Т. Г. Петросян, О числе множеств, свободных от произ- ведений, в группах четного порядка, Дискрет. матем., 2005, том 17, выпуск 1, 89–101

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Т. Г. Петросян, О числе множеств, свободных от произ- ведений, в группах четного порядка, Дискрет. матем., 2005, том 17, выпуск 1, 89–101

DOI: https://doi.org/10.4213/dm90

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:23:38

Дискретная математика

том 17

1 * 2005

УДК 519.1

О числе множеств, свободных от произведений, в группах четного порядка

© 2005 г. Т. Г. Петросян

Получена асимптотика числа множеств, свободных от произведений, в конечных группах четного порядка.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальный исследо­

ваний, проект 04-01-00359.

1. Введение и основные понятия

Множество А элементов группы G называется свободным от произведений, если урав­

нение ху = z не имеет решений в множестве А. Семейство всех подмножеств группы G, свободных от произведений, обозначим через 0>(G).

Пусть

P(G) = |9>(G)|, P(n) = max P(G).

\G\=n

H. Алон в [1] показал, что верна оценка

l o g²P ( n ) < п ( 1 / 2 + е(я)), где е(п) -* 0 при п -» оо.

В. Ф. Лев, Т. Лучак и Т. Шон в [2] и независимо А. А. Сапоженко в [3] получили асимптотику числа множеств свободных от произведений в абелевых группах четного порядка. Более точно, ими было установлено, что для любой абелевой группы G четного порядка п с числом подгрупп индекса 2, равным Г, выполняются неравенства

г1пЦ _ 2(*/4)(1+*(я)) <j p(G) ^ лп/2 + 2« ( l / 2 - c )f ( 1 )

где с - положительная постоянная, е(п) -* 0 при п -» оо и второе неравенство справед­

ливо, начиная с некоторого п.

В данной работе неравенства (1) обобщаются на случай произвольных конечных групп четного порядка, имеющих хотя бы одну подгруппу индекса 2.

Теорема 1. Для любой группы G четного порядка п с числом подгрупп индекса 2, рав­

ным t, t ^ 1,

ап/2 _ 2n(l+<p(n))/4) ^ p { G ) ^ ап/2 + 2n(\/2-s)9 ( 2 )

где е > 0, ср(п) -» 0 при п -> оо и второе неравенство справедливо, начиная с некото­

рого п.

Доказательство верхней оценки в (2) сводится к оценке числа независимых множеств в так называемых графах Кэли подобно тому, как это делалось в работах [1] и [3].

Пусть G — группа, А с G, е £ А, А~1 = {а~1: а е А]. Графом Кэли %A(G) на множестве G относительно множества А будем называть граф с множеством вершин G, в котором ребрами являются пары {и, v} такие, что u~lv e (A U А- 1) . Из этого определения следует, что %A(G) — регулярный граф степени |А U Л^{- 1}1 .

Множество U вершин графа Г называется независимым, если подграф, порожден­

ный множеством U, является пустым. Семейство всех независимых множеств графа Г обозначим через $(Г). Пусть А С G и В с G. Через %А(В) обозначим подграф графа

%A(G), порожденный множеством В. Ясно, что каждое множество В е 2P(G) является независимым в графе %A(G) при любом непустом А с В.

Если Г = (V, Е) и А с V, то множество

д(А) = {v е V \А: Зи е А такое, что (и, v) e E}

называется границей А в графе Г. Граф Г = (V, Е) называется S—расширителем, если |Л| ^ (1 — <5)|Э(А)| для любого независимого А С V. Введем обозначение АВ = {аЪ\ ае A, b e В}.

Везде в дальнейшем предполагается, что п достаточно велико.

2. Вспомогательные утверждения

В работе используются следующие результаты, полученные в [4].

Теорема 2. Пусть Г — n-вершинный регулярный граф степени к. Тогда

\НТ)\ < 2("/ 2 ) ( 1 + 0 (v/ ( l o g*) /*) ). (3) Здесь и далее log л означает log2 п.

Теорема 3. Для любого п-вершинного регулярного графа Г степени к и любого числа fi такого, что 0 < /3 < 1, пусть 1р(Г) — число независимых множеств А графа Г таких, что

\\А\-п/4\>рп/4.

Тогда

ЫГ) < 2^(n/2){l-P2/{2ln2)+0i^^{logk)/k)K (4) Теорема 4. Пусть Г = (V, Е) — п-вершинный регулярный граф степени к, являющийся

8-расширителем для некоторого 8, 0 ^ 8 < 1. Тогда

\$(Г)\ ^ 2(n/2){l~8/1+0(^(logk)/k)). Мы также используем следующие две теоремы Олсона [5].

Теорема 5. Пусть А и В являются конечными подмножествами группы G, тогда су­

ществует подмножество S множества АВ и подгруппа Н группы G такие, что

\АВ\ > \А\ + \В\-\Н\и либо SH = S, либо HS = S.

Теорема 6. Пусть А и В являются конечными подмножествами группы G, тогда либо АВВ~1В = АВ, либо \АВ\ > \А\ + \В\/2.

Лемма 1. Пусть Н — некоторая собственная подгруппа порядка т > 1 группы G, v е Н \ {е}, И' — смежный класс группы G по подгруппе Н. Тогда число д ( Я ' , v) мно­

жеств В С. Н' таких, что В U {v} e ^(G), удовлетворяет неравенству

ц(Н', V) ^ Ът'\ (5)

Доказательство аналогично доказательству леммы 6 в [3].

Пусть даны две подгруппы X и Н некоторой группы G. Число левых (или правых) смежных классов группы G по подгруппе Я , с которыми подгруппа X имеет непустое пересечение, назовем типом подгруппы X относительно подгруппы Н.

Пусть К является подгруппой группы G. Подгруппа К' называется сопряженной к К, если существует такой элемент х группы G, что хКх~^х — К'.

Лемма 2. Пусть L и Н — подгруппы группы G, а множество Т — произвольный левый (правый) смежный класс группы G по Н такой, что Т Г\Ь ф 0. Тогда множество LOT является левым (правым) смежным классом по подгруппе L П Н.

Доказательство. Пусть Т является левым смежным классом по Я . Легко видеть, что для любыхх, у е (ЬПТ) справедливы включения х~{у е (ЬПН) их(Ь П Я ) с (L П Т). Сле­

довательно, множество ЬПТ является левым смежным классом группы G по подгруппе L П Я . В случае, когда Т является правым смежным классом доказательство проводится аналогично.

Следствие 1. Пусть v — тип подгруппы L относительно подгруппы Н. Тогда

| m L | = |L|/v,

где Т — произвольный (левый или правый) смежный класс по подгруппе И, имеющий непустое пересечение с подгруппой L.

Пусть Т и R — левый и правый, соответственно, смежные классы группы G по подгруппе Я . Введем

ТТ~^Х=Н^Т, R~^lR = H^R.

Очевидно, что множества Hj и HR ЯВЛЯЮТСЯ подгруппами группы G, сопряженными с подгруппой Я .

Лемма 3. Пусть THR ф 0. Тогда TC\R является левым смежным классом по подгруппе HRH Я и правым смеэюным классом по подгруппе Hj П Я .

Доказательство. Пусть х е (TOR). Тогда из того, что HR = (Hx)~^lR следует равенство x~lRnH = HRDH,

откуда следует, что

RDxH =х(НкПН).

Последнее равенство эквивалентно равенству

ROT = RHxH = x(H^R П Я ) .

Аналогично доказывается, что RHT — правый смежный класс по подгруппе Нт>

Лемма 4. Пусть Я является подгруппой группы G. Тогда произвольный левый (правый) смежный класс Т группы G по Н имеет непустое пересечение ровно с v правыми (левы­

ми) смежными классами группы G по Н, где v является типом подгруппы ТТ~¹ (Т~^ХТ) относительно Я. При этом мощность пересечения смежного класса Т с каждым пра­

вым (левым) смежным классом, имеющим непустое пересечение с Т, равна \H\/v.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда Т — левый смежный класс по Я. Из леммы 3 следует, что пересечение Т с любым правым смежным классом по Я, имеющим непустое пересечение с Г, является правым смежным классом по подгруппе Нт П Я. Отсюда согласно следствию 1 вытекает, что Т имеет непустое пересечение ровно с v правыми смежными классами группы G по Я , где v является типом подгруппы Нт относительно Я. Ясно, что мощности пересечения ТП /?, где R — произвольный правый смежный класс по Я такой, что Т П R ф 0 , равны \H\/v. Случай, когда Т — правый смежный класс, рассматривается аналогично.

Условимся через tk(G) обозначать число подгрупп индекса к группы G. Определим функцию tk(x), полагая

|max|G|=jc tk(G), если x e N ,

10 в противном случае.

Лемма 5. Для любых натуральных чисел кип верно рекуррентное соотношение

tkW^j^tiin/k^^iy

-

. (6)

Доказательство. Пусть Я — подгруппа группы G индекса к. Семейство всех подгрупп индекса к группы G разобьем на к непересекающихся подсемейств 2Гь . . . , 2Г^, где 2Г/

— подсемейство всех подгрупп группы G индекса к и типа / относительно Я. Оценим мощность класса 2Г/. Из следствия 1 вытекает, что пересечение любой группы из 2Г/ с группой Я является подгруппой индекса / группы Я. Число подгрупп индекса / группы Я не превосходит ц(п/к). Зафиксируем некоторую подгруппу N индекса / группы Я.

Покажем, что число подгрупп из подсемейства 2Г/, пересечение которых с группой Я есть N, не превосходит {iZ\)l^l~^l- Действительно, каждая такая подгруппа пересекает ровно / — 1 левых смежных классов группы G по Я помимо самой Я. Из леммы 2 следует, что пересечение подгруппы из подсемейства 2Г/, пересечение которой с Я равно N, с любым левым смежным классом по Я есть левый смежный класс по подгруппе N. Ясно, что левых смежных классов по подгруппе N ровно / в каждом левом смежном классе по Я.

Следствие 2. Существуют положительные постоянные с\исг такие, что ti(n) ^ п — 1, Г3(п) < с\п2, Ц{п) ^ с2п5.

Пусть G — группа порядка л. Обозначим через T(G) семейство подмножеств С € 2P(G) таких, что выполняются следующие условия:

(1) существуют подгруппа К индекса 2 группы G, подгруппа Я индекса 2 подгруппы К и два левых смежных класса L\ и Li группы G по подгруппе Я, удовлетворяющих условиям

LiCK, Ь\фН, L²C(G\K), C C ( L i U L²) , (7)

(2) если Н является нормальной подгруппой группы G, то факторгруппа G/H изо­

морфна Z4.

Лемма 6. Пусть порядок группы G равен п. Тогда

\T(G)\^20A5n. (8)

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Пусть T\(G) — подсемейство семейства T(G), состоящее из тех и только тех мно­

жеств С € T(G), для которых Н является нормальной подгруппой G. Тогда по условию факторгруппа G/H изоморфна Z4. Из следствия 2 вытекает, что число подгрупп индек­

са 4 группы порядка п не превосходит сп5, где с — некоторая положительная постоянная.

Пусть А = CflLi, В = COL2- Выберем некоторое множество В мощности к. Это можно сделать не более чем (w^4) способами. Поскольку L2L2 = L\ и ВВ Г) А = 0, множество А можно выбрать не более чем 2^П/Ч~* способами, где к = \В\. Таким образом,

|7i(G)| < сп5 J2 2"/4~к < cn5r/4 ^ 2("1 о*3 )/4 ( 1 +"( 1 ) ). (9)

2. Пусть Ti(G) — подсемейство семейства 7(G), состоящее из тех и только тех мно­

жеств С 6 T(G), для которых Н не является нормальной подгруппой G. Пусть L\, L2 и L3 — левые смежные классы, не равные Н, группы G по подгруппе Я , причем L\ С К.

Ясно, что подгруппа ЬгНЬ^¹ имеет тип 2 относительно Н. Пусть Ri = Щ^х и /?з = L^¹. Из леммы 4 следует, что | ф П L/| = л/8 для всех /, 7 € {2, 3}. Пусть А = С П L\ и

£ ' = C n L²n Д³.

Легко видеть, что число множеств С б Ti(G) таких, что С П (/?2 П L2) = 0 , не превосходит

с„52*/42п/8 ^ 23„/8(1+*(1)) ( 1 0 )

Пусть существует х е (С П (/?2 П Li)). Выберем некоторое множество В' мощности к.

Заметим, что (/?з П L2)-*-1 С Li. Из того, что В'х~х П Л = 0 , следует, что число способов выбора множества А не превышает 2^п^~^к. Существуют две пары смежных классов, удовлетворяющих условиям (7). Учитывая (10), получаем, что

|r²(G)| < 2сп^ъ2^п1^% Y1 (^П/*)2^п'⁴-^к ^ ^2{+п'^4Нп1о&³⁾/*⁺°(^п) ^ 2^0А5п. (11) Из оценок (9) и (11) следует (8).

3. Доказательство теоремы 1

Пусть G — группа порядка п = 2т. Назовем множество С € 2P(G) правильным, если существует подгруппа L индекса 2 группы G такая, что С П L = 0 , и неправильным в противном случае.

1. Пусть $*i(G) — подсемейство правильных множеств в ^ ( G ) , a t — число подгрупп индекса 2 группы G. Тогда

t2n/2_t22n/4 ^ | ^l ( G) | <^Г2*/ 2. (12)

Верхняя оценка следует из того, что всякое подмножество смежного класса по фиксиро­

ванной подгруппе индекса 2, отличного от группы, является свободным от произведений.

Нижняя оценка вытекает из того, что мощность пересечения смежных классов двух раз­

ных подгрупп индекса 2 равна л/4, и из формулы включения-исключения. Из следствия 2 вытекает, что log* ^ log л = о(п). Таким образом, нижняя оценка в (2) доказана.

Теперь оценим сверху число неправильных множеств. Пусть К — произвольная под­

группа индекса 2 группы G и К' = G \ К. Если С е 9(G), то везде далее А — С Г) К, В = С Г) К'. Семейство неправильных множеств обозначим через 9(G).

2. Пусть 0 < у < 1 и О < А 1 < 1 таковы, что

ylog(e/y) + ( l / 2 ) l o g 3 < l - A i . Положим

92(G) = {Ce9(G): \А\^ут}.

При заданном А для любого v е А число способов выбора В с К' не больше д(АГ', v).

Используя лемму 1, получаем, что

|9>2(G)| < ] Г (т\зт/2 <^2т{у1о*{е/уН(1о*3)/2) ^ 2m ( 1 _ A l ). (13)

Здесь и далее используется оценка

У* ("} ^ 2nUog{e/x)

(см., например, задачу 5.8 на с. 280 в [6]).

3. Положим

93(G) = {С е 9(G): ут < |Л| ^ т(\ - £)/4}.

Пусть 0 < / 8 < 1 , 0 < а < 1 и О < А 2 < 1 таковы, что

Р2 , е

— or log — > А2.

41n2 a

Множества С из 9$(G) будем строить следующим образом. Зафиксируем достаточно малое 0 < а ^ у и выберем подмножество D С К такое, что \D\ = \otm\. Затем выберем А С К, независимое в графе Ч&о(К). Наконец, выберем множество В с К\ независимое в графе с€д(А'/). С использованием (3) и (4) получаем, что

\93(G)\ < ( Ш >J2( / n / 2 ) ( 2"^2 / ( 2 1 n 2 ) + 0 (V( l o g m ) / m ) )

^ \LocmjJ

< 2/n(l-^2(41n2)+alog(6f/a)+O(%/(log«)A0)

Таким образом,

\9³(G)\ ^ 2^{m ( 1}"^{A 2 )}. (14)

4. Пусть #>4(G) — семейство множеств С е &(G) таких, что |Л| > т{\ — Р)/4 и существует подгруппа Я индекса 2 группы К такая, что АПН = 0 . Пусть Я ь Я2 и

#3 являются различными левыми смежными классами группы G по Я , причем Н\ С К.

Возможны три случая.

4.1. Обозначим через &\(G) семейство множеств С € ^ ( G ) , удовлетворяющих усло­

вию: пересечение множества В с каким-то из смежных классов Н² и Яз пусто. Заметим, что если Я является нормальной подгруппой G, то факторгруппа G/H изоморфна Z4, поскольку в противном случае (то есть, когда G/H ~ Z2) AU В было бы правильным множеством. Воспользовавшись леммой 6, получаем оценку

|9>J(G)| < 2⁰'^45я < 2^{т ( 1}- °^{л )}. (15) Пусть В² = ВГ)Н²и В³ = ВГ) Я³.

4.2. Обозначим через 9\(G) семейство множеств С е #>4(G) таких, что множества В2 и #з не пусты и одно из них по мощности не превосходит ут, где у — некоторая положительная постоянная. Без ограничения общности можно считать, что \В2\ ^ у т.

Пусть 0 < у < 1 таково, что

ylog(*/(2y) + ( l / 2 ) l o g 3 ^ 0 , 9 .

Построим граф Г/, на множестве Н\ U Яз такой, что пара {и, v] является ребром, тогда и только тогда, когда один из элементов и и t>, скажем и, лежит в Яз и верно равенство uv ~b. Ясно, что граф Ть является паросочетанием. Легко видеть, что

|*(Г*)| = Зт / 2.

Выберем множество В² в смежном классе Н². Это можно сделать Хл<*< т i™-²) способами. Пусть b е В². Выберем множество F с Н\ U Яз, независимое в графе ГУ Таким образом,

\^\{G)\ < У^ ( „ j 3m / 2 ^ 2m(ylog(e/(2y))+(l°z3)/2) ^ 2т ( 1 _ 0 Л ). (16) 4.3. Оценим мощность

&l(G) = {С е 94(G): \В²\ > ут, \В^Ъ\ > ут].

Пусть

Fi С Hi, \Fi\ = [am], 1 = 1,2,3, F = (F{, F2, F3).

Пусть 0 < a < 1 таково, что

OL ^ y, 3/4 4- 3a log(e/(2a)) < 0,8.

Рассмотрим граф ^ ( G \ Я) на множестве G \ Я такой, что пара {w, v] является ребром в том и только том случае, когда

и е Н\, v е H2, vu e F$, и е Н\, v e Яз, vu e F2, и е Н2, v e Яз, u~[v e F\.

Нетрудно проверить, что граф XF(G \ # ) ) является 2 [arm J-регулярным.

Воспользовавшись теоремой 2, получим оценку

\H%F(G \ Н))\ < 2^{( 3}/4 ) т ( 1 + о ( 1 ) ).

Множества С е ^l(G) будем покрывать следующим образом: сначала выберем тройку F, затем множества, независимые в графе Xp-(G \ H). Таким образом, получаем оценку

\&³(G)\ ^ ( ^Ш^² ^ 2( 3 / 4 ) m ( 1 +"^{( 1 ) )} ^ 2m ( 3 / 4 + 3 a l o g ( e ? / ( 2 a ) ) + w ( 1 ) ) ^ 2m ( 1 _ a 2 ). (17)

4 ^ \locm})

Из неравенств (15)—(17) следует, что

W G ) K 2m ( 1"0 , 1 ). (18) 5. Пусть 9\(G) — семейство множеств С е 9(G) \ 92(G) таких, что множество А

содержится в смежном классе по некоторой подгруппе индекса 4 группы К; 9^(G) — семейство множеств С € 9(G) \ 92(G) таких, что А содержится в смежном классе по некоторой подгруппе индекса 3 группы К; 9^(G)— семейство множеств С е 9(G)\92(G) таких, что множество А содержится в объединении трех смежных классов по некоторой подгруппе порядка т / 8 , содержащейся в подгруппе порядка т / 4 группы К, и

95(G) = 9[5(G) U 925(G) U 935(G).

Оценим мощность семейства 9³⁵(G). Из следствия 2 вытекает, что число подгрупп порядка т / 8 , содержащихся в некоторой подгруппе порядка т / 4 , не больше чем cm⁶, где с — некоторая положительная постоянная. Выбрать множество А можно не более чем 23 т/8 способами. Множество В выберем независимым в графе %А(К'). Применив теорему 2 к графу %А(К')> получаем, что

\9³(G)\ ^ ^cme{^S\²3m/s²(m/2)(i⁺o(i)) ^ 2^{( 7 w}/^{8 ) ( 1 +}"^{( 1}».

Нетрудно проверить, что

\9\(G)\ = o(2^lm/s), l^5(^G)l = o(2^lm/s).

Таким образом,

\95(G)\ < 2( 7 w / 8 ) ( 1 + 0 ( 1 ) ). (19) 6. Положим

9⁶(G) = {Ce 9(G) \ (9⁴(G) U 9⁵(G)): |A\ > (1 - P)m/4].

Далее будет показано, что для множеств С е 9e(G) граф ЧЬА(К') является ^-расши­

рителем при

1 1 - 5 / J

Заметим, что в графе %А(К') граница d(N) множества N с К' равна N(A U А {).

Рассмотрим подсемейства семейства независимых множеств $д =^(^с€л(/Г^/).

6.1. Пусть

${ = {N <= $А: NAA~lA ф NA}.

Пользуясь теоремой 6, получаем неравенство

|ЛГА|^|ЛП + (1/2)|Л|.

Из независимости N следует, что NADN = 0 . Отсюда, \N\ ^ т/2. Справедливы оценки

\d(N)\ = \N(A U A "l) | ^ \NA\ ^ \N\ + (1/2)|Л| > \N\ + (1 - /3)m/8

^ |tf|(l + (1 - £)/4)) ^ \N\/(\ - (1 - >в)/(5 - £))•

Таким образом, для всех множеств N е $ i выполняется неравенство

(-£*)

IM < ( 1 ~ j^J \НЮ\. (20)

Из теоремы 5, примененной к множествам N С К' и А С К, следует, что существуют подгруппа Я и подмножество S множества NA такие, что верно неравенство

\NA\>\N\ + \A\-\H\ (21) и либо SH = 5, либо HS = S. Так как NA С К\ то Я С К. Легко видеть, что \Н\ ^ т/2.

6.2. Пусть #2 — подсемейство множеств N е #д, удовлетворяющих неравенствам (21), и \Н\ < т/4. Из последнего неравенства следует, что \Н\ ^ т/5. Пользуясь неравенством (21), получаем, что

|Э(Л0| > \NA\ > \N\ 4- \А\ - \Н\ > \N\ + l-^-n - ^

Таким образом, для всех С € $*\(G) выполняется неравенство

\N\ < (i - Y T I ^ )

<

)

Теперь рассмотрим те множества N9 для которых существуют подгруппа Я , порядка, не меньшего л/8, и подмножество S множества NA такие, что выполняется неравенство (21) и условие SH = S (откуда следует, что в NA содержится по крайней мере один левый смежный класс по подгруппе Я). Случай HS = S легко сводится к случаю, когда S содержит некоторый левый смежный класс. Действительно, пусть S содержит некоторый правый смежный класс R по подгруппе Я . Тогда вместо Я рассмотрим сопряженную к ней подгруппу R~lHR. Множество R является левым смежным классом по подгруппе R~lHR.

6.3. Обозначим через $з подсемейство множеств N е $А, для которых \Н\ ^ л/8 и НПАф0.

4 Дискретная математика, т. 17 №1

Пусть а в А П Я . По условию NA содержит некоторый левый смежный класс по Я . Обозначим его через Т. Ясно, что NOT = 0 . Отсюда следует, что NaHTa = NaHT = 0 . Используя неравенства \N\/2 ^ т/4 ^ | Я | , получаем, что

\d(N)\>\NA\Z\N\ + \H\^3\N\/29

откуда следует, что для всех N е $з

\N\ < (1 - 1/3)|Э(Л0|. (23) 6.4. Пусть

3>4 = {N е ($А\$\)' \Н\ >П/Ъ,НПА = 0 } .

Заметим, что для любого N € $4 выполняется равенство

NAA-[A = NA. (24)

6.4.1. Обозначим через $\ семейство множеств N € #4, для которых \Н\ = л/4.

Для всех С е ^e(G) множество А = С П К имеет непустое пересечение с любой подгруппой индекса 2 группы К, поэтому $\ = 0 .

6.4.2. Обозначим через $% подсемейство множеств N е $4 таких, что \Н\ = п/в.

Множество А не содержится ни в одном из левых смежных классов по подгруппе Я , поэтому

А = (А~[А)\Н ф0.

По условию множество NA содержит хотя бы один левый смежный класс по подгруппе Я . Обозначим его через Т. Из (24) следует, что ТА С NA. Так как \ТА\ > л/6 и ТА П Т = 0 , то

\NA\>\T\ + \TA\>n/3.

Отсюда

| Л М | ^ 2 | # | .

Таким образом, для всех множеств N е $\ выполняется неравенство

\Щ < (1 - 1/2)|Э(Л0|. (25) 6.4.3. Пусть $\ — семейство множеств N е $4 таких, что \Н\ = и/8 и хотя бы три

правых смежных класса по Я имеют непустые пересечения с А = А~1А.

Обозначим левые смежные классы (не равные Я) группы G по подгруппе Я ,

| Я | = т / 4 , через L/, i = 1 , . . . , 7, где L, с K,i = 1, 2, 3, a L, С # ' , / = 4, 5, 6, 7. Без ограничения общности можно считать, что NA 2 ^7- Введем обозначения /?,- = ( L / )^{- 1}, / = 1 , . . . ,7. Пусть Rk и /?/, /:, / е {1, 2, 3}, являются различными правыми смежными классами, не равными Я , с которыми А имеет непустое пересечение. Множества LjRk,

L-jRi и L-j попарно не пересекаются, потому что они являются правыми смежными клас­

сами группы G по подгруппе L-jL^1. Из (24) и включения Lq с NA следует, что L-jRk и L-jRi содержатся в NA, откуда следует, что

| Э ( Я ) | ^ | Я А | > ^ % 3 | Я | . 4

Таким образом, для всех множеств Я е $\

\N\ ^ (1 - 1/3)|Э(Я)|. (26) Из определения семейства #»(G) следует, что множество А не содержится ни в каком

левом смежном классе по подгруппе Н. Это эквивалентно тому, что А = Л \ Н непусто.

Далее будем считать, что А содержится в некотором правом смежном классе по Н (случай, когда Л имеет непустое пересечение с двумя правыми смежными классами по Н уже рассмотрен в пункте 6.4.3). Без ограничения общности можно считать, что А с R\.

Условимся обозначать подгруппу LiHL~{ через Я,-, / = 1, 2, 3.

6.4.4. Обозначим через $\ семейство множеств Я е $4 таких, что

| # | = т / 4 , Аф0, Л С Дь A H ( L i U R\) ф0.

Пусть существует элемент а е (А П R\). Из того, что Я П NA = 0 и L-] с ЯЛ, следует равенство Na П L-jR\ = 0 . Так как А С R\ и L-j С ВА, из (24) следует включение Z/7#i С ЯЛ. Используя неравенство |Я| ^ т / 2 , получаем, что

( ^{| +} щ)

|Э(Я)| ^ |ЯЛ| ^ |Я| + \L7Ri\ ^ ( l + — - ) |Я| ^ 3|Я|/2, откуда следует, что

|Я| < (1 - 1/3)|Э(Я)|. (27) Пусть теперь Л П#1 = 0 и Л П 1 1 ^ 0 . Тогда Л~1 Htfi ф 0 . Пусть а е Л"1 П R\. По­

скольку Э(Я) = Я(Л U Л^{- 1}) , то, как и при доказательстве (27), получаем, что В а ~1 П LjR\ = 0 , откуда следует, что

|3(Я)| = |Я(Л U Л"¹)! > \Na~^l | + |L⁷/?i | 5НЯ| + m/4 ^ 3|Я|/2.

Таким образом,

|Я| ^ (1 - 1/3)|Э(В)|. (28) Из неравенств (27) и (28) следует, что для всех множеств Я е $\ выполняется нера­

венство

|Я| < (1 - 1/3)|Э(В)|. (29) 6.4.5. Обозначим через $\ семейство множеств Я е $4 таких, что

| Я | = т / 4 , Л ^ 0 , Л с / ? ь Afl(Li U/?i) = 0 , Н\фН.

Из условий следует, что не более чем два левых смежных класса по Н имеют непустое пересечение с множеством А. Пользуясь неравенством

| A | > ( l - / J ) m / 4 , отсюда получаем, что

| « i n i i | S H A | > ( l - j 8 ) m / 8 . (30) Заметим, что

A~l = A, Ac(R\nLi).

Из леммы 2 и условия Н\ ф Н следует, что

| Я 1 П Я | = / и / ( 4 * ) , Л = 2,3,4.

Отсюда, при помощи леммы 4 и оценки (30), получаем, что Н^{ПН = \R^{ PlLiI = m/8.

Также из леммы 4 следует, что /?i имеет непустое пересечение ровно с двумя левыми смежными классами группы К по подгруппе Я . Поэтому множество R\\L\ содержится либо в 12, либо в L3. Без ограничения общности можно считать, что R\\L\ содержится в L2- По условию А С К \ (R\ U L\ U Я ) . Покажем, что # \ (R\ U L\ U Я) является объединением трех правых классов смежности по подгруппе Я = Н\ПН. Действительно, из леммы 3 следует, что L\ П R\ и L,2 П R\ являются левыми смежными классами по подгруппе Я , откуда следует, что L I \ / ? I H L 2 \ / ? I также являются левыми смежными классами по Я . Ясно, что L$ — объединение двух левых смежных классов по Я .

Таким образом, А содержится в объединении трех левых смежных классов по под­

группе порядка т / 8 . Но это исключено, так как С е QeiG) и $\з(£) П ^s(G) = 0 . Итак, доказано, что $^ = 0.

6.4.6. Обозначим через $\ семейство множеств N е $4 таких, что

| Я | = л/8, Аф0, AcRu An(L{UR{)3 H{ = H.

Из условия следует, что R\ = L\ и А П (Я U L\) = 0 . Легко видеть, что Я U L\

является подгруппой. По условию множество А имеет непустое пересечение с любой подгруппой индекса 2 группы К, поэтому $\ = 0 .

Итак, для всех множеств А = С П К, С е ^б(О), граф %А(К') является ^-расширите­

лем. Из неравенств (20), (22), (23), (25), (26) и (29) следует, что в качестве 8 можно взять (1 — 5/J)/01 — $Р)- Оценим мощность семейства ^e(G).

Пусть а и ft удовлетворяют неравенству

1-5/3 , е a log — ^ A3.

7(11 —5/5) а

Зафиксируем достаточно малое а, 0 < а ^ у, и выберем подмножество D с К такое, что

\D\ = [ptm\. Затем выберем А с К, независимое в графе %о(К). При фиксированном

множестве А множество В выберем независимым в графе ЧЭА(К')- Применяя теорему 2 к графу 4DD(K) И теорему 4 к графу <€д (#')> получаем, что

l*6(G)| < ( ^{т >}\ 2( / п / 2 ) ( 1 + г Ч 1 ) )2( т / 2 ) ( 1~^{( 1}~а д / ( 7 ( 1 1"а д ) + о ( 1 ) )

< 2w(H-alog(e/a)-(l-5^)/(7(ll-5^))+o(l))e

Таким образом,

Положим

W G ) | am ( 1 _ A 3 ) (31)

a = 0,0001, £ = 0,1, у = 0 , 0 1 , А! = 0 , 1 , А2 = 0,002, Аз =0,005.

Тогда из неравенств (12)—(14), (18), (19) и (31) следует верхняя оценка в (2).

Автор благодарен А. А. Сапоженко за ценные советы и внимание к работе.

Список литературы

1. Alon N., Independent sets in regular graphs and sum-free subsets of finite groups. Israel J. Math.

(1991) 73, 247-256.

2. Lev V., Luczak Т., Schoen Т., Sum-free sets in abelian groups. Israel J. Math. (2001) 125 (2001), 347-367.

3. Сапоженко А. А., О числе множеств, свободных от сумм, в абелевых группах. Вестник Москов­

ского у нив., сер. 1 (2002) 4, 14-17.

4. Сапоженко А. А., О числе независимых множеств в расширителях. Дискретная математика (2001) 13, №1, 56-62.

5. Olson J. E., On the sum of two sets in a group. J. Number Theory (1984) 18, 110-120.

6. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А., Задачи и упражнения по дискретной математике. Физматлит, Москва, 2004.

Статья поступила 01.07.2004.

Переработанный вариант поступил 15.12.2004.