Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Ю. Ольшанский, О характеристических подгруп- пах свободных групп, УМН , 1974, том 29, вы- пуск 1(175), 179–180
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 23:23:58
В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ 179
О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОДГРУППАХ СВОБОДНЫХ ГРУПП
А . Ю . О л ь ш а н с к и й
Б . Нейман не раз обращал внимание (см., например, [1]) на то обстоятельство, что неизвестно примеров характеристических подгрупп, не являющихся вполне характери
стическими в свободной группе бесконечного ранга, и высказал предположение [2], что таких подгрупп нет. (Примеры такого сорта для свободных групп конечного ранга можно найти в [2] — [4].) Цель настоящей заметки — доказательство следующего утверждения.
(Как обычно, хУ = у~гху, [х, у] = х~ху~хху, [х, у, z] = [[х, у], z].)
Т е о р е м а . Пусть F — свободная группа (конечного или бесконечного) ранга, большего чем 2, со свободными образующими xiy х2, х3, . . ., Xf, . . . (i £ / ) . Тогда наимень
шая характеристическая подгруппа группы F, содержащая элемент g = [х ±, х^°2, х^3], не является вполне характеристической.
Для доказательства мы покажем, что эта подгруппа не содержит коммутатор [х\, х2,002, я2*2] , который, очевидно, есть эндоморфный образ элемента g. Предположив противное; имеем:
(1) I*?, *f*
i,*5*
,] = (eai)
±1-(e«j)
±1...(eaj)
±1,
где at — автоморфизм группы F.
Пусть многообразие $8 = 211 Г) ^ з (основные определения и обозначения см.
в книге [5]).
Л е м м а 1. Если группа V £ 23, то: 1) [V, V, V] — элементарная 2-группа, лежа
щая в центре группы V; 2) коммутатор [х, у, z] мультипликативен в V по каждому аргу~
менту; 3) [xf, yr, z'] = [х, у, z], если х ~ х', у = у', z = z' (modF2).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждения следуют из известных коммутаторных соотношений ([5], 33.34) и тождеств многообразия $8.
Л е м м а 2. Если В — ^-свободная группа со свободными образующими bllb2,. . ., то подгруппа [В, В, В] есть прямое произведение X X Y, где X порождается комму
татором вида [bf, bj, bk] (i Ф k Ф / ) , aY порождается коммутаторами [Ь}, bj, bj] (1ф / ) , причем последние независимы (над Z2).
Д о к а з а т е л ь с т в о . В группе В [bj, bt, bj] = [bt, bj, bj]. Заметим далее, что [bi, b2, b2] ф 1, иначе 2-группа В была бы, как известно, нильпотентна класса 2. Кроме того, [Ьи Ъ2, Ъ2] ф [Ь2, Ъи Ъ±], так как в противном случае подстановка b2 -> b2b3 и тожде
ство Якоби— Витта давали бы [Ь1? b2, Ь3] = 1 в В. Теперь оба утверждения леммы 2 про
веряются с помощью эндоморфизмов, переводящих все переменные, кроме двух, в 1.
Пусть А — элементарная абелева 2-группа с независимыми образующими а19 а2, а3, . . ., at, . . . (i 6 / ) ; G — полупрямое произведение АВ, где В — ^-свободная группа со свободными образующими Ъ(а), а £ А, ж ab(a')a = Ь(а'а), а, а' £ А. Пусть X, Y — под
группы в В, которые дает нам лемма 2, если в В фиксировать систему образующих Ь(а), а б А. Любой элемент у £ У запишем в виде у= ГГ П [b(a),b(t), b(t)]. По лемме 2 функция f(y, а)~ ГТ (at), у £Y, a £ А, определена корректно (при этом в записи у в виде двойного
tei'a
произведения, можем допустить и вхождение коммутаторов [Ь(а), Ъ(а), Ъ(а)], так как аа =*
= 1), причем /(г/i, a)f(y2, a) = f(yiy2l а). Положим также f(xy, a) = f(y, а), если х £ X, У 6 Y.
Рассмотрим прямое сплетение Н = С wr А, где С = ( с | с2 = 1), и определим
Ф Ф х
гомоморфизмы F —> G —> Н —> А так, что %— проекция Н на А, я|э продолжает отображе
ние 6(1) -> с({) и тождественное, отображение на А, и х^ = аф(1), xt(p — at (i Ф 1).
Мы сейчас опровергнем равенство (1), показав, что /(Lcp, i) Ф I, если L — левая часть (1)4
и /(i?cp, 1) = 1, если R — правая часть этого равенства.
I. /([*?, * 1 *2, 4Х2]ф» 1) = / ( W « i ) W . b(ai*2) Ь(а2), b(flla2) Ь(а2)1, 1) =
= f([b(l), b(a2), b(a2)] [Ь(1), b(aia2), b ^ i ^ ) ] , 1) = а2а1а2 = ai ф U 12*
180 в московском МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
I I . Л е м м а 3. 1) В группе Н квадрат любого элемента rs (г £ А, s% = 1) имеет вид ГТ c(d), где Nr = N; 2) если N = Nr и q £ А, то Q = N [] Nq есть объединение
d£N
нескольких смежных классов по подгруппе gp{r, #};3) если К — подгруппа порядка 4 груп
пы А, то произведение элементов смежного класса по этой подгруппе равно 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть s =c fe) c(t2) . . . c(tk), тогда (rs)2 = c(tir) . . . c(tkr)c(ti). . . c(tk)
и, если ti = tjr, то ^ = ttr, т. e.
(rs)2 = (rs,)2,
где Si имеет меньшую «длину», чем 5. Продолжая сокращения, получаем нужное пред
ставление. 2) Очевидно, Q = Qr = (?#. 3) Проверка тривиальна.
Поскольку а$ — автоморфизм, то Кег(а^фг))^) = F2 и г = ^lO^tpifx, гг = a^^W^X»
Г; = ^з^гФ'ФХ независимы в Л . При вычислении коммутатора (go^t) (p = (goct)(p мы можем в силу леммы 1 заменить х2а^ на гг и #3о^ф на и. Кроме того, элемент ^|а^ф, стоящий под знаком коммутатора [, , ] , мы можем, пользуясь леммой 1, преобразовывать так, как это делается в группе Н, ибо В2 — ядро гомоморфизма гр. Поэтому вместо x\at^ можно взять элемент b(ti)b(t2) . . . b(tn), где {tu t2, . . ., tn} = N = Nr по лемме З. В таком случае
#агф = [Ь(*1) . . . b(tn), b(tlU) . . . b(tnu), bfav). . . b(tnv)] = n n n
= w[[ Д lb(tt), b(t), b(t)] l[ Д [6(0, b(ttu), b(t)h
i=lt£Nul)Nv i = l t£N[)Nv
где z^ £ X. Равенство/(Лф, 1) = 1 следует теперь из мультипликативности функции / и лем
мы 3(gp{r, uv} и gp{r, v} имеют порядок 4, так как г, и, у независимы в ^1).
З а м е ч а н и е 1. Коэн [4] показал, что гипотеза Неймана справедлива в много
образиях ЗШ^. Из доказательства нашей теоремы видно, что эта гипотеза опровергается -уже в Ш3У1 и даже в случае локально нильпотентного многообразия (Щ f] 913Щ2 *)•
З а м е ч а н и е 2. С помощью небольших дополнительных рассуждений можно показать, что свободная группа ранга > 1 содержит в точности континуум характеристи
ческих, но не вполне характеристических погрупп.
Л И Т Е Р А Т У Р А
(1] В. Н. N e u m a n n , Ascending verbal and Frattini series, Math. Z. 69:2 (1958), 164—172.
12] B . H . N e u m a n n , On characteristic subgroups of free groups, Math. Z. 94:2 (1966), 1 4 3 - 1 5 1 .
f3] B. H. N e u m a n n, H. N e u m a n n, Zwei Klassen characteristischer Untergruppen und ihre Faktorgruppen, Math. Nachr. 4 (1950/51), 106—125.
[4] D. E. C o h e n , Characteristic subgroups of some relatively free groups, J. London Math. Soc. 43:3 (1968), 445—451.
| 5 ] X. Н е й м а н , Многообразия групп, М., «Мир», 1969*
Поступило в Правление общества 13 апреля 1973 г.
!) З а м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Автору стало известно, что на II Ав
стралийской международной конференции по теории групп в августе 1973 г. Р. Брайант анонсировал аналогичный пример для многообразия ( $4 П ^г) 91г-