Б. Д. Плющенков, В. И. Турчанинов, А. А. Никитин, Моделирование сейсмоаку- стических полей в аксиально-симметричных поглощающих средах. Постановка задачи, Матем. моделирование, 2017, том 29, номер 9, 62–76

Общероссийский математический портал

Б. Д. Плющенков, В. И. Турчанинов, А. А. Никитин, Моделирование сейсмоаку- стических полей в аксиально-симметричных поглощающих средах. Постановка задачи, Матем. моделирование, 2017, том 29, номер 9, 62–76

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

7 ноября 2022 г., 06:12:18

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМОАКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПОГЛОЩАЮЩИХ СРЕДАХ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

© 2017 г. Б.Д. Плющенков, В.И. Турчанинов, А.А. Никитин^*

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН plush@spp.keldysh.ru

* МГУ им. М.В. Ломоносова, геологический факультет nikitin@geol.msu.ru

Работа выполнена в соответствии с 2004 COOPERATION AGREEMENT between Shell International E & P Inc and Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow

Рассмотрена постановка задачи моделирования сейсморазведки в вязкоупругих средах для различных типов источников. Предложена модифицированная модель Био, описывающая распространение акустических волн в изотропной пористой вязкоупругой среде, насыщен- ной вязким флюидом. Сформулирована также постановка задачи численного моделирова- ния акустического каротажа в скважине, заполненной сжимаемой жидкостью, в аксиально- симметричном случае для мультипольных источников, расположенных на оси скважины.

Предложен новый эффективный способ решения уравнений акустики для вязкой жидкости посредством явных конечно-разностных схем. Предложены достаточно эффективные ус- ловия прозрачности на внешней границе расчетной области.

Ключевые слова: вязкоупругость, модифицированная модель Био, акустический каротаж, сейсморазведка.

MODELING OF SEISMIC-ACOUSTIC FIELDS

IN AXIALLY SYMMETRIC ABSORBING MEDIUMS. PROBLEM STATEMENT B.D. Plyushchenkov, V.I. Turchaninov, A.A. Nikitin^*

Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Science

* Lomonosov Moscow State University, Faculty of Geology

The problem statement of modeling of seismic prospecting in viscoelastic mediums for various emitter types is considered. The modified Biot’s equations describing a propagation of acoustic waves in isotropic porous viscoelastic medium, saturated with a viscous compressible fluid, are proposed. Problem statement of numerical modeling of acoustic logging in a borehole, filled with a compressible fluid, in axially symmetric case for multipole emitters, located on the borehole ax- is, is also formulated. The new effective method is suggested for the solution of acoustic equa- tions in a viscous fluid for explicit finite-difference schemes. The enough effective conditions of transparency on exterior boundary of calculation region are offered.

Key words: viscoelasticity, modified Biot’s equations, acoustic logging, seismic prospecting.

1. Введение

Численное моделирование эффективных упругих сред представляет и в настоящее время большой интерес [1, 2]. Вместе с тем в [3] отмечается, что продольные и попереч- ные волны в сейсмическом диапазоне частот имеют затухания, которые можно считать

практически постоянными. Наличие затухания связано с внутренним трением или свой- ством материала быть одновременно вязким и упругим при деформации. Соответствен- но, используемая в сейсморазведке эффективная непористая модель среды в частотном представлении будет включать комплекснозначные коэффициенты Ляме, которые ап- проксимируются рациональными функциями [4].

Для описания флюидонасыщенной пористой среды при акустическом каротаже обычно используют упругую модель Био [5, 6]. Лабораторные эксперименты показыва- ют, что модули могут быть также вязкоупругими [7, 8]. В настоящее время не сущест- вует общепринятой вязкоупругой пористой модели. Пожалуй, первую попытку предпри- нял Био [5], используя для описания поведения вязкоупругих модулей модель Максвел- ла, в которой напряжение постепенно ослабевает, если материал находится под постоян- ной нагрузкой [9]. Противоположная модель, т.е. когда деформация изменяется посте- пенно после приложения нагрузки, называется моделью Кельвина-Фойгта [9]. Для опи- сания реальных сред, по-видимому, подходящей является модель стандартного линейно- го тела [9], являющаяся комбинацией этих двух моделей. Её также можно использовать при моделировании задач сейсморазведки [3].

Модель стандартного линейного тела была использована для описания также вяз- коупругих модулей в [10–12], однако не ясно, каким образом экспериментально можно оценить её параметры.

Предлагаемая в работе модифицированная модель Био для описания вязкоупругой пористой среды использует коэффициенты объемной и сдвиговой сцементированности скелета или матрицы формации. Они отражают межзерновое взаимодействие, поэтому, с нашей точки зрения, от них в большей степени зависят вязкоупругие свойства среды.

Коэффициенты могут быть определены непосредственно из измерений. Предполагается, что объемный и сдвиговый модули материала скелета не зависят от частоты. Соответст- венно, такая модель включает свертки по времени с экспоненциальными ядрами [13].

Также как частный случай, модель может использоваться для моделирования задач сей- сморазведки и вязкой жидкости.

Постановка задачи дана для однородной и изотропной среды в цилиндрических ко- ординатах и включает зависимость решения от азимутального угла. Это позволяет рас- смотреть различные типы источников как в жидкости (монополь, диполь и квадруполь), так и в эластичной среде (концентрированная сила, диполь и центр расширения) [14].

В качестве внешних граничных условий используется нерасщепляющийся пол- ностью согласованный слой (nonsplitting perfectly matched layer (NPML)) [15, 16].

Конечно-разностная схема, аппроксимирующая поставленную задачу, и численные примеры, будут представлены в последующих публикациях.

2. Вязкоупругость

При моделировании поведения вязкоупругих возмущений в горных породах обыч- но используют модель стандартного линейного тела [3, 9]. В одномерном случае и при наличии одного механизма релаксации связь между напряжением и деформацией

в такой модели описывается выражением

( )t

 ( )t



, (1)

( )t _{ t} ( )t M( ( )t ( ))

          _{ t} t

где M  упругий модуль,  время релаксации напряжения при постоянной деформа- ции,  время релаксации деформации при постоянной нагрузке.





В частотной области (ω) уравнение (1) запишется в виде

2

2 2 2 2

1 ( ) (

ˆ ˆ ˆ

ˆ ( ) ( ) ( ), ( ) 1

1 1 1

i )

M M M M

i

     

  

 

          

                    i. (2)

Неотрицательный параметр Q_M( ) Re( ( )) / Im( ( ))  M^ˆ  M^ˆ

 

  

 называют Q-фактором, т.е.

должно выполняться условие . При наличии различных L механизмов релаксаций

2

1 2 2 1 2 2

( ) ( )

ˆ ( ) 1 ( ) 1

1 1 ( )

L l l l L l l

l l M

l l M

M M i Me i

Q

    

 

 

           

   



   



        ^, (3) где

2

1 2 2

( )

( ) 1

1

L l l l

M l

l

e _ ^{  }



    

  

  



, ^{1 1} ₁ ⁽ _{2 2}

( ) ( ) 1

L l l

M M l l

Q e

 

 

    )

  



   ^{. (4)}

При сейсмических исследованиях установлено [3], что для продольной волны ее скорость VL и QL-фактор остаются практически постоянными в достаточно широком диапазоне частот. Тогда для волны, распространяющейся вправо, ее волновое число

можно записать в виде ( )

k 

( ) = ˆ_L = _L 1 2 _L k i

V Q

V

  

  

 

, (5)

где V_L и 1/Q_L  скорость и затухание волны, определенные на пиковой частоте излуча- теля. Аналогичное имеет место и для поперечной волны, распространяющейся со скоро- стью V_S и затуханием 1/Q_S, причем обычно 1/Q_L1 /Q_S.

Рассмотрим сначала результаты для модуля B V_L², где   плотность породы.

Из выражения (5) имеем

2 2

2 2

2 2 *

ˆ( ) = ˆ ( ) = 1 = 1 1

2 (1 )

L L L

L L L

B V V i B

Q Q

  

   

           

i , (6)

где  _L (2Q_L)^10.5, так как предполагается, что Q_L 1, и Q^*_L  (1 ²_L)Q_L.

В [4] показано, что в частотном диапазоне, в котором верхняя и нижняя частоты отличаются на два порядка, для аппроксимации постоянного Q_L^*-фактора с относитель- ной погрешностью не более 10% достаточно использовать три механизма релаксаций, т.е. можно положить L=3. Выбирая частоты ω1=2πfmin , ω3=2πfmax и     _{2 1 3 peak}

2 fpeak

  (последняя близка к пиковой частоте излучателя ), с помощью метода наименьших квадратов можно получить разложение

fpeak

3 2

1 1 3 ( / )

= ₁ ^{L l}

* _L( ) ^{l l} 1 ( / )2

L e l

Q  ^ y     где



^{, ) = 1} _{1 2}

1 ( / )

L l l

l

e _ y

  



^{. (7)}

Сравнивая выражения (4) и (7), имеем 1 /_{l l}

( / )

L  l

( 

   , y_l^S  _l /  _l 1 0.

Рациональное приближение вида (7) может быть применено и для более сложных зависимостей Q^*_L-фактора от частоты с использованием, возможно, больших значений L

]. Подставив выражение (7) в (6), после преобразований получим [4

3 3

1 1

1 ^* 1 ^l

ˆ = ( ) ( ) ( )

/

l l l

L l

l l

L

b b

B Be i B b b B b

Q ^ i

  

       b

 i

   

  ^{ }



^{ }

  

  



^{, (8)}

где b B^ ^



³_l1b_l^{L ,} l B l^L

b b

 b_^ , ³_l

2 2 2

1

1b_l 1



^,

( ) (1 )

L

L L

e

B B  

  Из представления (8) следует, что

 

 .

ˆB B  при ω = 0 и B B bˆ =   при . Аналогичное можно получить для :

   модуля G V_S²

разложение

3 3

1 1

ˆ = ( ) 1 * g

 i

 ( ) ( )

1 /

l l l

S l l

l l

S

g g

G Ge i G g G g g

Q ^{ } i



 

           

  



 

      , (9)

где g G^  ^



³_l1g_l^S, l G l^S

g g

 g

 ,



_l³_1g_l 1^{, G} _e ^G_{( )} ¹ _{2 2}^2S

(1 )

S S

  

  .

 

нии сейсмоакустических задач во временном представлении [13].

представлении

Для простоты приведем мо

Полученные разложения позволяют использовать экономичный способ вычисле- ния сверток при реше

3. Модифицированные уравнения Био для вязкоупругой пористой среды в частот- ном

дифицированные уравнения Био в декартовых координа- тах xⁱ(i = 1,2,3) и частотном предст

, (10)

i

, (11’) авлении (знак ^ обозначает частотную зависимость)

ˆⁱ _f ˆⁱ _jˆ = 0^ij i    u i v   

, (11)

ˆ ˆ

ˆⁱ ˆ^{i i} = 0

f fr

i  u    i v F   P

* ˆ

ˆⁱ ˆ ˆⁱ = 0

f i

i  u   i v   P ˆ = ˆ _jˆ^j  _jˆ^j

i P M v aM u , (12)

 ˆ ˆ ₂ ˆ

ˆ^ij = ( _jˆ^j ( 2 ) _jˆ^j) ^ij _{j i} i  aM v  B G a M  u  G 

Первые уравнения (10), (11) являются уравнениями движения, уравнения (12), (13) – уравнениями состояния; ^ij – символ Кронекера; ˆuⁱ, vˆⁱ  (wˆⁱuˆⁱ) и

скорости смещения точек скелета, фильтрационной скорости порового флюида и скоро-

    

( uˆⁱ uˆ^j). (13)

– i-компоненты ˆⁱ

w

сти смещения точек порового флюида соответственно; ˆP – давление в порах, ˆ^ij (i, j) компонента полного тензора напряжений;  – пористость формац )

– ии;   _s(1   _f соответственно; f_/

частоте [6 ⁱ

 

=

]; ˆ

,

s и f – плотности формации, материала матрицы и , е  – значения динамической извилистости на бесконечной

флюида

гд __ F_fr – i-

компонента плотности силы трения между матрицей и флюидом:

0

ˆ = ˆ 1

2

i i b

fr b

F v  M i

  , (14)

где      _b / _{ f 0} – частота Био, ₀



 – значение проницаемости матрицы на нулевой ь порового флюида, [1,2M_b

частоте [6],  – вязкост  ] – параметр, тнош м поверхности пор к объе пор и принимающий значение сред. связи уравнение (11) для удобства можно записать в виде

тесно с

≈ 1 для реальных (11’), где

связанный

о ение му

В этой

ˆ =* 1 1

2

f b Mb

i i



   

       . (15)

b

Уравнения (10)–(13) отличаются от исходных уравнений Био [17] включением в них результатов динамической теории проницаемости [6] и в настоящей работе частот- но-зависимых модулей aM^, a M^2 , ˆB и G^ˆ в уравнения (12) и (13), способ определения

х дан ниже.

лавным следствием из модели (не модифицированной) Био является существова- ние ипов волн: продольной (в обычном смысле) L и поперечной S волн, а также волны Био, связанной с фильтрационной скоростью порового флюида. На частотах

  b волна Био является в большей степени волной диффузионного типа, а на часто- тах    – продольной волной, распространя

котор

. и затухания этих коро L и S волн обычно н

модели Био скорость поперечной волны определяется из выражен ы

Г трех т

скорости Скорости

стей В

b ющейся со скоростью, значительно

шей L волны. Поэтому волну Био часто называются второй продольной мень-

вол-

ия [18]

ной волн зависят от частоты, причем частотная дисперсия

с езначительная.

2 *

ˆ_S( ) / ( _f /ˆ )

V   G     , (16)

– модуль сдвига. Используя м уль сдвига материала скелета  и коэффициент сцементированности, [ _ можно записать G

где G од

сдвиговой 0,1]   _ . Если эксперимен-

тальные значения Vˆ ( )_S  отличны от расчетных данных, то полагая в уравнении (16) G G ˆ, а входящие в выражение для ˆ^* (15) остальные параметры формации известны- ми, например, из эксперимента, можно получить для модуля представление (8), кото- рое дале использовать в модифицированных уравнениях Био. Такой результат можно интерпретировать двумя способами. Первый способ подразумевает наличие вяз

Gˆ е

коупру- гих свойств коэффициента сдвиговой сцементированности ˆ_, второй – в сдвиговом

модуле . По-видимому, первый вариант предпочтительнее с физической точки зрения, так как вязкоупругие свойства среды больше связаны со сцементированностью.

скорости продольной волны имеет место более сложное выражение [18]

ˆ Для

2 2

( (Vˆ_L ))  Q , где

Q R (17)

_{* 2} ˆ _f /ˆ

M B

R _*

     ,

   ²

 

 

2 * *

1 1 2

2 /ˆ ˆ

f f

Q B M  a a

    

       , (18)

4 4

2 (1 )

3 ^s 3

B   G K  G a k  _{ }k ,

a 1

=

f s

M k k

   

 , a   0, (19)

 

 

ks, k_f – модули объемного сжатия материала скелета и порового флюида, K  k_s – модуль объемного сжатия “сухого” скелета, (1   a) [0,1] – коэффициент объемной сцементированности.

По аналогии с поперечной волной, если значение Vˆ ( )_L  отлично от эксперименталь- ного, и предположении, что вязкоупругие свойства ненасыщенной флюидом матрицы больше заны с коэффициентом объемной

в

свя сцементированности , из уравнения (17) можно получить вязкоупругий коэффициент aˆ с помощью линейного уравнения

2 * 2 * 2

2 2 * 2 * *

ˆ( ) ˆ ˆ 4 1 1

1 1 4 4

ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) (ˆ )

3 3

1 ˆ ˆ

L s L f s

f s

( ) ( ) ( ) ˆ 2

L L f s 3 s f s

s f s

a

V V k G k k

k k k

 

V k G V k G

k k

       

 

                  

       

 

                  

эффициент сдвиговой сцементированности , то

ая з н Н

 

, (20)

причем Re( ) [0,1]aˆ  и Im( ) 0aˆ  . Так как ко ˆ_

 в большей степени характеризует вязкоупругие свойства скелета в уравнении (20) следует также положить G G ^ˆ . Однако численные расчеты показали, что так аме а практически не вносит вклада в значение aˆ.

есложно определить вязкоупругий модуль ˆM и произведение aMˆ ^ˆ , частотное пред- ставление которого вида (8) обозначим как aM^ . Аналогично получим модули a M^2 и ˆB.

Будем предполагать, что для описания этих модулей достаточно трех частот.

Как видно, введение вязкоупругих свойств в модель Био – нетривиальная задача.

Первая попытка была предпринята Био [5] с использованием модели Максвелла [9]. Од- нако реальные среды лучше описывает модель стандартного линейного тела [3], которая также включает модель Максвелла. Далее были предприняты попытки, например, в [12], формального введения только частотной зависимости в модуль M, от

низм объемного взаимодействия матрицы и флюида. В [10] аналогич

ражающего меха- ные формальные зависимости были введены дополнительно для модулей K и G. С нашей точки зрения, предложенный выше подход является более осмысленным.

4. Уравнения для вязкоупр среды в частотном

Уравнения, описывающие странение ак п-

ругой среде

угой представлении

распро устических возмущений в вязкоу , можно получить как частный случай модифицированной системы уравне- ий Био (10)–(13), пол

н агая = 0 и, как следствие, aˆ = 0, aM^ a M^2 0, и ˆ = 0vⁱ . Они имеют вид

, (21) ˆ . (22)

ти ж

ˆⁱ _jˆ = 0^ij i    u

ˆ ˆ

ˆ^ij = ( ˆ 2 ) _jˆ^{j ij} ( _jˆ^{i j}) i  B G  u  G  u  _iu

Э е уравнения можно получить из системы уравнений Био, полагая =0, B= ˆB и G=G^ˆ . й ти в частотном представлении

Уравнения, описыв

5. Уравнения для вязко жидкос

ающие распространение акустических возмущений в сжимае-

ой в и

м язкой жидкости, имеют ту же самую форму, что (21),(22), если положить в них

= _f

  , B kˆ = _f (4 / 3)Gˆ, G iˆ = , где k_f – объемный модуль жидкости, – (сдвиговая) язкость жидкости.

Для экономичности вычислений заменим модуль на приближенное выражение

 в

Gˆ

*2

ˆ i

G    _*  , (23)

* *

1  i /   i

где * много больше верхней граничной частоты источника. Тогда для модуля ˆB получим

*2

*

4 4

ˆ .

3 3

B kf 

   

 (24)

* i

Моди для ристой среды во

6. фицированные уравнения Био вязкоупругой по вре- менном представлении

В цилиндрических координатах (r,,z) обозначим через u( ,u u u^{r }, )^{z T} вектор скорости смещения точек скелета, через v( ,v v v^{r }, )^{z T}  вектор фильтрационной ско-

рости порового флюида и через  напря-

жения, тогда уравнения движения (10), (11) во временном представлении будут иметь вид , ^{rz T})

  

σ ( ^rr,^,^zz, ^r, ^z тензор полного

1( ) , 1

( 2 )

r r

r r z

t f

   u _tv _r ^{rr r rr} _z ^rz r

 

 

          

   z

         _    ,

1( 2 )

rz z rz zz T

r r

  z 

           , (25)

= ,1 ,

T

f t f t fr P rP P zP

r ^

 

     u  v F        , (26)

где

0 0

exp 2 ( )

2 2 ( )

t b

b b

fr b b

b

M t

M d M t



    

   

  

 



     

F v  v . (27)

Когда верхняя частота источника не превосходит частоту Био _b, вместо выражения (27) можно использовать более простое:

0 4

f b

fr

a_ M

   

 

F v _tv. (27’)

Уравнения состояния (12), (13) примут вид

tP M aM

      v   u, (28)

= ( )

t aM D G

σ       v u I ε, (29)

где – единичный тензор второго ранга, I

1( )

r r z

ru u u zu

r

 

   u      , 1

( )

r r

rv v v

r

  z

zv

   v      , (30)

ε=



^2rur , ^{2 (1}_r ^{uur), 2zuz, 1}_r^uru_r^{r  ru, 1}_r^{uz zu, zur ruz}



^{T. (31)}

Коэффициенты M , aM , D B 2G a M ² и G в силу их частотного представления вида (8) с использованием обратного преобразования Лапласа будут следующими:

3

= ( ) ( ) _l 1 _{l l}exp( _l )

M M m^  ^ _ t m^



_ m t ^{, (32)}

   ³

= ( ) ( ) _l 1 _{l l}exp( _l )

aM aM am _ t am



_ am  t ^{, (33)}

3

= ( ) ( ) _l 1 _{l l}exp( _l )

G G g^ ^ _ t g^



_ g t ^{, (34)}

2 3

= ( 2 ) ( ) ( ) _l 1 _{l l}exp( _l )

D B G a M  D d^ ^ _ t d^



_ d t ^{. (35)} 7. Условия на границах различных сред

Рассмотренные выше уравнения включают описание следующих сред: жидкость, вязкая жидкость, упругая среда, вязкоупругая среда, Био среда и вязкоупругая Био сре- да.Условияна границе разрыва в направлении r или z приведены в табл.1 и 2 соответст- венно. Заметим, что условия для вязкоупругой среды будут такими же, что и для упру- гой среды. Аналогичное замечание имеет место для вязкоупругой Био среды.

В первых двух колонках табл.1 и 2 не существует разницы между вязкой жидко- стью и упругой средой, так как уравнения для сжимаемой вязкой жидкости, имеют ту же самую форму, что и для упругой среды.

В третьей колонке четвертое условие основано на эластичной мембранной модели глинистой корки [19]. Ее “прогибание” характеризуется параметром ^mc. Случай ^mc=0 соответствует открытым порам на стенке скважины (глинистая корка отсутствует), слу-

чай ^mc= – запечатанным порам (глинистая корка “не прогибается”). Если вязкую жид- кость и Био среду поменять местами, то глинистая корка будет “прогибаться” в другую сторону, поэтому это условие запишется в виде (   _tP ^{mc r}v )  _t ^rr и =

= соответственно. Заметим также, что на границе разрыва между жидкостью и Био средой следует положить 0 и

( _tP ^{mc z}v

    )

t zz

 

 rz 0 ^r.

Таблица 1. Условия на границе разрыва в направлении r.

Жидкость – вязкая жид- кость или уп- ругая среда

Вязкая жидкость или упругая среда – вязкая жидкость или упругая среда

Вязкая жидкость – Био среда

Упругая среда – Био среда

Био среда – Био среда

r r

u u P rr

   0 ^rz 0 ^r

r r

u u

z z

u u

rr rr

  

rz rz

  

r r

  

r r

u u v^r

z z

u u

rr rr

  

rr ( mc r

t tP v

      

rz rz

  

r r

  

r r

u u v^r

z z

u u

rr rr

  

rz rz

  

r r

  

r r r r

u v u v

r r

u u

z z

u u

rr rr

  

rz rz

  

r r

   P P Таблица 2. Условия на границе разрыва в направлении z.

Жидкость – вязкая жид- кость или уп- ругая среда

Вязкая жидкость или упругая среда – вязкая жидкость или упругая среда

Вязкая жидкость – Био среда

Упругая среда – Био среда

Био среда – Био среда

z z

u u P zz

   0 ^rz 0 ^r

z z

u u

r r

u u

zz zz

  

rz rz

  

r r

  

z z

u u v^z

r r

u u

zz zz

  

( )

zz mc z

t tP v

      

rz rz

  

r r

  

z z

u u v^z

r r

u u

zz zz

  

rz rz

  

r r

  

z z z z

u v u v

z z

u u

r r

u u

zz zz

  

rz rz

  

r r

   P P 8. Условия на внешней границе

Самыми простыми условиями на внешней границе являются нулевые значения скоростей смещений. Их использование приводит к значительному увеличению расчет- ной области, поэтому для уменьшения ее размеров применяют другие условия.

Наиболее распространенными являются: условия волновой зоны [17]; поглощаю- щие граничные условия (absorbing boundary conditions (ABC)) [20]; прозрачные гранич- ные условия (transparent boundary conditions (TBC)) [21]; нерасщепляющийся полностью согласованный слой (nonsplitting perfectly matched layer (NPML)) [15, 16]. Последние ус- ловия будут использоваться далее.

Пусть и – внутренние границы согласованного слоя в направлениях и соответственно. Проведем замену и . Тогда в частотном представлении для некоторой величины

= *

r r z z= _* r

z rr zz

ˆ( , , , )

A r  z t в зависимости от применяемого к ней оператора слой вводится следующим образом [15]:

ˆ 1 ˆ

= 1 ^r 1 ^r

r

A A

r i r i

  

       

        Aˆ r

  , (36)

1 ˆ ˆ 1 ˆ = 1 ^r = 1

r

A A

r A i r r

  

    

  

   

 ^ri

 , (37)

ˆ 1 ˆ

= 1 ^z 1

z

A A

z i z i

 

        

z Aˆ

z

   . (38)

Здесь

* * 2

= ( ) (^r )

r r r r r

     , = ( _*) ( _*)³ 3

r

r r r r r

r

     , _z = ( z z_*)^z(z z _*)², (39)

( )x

 – функция Хевисайда, ^r = 8 2 f_peak/L²_r , ^z = 8 2 f_peak/L²_z

r

[16]. Отметим, что . Параметры и задают толщину слоя в направлениях r и z со- ответственно. В направлении r ее оптимально задавать в длинах волны, распространяю- щейся на пиковой частоте излучателя со скоростью

1 / ) 0^r ( )

r r r x

 ^{= (}



 ^{dx Lr Lz}

fpeak V_fpeak около границы ,

т.е. . В направлении z толщина слоя выбирается аналогично.

= *

r r

= ^r /

r fpeak peak

L V f

Введем следующие обозначения:

exp(I^r  _r _rt), I^R  _rexp(_rt), I^z  _zexp(_zt). (40) Тогда во временном представлении условия (36)–(38) запишутся в виде

 

0

( , , , ) ( , , , )

= _r ^texp _r( ) ^r

A A A r z A A r z t

t d I

r r r r r

              

_ 



   ^{, (41)}

 



0

 ^{ }

1 1 1

= _r ^texp _r( ) ( , , , ) ( ,

A A t A r z d A I A r z t

r r r

 



         

 , , ) , (42)

 

0

( , , , ) ( , , , )

= _z ^texp _z( ) ^z

A A A r z A A r z t

t d I

z z z z z

              

_ 



   ^{. (43)}

После введения нерасщепляющегося полностью согласованного слоя уравнения движения (25), (26) будут иметь более длинную запись, поэтому ограничимся приведе- нием уравнений для компонент скоростей в направлении r:

1( )

r r rr r rr

tu f tv r z

r

 

                  ^rz

1( )

r rr r rr z

I r I I

r

  

             _z ^rz, (44)

r r r = r

f tu f tv Ffr rP I

        _rP. (45)

Уравнения состояния (28), (29) становятся громоздкими, поэтому ограничимся только уравнением (28).