В. С. Потапов, И. Г. Михайлов, Четвёртая математиче- ская олимпиада в г. Сталинграде, УМН , 1953, том 8, вы- пуск 6(58), 163–168

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. С. Потапов, И. Г. Михайлов, Четвёртая математиче- ская олимпиада в г. Сталинграде, УМН , 1953, том 8, вы- пуск 6(58), 163–168

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

7 ноября 2022 г., 00:44:29

УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ЧЕТВЁРТАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА В ГОР. СТАЛИНГРАДЕ

В. С. П о т а п о в и И. Г. М и х а й л о в

В Сталинграде в 1952/53 учебном году проведена четвёртая математиче­

ская олимпиада школьников. По примеру прошлых лет она была проведена в два тура. Учащиеся, успешно прошедшие первый тур, допускались ко второму.

В первом туре приняли участрхе 1019 учащихся; ко второму туру были допущены 804 человека. Первый тур состоялся 1 февраля, второй—29 марта 1953 г. Характерной особенностью четвёртой олимпиады является массовое участие в ней учащихся. Это объясняется тем, что проведению олимпиады предшествовала большая подготовительная работа (которая проводилась ка­

федрой математики Пединститута, с одной стороны, и городским Домом пио­

неров—с другой).

При кафедре математики уже четыре года существует школьный мате­

матический кружок. За четыре года этот кружок значительно вырос. Если в первом году его посещали учащиеся десятых и девятых классов, то теперь он объединяет учащихся седьмых*(120 чел.), восьмых (101 чел.), девятых(52 чел.) и десятых (19 чел.) классов. Работа ведётся отдельно по каждому классу.

По существу это уже не один кружок, а четыре. Руководит работой кружка старший преподаватель А. Г. Дорфман.

В течение года по каждому классу было проведено 10 занятий. На заня­

тиях сотрудниками кафедры были прочитаны лекции: «Построения ограни­

ченными средствами» (А. Г. Дорфман), «Задача Мальфати» (ст. преподаватель П. И. Конопатов), «Множества и их мощность» (доц. 3 . И. Козлова), «При­

менение математики в технике» (асе. А. И. Соболев), «Общие признаки дели­

мости» и «Геометрические построения с недоступными точками и прямыми»

(доц. Е. Д. Губа). Этот список далеко не исчерпывает всех лекций. Кроме этого, проведены беседы по следующим темам: «Происхождение мер», «Из истории математики», «Русские счёты», «Для чего мы изучаем математику». На каждом занятии решались задачи, которые подбирались в соответствии с про­

граммой того или иного класса.

При городском Доме пионеров были организованы устные и письменные консультации по решению задач, которые были отпечатаны в виде листовок и направлены в школы. В них были предложены следующие вопросы:

11*

164 В . С. П О Т А П О В И И . Г. М И Х А Й Л О В

1. Что вы знаете о Н. И. Лобачевском?

2. Перечислить все фигуры, которые получаются при пересечении куба плоскостью.

3. Вычислить сумму

4. Показать, что число а = Ы + 3 при любом целом п не может быть полным квадратом.

5. В треугольнике высота и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол на три равные части. Вычислить углы этого треугольника.

6. Пионер, собирая деньги на радиоприёмник, обратился за помощью к отцу и двум его братьям. Они помогли ему. Выяснилось, что первый дядя добавил 25% того, что было собрано без него, включая накопления мальчика.

Второй дядя и отец добавили соответственно 3 3¹/³% и 50% того, что было собрано без них, включая накопления мальчика. Сколько стоил приёмник, если у пионера было 104 руб.? (Решить арифметически.)

7. Даны два скрещивающихся отрезка. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих каждую точку первого отрезка с каждой точкой второго.

8. Найти период функции sin 2х—cos 2x.

Такие же листовки были напечатаны и для учащихся 7-х, 8-х и 9-х клас­

сов. Сотни писем учащихся были получены Домом пионеров, в них содержа­

лись решения задач и вопросы по решению той или иной задачи.

Активное участие в подготовке и проведении олимпиады принимают и учителя математики школ города.

В результате первого и второго туров' олимпиады награждены премиями и грамотами 33 чел.: из 7-х классов—8 чел., из 8-х классов—9 чел., из9-х классов—4 чел., из 10-х классов—12 чел. и награждены только грамотами 20 чел.: из 7-х классов—6 чел., из 8-х классов—7 чел., из 9-х классов—4 чел., из 10-х классов—3 чел.

Лучшими как в первом, так и во втором туре были признаны работы сле­

дующих учащихся:

по 7 кл. Петрунина Юрия (шк. № 15), Ивановой Людмилы (шк. № 11);

по 8 кл. Аврутина Юлия (шк. № 23), Кубышкина Виктора (шк. № 8);

по 9 кл. Логутова В. (шк. № 8);

ло 10 кл. Эрлих Михаила (шк. № 12).

Все они являются активными участниками кружка юных математиков.

Опыт проведения занятий в кружках юных математиков показал, что в знаниях учащихся есть существенные пробелы. Так, например, некоторые учащиеся старших классов имеют неправильное, искажённое представление о тригонометрических функциях и их графиках, затрудняются при определе­

нии значений тригонометрических функций для значения аргумента 0,-f, ~ ,

^г, у , 2тг. Многие учащиеся не умеют дать полного анализа задачи, из-за

чего решение часто усложняется, проводятся лишние вычисления, построе­

ния, находятся данные, которые впоследствии не используются, и т. д. Сле­

дует отметить, что у некоторых учащихся отсутствуют навыки в построении графиков. Так, например, построение графиков вида у=ах-\-Ь и у=ах2-\~Ъх-\-с для многих учащихся представляет трудности.

Ниже приводятся тексты задач, предлагавшихся на 4-й математической олимпиаде.

ПЕРВЫЙ ТУР

З а д а ч и д л я 7 к л а с с а

1. Знаменатель дроби на 5 больше её числителя. Если к числителю этой дроби прибавить 14, а от знаменателя отнять 1, то получится дробь, обратная данной. Найти дробь.

2. Произвести действия:

L pq p + q \q p J J ' p 3. Разложить на множители:

| - аЧЧ* + g Ь*а* -ь А С6 + ьЧсК

4. Из двух рабочих, получивших одинаковое производственное задание, первый перевыполнил его на 5 0 % , а второй—на 2 0 % . На сколько процентов первый рабочий выработал больше, чем второй? На сколько процентов второй рабочий выработал меньше, чем первый.

5. В А и ВС—две касательные к окружности с центром в точке О, прове­

дённые из точки В, лежащей вне круга. М—произвольная точка окружности.

DE—отрезок касательной к окружности, проходящей через точку М заклю­

чённый между сторонами угла ABC. Доказать, что величина угла DOE не з а висит от положения точки М.

З а д а ч и д л я 8 к л а с с а 1. Произвести действия:

т-\-п т / т-\-п , п т \

\/ т + }/~п Ч | / тп т — | / тп "\frnn + п J

2. Один из двух заводов может выполнить некоторый заказ на четыре дня скорее, чем другой. Во сколько времени может каждый из них выполнить этот заказ, если известно, что при совместной работе они за 24 дня выполнили заказ, в 5 раз больший?

3. Доказать, что два треугольника подобны, если они имеют по равному углу и если высоты, опущенные на стороны, заключающие эти углы, пропор­

циональны.

4. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна 20 см. Из середины гипо­

тенузы восставлен к ней перпендикуляр до пересечевдтя с большим катетом;

длина его 15 см. Найти катеты.

166 В . С. П О Т А П О В И И . Г. М И Х А Й Л О В

5. Построить треугольник по основанию, высоте и углу при вершине.

6. 3/10 одного куска материи равны 2/2 второго, а4/5 второго куска равны целому первому куску без двух метров. Сколько метров материи в каждом куске?

З а д а ч и д л я 9 к л а с с а

1. Экскаватор должен был вынуть 10 000 м³ земли в определённый срок.

Вследствие рационализации работы в час вынималось на 50 м3 больше, и по­

этому задание было выполнено на 10 часов раньше. Определить, в какой срок должна была быть выполнена работа.

2. Две полеводческие бригады заняты на уборке урожая. Чтобы уско­

рить работу, число членов первой бригады ежедневно увеличивали на 3 чело­

века, а второй — на 5 человек. Через пять дней после начала работы в обеих бригадах было 57 человек,- причём в первой бригаде на 3 человека меньше, чем во второй. Сколько человек было в каждой бригаде в первый день работы?

3. Упростить следующее выражение:

V 1/6 — 1 / 6 — 2 3 — ] / б /Ч Г '

4. Периметр ромба содержит 2р см, сумма его диагоналей т см: найти площадь ромба.

5. Около круга радиуса R описан равнобедренный треугольник с углом в 120°. Определить стороны треугольника.

6. Определить, при каких значениях х | sin х | > | cos x |.

З а д а ч и д л я 10 к л а с с а

1. В треугольнике из одной вершины проведены высота, биссектриса и медиана. Доказать, что биссектриса расположена между высотой и медиа­

ной.

2. Построить треугольник по углу, прилежащему к основанию, высоте и биссектрисе, проведённым к основанию.

3. Какие фигуры могут получиться при пересечении правильного тетра­

эдра произвольной плоскостью?

4. Решить систему уравнений

2 2 2

Xs — у3 = а3, 1 1 1 х³ + у³ = Ъ³. 5. Найти период функции

у = sin⁴ х — cos⁴ x.

6. Решить уравнение

(tgxY^lnx = (ctgx)^C0SX.

ВТОРОЙ Т У Р З а д а ч и д л я 7 к л а с с а

1. Два сосуда вместимостью в 144 ведра и 70 вёдер содержат некото­

рое количество воды. Если больший сосуд долить доверху водой из вто­

рого сосуда, то в последнем останется ещё ведро воды. Если же долить доверху меньший сосуд водой из большего сосуда, то в большем оста­

нется 3/4 первоначального количества воды.

Сколько вёдер воды содержится в каждом сосуде?

2. Построить ромб по углу, образованному диагональю и стороной, и по сумме его диагоналей.

3. Соединены середины смежных сторон произвольного четырёхуголь­

ника. Доказать, что получится параллелограмм. Каким должен быть перво­

начальный четырёхугольник, чтобы в пересечении получился прямоуголь­

ник, ромб, квадрат?

З а д а ч и д л я 8 к л а с с а

1. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот остро­

угольного треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.

2. Решить уравнение

(х— а) Ух — а — (Ъ — x)Vb—х -,

= О — а.

у х — а — ] / b —х

3. Построить треугольник по радиусу описанной окружности и отно­

шению а : ha : та — т : п : р.

4. На обработку одной детали один рабочий затрачивает времени на 7 минут меньше, чем другой. Сколько деталей каждый из них обрабаты­

вает за 4 часа, если первый за это время обрабатывает на 28 деталей больше второго?

З а д а ч и д л я 9 к л а с с а 1. Доказать тождество

1 , 1 , 1 . . 1

log* 2 log* 4 log* 4 log* 8 ' log* 8 log* 16 ^ ' ' * log* 2"~4og* 2™ т

1 - 1

n J V iogx 2 2. Доказать все признаки подобия треугольников по основным элементам*

3. Даны два прямоугольных треугольника; построить треугольник, подобный одному и равновеликий другому.

4. Две бригады выполняют некоторую работу за 66/7 дня. Если будет работать половина рабочих первой бригады и ^х/³ рабочих второй бригады, то та же работа будет выполнена за 1616/17 дня. За сколько дней может выполнить эту работу каждая из бригад в отдельности? (Решить арифме­

тически.)

168 В . С. П О Т А П О В И И . Г. М И Х А Й Л О В

З а д а ч и д л я 10 к л а с с а 1. Задача 4 для 9 класса.

2. Решить и исследовать уравнение в зависимости от значений а и Ъ:

(х + ш2)5 + (х — ib2f = (ж + ib2f + (x— ia2f.

3. Доказать, что периметры фигур, получающихся от пересечения пра­

вильного тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным рёбрам тетраэдра, равны между собой.

4. Решить уравнение sin х + sin 2х + sin Зх = 1 -f cos х + cos 2x.

5. Построить треугольник по основанию, прилежащему углу и радиусу вписанной окружности. Провести анализ и исследование.