А. И. Оксак, Двумерные калибровочные поля с независи- мыми в каждой точке значениями напряженности, ТМФ , 1980, том 44, номер 2, 172–188

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. И. Оксак, Двумерные калибровочные поля с независи- мыми в каждой точке значениями напряженности, ТМФ , 1980, том 44, номер 2, 172–188

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 16:28:58

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А

Том 44, № 2 август, 1980

ДВУМЕРНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ С НЕЗАВИСИМЫМИ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ЗНАЧЕНИЯМИ НАПРЯЖЕННОСТИ

А. И. Оксак

В терминах контурных переменных приведена конструкция (явно) ка- либровочно-инвариантной квантовой меры для некоторого класса двумер­

ных евклидовых калибровочных полей с произвольной компактной груп­

пой Ли в качестве калибровочной группы. В частности, этот класс включает двумерное поле с лагранжианом ТЕ, = (F1 KVL, FXlx); для этой модели имеется также альтернативное описание в терминах тензора напряженности F%]1{%), являющегося гауесовским обобщенным случайным полем с независимыми в каждой точке значениями.

1. ВВЕДЕНИЕ

Одной из первоначальных проблем теории калибровочных полей явля­

ется построение квантовой (или фейнмановской) меры для самодействую- 1

щего неабелева калибровочного поля с лагранжианом i ? = »(F^Kli,F^Kll)~

Ag2

Полученная к настоящему времени информация основывается на теории возмущений по заряду g (см., например, [1]) или на решеточных аппрок­

симациях [2—6]. Настоящая работа посвящена изложению конструкции фейнмановского интеграла в терминах так называемых контурных пере­

менных для класса моделей калибровочных полей в двумерном простран­

стве-времени и, в частности, для двумерного калибровочного поля с лагран­

жианом & (для определенности это поле мы будем называть квазисвобод­

ным) . Подобное рассмотрение представляется небезынтересным, поскольку уже в двух пространственно-временных измерениях наглядно проявляется специфика калибровочного поля: его можно трактовать не только как поле, определенное в точках, но и как своеобразное «поле» на контурах. Мы ограничимся построением квантовой меры в двумерном евклидовом про­

странстве R2, заменяющем двумерное пространство-время Минковского (здесь достаточно упоминания о существовании далеко идущей формаль­

ной аналогии между квантовыми мерами на базе того и другого простран­

с т в а ^ ) - Эта замена позволит нам использовать терминологию случайных полей [ 8 ] .

1) См. [7] по поводу описания состояний квантового квазисвободного калибро­

вочного поля в двумерном пространстве-времени Минковского. Отсутствие локали­

зуемых степеней свободы у этого поля приводит к своеобразной ситуации: алгебра наблюдаемых, ассоциированная с произвольной ограниченной областью двумерного пространства-времени, не зависит от этой области и является абелевой (в случае связной калибровочной группы G алгебра локальных наблюдаемых может быть

Эвристически состояние квазисвободного двумерного евклидова калиб­

ровочного поля записывают в виде

\1) const -exp{—S'(A)}(dA),

г д е . л - •';

(2) SUJ = ^ J ' ^

— действие квазисвободного калибровочного поля, и (dA)= I Г I I йА^{х)

х ц=1,2

— «наивная мера» в пространстве конфигураций поля А (х) (использован­

ные здесь стандартные обозначения поясняются далее). Задача, таким об­

разом, состоит в том, чтобы придать выражению (1) точный смысл вероят­

ностной меры^{2 )}. Пожалуй, наиболее естественно строить состояние ка­

либровочного поля в R² как некий предел состояний калибровочного поля на двумерной решетке (играющей роль дискретного пространства) при стремлении шага решетки а к нулю [ 2 ] . Для этого сначала необходимо выбрать основные величины на решетке и Соотнести их с основными ве­

личинами в непрерывном пространстве, а также выбрать подходящую решеточную аппроксимацию для действия.

Основными величинами на решетке являются переменные Q(Z), соот­

ветствующие (ориентированным) ребрам Z решетки и принимающие зна­

чения в фиксированной группе С?, лежащей в основе всей схемы и назы­

ваемой калибровочной группой. Мы будем предполагать, что G — компакт­

ная группа Ли. Переменные Q(Z) заменяют величины

(3) Q(Z) = ? e x p 0 A W ^ ) ,

i

которые строятся из конфигураций калибровочного поля в R² (здесь Р — знак упорядочения слева направо вдоль пути интегрирования в мульти­

пликативном интеграле). Очевидно, при изменении ориентации ребра ве­

личину Q(l) следует заменить на Q(Z)- 1. Если четверка Z1 ?. . . , Z4 ориенти­

рованных ребер решетки образует путь с, обходящий некоторую ячейку решетки, то ей сопоставляется величина Q(c) =Q(ll) ... Q(h); она соот­

ветствует интегралу типа (3), где роль I играет путь с. Приняв теперь в качестве решеточного приближения для действия, скажем, вильсонов- скую «плакетную» формулу [ 2 ], мы получаем состояние поля на решетке Щ const ехр { - JjS0 (Й (с)) } Т Т № (Z);

отождествлена с алгеброй, порожденной операторами Казимира в присоединенном:

представлении группы G, т. е. она изоморфна центру групповой алгебры группы G);

соответственно множество чистых состояний алгебры локальных наблюдаемых рас­

падается на суперотборные секторы, каждый из которых состоит только из одного состояния (так называемого «6-вакуума») с плотностью энергии, постоянной в прост­

ранстве-времени. •

2К Впрочем, теоретико-вероятностная точка зрения несколько смещает акценты:

нас будет интересовать не сама эта мера (с ее деликатной проблемой носителя), а соответствующее случайное калибровочное поле.

473

:здесь суммирование У, распространяется по всем ячейкам, интегрирова-

с

ние проводится по всем переменным Q(l) решетки; Sc(Q(c)) — аппрокси­

маций для действия поля в одной ячейке 3). Данное определение имеет оче­

видный смысл, по крайней мере, для конечных решеток, которых доста­

точно для наших целей. Далее остается надлежащим образом выполнить предельный переход при стремлении размера решетки к бесконечности, а шага решетки к нулю.

Приведенными соображениями мотивирован план настоящей работы.

В разделе 2, носящем вспомогательный характер, рассматриваются калиб­

ровочные поля на решетке в таком аспекте, который позволяет затем бо­

лее или менее непосредственно перейти к непрерывному пределу а-МЗ. Для этого оказывается удобным применять к решеткам терминологию теории графов и, вообще, трактовать двумерную решетку как частный случай плоских графов. Обобщением состояний типа (4) на случай произвольных плоских графов служат калибровочно-инвариантные состояния с незави­

симыми 4) значениями на элементарных циклах графа. В разделе 3 мы используем этот язык графов^г для конструирования состояний калибро­

вочного поля в R2. Для этого достаточно всем конечным плоским графам

;в R2 сопоставить калибровочно-инвариантные состояния со свойством не­

зависимости значений на элементарных циклах и подчинить эти состояния определенным условиям согласования. Получаемый класс калибровочно- инвариантных состояний поля в R2 может быть охарактеризован непосред­

ственно в терминах контурных переменных5) Q(C), соответствующих произвольным контурам С в R2, следующим образом: случайные величины Q(C) независимы для любого набора замкнутых контуров С, ограничиваю­

щих попарно непересекающиеся области. В тех случаях, когда тензору напряженности F^(x) удается придать смысл обобщенного случайного поля, приведенная характеристика означает, что значения напряженности в различных точках независимы. В частности, евклидово инвариантные состояния калибровочного поля в R2 указанного выше класса получаются с помощью определенной общей конструкции: достаточно иметь в распо­

ряжении произвольную двусторонне инвариантную стохастическую полу­

группу {р{щ т)}т>о на группе G. Из раздела 4 выясняется (с помощью процедуры перехода от аппроксимирующих состоянии на решетках или графах к непрерывному пределу), что квазисвободное калибровочное поле ъ R2 принадлежит именно к последнему типу состояний. Как калибровоч-

но-инвариантное состояние поля в В² с независимыми значениями на замк­

нутых контурах, ограничивающих попарно непересекающиеся области, оно полностью характеризуется распределениями контурных переменных

3) Детали, связанные с выбором SC(Q(с)), обсуждаются в разделе 4. Отметим, что отличие приводимой там формулы для решеточного действия от вильсоновской является несущественным, так как результирующие состояния калибровочного поля в непрерывном пределе одни и те же.

4) Здесь и всюду в дальнейшем независимость означает стохастическую неза­

висимость.

5) Среди работ, в которых вводились величины, зависящие от контуров, отметим статьи [9, 10, 2].

Q(C) для замкнутых контуров С без самопересечений (формула ( 2 5 ) ) . Отсюда следует, что для среднего от %(Q(C)) (где % — след неприводимого представления группы G) в точности выполняется хорошо известный виль- соновекий [2] экспоненциальный «закон площадей» (формула (26)).

Более традиционным является описание состояний непосредственно в терминах вектора-потенциала А»(х) и тензора напряженности F^Kll(x).

В рамках принятого здесь подхода, сохраняющего явную калибровочную*

инвариантность, имеет смысл ограничиться построением тензора напря­

женности для квазисвободного калибровочного поля в R2. Оказывается,,

FKH{^) есть гауссовское обобщенное случайное поле с независимыми в каж­

дой точке значениями. Его среднее равно нулю, а ковариационная матрица дается формулой

(5) .^:€Р^(х)Р^9аъ(у)Ъ^6^лг^в^РМ^У)^

где .

(6) 0(х-у)=-^8(х-у)~-^1пЫх-у\) д 2я •

— функция Грина скалярного безмассового поля (величина размерного параметра % инфракрасной регуляризации, очевидно, несущественна).

Обозначения и определения. Мы заключим это введение перечислением ряда обозначений и определений. Как уже отмечалось, роль калибровочной группы G играет произвольная компактная группа Ли. Int(G) есть группа внутренних автоморфизмов группы G. Если и — переменная, принимающая значения в группе G, то du служит для обозначения меры Хаара на Gf

нормированной на 1 (т. е. J du=l). Посредством dG(u) обозначена б-функ- ция на группе Gy сосредоточенная в единице е группы (так что J f(u)6G(u)du=f(e)). Выражение / i * /2 есть свертка двух вещественных (обобщенных) функций Д и /2 на группе G: /i*A(w) = J f\{uv~l)f2(v)dvi Нетрудно проверить, что fi*J2=⁼f2*fu если хотя бы одна из функций /*, /² Int(G)-инвариантна. Символ g обозначает алгебру Ли группы G. Предпо­

лагается, что на g фиксировано положительно-определенное скалярное произведение (й, hf) (A, fe'^g), инвариантное относительно присоединен­

ного представления группы G. Выберем в g некоторый ертонормированный базис la ( a = lf. . . , N; Af=dim G ) , так что (1а, 1ь)=6а Ь; посредством La обо­

значим соответствующие генераторы левого регулярного представления группыG:

(7) L*f(u)=i — / ( e x p ( * I^e) n ) U o , dt

(это самосопряженные операторы в 3?2(G)).

Согласно стандартной точке зрения конфигурация калибровочного поля в R² есть 2-вектор А^(х) (fx=l, 2), зависящий от точки x&W и принимаю­

щий значения в алгебре Ли д. Соответствующий тензор напряженности Fj^ix) и псевдоскалярная напряженность F(x) («электрическое поле») определяются соотношениями

(8) F^{x)=d%A,-d,A,+ [A„A,\=^F{x),

Л75

где -ЁАЦ — стандартный антисимметричный тензор ( е1 2= 1 ) . Калибровочным преобразованием называют произвольную функцию у(х) на R2 со значе­

ниями в группе G. В матричной реализации группы G калибровочное поле и напряженность преобразуются при действии ^ следующим образом:

(9) А^{х)^{х)А,{х)^{х)-'-дА{х)^{х)-\

(10) F"(x)=^(x)F(x)\(x)-i.

Путь в R² — это непрерывное отображение t-^x(t) отрезка [0, l]c=R в R²; в дальнейшем рассматриваются только регулярные пути (в том смыс­

ле, что производная x'(t) существует, отлична от нуля и непрерывна всюду за возможным исключением конечного числа значений t — точек излома, где предполагается существование ненулевых левых и правых производ­

н ы х ) . До известной степени параметризация пути несущественна, поэтому естественно считать пути х (t) и x(a(t)) эквивалентными, если a (t) — отображение отрезка [0, 1] на себя с непрерывной положительной произ­

водной. Класс эквивалентных путей мы будем называть контуром в R2. Для контура С естественно определено множество точек контура (т. е.

{#(£)}), а также начало ic и конец /с (т. е. точки х(0) и ^ ( 1 ) ) , обратный жонтур С- 1. При ic^fc контур называется замкнутым. Если конец конту­

ра С является началом контура С, то имеет смысл произведение СС кон­

туров. Таким образом, контуры в R² образуют (частичный ассоциативный) группоид. При заданной конфигурации поля формула типа (3) сопостав­

ляет всякому контуру С мультипликативный интеграл Q(C) со значения­

ми в группе G. При этом выполнены соотношения ( И ) •.Q(C,Cr/)=Q('C,)Q(C,)> Q . ( C -1) = Q ( C ) 4

Жх можно положить в основу более общего определения конфигурации калибровочного поля как гомоморфизма Q: C-+Q(C) группоида контуров -В группу G, переводящего обратные элементы в обратные. Более того это необходимо сделать, если калибровочная группа G дискретна или несвяз­

на (ибо в противном случае переменные Q(C) принимали бы значения только в связной компоненте единицы группы G ) . Под действием калиб­

ровочного преобразования ^ (х) величина Q(C) изменяется по правилу (12) Q^T(C)=T.(*o)Q(OT(/c)-V

Контур С называется простым незамкнутым, если ic^fc и если допол­

нение (в R2) к множеству точек контура является связным. Простой замк­

нутый контур есть предел простого незамкнутого контура при стремлении fc к i^c. В этом случае точку i^c=fc мы называем точкой отсчета контура.

За исключением вырожденного случая, простой замкнутый контур С раз­

деляет дополнение к множеству точек контура на две связные компонен­

ты — ограниченную область, которая впредь обозначается посредством Дс, и неограниченную. Мы считаем, что такой контур ориентирован положи­

тельно (соответственно, отрицательно), если Ас обходится против часовой стрелки (соответственно, по часовой стрелке). Выделенная роль простых контуров в теории с неабелевой группой G объясняется тем, что для опре­

деления Q (С) в классе таких контуров достаточна минимальная ииформа-

ция о контуре: существенны лишь начало контура и ток /ц(х; С), создавае­

мый контуром:

% ( я ; С ) = | б ( х - г / ) ^ .

с

2. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКИХ ГРАФАХ

С НЕЗАВИСИМЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ НА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЦИКЛАХ

Введем понятие калибровочного поля на плоском графе. Плоский граф следует представлять себе конкретно как вполне определенный конечный набор вершин и линий в двумерном евклидовом пространстве. Это означает следующее: во-первых, вершины графа Г образуют конечное множество V точек из R2; во-вторых, линии графа, совокупность которых мы обозначим посредством А, являются простыми незамкнутыми контурами в R2, при­

чем каждая из линий ША имеет в точности две общие точки с множеством V — начало ц и конец /* линий 1\ в-третьих, любые две различные линии графа могут иметь не более одной общей точки, и если таковая существу­

ет, то она принадлежит V (последнее условие есть формулировка того, что граф Г плоский). Контуром графа мы назовем всякий контур С в R2 вида Ci... Сп, где каждый сомножитель С, либо является некоторой линией графа, либо отличается от нее только ориентацией (т. е. либо CfiA, либо Cj-1£A). Для определенности всюду в дальнейшем предполагается, что граф Г связный; это означает, что любые две вершины из V можно соединить контуром графа Г. Линии графа Г разделяют плоскость R2 на некоторое число связных компонент Д0, A i , . . . , Afe. Среди них только одна компонен­

та для определенности А0 является неограниченной. Остальные же компо­

ненты A i , . . . , Afe, которые мы назовем ячейками графа, являются ограни­

ченными областями (предполагается, что к¥=0, т. е. что Г не является дере­

вом). Каждой ячейке Aj мы сопоставим один простой замкнутый контур с,- графа таким образом, чтобы контур с,- ограничивал ячейку А,- и был поло­

жительно ориентирован. Мы назовем эти контуры си . . ., ck элементарны­

ми циклами графа, а их совокупность обозначим посредством Е.

Конфигурацией калибровочного поля на графе называется соответст­

вие, сопоставляющее каждой линии I графа элемент Q(Z) группы G. Таким образом, множество конфигураций калибровочного поля на Г есть мно­

жество GA всех отображений Q: A-^G. При заданной конфигурации поля всякому контуру C=Ci. .. Сп графа сопоставляется элемент Q (С) =

=Q(Ci) .... Q(Сп) группы G; здесь Q(Cj)=Q(l)-\ если Cj=l±l (так что отображение C-+Q(C) есть гомоморфизм группоида контуров графа Г в группу G). Калибровочным преобразованием на графе называется произ­

вольное отображение у: V-+G, сопоставляющее вершине x&V элемент ч(х)&

&G. Множество всех таких отображений Gv образует группу с поточечным умножением (^'){x)=f\{x)^f (х). Группа Gv действует на конфигурациях калибровочного поля по формуле Йт(I) = f (iz)Q (J)«у(/z)_1. Следовательно, при калибровочных преобразованиях величина Q (С) изменяется по фор­

муле (12).

Калибровочно-йнвариантным состоянием поля на графе (или просто калибровочно-инвариантным состоянием над Г) называется вероятност­

ная мера на множестве GA, инвариантная относительно группы Gv> При

2 Теоретическая и математическая физика, т. 44, № 2 177

заданном состоянии над Г переменные Q (С) становятся случайными вели­

чинами со зачедиями в группе G.

Здесь мы рассмотрим класс калибровочно-инвариантных состояний над Г таких, что случайные величины £2(С), соответствующие элементарным циклам с&Е, независимы. С этой целью каждому элементарному циклу с^Е (или, что то же, каждой ячейке Ас графа) мы сопоставим Int(G)-ин­

вариантное вероятностное распределение Wc(u) на группе G, т. е. неот­

рицательную обобщенную функцию Wc(u) н а С с интегралом 1 и со свой­

ством Wc{vuv~l)^Wc(u). Оказывается, тогда формула (13) йРг = Д ^ с ( а ( с ) ) JJdQ(Z)

определяет калибровочно-инвариантное состояние рг над Г с независимы­

ми случайными величинами Q(c) (т. е. с независимыми значениями на элементарных циклах).

Для доказательства утверждения введем понятие системы отсчета гра­

фа. Фиксируем некоторую вершину b&V и назовем ее точкой отсчета графа.

Далее, фиксируем некоторый подграф Г0 графа Г, являющийся максималь­

ным деревом (среди подграфов графа Г). Наконец, сопоставим каждой вершине ' хФЪ графа Г некоторый контур %х подграфа Г0 из точки Ъ в точ­

ку ;г. Построенную таким образом совокупность Х^{Кх}хфЬ контуров мы бу­

дем называть системой отсчета графа Г.^Теперь вместо исходных перемен­

ных Q(l) мы можем выбрать новые переменные £2(ЯЯ), Щс), в которых мера (13) факторизуется:

(14) £ гР г= Д { Т 7в( Й ( с ) ) д а ( с ) } Д й О ( ^ )

с хфЦ

(выделение фактора типа П ^ ( ^ ) известно как трюк Попова и Фаддеева Щ ] ) . Формула (14) получается последовательной заменой переменных:

вначале оставляем переменные Q(l) линий подграфа Г0, вводя новую пере­

менную Q(c) вместо каждой из остальных переменных Щ£); далее, от пе­

ременных Q(l) линий подграфа Г0 переходим к переменным Q(kx); на каж­

дом этапе пользуемся инвариантностью меры Хаара при сдвигах. Из фор­

мулы (14) становится очевидным сделанное выше утверждение, а также следующий немаловажный факт: правая часть (13) не меняется при пере­

определении циклов (т. е. при замене си .. ., ck другими положительно- ориентированными простыми замкнутыми контурами с1? . . ., ck графа Г, которые ограничивают ячейки A i , . . . , Aft).. С помощью новых переменных нетрудно также убедиться, что формулой (13) исчерпывается класс ка­

либровочно-инвариантных состояний над Г с независимыми значениями на элементарных циклах.

Значительную роль в дальнейшем изложении играет понятие редукции состоянии. Мы будем говорить, что плоский граф Г7 подчинен графу Г, и обозначать это посредством Р Х Г , если множество вершин V графа Г' со­

держится в F, а каждая линия V графа Г' является некоторым контуром Си графа Г. Каждая ячейка А' графа Г" с соответствующим элементарным циклом с'^-Е' содержит внутри себя некоторое число ячеек графа Г; соот-

ветствующую совокупность элементарцых циклов графа Г мы обозначим посредством Е{с') (это подмножество множества Е={си . . . , ck}). Пусть над Г задано калибровочно-инвариантное состояние рг, тогда над Г7 есте­

ственным образом определено калибровочно-инвариантное состояние рГ', которое мы назовем редукцией состояния рг. Для этого в качестве основ­

ных случайных величин Q(V) (V&A!') на графе Г" следует взять соответст­

вующие случайные величины Q{CV) на графе Т. Оказывается, что если к тому же рг принадлежит к классу состояний с независимыми значениями на элементарных циклах, то рГ' также принадлежит к этому классу; оно вы­

ражается формулой типа (13), где теперь роль Wc играют распределения Wc'ic'GE'), связанные с Wc соотношениями

(15) WAu)=^{c.)Wc{n)

(порядок сомножителей в этой свертке несуществен из-за Int (G) -инвари­

антности распределений Wc).

Аргументацию достаточно привести для случая, когда число к элемен­

тарных циклов в Г на единицу больше, чем в Г" (общий случай следует отсюда по индукции). В этом случае в Г и в'Г7-можно выбрать к—2 одина­

ковых элементарных циклов, скажем си . . . , cft_2, a ch-u ck и с'кЛ выбрать такими, что сил=с^^к. Тогда Q(c/) =*Ц'(с-) при / = 1 , . . . , к—2 и О ( см ) =

=Q(cfe-.1)Q(cft), так что й ( с / ) , . . ' . , Q(c^_1 ) независимы и распределение величины £2(с^л ) есть свертка распределений Wck_i1 WCh. Отсюда следует сделанное выше утверждение.

3. ПОСТРОЕНИЕ СОСТОЯНИЙ ДВУМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА КАЛИБРОВОЧНОГО ПОЛЯ

Как уже отмечалось, конфигурация калибровочного поля в R2 может быть определена как семейство величин Q (С) &G, удовлетворяющих соот­

ношениям (11). Поэтому состояние калибровочного поля в R2 естествен­

но описывать в терминах семейства случайных величин Q (С), сопоставляе­

мых произвольным контурам С в R2 и принимающих значения в группе 6?, причем эти величины должны удовлетворять определяющим соотношени­

ям (11). Всякий конечный набор контуров в R2 можно считать состоящим из контуров некоторого плоского графа Г, и мы можем использовать вве­

денное выше понятие состояния над плоским графом с тем, чтобы автома­

тически учесть эти определяющие соотношения. Таким образом, мы должны исходить из состояний рг для всех плоских графов Г (в R2) и подчинить их определенным условиям согласования, в результате мы придем к по­

нятию состояния калибровочного поля в R2.

Совокупность всех конечных плоских графов в R2 частично упорядоче­

на отношением подчинения Г"<Г; более того она является направленным множеством (для любой пары Г1?. Г2 плоских графов найдется плоский граф Г, такой, что Т±-КТ и Г2-<Г). В духе теории случайных процессов [8]

назовем состоянием р калибровочного поля в R2 соответствие, сопоставляю­

щее всякому конечному плоскому графу Г в R2 состояние рг над Г, при­

чем должны выполняться условия согласования: если Г'<Г, то рГ' есть ре­

дукция рг. Мы можем определить теперь семецство случайных величин

2* 179

Q(С), сопоставляемых всем контурам С в R2 и принимающих значения в группе 6?, следующим образом: для любых контуров Си . . ., Сп совместное распределение величин £1(С\),..., Q(Cn) дается формулой

(16)- . . <eG(Q(C1)ar1)/..6G(Q(Cn)Bn-i)>= . .

= J8G(Q (С,)щ-1)...Ьа№(Сп)и?-1)dpr,

здесь.м4,..., ип — параметры, пробегающие значения в группе G; Г — графг

выбранный таким образом, что С/1? . . . , ип являются контурами его. В пра­

вой части (16) £1(С±),..., Q(Cn) интерпретируются как функционалы от калибровочного поля на графе Г, над которым задано состояние рг; интег­

рирование проводится по всем конфигурациям калибровочного поля на графе (т. е. по GA). Таким образом, (16) понимается в смысле равенства вероятностных распредлений по параметрам (ии . ..., un)£GX. . .XG (п пря­

мых сомножителей). Из условия согласования и того, что графы образу­

ют направленное множество, с очевидностью следует, что правая часть (16) не зависит от выбора Г. Очевидно, калибровочная инвариантность состояний рг для всех Г эквивалентна тому, что совместные распределения

(16) инвариантны относительно действия калибровочных преобразований Ч в R2; в этом случае состояние р называется калибровочно-инвариантным.

Перейдем теперь к конструкции калибровочно-инвариантных состоя­

ний калибровочного поля в R2, обладающих тем свойством, что для любых замкнутых контуров С4,...., С„, ограничивающих попарно непересекаю­

щиеся области (или открытые множества), случайные величины Й ( С4) , . . . , Q(Cn) независимы. По аналогии с разделом 2 мы предполо­

жим, что каждому ограниченному (и измеримому по Лебегу) множеству А в R2 поставлено в соответствие Int(G)-инвариантное вероятностное рас­

пределение W(u; А) (по переменной и) на группе G, причем выполнены условия

(17а) W(u; ..A.UA')=*W(tt; A)

для множеств А7 нулевой лебеговой меры, (176) Щ и ; Д ) = » Т7(и;Д,),-"

если А= (J Aj-и AjOAk=0 при ]'=^к (ср. с равенством (15); здесь, как и

3=1

всюду в дальнейшем, сходимость последовательности распределений по­

нимается в смысле сходимости интегралов с непрерывными функциями).

Мы утверждаем, что каждая такая система распределений W(u\ А) опре­

деляет единственное калибровочно-инвариантное состояние р калибровоч­

ного поля в R2, такое, что случайные величины Q(C) независимы для замкнутых контуров, ограничивающих попарно непересекающиеся об­

ласти, и распределение случайной величины Й (С) для любого простого замкнутого контура С с положительной ориентацией выражается фор­

мулой

(18) <8о№{С)и-*)>=1¥(щ Ас) - (Ас — область, ограниченная контуром С).

Для доказательства достаточно каждому плоскому графу F сопоста­

вить состояние рг над Г (с независимыми значениями на элементарных циклах) по формуле (13), где в качестве Wc(u) выбрано W(u; Дс). Срав­

нение формулы (15) с условиями (17) показывает, что для подчиненно­

го графа Т ' < Г состояние рГ' есть редукция состояния рг. Таким образом, условия согласования автоматически выполнены, и набор {рг} определя­

ет состояние р калибровочного поля в R2 с требуемыми свойствами.

Посмотрим, как выражается в приведенной схеме дополнительное тре­

бование евклидовой инвариантности состояния р, т. е. условие инвариант­

ности совместных распределений (16) при произвольных движениях ев­

клидовой плоскости, не меняющих ориентации. Согласно (18) это означа­

ет W(u; A)=iW(u\ А), где А — преобразование множества А при таком движении. Используя (17), нетрудно убедиться (с помощью преобразо­

вания Фурье на группе G), что зависимость W(u; А) от А сводится толь­

ко к зависимости от площади 5Д множества А, т. е. что W(u; А) можно записать в виде

(19) W(u;A)=p(n;g*s^A).

Здесь g — положительный параметр, имеющий размерность обратной дли­

ны, {р(щ т)}т>о — семейство Int.(G)-инвариантных вероятностных распре­

делений на группе G, параметризованных числом т^О. В терминах р(и;х) условия (17) сводятся к обычному полугрупповому свойству

(20а) р(щ т) непрерывно по т,

(206) р(щ Xt+x2)=p(u; х±)*р(щ т2) при всех %и т2^0.

Такое семейство распределений р(щ т) естественно назвать двусторонне инвариантной стохастической полугруппой6) на группе G.

В результате мы пришли к конструкции, позволяющей произвольной двусторонне инвариантной стохастической полугруппе на группе G сопо­

ставить калибровочно- и евклидово-инвариантное состояние калибровоч­

ного поля в R2 с независимыми значениями на замкнутых контурах, огра­

ничивающих попарно непересекающиеся области. Очевидно, такое состоя­

ние инвариантно относительно операции отражения Т одной из коорди­

натных осей, скажем, х% (т. е. Г-инвариантно) в точности тогда, когда выполнено условие

(21) / > . ( и ^ т ) = р ( и ; т ) , * /

так как при отражении простой замкнутый контур С меняет ориентацию

6} По аналогии со случаем, когда G=R (см. [12]), р(и; т) можно считать рас­

пределением случайной величины gT некоторого однородного случайного процесса {?т}т>о СО значениями в группе G и с независимыми приращениями. Строго говоря, условие непрерывности р (щ т) по т при т = 0 не следует из предыдущего рас­

смотрения: оно служит в качестве доопределения р(щ т) при т = 0 . Отметим, что распределение р(и; 0) сосредоточено на некотором замкнутом нормальном делителе KczQ и инвариантно относительно левых (и правых) сдвигов на элементы из £ В случае, когда К={е}, т. е. р(щ Q)=dG(u), стохастическую полугруппу естественно назвать невырожденной. Переход от G к фактор-группе G/K заменяет вырожден­

ную стохастическую полугруппу невырожденной.

181

и величина Q(C) с распределением (18) переходит в величину Q(C^T) с распределением W(u~^l; (Д^с)т).

Приведем три примера.

В первом примере положим

(22) р(щ т)=ехр {—7²T-(L,L)}6G(tf) при . т>0,

• л - • ' • '•>• \ : Щ

где (L, L) = \ LaLa —. оператор Казимира в левом регулярном ПреДСТаВ- лении группы G (см. (7)). Это есть решение уравнения диффузии (или теплопроводности) на группе G

(23) (д/вг)р(щх)=~Ч2(ЦЬ)р(щг)

с начальным условием p(u;0)=8G(u). С помощью стандартных аргумен­

тов теории фейнмановских интегралов (см., например, [13]) доказывает­

ся представление

(24) e-^L'L)/28G{u) = limJ8G(eh^..ehnU-l)X

h j=l

где Tj=tj(ft)>0, ^ j T^==T' max TJ-^0 при га->•<»..• Отсюда, в частности, сле- дует, что {р(щ т)} есть стохастическая полугруппа на группе G; р(щ т) интерпретируется как распределение случайной величины | (т) =

= Рехр v(t)dt, где У(£) —скорость броуновского процесса на алгебре о

Ли д, т. е. va(t) есть гауссовский обобщенный случайный процесс со сред­

ним 0 и с корреляционной матрицей х$аа'6 (t—tf). Согласно общей схеме имеется калибровочно- и евклидово-инвариантное (а также Г-инвариант- ное) состояние р калибровочного поля в R2 рассмотренного выше класса;

оно характеризуется следующими распределениями величин Q(C) для простых замкнутых контуров С в R2:

(25) <6G(Q(C)tt-1)> = e x p { -1/ 2 ^ c - ( i , ^ ) } 60( a ) ^ -

^ е х р | - 7²£²( Д Ь ) (J) §D(x-y)dx^xdy^k\8^G(u);

ее

здесь sc — площадь области, ограниченной контуром С. В разделе 4 мы убедимся, что результирующее состояние есть квазисвободное состояние

калибровочного поля. Из (25) следует формула для вильсоновского среднего:

(26) <X'(G(0)>=X(D е х р ( - 72с Л ) ,

здесь х — след произвольного неприводимого представления группы G, а сх — значение оператора Казимира (L, L) в этом представлении. Как видно из формулы (22), функция р(щ т) аналитична по т при Re т>0, так что состояние р вещественно аналитично по заряду g при g>0 и имеет пределы при g~^0 и g--+°°. Предел при g-+0 совпадает с классиче­

ским вакуумом (т. е. с калибровочно-инвариантной мерой на чисто калиб­

ровочных полях); в терминах контурных переменных это состояние ха­

рактеризуется свойством Q(C)=e (с вероятностью 1) для всех замкнутых контуров С.

Во втором примере будет построено Г-неинвариантное состояние. Для этого предположим, что в алгебре Ли g имеется ненулевой элемент h, инвариантный относительно присоединенного представления группы G.

Тогда, заменяя р(щ т) в (24) на

(27) / ( ^ ; T ) = ^ ( ^ 4 T ) = e x p { ~ V2T - ( L , L ) + k . ( L > ) } 6G( ^ , мы приходим к Г-неинвариантному состоянию. Для определенности пусть G есть группа U(i)={u&C : | n | = l } , и мнимая единица i играет роль базиса в д, так что произвольный элемент h=*ia% мы будем задавать его вещественной координатой a^R. При любом o^R вероятностные распре­

деления (28)

00 / Г ) Л

9{а){щх)= У\ ]/—-ехр| — —(a.Tgu-xa-2nn)2\ =

оо

= У t exp{—1/2п2х+1п(&щи—го)}

П=— оо

образуют стохастическую полугруппу на £7(1), и в соответствии с общей схемой мы имеем семейство калибровочно- и евклидово-инвариантных состояний р(а) со свободным параметром а. Состояние р( а ), вообще говоря, Т-неинвариантно: при отражении оно переходит в р(~а). Состояние р(а)

получается из р(0) в результате преобразования полевых переменных (29) А^х) -+А»{х) +72/еяА, FXll(x) -+FXll(x) + / е ^

(которое нетрудно переписать в терминах контурных переменных Q (С));

здесь f=g2a. Отсюда следует интерпретация параметра / как среднего зна­

чения <F(x)> электрического поля F(x) в состоянии р(а) 7) (точное опре­

деление F(x) в состоянии р(0) приводится в следующем разделе). Отметим, что преобразование (29) является симметрией классического лагранжиана

1 ч "•' '• '

2?Е = ,F2 так как при таком преобразовании 3?Е переходит в лагран- 2g2

жиан 3?^ = — - ( F + / )1 2, отличающийся от 2\ на константу и диверген- 2g

цию некоторого локального псевдовектора.

7} Состояния такого рода возникают и при включении взаимодействия между электромагнитным и заряженным полями в двумерном пространстве-времени (см., например, [14]).

183

Наконец, в третьем примере мы рассмотрим простейшее калибровочное поле в R2 с дискретной калибровочной группой, а именно с группой G=Z2, состоящей из двух элементов гг=±1. Невырожденная (инвариант­

ная) стохастическая полугруппа на Z2 имеет вид

р(щ т)=ехр (— Ят) {ch (Ят) -6„, i+sh (Ят) -6tt, -1},

где Я — неотрицательный параметр. Соответствующее случайное калибро­

вочное поле со значениями в группе Z2 мы обозначим посредством о (С).

Для вильсоновского среднего имеем <со(С)>=ехр (—2Xg2s). Всякой обла­

сти А, ограниченной простым замкнутым контуром С, мы сопоставим слу­

чайную величину %(Д)=со(С). Разумеется, из-за дискретности калибро­

вочной группы обычное понятие напряженности теряет смысл; теперь роль напряженности играет обобщенное случайное поле £(ж).'со значениями в группе Z2, независимое в каждой точке. В данном случае термин «обоб­

щенное» означает, что %{х) следует понимать не как функцию от х, а как соответствие, сопоставляющее каждому ограниченному измеримому мно­

жеству Дс=И2 случайную величину | ( А ) , причем для любого счетного разбиения Д = (J ^д множества А (попарно непересекающимися подмно-

3=1

жвствами Aj) величина. |(А) есть произведение независимых случайных величин |(Aj). Естественно попытаться представить £(Д) в виде |(А) —

= (— 1)V(A), где неотрицательные целочисленные случайные величины v(A) составляют так называемую случайную меру на R2 (т. е. всякому разбиению А = U А, соответствует разложение v(A) в сумму независи-

3=1

мых случайных величин v(Aj)). Интуитивно v(A) можно представить себе как число точек х^А, в которых •£(#) принимает значение — 1 . Из написанного представления v(A) определяется лишь по модулю 2, одна­

ко если привлечь интуитивную интерпретацию, то можно прийти к одно­

значному определению. А именно, так как %(Д)-^1 по вероятности, когда s(A) (площадь А) стремится к нулю, то в качестве приближенного зна­

чения для v(A) при достаточно малой площади А разумно положить v(A)=72(l—5(A)). Теперь точная величина v(A) определяется как пре­

дел по вероятности v (A) = Km \ v (Aj ), где {Д3 b = i— последова-

fe->oo ^=^2 = 1

тельность разбиений множества А, причем max>(Aj.(ft)) стремится к нулю

.?

при /с-^оо. Отсюда нетрудно получить, что v(A) есть пуассоновская слу­

чайная величина: вероятность того, что v(А) =щ равна Ckg2s)n

<6V(A),n> = exp (-Kg2s) ——-— (ra=0,1,2,...).

n\

4. КВАЗИСВОБОДНОЕ ДВУМЕРНОЕ КАЛИБРОВОЧНОЕ ПОЛЕ

В этом разделе мы построим состояние евклидова калибровочного поля в R2, отвечающее символическому выражению (1). Мы будем исхо­

дить из приближенных состояний типа (4) на конечных плоских решет-