В. А. Романьков, Об уравнениях в свободных метабелевых группах, Сиб. матем. журн., 1979, том 20, номер 3, 671–673

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. А. Романьков, Об уравнениях в свободных метабелевых группах, Сиб. матем. журн., 1979, том 20, номер 3, 671–673

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:28:33

Т. XX, № 3

СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

М а й — И ю н ь 1979

УДК 519.4

В . А. РОМАНЬКОВ

ОБ УРАВНЕНИЯХ В СВОБОДНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ П у с т ь G — группа. Рассмотрим уравнение вида

где и>(х)— групповое слово от независимых переменных х\, х², х^п\ g — фиксированный элемент группы G.

Основной результат работы состоит в следующем.

Т е о р е м а . Проблема разрешимости уравнений вида (1) в свобод­

ной метабелевой группе алгоритмически неразрешима.

Будем говорить, что в группе G разрешима проблема эндоморфной сводимости, если существует алгоритм, решающий д л я любого элемен­

та g е= G проблему вхождения в множество его эндоморфных образов.

С л е д с т в и е . Проблема эндоморфной сводимости в свободной ме­

табелевой группе счетного ранга неразрешима.

П р е д в а р и т е л ь н ы е р е з у л ь т а т ы . В работе используются следующие обозначения коммутаторов элементов и членов нижнего центрального ряда произвольной группы G;

(а, Ь)=а-хаь==а-хЪ-1аЪ, (аи а2, ап+\) = ((аи а², а^п),

a

i).

га=1, 2, . . . , где через > обозначается нормальное не обязательно соб­

ственное расширение.

Пусть М — свободная метабелева группа ранга 2 от свободных п о ­ рождающих а, Ъ.

В работе используются равенства

W(X)—W(X1, Х², Xn) = g, (1)

(a, b; l ) i = ( a , 6 ) , ( а , 6; ге+1) = ((.я, Ъ; п),Ь), G=iiG > Ъ& > • • • > 4nG > . . . , Yn+iG= (<y.G, G),

(/, g, hi, h², ..., hⁿ) =- (/,

g,

= { « 1 , CC²> • • •) ^an}i (2) справедливые в любой метабелевой группе (см.^ш ) .

Л е м м а 1. Пусть

ф е Е ш Ш , (а, Ь, Ъ, ау={а, Ъ, Ъ, a) modisM;

тогда a?=a^±l mod ^²М, W^b*¹ mod^M.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

a^a^mo&^M, b^a^b⁶ mod42M, a, p\ 4, e , s Z , тогда

(a,b, b, a ) ' s ( c , b; 3 )^{p 6 p}( a , 6, b,

a)

a,

672 Отдел заметок

Т а к к а к простые базисные к о м м у т а т о р ы в е с а г от букв а, Ъ линейно н е з а в и с и м ы по m o d^ r+ i - ^ д л я любого г ( с м . т о

р 6 0 = О , р ( ч( Р+ б а ) . = 1 , р ( ' т а ) = 0 ,

о т к у д а р== - у = 0 , а262= 1 .

Б у д е м говорить, что в е р б а л ь н а я подгруппа u(G) г р у п п ы G, опреде­

л я е м а я словом и, имеет конечную ширину, если любой элемент / е = е ц ( С ) п р е д с т а в л я е т с я к а к произведение l=l(G) значений с л о в а и в г р у п п е G.

Л е м м а 2. Члены нижнего центрального ряда произвольной конеч­

но порожденной метабелевой группы G имеют конечную ширину.

Д о к а з а т е л ь с т в о . П у с т ь а\, a2t ап — п о р о ж д а ю щ и е элемен­

т ы г р у п п ы G. Любой элемент g «= ysG п р е д с т а в л я е т с я к а к произведение

п п

£

Yl(w

,au

),

k—i,

71 271

/ = Д • П K^vy a ^ e z»e< = ±*•

П у с т ь подгруппа fmG имеет конечную ш и р и н у п р и гаг 5*2, тогда любой элемент / е fm +i < ? п р е д с т а в и м к а к

2п

/ = П (^vk, akh) , vk <= ymG, ek = ± 1, к = 1,2, . . . . , , 2га.

Отсюда легко следует конечность ш и р и н ы подгруппы fm+iG.

Отметим, что из р е з у л ь т а т а л е м м ы 2 в ы т е к а е т ф о р м у л ь н о с т ь чле­

нов нижнего центрального р я д а произвольной конечно порожденной м е т а б е л е в о й г р у п п ы .

Л е м м а 3. Алгоритмическая неразрешимость сравнений вида

w(x)s=gmodYH-IG, g^G, (3)

в произвольной конечно порожденной метабелевой группе G влечет не­

разрешимость уравнений вида

w{x)c{y)=g, g^G, (4|

где с (у) — произведение коммутаторов веса г-f-l, в этой группе.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В о з ь м е м переменные у^и у², . . . , Уцт+iy, где I — ш и р и н а 4r+\G. П у с т ь с (у) — произведение I п р о с т ы х к о м м у т а т о р о в в е с а г + 1 от н е п о в т о р я ю щ и х с я переменных yt, i=i, 2, Z ( r - f - l ) . П р и т а к о м в ы б о р е с (у) сравнение (3) р а з р е ш и м о тогда и только тогда, ког­

да р а з р е ш и м о у р а в н е н и е ( 4 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . П у с т ь

D(a)=D(ai, а2, <x„)=m, m e Z , ( 5 )

— произвольное диофантово у р а в н е н и е степени < 4 от н е з а в и с и м ы х пе­

ременных ои, i = l , 2, . . . , га. Л е в а я ч а с т ь у р а в н е н и я (5) п р е д с т а в л я е т собой а л г е б р а и ч е с к у ю с у м м у одночленов вида ai l t a^c&i,, a ^ a ^ a i , , a j ^ j . a ^ a i ^ . Сопоставим им к о м м у т а т о р ы в и д а

Отдел заметок 673

{(ж, у; 4), xif, {{х, у; 3), x^h, x^{i 2})^E, ((х, у; 2), x^h, х^и, x^{if, (х, у, x^{i t}, x^{i z}, x^h, х^и)^е соответственно, где е = ± 1 в зависимости от знака исходного одночлена.

Обозначим через Р(х, у, х) произведение полученных коммутато­

ров. Рассмотрим в группе М сравнение

(х, у, у, х)Р(х, у, х ) = (я, Ь, Ъ, а) (а, Ъ; 5)^тто&^М. (6) Возьмем произвольное решение х = х⁰, у==Уо, Xi=xⁱ⁰, i=i, 2, . . . , п,

сравнения ( 6 ) . По лемме 1

х0 = аг'сх, у0 = bs*c2, 812 = ± 1, сп <= у2М.

Используя сравнение ( 2 ) , замечаем, что любой коммутатор группы М, имеющий > 2 вхождений буквы а, представляется по mod как про­

изведение базисных коммутаторов, также имеющих 5^s 2 вхождений бук­

в ы а. Как следует из приведенного замечания и леммы 1, можно счи­

т а т ь , что

х⁰ = а⁸' . У о = ⁶% 6^{l a} = ± 1, xⁱ⁰ = Ъ^а\ г = 1 , 2 , . . . . , п.

Найдя канонические записи возможных значений коммутатора (хо, уо, у о, zo) по mod

( a^{- 1}, b, b, a^{_ 1}) = s ( a , b, b, a) (a, b, b, а, а )^{- 2}, (а, Ь~\ Ь^{- 1}, а) =.

^ ( а , 6, 6, а) (.а, Ь, Ъ, Ь, а)~\ (аг\ Ь~\ Ъ~\ а~1)^(а, Ь, Ъ, а)Х Х ( а , Ъ, Ь, а, а)~2(a, b, Ь, Ь, а)~2,

получим, что е^{1 2}= 1 . Отсюда получаем сравнение

Р (х⁰, у⁰, х) (a, 6; 5 )^в< й ^ (a, b; 5 f m o d ?⁷М \ (7) Сравнение (7) разрешимо в том и только в том случае, когда уравне­

ние (5) имеет целочисленное решение те= (jai, a², • •., « „ ) .

Известно (²) , что проблема разрешимости произвольного диофанто- в а уравнения сводится к проблеме разрешимости диофантова уравне­

ния (от большего числа переменных) степени ^ 4. Неразрешимость диофантовой проблемы, установленная Ю. В. Матиясевичем (³) , влечет неразрешимость сравнений (⁷) , (⁶) . Утверждение теоремы следует те­

перь из леммы 3. Переход к свободным метабелевым группам ранга 3 тривиален.

Следствие вытекает из того, что в свободной метабелевой группе от свободных порождающих х\, х², . . . , х^п элемент g является эндоморф- ным образом элемента w(x) = w(xi, х², х„) тогда и только тогда,

когда в ней разрешимо уравнение ( 1 ) . <

Поступила в редакцию Омск, 14 декабря 1977 г. Омский государственный

университет

ЛИТЕРАТУРА

1 Нейман X. Многообразия групп. М., «Мир», 1969.

2 Проблемы Гильберта. М., «Наука», 1969.

* Матиясевич Ю. В. Диофантовость перечислимых множеств.— Докл. АН СССР, 1970, 191, № 2, 2 7 9 - 2 8 2 .