С. В. Полин, Подалгебры свободных алгебр некоторых многообразий мультиоператорных алгебр, УМН , 1969, том 24, выпуск 1(145), 17–26

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. В. Полин, Подалгебры свободных алгебр некоторых многообразий мультиоператорных алгебр, УМН , 1969, том 24, выпуск 1(145), 17–26

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 23:22:09

1969 г. январь — февраль т. XXIV 9 вып. 1(145) УСПЕХИМАТЕМАТЖЧЕСЕЖХ НАУК

УДК 519.4 + 519.9

ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР

С. В. П о л и н

В общей алгебре заметную роль играет вопрос о свободе подалгебр свободных алгебр различных многообразий. Для некоторых многообразий линейных алгебр над полем эта проблема решена в работах А. Г. Куроша [1] и А. И. Ширшова [2], [3]. В работе А. Г. Куроша [4] было введено поня­

тие мультиоператорной алгебры над полем и доказано, что всякая подалгеб­

ра свободной мультиоператорной алгебры является свободной. В настоящей работе рассматриваются многообразия мультиоператорных алгебр, зада­

ваемые тождествами специального вида, частными случаями которых будут тождества коммутативности и антикоммутативности для классических линей­

ных алгебр. Основной результат работы содержит в себе как указанную выше теорему о свободе подалгебр свободной мультиоператорной алгебры, так и параллельные теоремы из работы А. И. Ширшова [2] о свободе под­

алгебр свободной коммутативной и свободной антикоммутативной алгебры;

методы этой последней работы сохраняются без существенных изменений.

§ 1.

Пусть имеется набор мультиоператоров Q и поле Р. Зададим много­

образие U й-алгебр набором тождеств вида

Х^2 . . . Х^п(х) = a^s (^^S(l)^S(2) • • • #S(7i)ttO> ( 1 )

где со £ Qft, s — подстановка из симметрической группы Sn, a® — ненуле­

вой элемент поля Р.

Подстановки, встречающиеся в тождествах (1), назовем основными для со.

Если s и s' основные подстановки для со, то в нашем многообразии выпол­

няются тождества

ххх2 . . . хпы = а* (ж8(1) . . . xs(n)Co) = а®а®, (xs>s(i) . . . av8(n)©),

Х&2 . . . Xn(0 = (af)'1 (£8-1(1) . . . ^s-l(n)CO). ( 2 )

Таким образом, для каждой операции со £ Qn тождества вида (1) выполняются для всех подстановок из подгруппы S® группы Sn, натянутой на основные подстановки для этой операции. Случай £0) = 1 не исключается.

2 Успехи матем. наук, т. XXIV, вып. 1

18 С. В . П О Л И Н

Возможно, что в подгруппе S® найдется такая подстановка s, что в мно­

гообразии U будут выполняться тождества

Х\Х2 . . . Хп(д = ОС \Х8(1)Х8(2) • • • Х8(П)(й),

х^х2 . . . хпа> = р (х8(1)х8(2) . • • xS(7l)(o), причем а Ф- (3. Тогда выполняются также тождества

(а"1 — р"1) (xix2 . . • хпсо) = О, я ^ г . . . хпы = О,

т. е. наша операция со — нулевая.

В настоящей работе рассматривается вопрос о свободе £2-подалгебр свободных Q-алгебр нашего многообразия. Ясно, что нулевые операции можно отбросить без влияния на результат. Поэтому можно считать, что существует такое отображение фш подгруппы S® в мультипликативную группу поля Р, что

х±х2 . . . хпсо = (pw(s) (х8{1) . . . х8(П)(о). (3) Так же как выше, можно получить (pa(s) фш($') = ф®^'), т. е. ф00 — гомо­

морфизм. Будем считать, что именно так задано наше многообразие U.

§ 2.

Пусть А = {аа} — множество свободных образующих Q-алгебры V сво­

бодной в многообразии U. Элементы множества А назовем словами в V степени 0. Если Ь4, Ь2у . . ., Ьл — слова в F c уже определенной степенью и со 6 ^п, то Ъ\Ь2 . . . бдСо — слово в У и db1b2 . . . Ьпсо = дЪ{ + дЪ2 + . . . . . . + dfr^ + 1» где через д& обозначена степень слова Ъ.

Каждое слово может быть записано в виде

г = ciaiaa2 . . . aamG)! . . . соь (4) где каким-то образом расставлены скобки и знаки операций. Произведя

в определенном порядке в (4) под знаком каждой операции со^ подстанов­

ку st из сопоставленной ей группы Scot, получим новое слово rt. Такое пре­

образование t назовем разрешенным для слова г. Из (3) следует г = ф(£) гь

где ф(£) — произведение всех фсо^). Назовем cp(t) образом преобразо­

вания t. Положив, как обычно,

получим, что q)(W) = ф(£) ф(0* Легко также проверить, что для каж­

дого разрешенного преобразования t слова г найдется такое разрешенное преобразование t'1 слова rt, что

rtt-i = г-

Заметим, что некоторые из разрешенных преобразований сохраняют запись слова. Например, любое преобразование сохраняет запись слова аа . . . асо, а £А.

ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР 19

§ 3.

Пусть У* — абсолютно свободная £2-алгебра, а У — Q-алгебра, сво­

бодная в многообразии U, обе над полем Р, с множеством свободных обра­

зующих А = {аа}. Тогда У изоморфно фактор-алгебре У* по идеалу / , натянутому на элементы, полученные из тождеств (3) заменой элементов хь

произвольными элементами Й-алгебры У*. Каждый элемент идеала / может быть представлен в виде суммы элементов вида

\i fa . . . иг {Щ . . . Un(0 ~ фю (S) ( ив ( 1 ) . . . U8{71)) СО) . . . итЩ . . . СО;), (5)

\х £ Р. Очевидно, что все vt можно считать словами в У*. Каждое ut пред­

ставляется в виде Ui = ^\Xiq.Uiq., где uiq.~-слова в У*, Xiq.£P. Тогда

Qi 1 ' г 1 г

Щи2 . . . Un(d— фш (S) (us{i)Us{2) - . . s(n)CO) =

= ( 2 ^lqUlq) . . . ( 2 KqⁿUⁿqⁿ)® —

ql qn

— Ф00 (s) ( ( 2 ^e(l)ge ( 1 )We(l)g8 ( 1 )) • - • ( 2 hs(n)qs(n)Us(n)qsin)) 0)) = 9e(l) 9s(n)

= 2 • • • 2 ^ . . . ^ ( M i ^ • • • Unqn(0 — ф<° ($) K ( l ) gs ( 1 ) . • • ^s(n)gs ( n )0>).

^1 qn

Поэтому каждый элемент вида (5), а следовательно, и каждый элемент идеала / , представляется как

2 М о — <pfo)(o)tj).

где rj — слова в У*, \ij (Е ^? 0 — разрешенное преобразование для слова г,-.

Л е м м а 1. Слово Q-алгебры У, свободной в многообразии U с мно­

жеством свободных образующих А, равно 0 тогда и только тогда, когда для него найдется разрешенное преобразование, сохраняющее запись, с обра­

зом, отличным от 1.

Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Допустим, что для слова г Q-алгебры У не существует такого преобразования, но вместе с тем оно равно 0. Последнее означает, что в абсолютно свободной й-алгебре У*

имеет место равенство (все дальнейшие равенства, встречающиеся при дока­

зательстве леммы, также будут рассматриваться как равенства в У*)

r = %aj(vj-<p(tj)(vj)t), (6)

д J

где а7- 6 Р, vj — слова в У*, tj — разрешенное преобразование для Vj.

В правой части (6) выделим слова, которые не могут быть получены из г разрешенными преобразованиями. В это множество вместе с Uj входит или не входит и (Vj)tj. В силу свободы У* слова, входящие в это множество, должны взаимно уничтожиться, и, следовательно, (6) можно записать как

г=2 «> (

ti - * <*>>

ъ) = ~ 2 -щ> (

- Ф (*а

t •)+

j m 2 *

20 С. В. ПОЛИН

Если rtm = г, то, по предположению, ф (tm) = 1 и соответствующий член

г — Ф (tm) rtm равен 0. Поэтому можно все rtm считать отличными от г.

Если rtk = rtv то

г

-\е

*№) = $$ = *'

т. е. Ф(£А) = Ф ( £ / ) , и (7) можно переписать в виде ' • = 2 т л ( ' " —Ф(*л)г* ),

к п

где все г^ — различны и отличны от г. В силу свободы V* для всех к получаем yk<p(tk)rth = 0.

rtk ф 0 к а к слово абсолютно свободной Й-алгебры V*. ф (tu) ф 0 как про­

изведение ненулевых элементов поля Р. Следовательно, уи = 0 и г = 0.

Подобное равенство в F * невозможно.

§ 4 .

Пусть V — свободная в многообразии U Q-алгебра; слова в V степени 0 назовем правильными и произвольно упорядочим. Считая, что правильные слова степени, меньшей чем к, к > 0 уже определены и упорядочены, назо­

вем слово г = Ъ]Ъч . . . &^дсо степени к правильным, если 1) г Ф 0;

2) Ь^1? Ъ², . . ., Ьд — правильные слова;

3) для любой перестановки 5 £ 5е0 из bj = fes(j) (/ — 1, 2, . . ., г — 1) u b^t Ф Ь⁸ц) следует Ъ^ь > Ь⁸цу

Все правильные слова степени к положим большими правильных слов меньшей степени. Д л я слов степени к положим b\b2 . . . Ьпы > Ь ^ • • • Ъ'пы тогда и только тогда, когда из bj = bj (j = 1, 2, . . ., i — 1) и b^t Ф Ъ\

следует bt > Ь*. Остальные пары слов степени к упорядочим произвольно.

Т е о р е м а 1. Правильные слова образуют базу Q-алгебры V, Укажем способ, позволяющий каждому слову г £2-алгебры V поставить в соответствие такое правильное слово г, что

г = агг, аг £ Р.

Д л я слов степени 0 положим а = а. Пусть такой способ указан для слов степени, меньшей /с, к > 0 и г — слово степени к. Если г = 0, то в каче­

стве г можно взять любое правильное слово и положить аг = 0. Пусть г ф 0. Тогда г = &i&2 • • • Ьп(о. Из подгруппы Я® выделим множество S' таких подстановок, что из s' £ *S" и s g 5^е0 следует &^S'^(l) ^> fe^s(l). Далее, из множества S' выделим подмножество S" такое, что из s" £ S" и s' £ S' следует, что 6s-(2) ^> b8'(2)- Также строятся множества S'", . . ., S^n\ Выбе­

рем подстановку s £ 5^{( п )} ( £^{( п}\ очевидно, не пусто) и положим

Г = &S(1)6S(2) . . • 68(П)С0,

а^г = ф^м (s) a^{b l} . . . а^Ьп.

ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР 2 1

Все требования, наложенные на г и аг, выполняются.

Все элементы Q-алгебры V разлагаются в линейную комбинацию слов и, следовательно, в линейную комбинацию правильных слов. Остается доказать линейную независимость правильных слов. Пусть гь г2, . . ., гл — различные правильные слова и аи а2, • • ., осп £ Р отличны от нуля и

« Л + <х2г2 + . . . + апгп = 0.

Тогда в Q-алгебре V*

alri + a2r2 + . . . + апгп = 2 pj ( ^ — ф (*j) (У/)* ,)•

э J

Выделяя в правой части слова, полученные из r^t разрешенными преоб­

разованиями, и учитывая, что F* — абсолютно свободная Q-алгебра, имеем а«п = 2Рт((гО- — Ф ( У ( П ) ^ )

в У*. Тогда в F ос^п — 0, что невозможно, так как гг=^=0 и ос^^О. Следо­

вательно, правильные слова линейно независимы.

Заметим, что если 6j>cf (i = l, 2, . . . , т г ) , Ьг и 'с^ —слова в V, то Ъф2 • . • ^со>с1с2 . . . спсо.

Из теоремы 1 следует, что каждый элемент и Q-алгебры V однозначно разлагается в линейную комбинацию правильных слов:

и=2а

т

-. (8)

о

Положим ди = max drt. Через й обозначим старшую часть элемента

г

и, т. е. элемент

г

где аггг — слагаемые из (8), для которых drt = ди. Через и обозначим элемент a^rfe, где г& — наибольшее из слов, входящих в правую часть (8).

Назовем его старшим словом.

§ 5 .

Назовем полиномом всякий элемент абсолютно свободный Q-алгебры S*

со счетным множеством образующих х = {хи х2, . . .}• Пусть S — свобод­

ная Q-алгебра многообразия U также со счетным множеством образующих {аи а2, . . . } . Тогда существует гомоморфизм S* на S, переводящий поли­

ном / (х^, . . ., х\ ) в элемент / (а^, . . ., а\). Назовем два полинома экви­

валентными, если их образы в S равны. Полином, образ которого не равен 0, назовем нетривиальным. Скажем, что элементы Ь1? Ь2, . . ., Ъп Q-алгебры У, свободной в многообразии U, удовлетворяют нетривиальному соотноше­

нию /, если / (xi, . . ., Xg) — нетривиальный полином и / (Ь1? . . ., bq) = 0 в V. Этот полином можно считать таким, что всякая его часть также нетри­

виальна и что не существует эквивалентного ему полинома, записываемого через меньшее число слов из 5*.

22 С. В . П О Л И Н

Скажем, что множество ЭД1 элементов Q-алгебры V удовлетворяет свой­

ству независимости, если старшая часть любого его элемента не принадле­

жит й-подалгебре, порожденной старшими частями остальных элементов.

Л е м м а 2. Если в Q-алгебре V, свободной в многообразии U, суще­

ствует конечное множество элементов bt (i = 1, 2, . . ., q), dbt ^ dbj при i > / , удовлетворяющее свойству независимости и некоторому нетривиаль­

ному соотношению f (&^1? Ь², . . ., Ь⁹) = 0, гтго & множество элементов c^t (i = 1, 2, . . ., g), имеющих вид c^t = b^t ~\~ r^tj где r^t — элемент подалгебры, порожденной элементами Ъъ, к < г, причем либо db^t = <9г^г ^

n=--gi(bu h, . . . , "ftf-O, (9) либо г^ = 0, также удовлетворяет свойству независимости и некоторому

нетривиальному соотношению f ( q , с2, • • •» cq) ~ 0-

Докажем, что г^г- (i = 1, 2, . . ., д) принадлежит Q-подалгебре, порож­

денной элементами c^k, k < i. В самом деле, г* = 0. Предполагая, что д л я всех к < i требуемые выражения найдены, заменим на основании равенств bk = Ck — rh все 6ft, входящие в ги после чего и получим требуемое выра­

жение для r^t.

Поэтому, в силу независимости множества Ьи Ь2, . . ., bq, bt Фги откуда

^ = Ь* + г, (10) и dCi — dbf. Если теперь

cj = ailcil+ . . . + ai pci p + 2 ^ i • • • ink(ctl1 . . . , ctn(ok)+ ... , (11) то можно считать, что dctt = dcj (t = 1, 2, ..., р) и dcim<Zdcj (m = l, 2, . . .

. . . , /г, . . . ) ; последнее означает, что / & < / . Можно считать, что j>U {t — 1, 2, . . . , р), так как в противном случае можно было бы перенести элемент с наибольшим номером i^t влево, Cj перенести в правую часть и обе части разделить на — at . Заменив теперь в (11) на основании (10) и (9) старшие части всех си через старшие части элементов b^u Ъ², . . . , 6/, получим

bj=h(bu b2, . . . , bj-t).

Мы пришли к противоречию с тем, что множество bu b2j . . ., bq удовлет­

воряет свойству независимости. Следовательно, множество сь с2, ..., cq

удовлетворяет свойству независимости.

Выделим теперь в полиноме / (хи х2, . . ., xq) его часть fq, старшую относительно z^q, т. е. совокупность слов, содержащих x^q максимальное число раз. Выделим затем в fq часть /д_ь старшую относительно xq^. Про­

должая, выделим, наконец, в полиноме /2 часть Д, старшую относительно Xi. Тогда

/(fo^b Ь², . . ., b^q) = /i(b±, Ь², • • •, bg) + / ; ( Ь^Ь Ь², • • -, b^q) =

= /lfci —Ti, . . ., Cg — Tq) + / ; ( q — Г1? . . ., Cq — rq) =

= /lfci, • • ., Cq) + ф (CU . . ., Cg) = f'(Ci, . . ., Cq) = 0.

Полиномы /i и ф не имеют одинаковых членов.

ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР 23 Полином /i(#i, . . ., xq) — нетривиальный, так как мы считали каждую часть нетривиального полинома f(xy, . . ., x^q) нетривиальной. Н а основа­

нии указанных свойств полиномов /i(#i, . . ., x^q) и ф(^1, . . ., x^q) заклю­

чаем, что /'(#!, . . ., x^q) нетривиален.

Л е м м а 3. Если между элементами множества 9К, удовлетворяющего свойству независимости, существует нетривиальное соотношение, то суще­

ствует конечное множество 91, элементы которого обладают следующими свойствами:

а) элементы 91 = {с^и . . ., c^q} удовлетворяют некоторому нетривиаль­

ному соотношению f'{ci, . . ., cq) — 0;

б) при любом Cj £ 91, любых c\^k £ 9t\c⁷- (fc = 1, 2, . . ., Z), любых оо^р £ Q (p = 1, 2, . . ., t) и любом а £ P для старших слов будет

Cj ф а(снс12 . . . CijCOtCDs . . . со*), (12) где как-то расставлены скобки.

Перенумеруем конечное множество элементов 9JI, входящих в заданное нетривиальное соотношение, и обозначим его через 9Jti = {b^t} (i = 1, 2, ...

. . ., q). He нарушая общности, можно считать, что при i>] db^t^dbj.

Допустим, что с помощью преобразования леммы 2 элементы Ь⁴, . . ., bi заменены такими элементами с^х, . . ., с^г, что множество { с^ь с², . . ., c^t} удовлетворяет второму требованию леммы и dcj = dbj. Обозначим через Q' множество операций, входящих в слова, через которые записаны элементы сА, с2, . . ., сг, bf + i. Пусть /с = 96^+!. Очевидно, что существует лишь конеч­

ное множество R элементов степени /с, которые представляются в виде

Chch • • • СЛ ©i©2 • • • <*>«, ( 1 3 )

где как-то расставлены скобки, причем ^ £ {с⁴, . . ., c^t} (р = 1, 2, . . ., Z), (0^ £ Q' (ft = 1, 2, . . ., i). Допустим, что b^{i + i} равно с точностью до коэф­

фициента а из поля Р такому слову. Тогда заметим bt + t на элемент bi + i = bi+i — a (cj^xCj² . . . Cj^t cot . . . со*);

скобки расставлены так же, как и в (13).

Если bi + i все еще равно одному из слов множества R с точностью до коэффициента из Р , то еще раз проведем такое преобразование. Ясно, что после каждого шага правильное слово v, где (ЗУ — старшее слово преобра­

зуемого элемента, будет уменьшаться, и, следовательно, в силу конечности R мы получим такой элемент с^{г + 1}, что cⁱ⁺ⁱ не пропорционально никакому слову вида (13). В силу выбора Q' c^{i + i} не пропорционально никакому слову вида (13), даже если считать, что со* £ £2 (i = 1, 2, . . ., t).

Так как по условию db^k^dbj при ft>/ множество {Ь⁴, . . ., b^q} удовлетворяло условию независимости и мы пользовались только прео­

бразованиями леммы 2, то

dci + i = dbi + 1 > Зсу, У < i- Поэтому равенство

Cj = a(ch . . . ci + i . . . c^cot . . . сод),

24 С. В . П О Л И Н

где как-то расставлены скобки и / < i + 1, возможно только в том случае, если правая часть пропорциональна c^ + i, т. е.

Cj = acJ + i.

Но Cj входит в R, а мы предполагали, что cj + 1 не пропорционально никакому элементу из R. Следовательно, множество {cl7 . . ., ci + i) удов­

летворяет второму требованию леммы. Теперь методом индукции легко строится множество {с^ . . ., cq}, удовлетворяющее второму требованию леммы. Н а основании леммы 2 заключаем, что это множество удовлетворяет некоторому нетривиальному соотношению.

Л е м м а 4. Если множество Ш элементов Q-алгебры V, свободной в многообразии U, удовлетворяет свойству независимости, то Q-подалгебра, им порожденная, свободна в многообразии U, а Ш — множество ее свобод­

ных образующих.

Допустим, что элементы ЭД£ удовлетворяют нетривиальному соотноше­

нию. Н а основании леммы 3 строим множество 91. Докажем, что свойства, которым должно удовлетворять %, противоречивы. Пусть

а(с\гСг2 . . . cis ©i . . . со,), (14) а 6 Р, c^ik £ SK (к = 1, . . ., s), w/ £ Q (/ = 1, . . ., Z), где как-то расстав­

лены скобки,— один из членов полинома / , для которого f(ci9C2, • • ., Cq) = 0.

Пусть сг = atdu at 6 P, dt — правильное слово (i = 1, 2, . . ., g), рас­

смотрим слово

d^hdⁱ² . . . di⁸(o^t . . . со,, (15) где скобки расставлены так ж е , как и в (14). Каждое разрешенное преобра­

зование t д л я этого слова состоит из разрешенных преобразований th для слов di^k и разрешенного преобразования t' для слова

XixX{2 . . . Xi COi . . . CDj. ( 1 6 )

Если t сохраняет запись слова (15), то, так как d\ Ф d\. при ik Ф ij, f сохраняет запись слова (16) и t\ сохраняет запись слова d\ . По предполо­

жению, (16) как часть полинома / нетривиальна, и по лемме 1 Далее, d\ Ф 0, по лемме 1

<р(*«^л) = 1 (Л = 1, 2 5).

Однако

ф(0 = ф ( 0 ф ( ^ ) • . . Ф ( ^ ) - 1 и по той ж е лемме 1 слово вида (15) не равно 0.

Среди всех слов вида (15) выделим слово и, которое после приведения к правильному виду дает наибольшее правильное слово и. Так как оно не равно 0, в разложении элемента /(с1? с2, . . ., cq) найдется слово v, подоб­

ное слову и. Оно необходимо должно иметь вид (15), в противном случае

слово вида (15), полученное из того же члена полинома, что и v, давало бы

П О Д А Л Г Е Б Р Ы С В О Б О Д Н Ы Х А Л Г Е Б Р 25 большее правильное слово, чем и. Пусть

U = UiU2 . . • Uni!d, V = V±V2 • • • Vm<u',

где все u^t и Uj имеют вид d^Pld^P2 . . . d^p coi . . . 0*. Тогда

и = ay. (17) В силу свойств] многообразия U получаем: п = т, со = со' и иг =

= a ^ s , s — разрешенная подстановка для со. Мы заменили (17) тг равен­

ствами между словами меньшей степени. Продолжая далее и учитывая, что равенство

dJ = H^dh • • • Ф^рЮ1 • • • ©t)» /л =^7 № = 1, 2, . . ., p ) ,

невозможно и что из d^ = dt следует / = J, получаем, что слова и и и состоят из одного и того же набора d\ (к = 1, 2, . . ., s), соединенных операциями соь со2> • • •» ю*» причем могут быть получены друг из друга разрешенными преобразованиями, не изменяющими подслов d\ . Это значит, что два члена полинома /, из которых получены слова и и v, можно заменить одним так, что новый полином будет эквивалентен полиному / и иметь меньшее число членов. Мы предполагали, однако, что такого полинома не существует и, следовательно, пришли к противоречию.

§ е.

Т е о р е м а 2. Каждая Q-подалгебра В Q-алгебры У, свободной в мно­

гообразии U, также свободна в многообразии U.

Пусть В — Q-подалгебра в V. Построим последовательность чисел к\ < к² < . . . < к^п < . . . и Q-подалгебр B⁰cz B^t . . . cz Bⁿ cz . . . сле­

дующим образом: В⁰ = 0. Если теперь числа к^и . . ., к^п-^х и Q-подалгебры В о, В^и . . ., В^п _i определены, то к^п — наименьшая из степеней элемен­

тов 5 , не входящих в Вп-и а Вп — Q-подалгебра, порожденная элемен­

тами В степени не выше кп.

Через В^п обозначим векторное пространство элементов из Q-подалгеб- ры В^п степени не выше к^п, а через R'ⁿ — векторное пространство элементов из Bn-i степени не выше кп. Ясно, что Rn ZD R'n. В каждом из классов базы пространства RnlR'n выберем произвольно по представителю. Обозначим через Шп полученное множество, а через ЭД1 — множество [} Шп- Множество Ш порождает Q-подалгебру В.

Допустим, что Ш не удовлетворяет свойству независимости, т. е.

а = 2 ajFj + 2 « и . . лп® (ch, . . ., cirico) + . . . , (18) з

где а £ 5Ш, все bj и Сц £ Ш\а. Тогда можно считать, что степень всех bj7

входящих в правую часть (18), равна степени а, а степень всех ctl меньше степени а. Переходя к фактор-пространству Rⁿ/R'ⁿ, где п = да, получаем

26 С. В . П О Л И Н

из (18), что классы, содержащие элементы а и все bj из правой части (18), линейно зависимы, что находится в противоречии с их выбором.

Таким образом, Ш порождает В и удовлетворяет свойству независи­

мости. На основании леммы 4 заключаем, что В свободна в U и Ш — ее мно­

жество свободных образующих.

Выражаю благодарность Александру Геннадиевичу Курошу, оказавшему мне большую помощь в написании этой работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] А. Г. К у р о ш, Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр, Матем. сб. 20 (62) : 2 (1947), 239—262.

[2] А. И. Ш и р ш о в, Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикомму­

тативных алгебр, Матем. сб. 34 (76) : 1 (1954), 81—88.

[3] А. И. Ш и р ш о в, Подалгебры свободных лиевых алгебр, Матем. сб. 33 (75) : 2 (1953), 441—452.

[4] А. Г. К у р о ш, Свободные суммы мультиоператорных алгебр, Сиб. матем. журн.

1 : 1 (1960), 62—70.

Поступило в редакцию 30 сентября 1968 г.