А. Я. Сагомонян, Дождевая эрозия почвы на склоне возвышенности, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2000, номер 4, 28–34

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Я. Сагомонян, Дождевая эрозия почвы на склоне возвышенности, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2000, номер 4, 28–34

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы про- читали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

4 ноября 2022 г., 21:17:15

28 ВЕСТН. МОСК. УН-ТА, СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. №4

Механика

У Д К 551.31

Д О Ж Д Е В А Я Э Р О З И Я П О Ч В Ы Н А С К Л О Н Е В О З В Ы Ш Е Н Н О С Т И А . Я . С а г о м о н я н

1. Достигнув поверхности склона, жидкость капель дождя частично проникает в поры почвы, образуя слой смеси — водонасыщенную почву — непосредственно под этой поверхностью. В смеси материал почвы присутствует в виде различных слабосвязанных твердых частиц. Если объемная концентрация частиц почвы в смеси высока, то водонасыщенная почва моделируется вязкопластиче- ской средой [1-3]. Следовательно, движения в слое не происходит, если напряжение сдвига в среде

меньше предела текучести. В настоящем исследовании предполагается выполненным это условие. Не проникшая в почву часть жидкости капель образует на поверхности склона слой воды, стекающий к подножию возвышенности под действием силы тяжести. Контактной поверхностью между слоем жидкости и слоем водонасыщенной почвы служит поверхность склона. Благодаря сложному про­

цессу взаимодействия сред в слоях, главным образом диф­

фузии, часть твердых частиц с поверхности склона попа­

дает в поток жидкости над этой поверхностью, образуя суспензию, уносящую частицы почвы вниз к подножию. Объемная концентрация частиц почвы в суспензии обычно имеет порядок 10"⁴-10~"⁵, и параметры ее незначительно отличаются от параме­

тров потока чистой воды. В настоящем исследовании этим отличием пренебрегаем, поток суспензии заменяем потоком несжимаемой вязкой жидкости — воды. Движение предполагается ламинарным, установившимся. Отметим, что в суспензиях с малой объемной концентрацией твердых частиц z динамический коэффициент вязкости rj определяется по формуле Эйнштейна [3, 4 ]

где /х — динамический коэффициент вязкости воды, 7 — постоянный множитель. Для сферических твердых частиц 7 = 2,5. Предполагается, что поверхность склона является плоскостью, наклоненной к горизонту (поверхности Земли) под углом а. Движение плоскопараллельное в плоскости коорди­

нат ж, у. Начало координат берется в вершине возвышенности, ось х направлена вдоль поверхности склона вниз к подножию, ось у перпендикулярна оси х (рисунок). Плоскость склона — линия OA, линия ОВ — граница между областью дождя и слоем водной суспензии над поверхностью склона.

По предположению линии OA и ОВ сходятся в вершине склона (начале координат). Постоянный вектор скорости VQ капель дождя и ускорение силы тяжести д направлены одинаково. В области дождя над линией ОВ (рисунок) объемная концентрация жидкости капель шо имеет порядок 1 0 ~⁵- 10""⁶. Граница ОВ является поверхностью разрыва концентрации и>о скорости и давления при переходе жидкости капель в слой суспензии. Расстояние между поверхностью склона и линией ОВ обозначим через h(x). Тогда уравнения этой линии и ее производной запишутся так:

y = h(x), ^ = ti{x) = tgP,

где (5 — угол между касательной к линии и осью х. При прохождении через границу ОВ жидкости капель в слое суспензии возникают сдвиговые напряжения т⁵. Пренебрежем изменением касательной составляющей скорости жидкости, вызванным этими напряжениями на линии разрыва ОВ. Тогда основные законы сохранения на линии у = h(x) запишутся в виде

V^T = VQT, Vy = UJQVbz/, pU)oVo„ {VQV - Vy) =Ps ~Pa ( i )

Здесь p — плотность воды; V> p^s — скорость и давление за линией разрыва; р^а — атмосферное давление; символы с индексами т, v означают проекции величин на касательную и нормаль к линии разрыва.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. № 4 29

Из первых двух равенств (1) находим

y^T = V^os i n ( a - j 0 ) , V^v = -uoV⁰cae(a-P). (2)

Соотношения (2) легко приводятся к виду

V^T tga-h'. V^v l + fc'tgo

V° [ ( l - f t g 2 a ) ( l ⁺ ^ ) ]^{1 /2} ' ^ [ ( l⁺t g 2 a ) ( l ⁺ ^ ) ] ^{1/ 2}'

(3)

Символами u^s, v^s обозначим компоненты скорости V по осям координат ж, у на поверхности ОВ.

Тогда получим соотношения

u^s cos/3 + v^s sin/3 = Vo sin(a - /?),

—u^s sin P + v^s cos /3 = — Vb^o cos(a — /3), которые приводятся к равенствам

Us _ t g a ( l + a;0/ i '2) - (1 - wo) Л' _ tg a (1 - о * ) Л' - (a* + h'2)

Vo (l + tg²a)^l/2(l + h'²) ' (1 + t g² a )

Граничная линия OB предполагается пологой, с малым значением кривизны. Толщина слоя суспен­

зии h также считается малой величиной. Из (3) видно, что отношение нормальной составляющей скорости V^U к продольной также мало. Скорости капель жидкости VQ имеют порядок 5-9 м/с, а скорости проникания жидкости в почву на склоне — порядок миллиметров в секунду. Эти условия позволяют использовать уравнения Рейнольдса для описания движения суспензии — вязкой несжима­

емой жидкости в слое [5]. Для рассматриваемой задачи эти уравнения записываются так:

др . д²и др ди dv ^{л /егЧ}

- =^{p g s l} n a - ^ , Qy- = -P9COsa, ^ + ^ = 0, (5) где гг, v суть компоненты скорости жидкости по осям х, у в слое, р — давление. Из уравнения коли­

чества движения в формуле (1) следует, что давление p^s за линией разрыва у = h(x) мало отличается от начального давления р^а. Так, при щ = 10~⁶, Vo = 10 м / с для воды давление p^s отличается от давления р^а на 10~² к г с / м². С учетом этого, интегрируя второе уравнение в (5) и полагая p^s = р^а при у = /i, получим

P-Pa^PQ cos a (h(x) - у). (6) Подставив давление р из (6) в левую часть первого уравнения формулы (5), приведем его к виду

d²u д , _, . ^ч а

- — 7 7 = - (cos a h - sin a ) , v —

ау^г v p

После двухкратного интегрирования по у получим следующее решение:

и(х, у) = ^ (cos a ti - sin а ) г/² + dy + C². ( 7 )

Постоянные интегрирования Ci, C2 определяются из граничных условий на поверхности склона и на границе у = h(x). Изменением поверхности склона, вызванным уносом частиц почвы с этой поверх-^

ности в слой суспензии, пренебрегаем. Поэтому условие прилипания частиц суспензии на плоскости склона запишется в виде

у = 0, и ( ж , 0 ) = 0 .

На границе у = h(x) значение скорости и = u^s определено в формуле (4):

tga(l+u⁰ti²) — (1 — СЬЧ>УЛ^#

у = Л(ж), п = и5 = У0— — Т 7 5 7 -г • ( 8 ) ( l + t g²a )^{1 / 2}( l + h '²)

15 ВМУ, математика, механика. Jf*4

30 ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СВР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. X* 4

Учитывая эти граничные условия, из (7) получим

h(x) и(х, у) = (cos a ti - sin а ) ( у² - Лу) + u^sy.

Составляющая скорости вдоль оси у определяется с помощью уравнения неразрывности ди

ди ди дх

ди ^ [ ди . ^ч

(»)

(10) Производная под интегралом в (10) определяется из решения (9):

у^х = i [^{c o s a h}" i^{y 2} - ^hy) - ^h' (^cosah' -^{s ina}) у ] ^{+ у} ^ т Вычислив интеграл в (10), получим

v — 2v

f «5 i% 2

c o s a / i " j ^ ^ - J — ( c o s a / i '² — s i n a / i ' j 2

У² 9 щ

(И)

д u^s

-X--T- = Vo cos a

a x n

Скорость u^s дана формулой (8), и для производной в последнем члене (1.1) имеем выражение [2u⁰h' - (1 - о*)] /г" ( l + Л'²) h

' h*(l + h*)²

[ t g a ( l + w⁰/ i '²) - (1 - wo) Л.⁷] (h! + Л'⁸ + 2/i/i'/i") h*(l + h>²)²

(12)

Примем, как обычно, что скорость проникания жидкости в поры почвы на поверхности склона про­

порциональна давлению на этой поверхности [6]. Для рассматриваемой задачи эту зависимость можно записать в виде

у = 0, v = VQ = — kpg cos a h(x),

где к — постоянный множитель. Тогда С(х) в формулах (10) и (11) примет значение С = —kpg cos a h(x)

и скорость вдоль оси у запишется так

V — — 9

2v cos

un

/V

T t e X "

-

(13)

Выражение производной в предпоследнем члене правой части решения (13) определено формулой (12).

На границе у = h(x) значение скорости v^s вдоль оси у дано вторым равейством формулы (4).

Приравняв на этой границе правую часть (13) к величине v^s из формулы (4), получим уравнение, определяющее толщину слоя жидкости h(x):

2и

,; /, о cos a h² / , ,2 . , л

— — + — (cos a ti - sin a ti)

2 дх h — kpg cos ah = (14) где согласно (4)

s i n a ( l + и>оЛ'²) ~ cos a (1 - u;o) h'

u^s = Vo 1 + h / 2 , s i n a (1 - a»o) h' — cos a (UQ +

(15)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. C E P . 1 , МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. №4 31

Приведем еще выражение предпоследнего члена в левой части формулы (14):

h² д u^s _ Vo Ydx~h~Y

[2h'uo sin a — cos a

( l + fc'f

(h! + h'^z + 2hh'h") [sina ( l + щЫ²) - cos a (1 - wo) Л'] '

(1 + Л '²)²

(16)

Равенства (14)—(16) приводят к обыкновенному нелинейному уравнению второго порядка, которое необходимо решать при следующих условиях на вершине возвышенности:

х = 0, Л(0) = 0 , v^s = 0, Л'(0) > 0.

Так как в это уравнение координата х явно не входит, то подстановкой ti = z, h" = z dz

dh оно приводится к уравнению первого порядка.

Из условия х = 0, vs — 0 и второго равенства в (15) следует / i/ 2~ ( l - a ; o ) t g a / i/+ . a ; o = 0, ti > 0.

Толщина Л(д;) мала и измеряется миллиметрами. Пусть граничная линия у = h(x) пологая, так что в уравнении (14) можно пренебречь членами, содержащими множители ti¹ и ti². Тогда это уравнение и условия для него запишутся в виде

А л²- У⁰( 1 - 2 а « ) ti — 2kpg ctg a h + 2UIQVQ ctg a = 0,

(17) x = Q^} h = 0.

Решение уравнения (17) представим в форме

h2 + 2bh + 2 (b2 + a ) In ^1 - ^ = -'2Actga?,

где введены обозначения

a = — (1 - 2a;0) Ь = ^ r ^ , i4 = 4i/fcp.

Из решения (18) видно, что максимальная толщина слоя hm достигается при х = оо и равна

WQVQ

(18)

h^m = b

kpg (19)

Теперь в уравнении (17) в квадратных скобках пренебрежем первым членом по сравнению со вторым.

В результате получим

( l - 2 a ^ ) 7⁰/ i^/ = 2 ( a ^ V^ro - f c / ^ / i ) c t g a . (20) Интеграл уравнения (20) при условии х = 0, h = 0 определяется формулой

, h^m — 6, (21)

т.е. и здесь максимальная толщина слоя суспензии определяется по формуле (19). Толщина hm имеет порядок шо и явно не зависит от коэффициента вязкости. Для дальнейшего представляет интерес упрощение выражения (13) для скорости вдоль оси у. В этом выражении у меняется в пределах

16 ВМУ, математика, механика. К«4

32 ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СБР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. № 4

0 ^ у ^ h(x) и по порядку величин основным будет последний член справа в формуле (13), т.е. можно написать

v ~ -kpg cos a h(x), (22)

где h(x) берется по формуле (21). Можно сделать другое приближение для скорости v на основе выражения v^s из формулы (15). Тогда после оценок порядков величин в этом выражении получим

v ~ vs ~ VQ [sina (1 — u>o) hi — UJQ cos a ] . (23)

Производная h! в (23) определяется дифференцированием h(x) в формуле (21). Отметим, что при­

веденным здесь способом можно упростить выражения для скорости и вдоль оси х> определенной в формулах (9) и (15).

2. Перейдем к отысканию массовой концентрации частиц почвы с в слое жидкости — отношения массы вещества почвы в единице объема к плотности смеси в целом. В сделанном выше приближении смесь моделируется однородной несжимаемой жидкостью с плотностью и коэффициентом вязкости воды. Предполагается, что концентрация массы почвы в слое жидкости образуется только за счет диффузии частиц с поверхности склона. Пусть коэффициент диффузии D постоянен. Тогда уравнение диффузии можно представить в виде [7]

дс —

— + V^rgradc = Z)Vc;

at

для стационарного процесса это уравнение запишется так:

F g r a d c = D V c , (24) где V — скорость воды в слое. Уравнение (24) решается при заданных условиях для концентрации с

на границе у = h(x) и на поверхности склона (у = 0). Естественно предположить, что на границе между слоем жидкости и пространством дождя концентрация равна нулю:

У = Кх), с = 0. (25)

Условие на поверхности склона может быть определено путем анализа экспериментальных исследова­

ний на основе теории переноса вещества. Здесь предполагается, что на этой поверхности концентра­

ция — заданная постоянная величина:

У = 0, с = со. (26) Представим уравнение (24) в виде

д с дс ' ( д ² с ^м д ² с \ ⁽ .

Перейдем к безразмерным величинам с индексом "1" у символов

U = VQUI, V = WOVQVI, D = LVQDI, X = Lx\, y = hmy\,

где L — характерная длина склона вдоль оси х. В новых переменных уравнение (27) можно предста­

вить так: о \

e 2 ^{U i} _ ^{+ W o e U l} _ ^{= j D l} ^ _ ⁺ _ J ⁾ е = ^т « 1 . (28)

Если в (28) отбросить члены с весьма малым множителем е2 и вернуться к размерным параметрам, то придем к уравнению

3

ду ду2

Решим это уравнение при условии, что скорость v определяется равенством (22), а толщина слоя жидкости — формулой (21), т.е.

v{z) = - К о с о в а (1 - е-^в«*°*) , В = ^ ^ г - (30)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. C E P . 1 , МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. № 4 33 Из уравнения (29) следует, что первая производная по у от концентрации с удовлетворяет следующему уравнению первого порядка:

Решение уравнения (31) запишем в виде

•z = Ci{x)e^Ey,

где произвольная функция С\ от х подлежит определению. Интегрированием по у из последнего равенства получим решение уравнения (29) в виде

с=^е^ЕУ + С²(х);

функции С\ и С2 от координаты х определяются из граничных условий (25) и (26). В итоге решение уравнения (29) можно записать в форме

еЕу _ ^eEh

с = с^{0 x}_ ^{e E h} , # < 0 , О ^ у ^ Л . (32) В решении (32)_ уравнения (29) функции h(x) и v(x) берутся по формулам (14) и (30). Вектор потока

частиц почвы I определяется формулой [7]

где pu pi — плотности суспензии и материала частиц, V» — скорость частиц почвы, скорость диф­

фузии v* определяется по закону Фика [7]:

D А

v = grad с.

с

Компоненты гц, Vi скорости Vi по осям ж, у связаны с компонентами u, v скорости потока жидкости V по этим осям координат по формулам

D дс D дс с ох с ду

Проекции вектора потока массы частиц почвы на оси ж, у согласно (33) определяются равенствами 1^Х = picu - piD —, ly = picv - piD —.

В приведенных формулах значение концентрации с берется по формуле (32). Секундный унос массы частиц почвы через поперечное сечение слоя потока определяется интегралом q:

h

q = j picdui.

о

Обратимся к безразмерному уравнению (28). Так как е < 1, UJQ < 1, то не только первым членом, но и вторым членом слева можно пренебречь по сравнению со вторым членом справа в этом урав-

(Рс ду²

нении. Тогда придем к уравнению = 0, решение которого при граничных условиях (25), (26) записывается в виде

17 ВМУ, математика, механика. К«4

34 ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. J M

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воларович МЛ. Применение методов исследования вязкости и пластичности в прикладной минералогии / / Тр. Ин-та прикладной минералогии. 1934. Вып. 66.

2. Сагомонян А.Я. К вопросу дождевой эрозии почв / / Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 5. 85-94.

3. Ричардсон Э. Динамика реальных жидкостей. М.: Мир, 1965.

4. Петров А.Г., Петров П.Г. Перенос взвешенных частиц турбулентным потоком над размываемым дном / / Прикл. матем. и теор. физ. 1992. № 4. 61-69.

5. Слезкин НА. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955.

6. Слезкин Н.А. О течении вязкой жидкости при наличии свободной границы и пористого дна / / Вестн. Моск.

ун-та. Матем. Механ. 1957. № 5. 3-5.

7. Лойцанский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

Поступила в редакцию 30.04.97

УДК 531.8

О Н А Б Л Ю Д А Е М О С Т И М Е Х А Н И Ч Е С К И Х С И С Т Е М ПО У Г Л О В Ы М И З М Е Р Е Н И Я М

Ю . В. Болотин, С. Н. Моргунова

1. Введение. Задача оценивания по угловым измерениям возникла в связи с наблюдением небес­

ных тел и была поставлена заново в 40-е годы применительно к преследованию морских судов. Тре­

бовалось разработать алгоритмы определения координат я, у радиус-вектора г движущегося объекта х

на основании измерений угла линии визирования /3 = arctan—. Начиная с 60-х годов разнообраз- У

ные задачи оценивания по угловым измерениям в размерностях 2 и 3 возникали в аэрокосмической навигации.

Угловые измерения могут быть представлены в виде единичного вектора тг-гг, т.е. точкой на I H I

единичном круге S¹. В пространственном случае угловые измерения задаются единичным вектором в трехмерном пространстве или точкой на единичной сфере S². В многомерном случае с г G R^m угло­

вые измерения могут трактоваться как точка единичной сферы 5^{7 7 1}"¹. Пренебрегая направлением г, измерения можно представить как точку в проективном пространстве

RP

~

.

ставления называются соответственно сферическим и проективным измерениями.

Поскольку угловые измерения нелинейны, для оценивания траекторий обычно используется рас­

ширенный фильтр Калмана, основанный на рекурсивной линеаризации в текущей точке [1]. Однако рекурсивные методы расходятся в плохо наблюдаемых случаях, причем механизм расходимости до сих пор не вполне ясен.

В [2] угловые измерения записаны в так называемой форме псевдоизмерений:

у cos/3 - xsinp = 0, (1) т.е. в виде уравнения прямой на плоскости, и тем самым задача оценивания сведена к линейному

методу наименьших квадратов (МНК), для которого проблемы сходимости отсутствуют. При за- шумленных измерениях оценка МНК оказывается смещенной, но этого можно избежать, используя новые расширенные версии МНК (РМНК) [3], которые дают несмещенную оценку в наблюдаемом слу­

чае. Однако во многих важных практических приложениях траектории являются ненаблюдаемыми в обычном смысле и РМНК становится вырожденным.

Целью данной статьи является исследование некоторых геометрических свойств наблюдаемости по проективным измерениям и выяснение особой роли механических систем. В литературе анализ на­

блюдаемости проводился ранее только при специальных ограничениях, в частности в предположениях т = 2,3 [4]. В настоящей статье рассматриваются линейные системы произвольной размерности.

Введем обозначения: символ / — единичная матрица, верхний индекс Т — транспонирование.

Мы рассматриваем как вещественные матрицы, так и комплексные. Для конечномерного векторного