Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. В. Пухликов, Оптимальные билинейные системы на плоскости, Диф- ференц. уравнения, 1998, том 34, номер 11, 1516–1520
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
2 ноября 2022 г., 22:31:27
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
1998. Т. 34, Ш 11. С. 1516 — 1520
УДК 517.977
О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Б И Л И Н Е Й Н Ы Е С И С Т Е М Ы Н А П Л О С К О С Т И
А . В . П У Х Л И К О В
0 . В в е д е н и е . Цель настоящей р а б о т ы — дать полное описание динамики двумерных билинейных систем со скалярным управлением. Такие системы, весьма специфичные, нужны в общей задаче изучения билинейных систем, исключительно важной в силу т о г о , ч т о задачи управления распределениями ( с м . [1 — 4]) линейны по состоянию системы. Т е м самым конеч
номерные системы, линейные по переменным состояния (прежде всего билинейные с и с т е м ы ) , являются о б ъ е к т о м одновременно обозримым в силу конечномерности и линейности и "столь же сложным", ч т о и управляемые системы самого общего вида. По-видимому, конечномер
ные билинейные системы позволяют моделировать любые особенности поведения оптимальных систем.
С т а т ь я построена следующим образом: п. 1 посвящен точному оформлению м о т и в и р у ю щ и х соображений, у п о м я н у т ы х выше; здесь ставится общая задача изучения билинейных систем и нам:ечаются некоторые перспективные подходы к их анализу; п. 2 посвящен двумерным би
линейным системам со скалярным управлением — основному предмету с т а т ь и . При э т о м используем терминологию кусочно-гладких гамильтоновых систем [5].
1. Б и л и н е й н ы е с и с т е м ы .
1.1. З а д а ч и у п р а в л е н и я распределениями. Рассмотрим управляемую динамическую систему dx/dt — Yx(u) на гладком многообразии М\ где Y(u) — семейство управляющих векторных полей, зависящих о т управления и, U — множество д о п у с т и м ы х управлений.
Расширяя класс состояний системы до некоторого пространства V в е р о я т н о с т н ы х распре
делений на конфигурационном пространстве М , получаем систему dujjdt — —Ly^u, где и£ йп(М) — ф о р м а максимальной степени, задающая распределение, Z , —производная Ли.
Если М = Rn, т о форма и естественно записывается как p(x)dx, где dx — dxi Л . . . Л dxn — стандартная линейная форма объема, р(-) > 0 — плотность вероятности. Управляемая дина
мическая система принимает вид уравнения неразрывности dp(t, x)/dt+diwx[p(t, x)f(x,u)] ~ О, где f(x,u) -- Yx(u) — координатная запись векторного поля.
Таким образом, опираясь на произвольную управляемую систему, приходим (с помощью стандартной процедуры замены точечных состояний вероятностными распределениями) к системе вида
х = А(и)х, (1)
где х £ V, V — некоторое линейное п р о с т р а н с т в о , Л(-) — линейный оператор, зависящий о т управления. Новая система линейна по состоянию, но в сущности эквивалентна исходной. На
конец, моделировать поведение бесконечномерных систем управления распределениями можно, рассматривая их конечномерные аппроксимации.
Сказанное выше обосновывает изучение конечномерных управляемых систем ( 1 ) , линей
ных по с о с т о я н и ю . Нетрудно понять, ч т о (при достаточно большой размерности конфигура
ционного п р о с т р а н с т в а V) их динамика "столь же сложна", ч т о и поведение произвольной управляемой системы. Настоящая р а б о т а посвящена анализу некоторых специальных типов таких систем.
1.2. О п т и м а л ь н ы е с и с т е м ы , Согласно принципу максимума Понтрягина, в случае терминального показателя качества оптимальное управление в системе ( 1 ) определяется экс
тремальным условием
(р, А(и)х) -> sup, (2)
где р € V*) V* — двойственное п р о с т р а н с т в о , и двойственная траектория p(t) 6 V* является интегральной для системы
Таким образом, оптимальная система (1) может б ы т ь представлена как кусочно-гладкая га- мильтонова система на симплектическом многообразии V х V* с гамильтонианом Я ( р , х) — - sup(p, А(и)х). Функция Гамильтона положительно-однородна как по координатам, так и по импульсам, ч т о позволяет о с у щ е с т в и т ь факторизацию по R^j_ х R + и перейти к кусочно- гладкой автономной системе на произведении сфер 8^ х Sp.
Д р у г у ю интерпретацию оптимальной системы (1) — (3) получаем, вкладывая произведе
ние V X V* в V ® V* ^ End V : паре (р, х) ставим в с о о т в е т с т в и е линейный оператор х ® р, V Э v \~* p(v)x: Нетрудно проверить, ч т о система (1) — (3) — сужение на образ э т о г о о т о бражения динамической системы dX/dt = [ A ( u ) , X ] , где управление находится из принципа максимума (А(и),Х) = Tr А(и)Х —> sup, [>, •] — обычный к о м м у т а т о р линейных операторов.
В таком виде кусочно-гладкая система может б ы т ь рассмотрена для любой (вещественной) алгебры Ли.
О т м е т и м , ч т о оптимальная система (1) — (3) допускает два естественных первых инте
грала: скалярное произведение (jp, х) и сам гамильтониан Н(р,х). В рассмотренном выше операторном представлении э т о следы Т г Х и Тт А(и)Х с о о т в е т с т в е н н о . Других очевидных интегралов не имеется.
1.3. О п т и м а л ь н ы е билинейные с и с т е м ы . Важнейший класс управляемых систем образуют системы, линейные по управлению. Их аналогом относительно процедуры перехода к вероятностным распределениям являются билинейные системы (1) (3), где А(и) — А0 + +QiU1 + . . . + £2fc^jfc) Ui — скалярные параметры. В данной работе ограничимся случаем к — 1, О < и < 1. Положим Q = Qu А0 = А = А _ , AQ + Q =
Общая картина динамики такой оптимальной системы д о с т а т о ч н о п р о с т а . Квадратичная гиперповерхность Q = { ( р , Qx) = 0 } С V х V* разбивает 2п -мерное п р о с т р а н с т в о V х V*
на отрицательную и положительную половины: V х V*\Q ~ U_ \JU+, ± ( р , Qx)\u± > 0. На о т к р ы т ы х кусках U± движение осуществляется вдоль траекторий линейных гамильтоновых систем с гамильтонианами Н± -~ (р->А±х) с о о т в е т с т в е н н о . Приходя на гиперповерхность из
лома (J, траектории терпят излом и "переключаются" на другой гамильтониан. Динамика линейных систем п р о с т а . П о э т о м у задача описания динамики оптимальных билинейных си
стем в с у щ н о с т и сводится к задаче описания контактов линейных систем с квадратичными гиперповерхностями.
Л е м м а 1,1. Допустим, что оператор А диагонализируется в некотором базисе. Тогда траектория системы (1), (3) пересекает квадратичную гиперповерхность Q не более чем п(п — 1) раз.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем Q в собственных координатах оператора А и воспользу
емся тем, ч т о между двумя нулями гладкой функции лежит нуль ее производной.
носителыю некоторого базиса. Т о г д а функция времени (p(t)^Qx(t)) будет 2ir -периодической, так ч т о если траектория пересекает Q , т о она будет периодически на нее возвращаться.
1.4. О т о б р а ж е н и е в о з в р а т а . При прохождении траектории через гиперповерхность из
лома Q она переходит из области U± в о б л а с т ь UT. Т о г д а имеем разбиение Q ~Q+ \JQ° \JQ~ ? Q± — {(p,x) G Q\ ±(p,[Q)A±]x) > 0 } , поскольку производная квадратичной функции (p>Qx) в силу рассматриваемой системы именно (р, [Q, А±]х). Положим D± С Q± — о б л а с т и возвра
та, т . е . траектория, исходящая из точки z Е D ± , снова возвращается на гиперповерхность излома. На э т и х о б л а с т я х определены отображения R± : D± ~» Q первого возврата на Q. В явном виде положим Т : D± —> R + , Т : D± Э (р,х) н-> m i n { ( е х р ( - A *±i ) p ^ e x p ( A±t ) x ) £ Q}, т о г д а R±(p,x) = ( e x p ( ~ A 5 _ T ( p , а : ) ) р , е х р ( Л±Т ( р , x))x).
Задача описания динамики билинейной системы сводится к описанию областей возврата
р=-А*(и)р. (3)
С другой с т о р о н ы , уже в двумерном
D± и отображений (первого) возврата R±. В общем случае э т а задача чрезвычайно слож
на: с у ч е т о м сказанного в п. 1.1 скалярные билинейные системы "столь же сложны", ч т о и все системы, линейные по скалярному управлению. Рассмотрим некоторые первоначальные свойства введенных о б ъ е к т о в .
Вычислим дифференциал отображения возврата. Касательное п р о с т р а н с т в о к квадра
тичной гиперповерхности Q в точке (р,х) задается условием T^^Q = {(тг,£) € V* ф V\
(7г, Qx)+(p9 Q£) = 0 } . П о э т о м у дифференциал отображения времени первого возврата вычисля
ется из соотношения й Т( Р ) Я ;) ( 7 г , £ ) ( р , [Q, А]х) + (exp(~A*T(p,x))Tr,Qx) + (<2*р,ехр(АТ(р,ж))£) =
= 0, где (р.х) = й ( р , ж), А = А ± . Дифференциал самого отображения возврата теперь по
лучается так: компоненты вектора сШ(Р ) й 7)(тг,£) с у т ь е х р ( - А * Т ( р , ж))х — йТ(р > г.)(тг,£)А*р и e x p ( A T ( p , z ) ) £ +-dT(PtX)(ir,£)Ax с о о т в е т с т в е н н о .
1.5. Д и ф ф е р е н ц и а л о т о б р а ж е н и я в о з в р а т а по основным д а н н ы м . Один из возмож
ных способов изучения билинейных систем в целом дает теория деформаций. Исходя из систе
мы, поддающейся явному изучению (при специально подобранных операторах А и Q ) , можно, деформируя основные данные ( т . е . э т и операторы), определить геометрию интегральных тра
екторий систем общего типа. Первая задача здесь — вычислить дифференциал отображения возврата по ( A , Q).
С технической точки зрения главная т р у д н о с т ь здесь — вычисление дифференциала экс
поненты £(ехрТА)/<5А.
Предположим, ч т о оператор А диагонализируем и все его собственные значения различны.
Л е м м а 1.2. Имеет место разложение End V = C ( A ) ® i V ( A ) , где С (А) = (Е, А , А2, . . . ) =
= {F\ [F, А] = 0 } , а подпространство N ( А ) определяется условием N(A) =. {F\ Тг (i^A*) — 0, г 6 Z+} шш эквивалентным ему (для данного А) N(A) — { [ F , A ] | F G End V ' } . При этом отображение a d A : N(A) —> JV(A) е с т ь изоморфизм.
Д о к а з а т е л ь с т в о получается элементарными вычислениями в собственном базисе опе
ратора А. Утверждение леммы — частный случай классического факта из теории полупро
с т ы х алгебр Ли [6].
Таким образом, касательный вектор к оператору А допускает единственное представле
ние вида 6А = SCA + [ А , £ПА ] , где <5СА £ С ( А ) , SnA Е i V ( A ) . Теперь нетрудно убедиться, ч т о £ехр А — 6еАехр А + [ехр а, £ПА ] . Явные формулы теории деформаций содержатся, напри
мер, в [7].
О т с ю д а , как и выше в п. 1.4, непосредственно получаются явные формулы для дифферен
циала времени возврата и самого отображения возврата относительно деформации оператора А. Деформация оператора Q не приносит трудностей.
2. Д в у м е р н ы е билинейные с и с т е м ы . В случае, когда конфигурационное п р о с т р а н с т в о V двумерно, динамика билинейной системы допускает полное и явное описание. Дадим его в предположении, ч т о собственные значения операторов А± различны- Вырожденные случаи, представляющие самостоятельный интерес, здесь рассматривать не будем.
2 . 1 . О б о з н а ч е н и я и основные данные. Как было отмечено в п. 1.2, факторизуя по действию мультипликативной группы положительных чисел R + , сводим фазовое простран
с т в о к произведению х S^, т . е . к двумерному тору. Любая пара линейных координат ( ж1 5ж2) н а V порождает однородные координаты (хг : х2) на S1. Точки (хг : х2) и (уг : у2) о т о ж д е с т в л я ю т с я , если у{ ~ Хх( для некоторого Л > 0. Гиперповерхность Q превращает
ся в кривую С = {(х,р) е Si X 3*| (p,Qx) = 0 } бистепени ( 1 , 1 ) . Оператор Q считаем невырожденным. Далее будем предполагать, ч т о Q находится в общем положении с А±. От
носительно фиксированных однородных координат (х1 : х2) матрица Q имеет вид ( ( < f c j ) ) ? 7 = r
хч, Р = - i d . Т о г д а знак числа (Jp^Qx) — локально постоянная функция на С. Нетрудно убедиться, ч т о кривая С распадается на две связные компоненты С±1 на к о т о р ы х э т о т знак есть + и - с о о т в е т с т в е н н о . На С± имеем р = ^IQx. Таким образом, можем о т о ж д е с т в и т ь кривую С с парой окружностей. Точки С идентифицируются однородными координатами
относительно однородных координат
(#i : х2) и знаком а своей компоненты.
Предположим теперь, ч т о координаты ж* с о о т в е т с т в у ю т собственному базису оператора А = А „ , т . е . А = d i a g [ AbA2] , где А2 > Аь Т о г д а на £/_ оптимальная система имеет вид
&i ~ Аг'Жг-5 Pi — Агрг.
2 . 2 . О б л а с т и в о з в р а т а . В с о о т в е т с т в и и со стратегией и. 1.4 вычислим области С± перехода из С/1 в Е/+ и н а о б о р о т . Поскольку [Q,A] — ( А2 — Ах) ( ^ ^2 ] , компо-
\ —Q2i О J
цента С * задается условием ± ( 9 i2p i #2 — g2i p2#x) > 0. В координатах (<7,ж*) э т о условие принимает вид ± с г ( ж ,( 2/ А[ < 2 , А]ж) > 0. Матрица ( А2 - A i ) ~iQ / [ Q , А] внутреннего оператора оказывается симметричной, ч т о позволяет применить критерий Сильвестра и заключить, ч т о при d e t Q [ Q , A ] > 0 полученная квадратичная форма знакопостоянна (знака asgn(212922) —
= asgn ( #2 1gu) ) , т. е. { С * } = { С ± } , а при det Q[Q, А] < 0 э т а форма имеет две изотропные прямые, т . е. С± разбивают к а ж д у ю из связных компонент С±. В силу нашего предположения об о б щ н о с т и положения ограничимся рассмотрением э т и х двух возможностей.
Сначала р а с с м о т р и м первый случай. Предположим для определенности, ч т о qnq2i и #12922 положительны, так ч т о С+ = С+, С" - С _ . Если э т и числа отрицательны, необходимо в с о о т в е т с т в у ю щ и х местах поменять знаки. На окончательный результат, приводимый ниже, э т о не повлияет.
П р е д л о ж е н и е 2.1. Область возврата D _ С С" определяется неравенством q\2p\X2~
- —912(921 #1 + 922^2)^2 > 0. Отображение возврата Д _ : J9_ —> С4" имеет вид (хг : ж2) > ^ (~9i292i(92i^'i + 922^2) • 9 i 2 92i ( 9 ua ;i + 912^2))- ^ бескоординатной записи относительно отождествления С± с V\{Q}/H*+, рассмотренного выше, отображение возврата имеет вид Д . : ж ь+ ( d e t [ Q , A ] ) [ Q , A ] Q z .
Д о к а з а т е л ь с т в о . П у с т ь точка ((жх : ж2) , ( рх : р2) ) G X SJ лежит на С_ — С " . Ее эволюция в силу системы (1), (3) задается равенствами Xi(t) = X(€Xit, р?( £ ) = pie~~Xi\ так ч т о имеем = (ffnPi^i + 922Р2Ж2) 4" 9 i 2 P i £2e( A 2~A l )* + 9 2 i i > 2 ^ i e( A l-A 2 )^
Положим e (A 2"A l) ^ — Очевидно., ч т о траектория вернется на гиперповерхность излома т о г д а и только т о г д а , когда квадратное уравнение 02(qi2pix2) + e(qllplxl + q22p2x2) + (q2lp2x1) -
= 0, один корень к о т о р о г о в —. 1, имеет второй корень 92 > 1.
Р а с с м о т р и м по порядку все возможности.
1) 9i2Pi#2 > 0. Поскольку на С_ имеем неравенство q\2p\X2 < 92i p2^b т о второй корень
#2 = 921^2^1/(912^1^2) > 15 ч т о и требовалось.
2) QuPix2 < 0- Здесь все н а о б о р о т : в2 < 1, так ч т о траектория на Q не вернется.
3) Если х2 = 0, т о функция (р(£)? < 2Х( 0 ) имеет вид - ~ 9 n 9 2 i # i ( l - e (A l~A 2^ ) , так ч т о траек
тория о с т а е т с я в f/_ "навсегда". Если pi = 0, т . е . g2i # i + 922^2 ~ 05 т о э т а функция имеет вид ( 9 2 2 / 9 2 i ) ^2( " " 9 i i 9 2 2 + 9 i 2 9 2 i ) ( l - e ^A l i~X 2^ ) , так ч т о траектория и на э т о т раз не выберется из £/__, ч т о и хюказывает первое утверждение предложения.
Вычислим отображение возврата R_ : D _ —> С+. Заметим, ч т о в силу наших обозначений отображение J?_ записывается относительно однородных координат (хх : х2) следующим образом: (xi : х2) (хх : # ж2) , где в = #2. Подставляя явную формулу для /9 и учитывая, что qi2p\X2 с т р о г о положительно, получаем (х\ : х2) \-+ ( q i2p i X i X2 ° 9 2 i P 2 ^ i ^2) -
Снова воспользуемся неравенством, задающим область возврата ( 9 i 2 9 2 i ) ( # i # 2 ) + (9i2922)#2 <
< 0, из к о т о р о г о следует, ч т о моном ^аь имеет на D _ знак, противоположный sgn ( g1 2g2i ) ~
— sgii d e t [ Q , A ] . Таким образом, сокращая на хгх2, необходимо домножить обе однородные координаты на (-~9i292i)- Бескоординатная запись отображения возврата проверяется элемен
тарными вычислениями. Предложение п о л н о с т ь ю доказано.
Если ( еье2) — упорядоченный ( А3 < А2) собственный базис оператора A , ( e ^ e j ) — двойственный базис, т о о б л а с т ь возврата, таким o6pa302vi, есть угол e2(Qe2)el(Qx)el(x) < 0 в V\ а отображение возврата задается линейным оператором. й_ = det[Q, A][Q. A]Q. Этой парой (угол, линейный оператор) динамика системы определяется полностью.
2 . 3 . О п и с а н и е д и н а м и к и .
Л е м м а 2.1. Имеет место тождество ( [ Q , A]Q)2 = — d e t ( [ Q , A]Q)E.
Д о к а з а т е л ь с т в о проводится прямыми вычислениями. О т м е т и м , ч т о э т о т о ж д е с т в о е с т ь ч и с т о двумерный феномен.
Л е м м а 2.2. Отображения возврата связаны соотношением = — Д _ .
Д о к а з а т е л ь с т в о , Явная формула для iiL не меняется при замене А на А + Q. Од
нако необходимо у ч е с т ь , ч т о выше шла речь о б /7_, £ L , Д „ яри множестве допустимых управлений и
£ [0,1].
Для т о г о ч т о б ы применить наши рассуждения к U+ и т . д . , необходимо заменить Q на —Q. При э т о м поменяется и знак отображения возврата.Теперь уже можно п о л н о с т ь ю охарактеризовать динамику оптимальной системы. Имеются два п р о с т р а н с т в а V, пара углов D± С V — областей возврата и линейные операторы Я ± , описанные выше. Положим 12+ — П Г)+ и 12 _ = A + ( D + ) П £ L . Согласно леммам 2.1 и 2.2, Д+(12+) — П_ и Д_(12_) = О+. Таким образом, траектории, имеющие х о т я бы один контакт с гиперповерхностью излома, б ы в а ю т трех видов: 1) траектория попадает на Q в точности один раз, ч т о с о о т в е т с т в у е т областям C+\(D+ (J # _ ( . D _ ) ) и C " ~ \ ( D _ \J Д+(2?+)); 2) траектории, попадающие на Q точно два раза; 3) траектории, имеющие бесконечное число периодических к о н т а к т о в с Q. с о о т в е т с т в у ю т областям П±. В последнем случае точки 12±
определяют две плоскости Р± С Q , а каждая траектория данного типа пересекает Q в точках, лежащих на э т и х плоскостях.
З а м е ч а н и е . Нетрудно проверить, ч т о с у щ е с т в у е т о т к р ы т о е множество в пространстве пар ( Л , ( 5 ) , для к о т о р о г о множество "периодических" траекторий непусто, т . е . 12+ ф 0 . Самый простой способ проверки, избегая трудоемких вычислений, дает теория деформаций.
Предположим, ч т о Q диагонализируем с собственными значениями pi < ц2 и элементы ма
трицы А д о с т а т о ч н о малы по.сравнению с д^, р2 — Mi- Т о г д а неравенство /i2#22 < О гарантирует н е п у с т о т у 12+.
Все предыдущие построения были проведены в двух предположениях: 1) det Q[Q, А] > О, так ч т о { С * } = {С±}\ 2) операторы А и А + Q диагонализируемы в некоторых базисах.
Однако окончательный результат — формальное описание динамики в терминах областей и отображений возврата — сохраняет силу и при о т с у т с т в и и э т и х предположений. В самом деле, области С * м о г у т б ы т ь получены разрезанием С± и склеиванием с о о т в е т с т в у ю щ и х кусков. Основные вычисления (предложение 2.1 и леммы 2.1, 2.2) сохраняют силу. Ч т о каса
ется предположения 2 ) , т о здесь ситуация еще проще. В силу двумерности образ траектории линейной системы ( 1 ) , ( 3 ) в S* х является периодическим, так ч т о нет необходимости вычи
слять области возврата J9+ = С+, £ L — С _ , так как, попав на (Q, траектория периодически на нее возвращается. Наконец, для вычисления отображения возврата комплексифицируем п р о с т р а н с т в о V : V ® С = V+ © VL.
Р а с с м о т р и м задачу вычисления отображения возврата (которая является ч и с т о алгебра
ической и сводится к решению квадратного уравнения) для комплексифицированных опера
торов Лс, Qc. Теперь А° уже диагонализируем и линейный оператор возврата имеет вид [QC,AC)QC (с т о ч н о с т ь ю до скалярного множителя). О т с ю д а немедленно заключаем, ч т о основное вычисление предложения 2.1 сохраняет силу. Следовательно, сохраняет силу и дан
ное выше описание динамики системы,
А в т о р благодарит С. К. Коровина за внимание к р а б о т е .
Ргьбота выполнена при финансовой поддержке Международной лаборатории "Математиче
ские методы информатики и управления".
Л и т е р а т у р а
1. Докучаев И. Г. / / Д и ф ф е р е н ц . у р а в н е н и я . 1991. Т . 27, № 10. С . 1679 — 1691.
2. Овсянников Д . А . М а т е м а т и ч е с к и е м е т о д ы управления п у ч к а м и . Л., 1980.
3. Пропой Л. И. /j А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а . 1994. № 3 . С . 87 — 98.
4. Пухликов А. В. / j А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а . 1995. № 4 . С . 77 — 87.
5. Пухликов А. В. Ц Д и ф ф е р е н ц . у р а в н е н и я . 1993. Т . 29, № 1 1 . С . 1241 — 1247.
6. Винбере Э. В., Онищик А. Л. С е м и н а р по г р у п п а м Ли и а л г е б р а и ч е с к и м г р у п п а м . М . , 1988.
7. Кострикин А. И., Мании Ю.И. Линейная а л г е б р а . М . , 1986.
Институт системного анализа РАН, Поступила в редакцию г.Москва 21 ноября 1997 г.
