ПОМИ, 2003, том 297, 162–190

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. Г. Кузнецов, О. В. Мотыгин, Задача Стеклова в полуплоскости: зависимость собственных значений от кусочно-постоянного коэффициента, Зап. научн. сем.

ПОМИ, 2003, том 297, 162–190

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 01:22:31

seminarov POMI Tom 297, 2003 g.

N. G. Kuznecov, O. V. Motygin

ZADAQA STEKLOVA V POLUPLOSKOSTI:

ZAVISIMOST^ SOBSTVENNYH ZNAQENI OT KUSOQNO{POSTONNOGO KO FFICIENTA

K stoleti raboty V. A. Steklova

1]

1. Vvedenie postanovka zadaqi

V rabote 1], V. A. Steklov vpervye rassmotrel sleduwu zadaqu:

r

2

u = 0

^v

D @u=@n = pu

^na

@D

^(1.1)

gde

D

{ gladka ograniqenna oblast~, ⁿ { vnexn normal~

na

@D

,

p

{ zadanna neotricatel~na funkci, a

{ spektral~- ny parametr. V zavisimosti ot razmernosti oblasti

D

zadaqa Steklova imeet razliqnye fiziqeskie interpretacii (sm. kni- gu 2], s. 95). Horoxo izvestno, 2], s. 103, qto zadaqa Steklova imeet diskretny spektr:

0 =

⁰

<

¹⁶

²⁶

:::

⁶

_n⁶

:::

_n^!1 pri

n

^!1

(zdes~ kadoe sobstvennoe znaqenie povtorets stol~ko raz, ka- kova ego kratnost~) i dl nego nadeny otvety na klassiqeskie voprosy, a imenno, poluqena asimptotika

n^pri

n

^!1(sm. ob- zor 3], s. 89) i dokazan rd izoperimetriqeskih neravenstv dl sobstvennyh znaqeni (sm. 2], gl.

III

^{,xx3, 5 i 7).}

V zametke 4] avtory sformulirovali rd rezul~tatov dl zadaqi Steklova (qast~ iz nih dokazana, a qast~ lix~ anonsi- rovana) v sluqae, kogda

D =

^R2;

=

^;1

< x < +

¹

y < 0

a

p(x) = 1

pri

b <

^j

x

^j

< b + 1

(

b > 0

) i

p = 0

na ostal~no qasti

@

^R2;. Dl ukazannyh oblasti

D

i kofficienta

p

zadaqa Rabota vypolnena pri finansovo podderke avtorov grantom RFFI

No.

01-01-00973.

162

Steklova opisyvaet svobodnye dvumernye kolebani ideal~no nesimaemo telo idkosti, zapolnwe ninee polupro- stranstvo i nakryto tverdo kryxko s dvum beskoneqnymi parallel~nymi prorezmi ravno xiriny (v silu podobi, xi- rina kado prorezi poloena ravno edinice). Dvienie id- kosti predpolagaets bezvihrevym (s toqnost~ do garmoniqe- skogo po vremeni mnoitel vewestvenna funkci

u

est~ poten- cial skoroste), ffekt poverhnostnogo nateni ne uqityva- ets, a amplituda voln v prorezh sqitaets malo. Qastota sobstvennyh kolebani ravna

(g)

¹⁼², gde

g

{ uskorenie svobod- nogo padeni. Cel~ danno raboty { dokazat~ anonsirovannye v 4] rezul~taty (v rde sluqaev formulirovki usileny) nardu s utverdenimi, ne voxedximi v 4].

Tak kak v naxem sluqae oblast~ ne vlets ograniqenno, to danna vyxe formulirovka zadaqi Steklova trebuet dopolne- ni. Krome togo, iz-za simmetrii zadaqi (oblast~ simmetriqna otnositel~no osi ordinat, a kofficient

p

{ qetna funkci abscissy) udobno rassmatrivat~ razdel~no sluqai, kogda sob- stvennye funkcii vlts qetnymi po

x

(simmetriqnye mody

u

⁽⁺⁾) i neqetnymi po

x

(antisimmetriqnye mody

u

^(;)). Kadu iz tih mod dostatoqno rassmatrivat~ v zamknutom kvadrante

Q = x

^>

0 y

⁶

0

, i sootvetstvuwie kraevye zadaqi mono zapisat~ edinoobrazno v vide:

r

2

u

⁽⁾

= 0

v

Q

(1.2)

@

x

u

⁽⁺⁾

= 0 u

^(;)

= 0

pri

x = 0 y < 0

(1.3)

@

y

u

⁽⁾

= 0

pri

y = 0 0 < x < b x > b + 1

(1.4)

@

_y

u

⁽⁾

=

⁽⁾

u

⁽⁾ pri

y = 0 b < x < b + 1

(1.5)

Z

Q

r

u

⁽⁾²

dxdy <

¹

:

(1.6) Poslednee uslovie vyraaet koneqnost~ kinetiqesko nergii.

Zametim, qto iz togo uslovi vytekaet koneqnost~ i potenci- al~no nergii ^RF^j

u

^()j2

dx

^{, gde}

F =

^f

b < x < b + 1 y = 0

^g.

V 4] anonsirovano, qto

0 =

⁰⁽⁺⁾

<

¹⁽⁺⁾

<

²⁽⁺⁾

< ::: <

_n⁽⁺⁾

< :::

t.e. vse sobstvennye znaqeni, kotorym sootvetstvut simme- triqnye mody, vlts prostymi. tot fakt budet dokazan zdes~ kak i analogiqny fakt dl sobstvennyh znaqeni, soot- vetstvuwih antisimmetriqnym modam,

0 <

^1(;)

<

^2(;)

< ::: <

_n^(;)

< :::

kotory byl anonsirovan v 4] lix~ dl znaqeni

b

, dostatoq- no blizkih k nul. Pri tom

n^{(;) 6}

=

m^{(+) dl lbyh}

b

^>

0

i

nm

^>

1

. Nami dokazano v 4], qto

n^(;)(

n^(+)),

n = 12:::

^{, vlet-}

s monotonno ubyvawe (vozrastawe) funkcie argumenta

b

^,

i pri

b > 0

imet mesto sleduwie formuly dl proizvodnyh:

d

n⁽⁺⁾

db =

R

0

;1

@

y

u

⁽⁺⁾n

(0y)

²

dy

Rb⁺¹ b

u

⁽⁺⁾n

(x0)

²

dx

(1.7)

d

n^(;)

db =

^;

R

0

;1

@

_x

u

^(;)n

(0y)

²

dy

Rb⁺¹ b

u

^(;)n

(x0)

²

dx :

^(1.8)

V zaklqenie vvodnogo paragrafa otmetim, qto sluqa

b = 0

(t.e. zadaqa, opisyvawa kolebani idkosti v sluqae, kogda v kryxke imeets edinstvenna prorez~) rassmatrivals v mno- gih rabotah (sm. obzor 5] i citirovannu tam literaturu), t.k. sootvetstvuwie sobstvennye znaqeni sluat universal~- nymi verhnimi granicami dl sobstvennyh znaqeni v ploskih oblasth, imewih otrezok to e dliny v kaqestve svobodno poverhnosti.

2. Vspomogatel~nye utverdeni

Ispol~zu standartnye metody (oni opisany, naprimer, v knige Nazarova i Plamenevskogo 6], gl. 2), ustanavlivaets, qto v nekotoro okrestnosti toqki

(b+10)

dl sobstvenno funkcii

u

⁽⁾zadaqi (1.3){(1.6) spravedliva formula:

u

⁽⁾

( ) = c

⁽⁾

=

⁽⁾

+

^;

cos log

^;

sin

+d

⁽⁾

cos +

⁽⁾

( ):

(2.1) Zdes~

( )

{ polrnye koordinaty, takie qto

x+iy = b+1+ e

^i,

²

^;

0]

,

c

⁽⁾ i

d

⁽⁾ { konstanty, a dl funkcii

⁽⁾imet me- sto ocenki:

⁽⁾

= O(

¹⁺

)

^{, r}

⁽⁾

= O(

)

^{i r2}

⁽⁾

= O(

^;1

)

pri ^!

0

, gde

> 0

i^r2

⁽⁾ oboznaqaet matricu vtoryh proiz- vodnyh.

Formula, analogiqna (2.1), imeet mesto i v okrestnosti toq- ki

(b0)

. Takim obrazom, funkci

u

⁽⁾ nepreryvna vsdu v

Q

, a gradient ^r

u

⁽⁾ imeet logarifmiqeskie osobennosti v toq- kah, razdelwih svobodnu poverhnost~

F

i tverdu granicu

@

^R2;n

F

^.

Lemma 2.1. Pust~ u

⁽⁺⁾

udovletvoret zadaqe (1:3) { (1:6) pri

⁽⁺⁾

> 0 . Esli u

⁽⁺⁾

prinadleit prostranstvu Soboleva H

¹

(Q) , to u

⁽⁺⁾

= 0 v Q .

Dokazatel~stvo.

Poskol~ku

u

^{(+) 2}

H

¹

(Q)

, to suwestvuet stre- mwas k beskoneqnosti posledovatel~nost~ ^f

R

m^{g, taka qto} pri

m

^!1

R

²_m

0

Z

;=²

jr

u(R

m

')

^j2

d'

^!

0 R

²_m

0

Z

;=²

u(R

m

')

²

d'

^!

0:

^(2.2)

Zdes~ i dalee v dokazatel~stve my pixem

u

^vmesto

u

⁽⁺⁾

(R')

^{

polrnye koordinaty s centrom v naqale koordinat

(xy)

^.

Pust~

v

{ soprenna k

u

garmoniqeska funkci, taka qto

v = 0

pri

x = 0 y < 0

i

0 < x < b y = 0:

(2.3) to vozmono v silu (1.3) i (1.4). Iz poslednego uslovi vyte- kaet take, qto

v = C = const

^pri

x > b + 1 y = 0:

^(2.4)

Pokaem, qto

C = 0

. V silu (2.3) imeem

v(R

_m

'

⁰

) =

^'

0

Z

;=²

@

_'

v(R

_m

')d'

gde^;

=2

⁶

'

⁰⁶

0

. Togda

C

²

=

v(R

m

0)

²⁶

2

0

Z

;=²

@

'

v(R

m

')

²

d'

6

2 R

^2m

0

Z

;=²

r

v(R

m

')

²

d'

^!

0

^pri

m

^!1

gde poslednee sootnoxenie spravedlivo v silu (2.2). Tem samym,

C = 0

. Bolee togo, privedennoe rassudenie pokazyvaet, qto

v(R

m

')

^!

0

^pri

m

^{!1 dl ;}

=2

⁶

'

⁶

0:

Rassmotrim kol~cevo sektor^f

R

m⁶

r

⁶

R

m⁺¹

^;

=2

⁶

'

⁶

0

^g.

Na prmolinenyh otrezkah ego granicy funkci

v

obrawaets v nol~, a na dugah okrunoste ona stremits k nul pri

m

^!1.

Otsda i iz principa maksimuma vytekaet, qto

v(r')

^!

0

pri

r

^!1. Analogiqno dokazyvaets, qto

u(r')

^!

0

pri

r

^!1. Ot- liqie ot privedennogo dokazatel~stva dl

v

sostoit v tom, qto vmesto odnorodnogo uslovi Dirihle na prmolinenyh qasth granicy kol~cevogo sektora imeets odnorodnoe uslovie Ne- mana. Potomu nado vospol~zovat~s lemmo Hopfa, soglasno kotoro normal~na proizvodna ne moet obrawat~s v nol~ v toqke granicy, v kotoro

u

dostigaet maksimuma ili minimuma.

Soglasno principu simmetrii Xvarca golomorfna funkci

u(z) + iv(z) z = x + iy

prodolaets na vs kompleksnu ploskost~, iz kotoro vy- rezan krug, imewi radius bol~xi qem

b + 1

^{. Toqka}

z =

¹

vlets regulrno dl to analitiqesko funkcii, a iz do- kazannogo ubyvani funkci

u

ⁱ

v

i kraevyh uslovi, kotorym oni udovletvort, vytekaet, qto razloenie v okrestnosti bes- koneqnosti imeet vid:

u(z) + iv(z) = const

z

^;2

+ :::

^(2.5)

Skazannoe v naqale togo paragrafa pro povedenie funkcii

u

vblizi osi absciss perenosits i na funkci

v

. V qastnosti, vblizi toqki

(b + 10)

imeet mesto asimptotika pri ^!

0

v( ) =

^;

c

⁽⁺⁾

sin log + cos

+ d

⁽⁺⁾

sin + ( )

(2.6) gde

c

⁽⁺⁾ i

d

⁽⁺⁾ { te e, qto i v formule (2.1),

= O(

¹⁺

)

i

jr

^j

= O(

)

. to pozvolet primenit~ k garmoniqeskim funkci- m

x

i

u

^2;

v

²formulu Grina v oblasti^f

0 < r < R

^;

=2 < ' < 0

^g, a voznikawi pri tom integral po duge okrunosti stremit- s k nul pri

R

^!1, qto vlets sledstviem formuly (2.5).

V rezul~tate poluqaem ravenstvo

Z

@Q

;

u

^2;

v

²

n

x^;

x@

^n;

u

^2;

v

²

ds = 0

^(2.7)

kotoroe posle uproweni, osnovannyh na kraevyh uslovih dl

u

ⁱ

v

, prinimaet vid

0

Z

;1

u(0y)

²

dy +

^b

+1

Z

b

x@

y^;

u

^2;

v

²

dx = 0:

^(2.8)

Soglasno uravnenim Koxi{Rimana

@

_y^;

u

^2;

v

²

=

^;

@

_x^;

2uv

, qto pozvolet primenit~ integrirovanie po qastm v poslednem in- tegrale, pri tom vneintegral~nye qleny obrawats v nol~

vsledstvie kraevyh uslovi dl

v

i nepreryvnosti funkcii v

Q

(sm.(2.6)). V rezul~tate iz (2.8) poluqim:

0

Z

;1

u(0y)

²

dy + 2

^Z

F

uv dx = 0:

Vospol~zuems kraevym usloviem (1.5) v poslednem integrale.

Togda imeem

2

^Z

F

uv dx = 2

⁽⁺⁾

Z

F

v@

y

udx =

^;

1

⁽⁺⁾

Z

F

@

x

(v

²

)dx = 0

gde snova ispol~zovalis~ sootnoxeni Koxi{Rimana i kraevye uslovi dl

v

. Takim obrazom, my prihodim k sootnoxeni

0

Z

;1

u(0y)

²

dy = 0

otkuda vytekaet, qto

u = 0

^pri

x = 0 y < 0:

to uslovie i (1.3) dl

u

⁽⁺⁾

= u

pozvolt primenit~ teoremu o edinstvennosti rexeni zadaqi Koxi dl uravneni Laplasa, garantiruwu, qto

u = 0

^v

Q

^.

Zametim, qto privedennoe dokazatel~stvo prigodno i dl slu- qa, kogda svobodna poverhnost~ svzna (

b = 0

^).

3. Antisimmetriqnye mody

3.1. Spektral~na zadaqa dl integral~nogo operatora.

V zametke 4] ustanovleno, qto v antisimmetriqnom sluqae zadaqa (1.2){(1.6) kvivalentna sleduwe spektral~no zadaqe

w

^(;)

(x) =

^(;)

1

Z

0

h

log(x + + 2b)

^;

log

^j

x

^;

^ji

w

^(;)

()d x

²

01]:

(3.1) Zdes~ integral~ny operator ^K(;) (zavisimost~ ot parametra

b

ne ukazyvaets vno, kogda v tom net neobhodimosti) vlet- s kompaktnym, samosoprennym, poloitel~nym operatorom v prostranstve

L

²

(01)

, i dro

Ker

^K(;) trivial~no.

Neposredstvennym sledstviem uravneni (3.1) vlets voz- monost~ vno vyqislit~

(b) =

^X1

1

_n^(;)

(b)

^;2

=

^;2

1

Z

0 1

Z

0

log(x + + 2b)

^;

log

^j

x

^;

^j2

dxd:

Dl vyqisleni poslednego dvonogo integrala ego sleduet raz- bit~ na summu neskol~kih slagaemyh i neskol~ko raz prointe- grirovat~ po qastm, pol~zus~ pri tom formulami 1.15, 1.16, 5.4, 5.5, 5.9 i 5.14 iz spravoqnika 7],^x1.6. V rezul~tate dovol~- no dlinnyh vyqisleni poluqaem

²

(b) = (1 + 2b)

²

=6 + 4b

²

log

²

2 +

^f

1 + 2b(1 + b)

^g

log

²

(1 + b)

;

(1 + 2b)

²

log

²

(1 + 2b) + 2

ⁿ

1 + 2b(1 + b)

log2

;

(1 + 2b)logb

^o

log(1 + b) + 2(1 + 2b)log(2 + 2b)log(1 + 2b)

;

2

1 + 2b(1

^;

b)

log2

^;

b

²

logb

logb

;

n

2 + 4(1

^;

b)b

^o

Li

²

(

^;

(2b)

^;1

) + 4(1 + b)

²

Li

²

1 2 + 2b +2(1 + 2b)

Li

²

(

^;

1

^;

b

^;1

)

^;

Li

²

(

^;

b)

^;

Li

²

1 + 2b

2 + 2b :

(3.2) Zdes~

Li

²

(z) =

^R0z

t

^;1

log(1

^;

t)dt

{ to dilogarifmiqeska funk- ci, vlwas qastnym sluqaem polilogarifma

Li

n

(z) =

P

1k⁼¹

z

^k

=k

ⁿ, svostva kotorogo opisany v knige 8].

Formula (3.2) obobwaet ravenstvo

(0) = 1=3

(3.3)

dokazannoe v zametke 9] (ranee predpoloenie o spravedlivo- sti ravenstva (3.3) bylo sdelano v rabote 10] na osnovanii qi- slennyh rezul~tatov). Predel~ny perehod v formule (3.2) pri

b

^!

0

estestvenno privodit k ravenstvu (3.3), no to trebuet ispol~zovani ravenstv:

Li

²

(1) = 6 Li

^{2 2}

(

^;

1) =

^;

²

12 Li

²

1 2

= 12

^{2 ;}

1 2 log

²

2

(sm. formuly (1.8), (1.9) i (1.16) v 8]). Take ispol~zuts asimptotiqeskie formuly:

Li

²

(x) = x + O

^;

x

² pri

x

^!;

0 Li

²

(x) =

^;

1

2 log

^2j

x

^j;

²

6 + O

;

x

^{;1 pri}

x

^!;1

vytekawie iz sootnoxeni (1.3), (1.4) i (1.7) v 8].

Iz (3.2) i asimptotiqeskih formul dl

Li

²

(x)

sleduet, qto

(b) = 1

²

log

²

(2b) + 3 log(2b) + 7=2

+ O(b

^;1

)

pri

b

^!1

:

Zdes~ glavny qlen asimptotiki { to vklad fundamental~nogo sobstvennogo znaqeni, qto vytekaet iz dokazanno nie teore- my 3.1.

3.2. Asimptotika fundamental~nogo sobstvennogo znaqe- ni.

Teorema 3.1. Pri b

^!1

imet mesto sleduwie asimptotiqe- skie predstavleni:

^1(;)

= log(2b) + 32 +O(1=logb)

^(3.4)

1

^;

w

^1(;)

(x) =

^1(;)

1

2 + xlogx + (1

^;

x)log(1

^;

x)

+ O

^;

1=log

²

b

:

(3.5)

Poslednee ravenstvo vypolnets ravnomerno po x

²

01] dl w

^(;)1

, normirovanno tak, qto

1

Z

0

w

^(;)1

(x)dx = 1

^(3.6)

(vvidu poloitel~nosti operatora

^K(;)

, w

^1(;)>

0 , w

^{(;)1 6}

0 ).

Dokazatel~stvo.

Integriru uravnenie (3.1) po

x

i ispol~zu (3.6), nahodim

1 =

^1(;)

1

Z

0

dx

1

Z

0

log(2b) + log

1 + x + 2b

;

log

^j

x

^;

^j

w

^1(;)

(b)d

=

^1(;)

log(2b) +

1

Z

0

w

^(;)1

(b)

^h

f

¹

(b) + f

²

()

ⁱ

d

(3.7) gde

f

¹

(b) =

1

Z

0

log

1 + x + 2b

dx =

= (1 + 2b + )log(1 + 2b + )

^;

(2b + )log(2b + )

;

log(2b)

^;

1 f

²

() =

^;

1

Z

0

log

^j

x

^;

^j

dx = 1

^;

log

^;

(1

^;

)log(1

^;

):

(3.8) Poskol~ku

@ f

¹

(b) = log(1 + 2b + )

^;

log(2b + ) > 0

to funkci

f

¹

(b)

vlets monotonno vozrastawe funkcie

. Otsda, uqityva uslovie (3.6) i poloitel~nost~

w

^{1(;), po-}

luqaem, qto

1

Z

0

f

¹

(b)w

^(;)1

(b)d

6

max

^fj

f

¹

(0b)

^j

^j

f

¹

(1b)

^jg

:

Zdes~

f

¹

(0b) = (2b + 1)log

^;

1 + (2b)

^;1;

1

f

¹

(1b) = 2(1 + b)log2(1 + b)]

^;

(2b + 1)log(2b + 1)

^;

log(2b)

^;

1

otkuda dl tih veliqin vytekaet ocenka

O(b

^;1

)

^pri

b

^{! 1.}

Sledovatel~no,

1

Z

0

w

^1(;)

(b)f

¹

(b)d = O(b

^;1

)

pri

b

^!1

i soglasno (3.7) imeem

=

^1(;)

= log(2b) + (b) + O(b

^;1

)

pri

b

^!1

(3.9) gde

(b) =

^R01

w

^1(;)

(b)f

²

()d

udovletvoret neravenstvam

1

⁶

(b)

⁶

1 + log2

(3.10) kotorye dokazyvats sleduwim obrazom.

Poskol~ku

w

^(;)1

(b)

^>

0

i spravedlivo uslovie (3.6), to po teoreme o srednem

(b) = f

²

(

(b))

^{, gde}

(b)

²

01]

^{. Tak kak}

f

²⁰

() = log(

^;1;

1)

, to

f

²

()

monotonno vozrastaet pri

²

01=2]

i monotonno ubyvaet pri

²

1=21]

. Dl poluqeni ocenok (3.10) ostaets zametit~, qto

f

²

(0) = f

²

(1) = 1

i

f

²

(1=2) = 1 + log2

. Qtoby nati asimptotiku funkcii

(b)

, qto zaverxit dokaza- tel~stvo formuly (3.4), nam potrebuets sleduwi fakt

w

^{(;)1 ;}

1

_C

= max

_x

201]

w

^(;)1

(xb)

^;

1

= O

^;

logb]

^{;1 pri}

b

^!1

(3.11) Dl ego dokazatel~stva razob~em integral v uravnenii (3.1) na summu dvuh i primenim teoremu o srednem k pervomu iz nih:

w

^1(;)

(xb) =

^1(;)

log(2b) + log

1 + x +

(b) 2b

+f

²

(x)

^;

1

Z

0

w

^(;)1

(b)

^;

1

log

^j

x

^;

^j

d

:

(3.12)

Vyqtem edinicu iz obeih qaste togo ravenstva i ocenim normu raznosti v

C

^;

01]

^:

w

^{(;)1 ;}

1

_C⁶

^1(;)

h

k

^kC

+

^k

f

^2kC

+ c

^k

w

^1(;);

1

^kC

+ O(b

^;1

)

ⁱ

(3.13) gde

c =

^kR01

log

^j

x

^;

^j

d

^kC. Dl poluqeni pravo qasti v (3.13) uqteno sootnoxenie (3.9), zapisannoe v forme:

1 =

^1(;)

log(2b) + (b) + O(b

^;1

)

a take asimptotiqeska formula

log

1 + x +

(b) 2b

= O(b

^;1

)

spravedliva pri

b

^!1 ravnomerno po

x

²

01]

. Soglasno (3.8) i dokazatel~stvu formuly (3.10)

k

^k_C

=

^k

f

^2k_C

= 1 + log2

qto vmeste s (3.13) privodit k neravenstvu

w

^1(;);

1

_C⁶

2 + 2log2 + O(b

^;1

) c + =

^1(;)

iz kotorogo asimptotika (3.11) vytekaet vsledstvie (3.9).

Teper~ pokaem, qto pri

b

^!1 vypolnets ravenstvo

(b) = 3=2 + O

^;

logb]

^;1

kotoroe vmeste s (3.9) dokazyvaet formulu (3.4). Qtoby ustano- vit~ spravedlivost~ poslednego sootnoxeni napixem

(b) =

1

Z

0

f

²

()d +

1

Z

0

f

²

()

w

^1(;)

(b)

^;

1

d

i zametim, qto pervy integral v pravo qasti raven

3=2

^{, a}

posledni integral est~

O

^;

logb]

^;1v silu (3.11).

Ostaets dokazat~ formulu (3.5), dl qego vyqtem edinicu iz obeih qaste ravenstva (3.12), a zatem zamenim vyraenie

^1(;)

^;1

log(2b)

^;

1

ego asimptotiko. to privodit k ravenstvu

w

^1(;)

(xb)

^;

1 =

^1(;)

3 2 +

1

Z

0

log

^j

x

^;

^j

d +

1

Z

0

w

^1(;)

(b)

^;

1

log

^j

x

^;

^j

d + O

^;

b

^;1

:

Otsda i iz formul (3.8) i (3.11) poluqaem (3.5).

3.3. Prostota sobstvennyh znaqeni pri malyh b .

Dl sobstvennyh znaqeni

n^{(;) (}

n = 12:::

), kotorym soot- vetstvut antisimmetriqnye sobstvennye funkcii, spravedli- va sleduwa teorema.

Teorema 3.2. Vse sobstvennye znaqeni

n^(;)

(b)

(

n = 12:::

)

spek- tral~no zadaqi (3:1) vlts prostymi sobstvennymi znaqeni- mi pri b

^>

0 .

Dokazatel~stvo togo utverdeni razbito na neskol~ko lemm (ta ih qast~, kotora kasaets malyh znaqeni

b

dokazana zdes~, a ostal~nye privedeny v pp. 3.4, 3.5), no prede qem sformuli- rovat~ pervu iz nih zametim, qto prostota

^1(;)

(b)

vytekaet iz teoremy Entqa (sm. 11], gl.

IV

^{, x}18), primenenno k operatoru

K

(;)b (sm. uravnenie (3.1)).

Lemma 3.1. Sobstvennye znaqeni

n^(;)

(n = 12:::) vlts prostymi v sluqae, kogda svobodna poverhnost~ F svzna (b = 0) . Dokazatel~stvo.

Privedem k protivoreqi protivopolonoe utverdenie. Dopustim, qto suwestvuet sobstvennoe znaqenie

²

n^(;)

(0)

¹¹ , kotoromu sootvetstvut dve lineno nezavi- simye sobstvennye funkcii

u

^{1 i}

u

², udovletvorwie zadaqe (1.2){(1.6), gde

b = 0

, i uslovie (1.3) imeet vid:

u

i

= 0

^pri

x = 0 y < 0 i = 12:

^(3.14)

Kak pokazano v zametke 4], imeet mesto predstavlenie

u

_i

(xy) = 12

1

Z

0

w

_i

()log (x + )

²

+ y

²

(x

^;

)

²

+ y

²

d i = 12

gde

w

i { sobstvenna funkci uravneni (3.1), v kotorom

b = 0

, a

=

^(;). Sledovatel~no, dl proizvodnyh pordka

k

^ot

u

i

(xy)

(

i = 12

) spravedliva ocenka

O

^;j

z

^j;k;1pri ^j

z

^j

=

^j

x + iy

^j!1. Rassmotrim funkcii

@

_x

u

_i (

i = 12

), dl kotoryh uslovie (1.3) prinimaet vid:

@

x

u

i

= 0

^pri

x = 0 y = 0:

to vytekaet iz uslovi (3.14), garantiruwego garmoniqesku prodolimost~ funkci

u

¹ i

u

² v kvadrant^f

x < 0 y < 0

^gneqet- nym po

x

obrazom. Krome togo, dl

@

x

u

i⁽

i = 12

) vypolneny uslo- vi (1.2), (1.4) i (1.5). Nakonec, soglasno formule (2.1) vblizi toqki

(10)

spravedliva asimptotiqeska formula:

@

x

u

i

( ) = c

i

log + c

i

cos2 + d

i

+ O(

)

^{pri !}

0 i = 12:

Otsda i iz ustanovlennyh vyxe ocenok proizvodnyh

u

i ^{na bes-} koneqnosti sleduet, qto esli

c

i

= 0

, to funkci

@

x

u

i ^prinadle- it

H

¹

(Q)

. Togda k ne primenima Lemma 2.1, soglasno kotoro

@

x

u

i

= 0

v

Q

. Sledovatel~no

u

i

(xy) = u

i

(y)

, i blagodar uslovi (3.14) funkci

u

i est~ todestvenny nol~ v

Q

.

Tem samym, iz predpoloeni o suwestvovanii netrivial~- nyh sobstvennyh funkci

u

^{1 i}

u

² sleduet, qto kofficienty

c

^1,

c

² otliqny ot nul. Teper~ privedennye vyxe rassudeni mo- no primenit~ k lineno kombinacii

c

²

@

x

u

^1;

c

¹

@

x

u

^{2 i poluqit~}

ravenstvo

c

²

u

^1;

c

¹

u

²

= 0

^v

Q

, protivoreqawee predpoloeni o lineno nezavisimosti

u

^{1 i}

u

^2.

Iz Lemmy 3.1 i klassiqeskih rezul~tatov o nepreryvnyh vozmuwenih samosoprennyh operatorov (sm., naprimer 12], gl. 9, ^x4) vytekaet

Lemma 3.2. Dl kadogo n = 12::: suwestvuet

n

> 0 takoe, qto dl 0

⁶

b <

n

sobstvennoe znaqenie

n^(;)

(b) operatora

^K(;)_b

vlets prostym i

n^(;)

(b)

^!

n^(;)

(0) pri b

^!

0 .

Dokazatel~stvo.

Tak kak

;

K

(;)b ^;K(;)0

w

(x) = 1

1

Z

0

w()log x + + 2b x + d

^(3.15)

to

K

(;)b ^;K(;)0

2

6

^;2

1

Z

0 1

Z

0

log(x + + 2b)

^;

log(x + )

²

dxd

=

^;2

2b

²

log

²

(b) + 2(1 + b)

²

log

²

(1 + b)

^;

4b

²

log(4b)

;

4b(1 + b)log(1 + b)

^;

(1 + 2b)

²

log

²

(1 + 2b) + 4b(1 + 2b)log(1 + 2b) + 4b(1 + b)log(2)log(2b

²

)

;

4b(2 + b)Li

^2;;

b

^;1

+ 8b(1 + b)Li

^2;;

(2b)

^;1

(3.16) gde integral vyqislets tem e sposobom, qto i vyraenie v formule (3.2). Formuly, ispol~zovannye dl predel~nogo pere- hoda ot (3.2) k (3.3) pozvolt nati dl pravo qasti v nera- venstve (3.16) asimptotiku, kotora imeet vid:

^;2h

10

^;

2

²

3

^;

4log(4b)

ⁱ

b

²

+ O

^;

b

^{3 pri}

b

^!

0:

ta asimptotika ocenivaet skorost~, s kotoro operator ^K(;)b shodits po norme k^K(;)0 , kogda

b

^!

0

. Teper~ utverdenie lem- my vytekaet iz Lemmy 3.1 i upomnutyh rezul~tatov teorii vozmuweni samosoprennyh operatorov.

3.4. Predely sobstvennyh znaqeni pri b

^!1

.

Soglasno Teoreme 3.1, dokazanno v p. 3.2,

^1(;)

(b)

^!

0

^pri

b

^{! 1}. Zdes~ rassmatrivaets vopros o predel~nyh znaqenih

n^(;)

(

¹

)

^,

n = 23:::

, k kotorym stremts pri

b

^!1ostal~nye

sobstvennye znaqeni operatora ^K(;)b ^.

Teorema 3.3. Predely

n^(;)

(

¹

) , n = 23::: , suwestvut i dl nih spravedlivy ravenstva:

_n^(;)

(

¹

) = 2

n^;1

n = 23:::

^(3.17)

gde

^f

n^g11

{ posledovatel~nost~ sobstvennyh znaqeni zadaqi:

r

2

u = 0 v

^R2;

@

y

u = u pri

^j

x

^j

< 1 y = 0

@

y

u = 0 pri

^j

x

^j

> 1 y = 0

1

Z

;1

u(x0)dx = 0

^Z

R 2

;

jr

u

^j2

dxdy <

¹

:

9

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

(3.18)

Prede qem perehodit~ k dokazatel~stvu to teoremy zame- tim, qto v naxih oboznaqenih

²k^;1

=

_k^(;)

(0)

²k

=

_k⁽⁺⁾

(0) k = 12:::

^(3.19)

qeredovanie simmetriqnyh i antisimmetriqnyh mod sleduet, naprimer, iz rezul~tatov raboty 10].

Dokazatel~stvo.

Qerez

L

^(2c)

(01)

oboznaqim ortogonal~noe do- polnenie v

L

²

(01)

k odnomernomu podprostranstvu, sostowemu iz konstant. sno, qto proektor na

L

^(2c)

(01)

^{imeet vid:}

;

Pw

(x) = w(x)

^;

1

Z

0

w()d:

Analogiqno, pust~

L

^(2w1)

(01)

{ zaviswee ot

b

podprostran- stvo

L

²

(01)

, ortogonal~noe poloitel~nomu rexeni

w

¹

= w

^1(;)

uravneni (3.1) pri

^(;)

=

^1(;), vlwemus fundamental~- nym harakteristiqeskim znaqeniem. Operator proektirovani na

L

^(2w1)

(01)

opredelets formulo

;

P

¹

w

(x) = w(x)

^;

1 w

¹

(x)

1

Z

0

w

¹

()w()d:

Ocenim normu ^k

P

^1;

P

^kpri

b

^!1, dl qego vospol~zuems ne- ravenstvom

P

^1;

P

²⁶

1

Z

0 1

Z

0

1

^;

w

¹

()=w

¹

(x)

²

dxd:

Iz asimptotik (3.4) i (3.5) vytekaet sleduwa formula

1

^;

w

¹

()

w

¹

(x) = s()

^;

s(x)

log2b + O(1=log

²

b)

^pri

b

^!1

gde

s(x) = xlogx+(1

^;

x)log(1

^;

x)+1=2

. Tak kak dvono integral ot funkcii

s(x)

^;

s()]

² koneqen, to predyduwie sootnoxeni privodt k ocenke

P

^1;

P

= O(1=logb)

pri

b

^!1

:

(3.20) Dl rassmotreni sobstvennyh znaqeni

_k^(;),

k = 23:::

^,

sproektiruem uravnenie (3.1) na podprostranstvo

L

^(2w1)

(01)

:

P

¹

w

^(;)

=

^(;)

P

^1K(;)_b

P

¹

w

^(;)

(3.21) i pokaem, qto

P

^1K(;)_b

P

^1;

P

^K(0)

P

= O(1=logb)

pri

b

^!1

:

(3.22) Zdes~ ^;K(0)

w

(x) =

^;

^;1R01

w()log

^j

x

^;

^j

d

. Dl obosnovani ocenki (3.22) vospol~zuems ravenstvom^K(;)b

=

^K(0)

+

^K(1)

+

^K(2), gde poslednie dva operatora zavist ot

b

i zadany sleduwim obrazom:

;

K

(1)

w

(x) = log2b

1

Z

0

w()d

;

K

(2)

w

(x) = 1

1

Z

0

w()log

x + 2b + 1

d:

Togda operator v pravo qasti (3.21) predstavim v vide:

P

^1K(;)_b

P

¹

=

^X2

m⁼⁰

h

;

P

^1;

P

^K(m);

P

^1;

P

+

^;

P

^1;

P

^K(m)

P + P

^K(m);

P

^1;

P

+ P

^K(m)

P

ⁱ

:

Ustreml

b

^!1, ocenim vklady slagaemyh s

m = 012

v ot- del~nosti.

Tak kak operatory

P

i ^K(0) ne zavist ot

b

, to dl pervyh treh slagaemyh, vhodwih v posledn summu pri

m = 0

^{, imeet}

mesto ocenka

O(1=logb)

, kotora vytekaet iz (3.20). Dalee, iz oqevidnyh ravenstv

P

^K(1)

=

^K(1)

P = 0

sleduet, qto qlen, soot- vetstvuwi

m = 1

, raven

(P

^1;

P)

^K(1)

(P

^1;

P)

. Potomu, vsled- stvie sootnoxeni (3.20), dl nego take spravedliva ocenka

O(1=logb)

pri

b

^{! 1}. Nakonec, dl slagaemogo, otveqawego

m = 2

, ocenka

O(b

^;1

)

vytekaet iz neposredstvenno proveremogo fakta: ^kK(2)k

= O(b

^;1

)

pri

b

^!1.

Obedin poluqennye ocenki, prihodim k sootnoxeni (3.22). Ono, v svo oqered~, pozvolet primenit~ rassudeni, ispol~zovannye v dokazatel~stve Lemmy 3.2, i ustanovit~, qto pri

b

^{! 1} sobstvennye znaqeni operatora

P

^1K(;)_b

P

¹ shodt- s k sobstvennym znaqenim operatora

P

^K(0)

P

. Kak sleduet iz rezul~tatov ^x 3 raboty 13], zameny peremennyh

x

^!

2x

^;

1

ⁱ

^!

2

^;

1

preobrazut posledni operator v integral~ny ope- rator, nabor harakteristiqeskih znaqeni kotorogo sovpadaet so spektrom kraevo zadaqi, figuriruwe v formulirovke te- oremy. Tem samym, predely

n^(;)

(

¹

)

^,

n = 23:::

, suwestvut.

Dl dokazatel~stva ravenstv (3.17) ostaets zametit~, qto ko- fficient dva v ih pravo qasti voznikaet kak rezul~tat rast- eni koordinat v privedennyh vyxe zamenah peremennyh.

3.5. Prostota sobstvennyh znaqeni spektral~no zadaqi (3.1).

Teper~ my moem zaverxit~ dokazatel~stvo osnovnogo utver- deni dannogo paragrafa.

Dokazatel~stvo Teoremy 3.2.

Poskol~ku operator ^K(;) urav- neni (3.1) zavisit ot

b

analitiqeski pri

b > 0

, analitiqe- ska teori vozmuweni operatorov (primenitel~no k samoso- prennym operatoram sm. 14, q.

VII

, p. 3]) garantiruet, qto dl lbogo znaqeni

n

grafik

n^(;)

(b)

predstavlet sobo kusoqno- gladku krivu, kotora ne moet imet~ koneqnyh toqek vnutri oblasti^f

> 0b > 0

^g. Priqem kratnost~ sohranets na gladkih komponentah, a izlomy sootvetstvut toqkam pereseqeni kri- vyh, otveqawih raznym modam. Pokaem, qto na samom dele takih toqek pereseqeni net.

Dl sobstvennyh znaqeni zadaqi (3.18) imet mesto nera-

venstva (sm. 10]):

n2 <

ⁿ

< (n + 1)2 n = 12:::

^(3.23)

iz kotoryh vvidu (3.19) sleduet, qto

n^(;)

(0)

^2;

n

^;

=2n

,

n = 12:::

. Prinima vo vnimanie predel~nye pri

b

^!1 svostva spektra, poluqennye v Teoreme 3.3, imeem

_n^(;)+1

(

¹

) = 2

n^2;

n(n + 1)

n = 12::: :

Rassmotrim polupolosu

¹

=

^f

b

^>

0 0 < <

^{g, kotora}

polnost~ soderit grafik

^1(;)

(b)

. Poslednee vytekaet iz po- loitel~nosti i monotonnosti

^1(;)

(b)

^po

b

, poskol~ku

^1(;)

(0)

²

(=2)

. Dopustim, qto v polupolose soderats qasti grafikov bolee vysokih mod. Pri tom, iz posledne vydelenno formuly sleduet, qto interval

(0)

ne soderit toqek predel~nogo pri

b

^!1spektra. Tem samym, vvidu monotonnosti po

b

^{vse soder-}

awies v

¹ krivye dolny pri

b

^!1 prihodit~ k nulevomu znaqeni. Poslednee vlets prostym, i mono zaklqit~, qto mody s

n > 1

ne popadat v

¹ { v to polupolose kadomu zna- qeni

b

^>

0

sopostavlets edinstvennoe znaqenie

^1(;)

(b)

, pri tom

^1(;)

(

¹

) = 0

(sm. take Teoremu 3.1).

Rassmotrim polupolosu

²

=

^f

b

^>

0 < < 2

^g. Poskol~ku

^2(;)

(0)

²

(3=22)

ⁱ

^2(;)

(b)

^{ubyvaet po}

b

, to grafik

^2(;)

(b)

^pol-

nost~ soderits v to polupolose. Dopustim, qto v

^2take

soderats qasti grafikov bolee vysokih mod. ti funkcii mo- notonno ubyvat, no ne mogut popast~ v interval

^{1. Sledova-}

tel~no, pri

b

^!1krivye prihodt k znaqeni

2

^12;

2

. Iz Lemmy 3.1 i Teoremy 4.2, kotora budet dokazana v sleduwem paragrafe, sleduet, qto sobstvennye znaqeni

_n{ prostye. Po- tomu mono zaklqit~, qto v

² imeets edinstvenna kriva

^2(;)

(b)

. Prodola tot process mono pokazat~, qto

_n^(;)

(b)

^2;

(n

^;

1)n

n = 12::: b

^>

0:

(3.24) Tem samym, krivye ne peresekats i kratnost~ sohranets na krivo

n^(;)

(b)

, a iz utverdeni Lemmy 3.2 sleduet, qto krat- nost~ ravna edinice. Poslednee zaverxaet dokazatel~stvo Teo- remy 3.2.

4. Simmetriqnye mody

4.1. Spektral~na zadaqa dl integral~nogo operatora.

Naqnem so svostva simmetriqnyh sobstvennyh funkci, ko- toroe igraet suwestvennu rol~ v dal~nexem.

Lemma 4.1. Esli u

⁽⁺⁾

(xy) { sobstvenna funkci zadaqi (1:2) { (1:6) , sootvetstvuwa

⁽⁺⁾⁶

= 0 , to spravedlivo ravenstvo

b⁺¹

Z

b

u

⁽⁺⁾

(x0)dx = 0:

(4.1)

Dokazatel~stvo.

Pust~

r > b+1

, togda soglasno pervo formule Grina dl

u

⁽⁺⁾ v oblasti

Q

^\fj

z

^j

< r

^g, s uqetom uslovi (1.2){

(1.5) imeem

^{(+) b}

+1

Z

b

u

⁽⁺⁾

(x0)dx =

^;Z

Cr

@

ⁿ

u

⁽⁺⁾

ds

gde

C

_r

= Q

^\fj

z

^j

= r

^g.

Posledni integral stremits k nul, kogda

r

stremits k beskoneqnosti, prinima znaqeni iz nekotoro posledovatel~- nosti (vsledstvie (1.6) imeet mesto perva iz formul (2.2) v dokazatel~stve Lemmy 2.1). Perehod k predelu ukazannym spo- sobom, poluqaem ravenstvo (4.1).

Kak i v sluqae antisimmetriqnyh mod, udobno svesti zadaqu (1.2){(1.6) k kvivalentno spektral~no zadaqe dl integral~- nogo operatora. V rabote 13], gde rassmatrivalas~ zadaqa, ana- logiqna naxe, no v predpoloenii, qto kofficient

p

^{v (1.1)}

raven edinice tol~ko na odnom intervale

(

^;

11)

osi absciss, dl to celi byla predloena funkci

W(z) =

^;

1

(

log 4(z

^;

)

(1

^;

2z)(1

^;

2)

^;

1 + 2z 2 log

1 + 2z 1

^;

2z

;

1 + 2 2 log

1 + 2 1

^;

2

+ 12

^;

i(z + )

)

(4.2)

Dl

(xy)

²

Q

i

²

(bb + 1)

opredelim sleduwu funkci

G(xy) = 2

^;1

Re W(z + b + 2

^;1

+ b + 2

^;1

) +W(z

^;

b

^;

2

^;1

^;

b

^;

2

^;1

) + W(z + b + 2

^;1

^;

+ b + 2

^;1

)

+W(z

^;

b

^;

2

^;1

^;

^;

b

^;

2

^;1

)

^;

G

⁰

(b)

^(4.3)

gde

G

⁰

(b) = 12

2b

²

log(2b) + 2(1 + b

²

)log2(1 + b)]

^;

(1 + 2b)

²

log(1 + 2b)

:

Danny vybor

G

⁰

(b)

obespeqivaet vypolnenie uslovi b⁺¹

Z

b

G(x0)dx =

^b

+1

Z

b

G(x0)d = 0:

^(4.4)

Iz postroeni

G

, vvidu svostv funkcii

W

, ukazannyh v 13], sleduet qto vypolnets kraevoe uslovie

@

y^;

G(xy)+

^;1

log

^j

z

^;

^j_y

=0

=

0

pri

x

²

(0b)

(b + 1+

¹

)

;

1

pri

x

²

(bb + 1)

(4.5) Pust~

H() = (

^;

b)log(

^;

b)

^;

( + b)log( + b) + (1 + b

^;

)log(1 + b

^;

) +(1 + b + )log(1 + b + )

^(4.6)

togda netrudno pokazat~, qto pri ^j

z

^j!1 imet mesto asimpto- tiqeskie formuly

G(z) = 1

^;

G

⁰

(b)

^;

2y + 1H()+O(

^j

z

^j;2

)

@

_x

G = O(

^j

z

^j;3

) @

_y

G =

^;

2 + O(

^j

z

^j;3

)

(4.7) kotorye vypolnts ravnomerno po

²

bb + 1]

.

Teorema 4.1. Zadaqa (1:2) { (1:6) dl simmetriqnyh mod kviva- lentna spektral~no zadaqe

w

⁽⁺⁾

(x) =

^{(+) b}

+1

Z

b

G(x0)w

⁽⁺⁾

()d x

²

(bb + 1)

^(4.8)