалы не допускают нетривиаль ной лиевской симметрии, но для соответствующих уравнений Шредингера существует ОС третьего порядка.

Приведем ряд других решений уравнения (5.6). Полагая a priori a —

^ # = с = 0 , это уравнение можно дважды проинтегрировать по х и свести к следующей форме:

(5.8) аV"- Заl"^:~cV=k^t:c+k*.

Очевидным решением (5.8) является функция (5.9) v = — W- —, аФО,

3 6я

где VF — функция Вейерштрасса, удовлетворяющая уравнению W"=W\

при этом fto=&i=0. Другие решения уравнения (5.8) получаем с исполь­

зованием справочника [20]:

а) при с=/с⁰=0, &,=2я^:т^0, \=--2у получим уравнение, которое опреде­

ляет трансцендентную функцию Пенлеве;

б) при Art==Ar0==0, c = 4 « ^ 0 , F=2i/ получим уравнение, решение кото­

рого приводит к эллиптическим интегралам. В число решений входят, на пример, функции

sin2(o:+C,)

соответствующие частному случаю потенциала Пешля — Теллера [21].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы показали, что задача описания полного набора ОС произвольного конечного порядка п для одномерного уравнения Шредингера сводится к нахождению общего решения системы линейных уравнений (1.4) для коэффициентов q* оператора (1.2). Интегрирование этой системы для за­

данного потенциала взаимодействия позволяет найти все неэквивалентные ОС порядка п. Выше найдены эти ОС для всех потенциалов, допускающих нетривиальную лиевскую симметрию, и для потенциала суперсимметрич лого осциллятора.

Гораздо более сложной является задача описания потенциалов, допус­

кающих ОС заданного порядка п. Такая задача тоже сводится к решению системы (1.4), где и q, и V рассматриваются как неизвестные. В резуль­

тате уже в случае /г=3 приходим к нелинейному уравнению для F, для которого удалось получить только частные решения. Однако в их число входят очень важные потенциалы (5.7), (5.10), соответствующие точно решаемым уравнениям Шредингера [15, 21]. Наличие обобщенной (нели- евской) симметрии у точно решаемых уравнений, не обладающих л невской симметрией, на наш взгляд, является фундаментальным фактом, откры вающим новые возможности в построении точно решаемых моделей. Так, представляется очень интересным исследовать возможность построения точных решений уравнений (1.1) с потенциалом (5.9) и другими потен циалами, перечисленными выше в пунктах «а», «б», допускающими ОС третьего порядка.

Следует отметить, что используемый нами подход позволяет вычислять также симметрии бесконечного порядка. Соответствующие ОС могут быть представлены в виде (1.2) или (4.2), где я-*-<», а определяющие уравне­

ния задаются формулами (1.4) или (4.3), где первые строки должны быть опущены и суммирование заменяется бесконечными рядами (т. е.

верхний предел суммирования устремляется к бесконечности).

277

Наш подход к исследованию ОС высших порядков уравнения (1.1) является альтернативным используемому в [22], где описаны ОС, допус­

каемые потенциалами Морзе и Пешля — Теллера.

Список литературы

[1] Anderson R. H.f Jbragimov N. Н. Lie - Baclund transformations in applications.

Philadelphia: SIAM, 1979.

(2] Fushchich W. /., Nikitin A, G.I/J. Phys. A: Math, and Gen. 1987. V. 20. № 3.

P. 537-549.

(3] Фущич В. //., Никитин Л. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. Ыл.

Наука, 1990.

[41 Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

[5] Шаповалов В. //., Экле Г. Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака. Эли­

ста: Калмыцкий гос. ун-т, 1972.

[6] Kalnins E. G., Miller W.f /г., Williams G. С.//J. Math. Phys. 1986. V. 27. № 7, P 1893—1990

[7] Fels M.9 Ka'mran N./l Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1990." V. 428. P, 229-249.

[8] Никитин А. Г.//УМЖ. 1991. T. 43. № 6. С 786-795.

[9] Никитин А. Г.//УМЖ. 1991. Т. 43. № 10. С. 1388-1398.

Ц01 Никитин А. Г.//УМЖ. 1991. Т. 43. № 11. С. 1521-1527.

[11] Beckers J.f Debergh N.. Nikitin A. G. // J. Phys. A: Math, and Gen. 1991. V. 24.

№ 22. P. L1269-L1275.

[12] Niederer 17.//Helv. Phys. Acta. 1972. V. 45. № 5. P. 802-810.

[13] Anderson R. Я., Kumei S.f Wulfman C. £.//'Rev. Мех. Fis. 1972, V. 21. № 1 P. 1-9.

[14] Boyer C. P.//Helv. Phys. Acta. 1979. V. 47. № 4. P. 589-605.

[15] Bagrov V. G.t Gitman D. M. Exact solutions of relativistic wave equations. Dord­

recht: Kluwer Acad. Publ., 1990.

(161 Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1967.

[17] Witten EJ/Nucl Phys. 1981. V. В188. № 3. P. 513-520.

[18] Beckers /., Debergh NJ/Helv. Phys. Acta. 1991. V. 64. № i. p. 24-35.

19] Beckers J., Debergh N., Nikitin A. G.//J. Math. Phys. 1992. V. 33. № 1.

20] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Мл Физматгиз, 1961.

[21] Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Т. 1. М.: Мир, 1974.

[22] Kalnins E. G., Levine R. D.f Miller W., jr. /I Mechanics, Analysis and Geometry:

200 Years after Lagrange. Amsterdam: North-Holland, 1991. P. 237-256.

Институт математики Поступила в редакцию Академии наук Украины 13.XII.1991 г.

A. G. Nikitin, S. P. Onufrychuk, W. I. Fushchich HIGHER SYMMETRIES OF SHRODINGER EQUATION

The complete sets of symmetry operators are found for Shrodinger equation with the potential of supersymmetric oscillator and some other potentials. The potentials ad missing nontrivial higher symmetries are described.