Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Г. С. Маканин, О нормализаторах группы кос, Матем.
сб. , 1971, том 86(128), номер 2(10), 171–179
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 10:11:23
УДК 519.4
О нормализаторах группы кос
Г. С. Маканин (Москва)
В своей обзорной работе о косах [2], опубликованной в 1947 году, Артин составил список открытых вопросов <из теории кос. Четвертым в этом списке был такой вопрос: какие косы коммутируют с некоторой за
данной косой?
Частичный ответ на этот вопрос был получен Г. Бурдэ [4], которому удалось описать нормализаторы некоторых специальных кос, а именно тех кос, которые Артин называет чистыми t-косами.
В настоящей работе изучаются нормализаторы произвольных эле
ментов группы кос ЗЗп+ь В работе показано, что для любого элемента А группы кос Sn+i нормализатор А/А элемента А в группе Sn+i порождается конечным числом элементов группы Эп+ь и указано, как по заданному элементу %А построить эти элементы, порождающие NA.
Автор приносит искреннюю благодарность С. И. Адяну за внимание к работе.
§ 1. Полугруппа кос
Г р у п п о й к о с я+1-го порядка S3n+i называется группа, задавае
мая образующими
аи а2,..., ап (1)
и определяющими соотношениями
aiai+iai = ai+iaiai+i (t = 1, 2,..., п— 1), (2) ща^ = а^{ (i, /=1,2,...,/г; \i — / | > 1 ) . (3) Слова в алфавите ai, аг,..., ап, яг-1, #2-1,..., Яп"1 называются с л о в а-
м и г р у п п ы к о с 33n+i или просто к о с а м ;и. Слова в алфавите fli, #2,..., ап называются положительными словами. Пустое слово (единич
ная коса) обозначается символом 1, длина слова X — символом д(Х), а графическое совпадение двух слов X и Y обозначается через Х х У .
Если Zzna\\aZil . . . щ„> где гь == ± 1, то словоaivv . . . aj^aj*1 называется словом, обратным Z, и обозначается через Z"1, а слово a%+lT-itan+i--it • •. ctnjtl-iv
будем называть перевернутым словом Z и обозначать через Z.
П о л у г р у п п о й к о с Яп-и будем называть полугруппу, задавае
мую образующими (1) и определяющими соотношениями (2) и (3).
Словами полугруппы nn+i будут положительные слова группы S3n+i. За-
172 Г. С. Маканин
метим, что полугруппа яп+1 задается однородной системой определяю
щих соотношений, :и, следовательно, если некоторые слова X и У равны в полугруппе пп+и т 0 d(X)=d(Y).
Сформулируем две теоремы, доказательства которых приведены со
ответственно в работах [1] и [3].
Т е о р е м а А р т и н а . В группе Sn+i разрешима проблема тожде
ства слов.
Т е о р е м а Г а р с а й д а . Если положительные слова А и В равны в группе Эп+1, то они равны и в полугруппе яп+1-
Через А обозначим слово
aia2a3... ап-\апа\агаъ... ап-ъап-\ ••• aia2a3aia2ai.
Равенство
Aai = ctiA ( i = l , 2 , . . . , я) (4) в полугруппе яп+1 непосредственно следует из (2) и (3), а (равенство
Aea;6 = a?Ae (/=1,2,..., Л; е, б = ±1) (5) в группе Sn+i немедленно следует из (4).
Если XY=A в полугруппе пп+и то слово X будем называть о т р е з к о м ГруППЫ Эп+1-
В частности, пустое слово является отрезком, и всякое слово, равное А в Яп+1, является отрезком.
Из однородности полугруппы Яп+1 и из того, что длина слова А равна я ( я + 1 ) / 2 , следует, что длина каждого отрезка не превышает числа п(п+1)/2, и всего в группе S3n+i существует не более (д+1)п(п+1/2 отрезков. Кроме того, если длина отрезка достигает числа n ( / i + l ) / 2 , то этот отрезок равен славу А в яп+ь
Из однородности полугруппы Яп+1 немедленно следует, что в полу
группе Яп+1 разрешима проблема тождества слов, ,и, следовательно, мы можем составить список всех отрезков
Fu F2,.... F8. (6)
Л е м м а 1. Если XY = A в полугруппе яп+ь то YX=YX = A в полу
группе Яп+1-
Д о к а з а т е л ь с т в о . В группе S3n+i имеем
YX=YXYY~^YAY-K (7) Из равенства (4) следует, что АУ=УА в полугруппе пп+и а значит, и в
группе Эп+1. Из равенства (7) следует, что YX=lAY-i = AYY-i = A в груп
пе 8n+i, а так как слова YX и А суть положительные слова, то по теоре
ме Гарсайда YX = A в полугруппе яп+1.
Аналогично доказывается и равенство YX = A.
Из леммы 1 сразу следует
Л е м м а 2. Если XYZ = A в полугруппе пп+и то слово Y является отрезком.
Другими словами, любое слово, входящее в слово, равное в Яп+i сло
ву А, есть отрезок.
Будем говорить, что буква а* является к о н ц е в о й (н а ч а л ь- н о й) буквой слова X, если для некоторого слова Y имеем Х= Yai (соот
ветственно X = ciiY) в полугруппе nn+i-
Ясно, что всякое непустое слово имеет хотя бы одну концевую букву и хотя бы одну начальную букву.
Будем говорить, что все концевые (все начальные) буквы некоторого слова Z образуют н а б о р к о н ц е в ы х ( н а ч а л ь н ы х ) букв слова Z.
Поскольку полугруппа nn+i однородна, существует алгоритм, который для всякого непустого слова Z выписывает его наборы концевых и на
чальных букв. Будем считать, что пустое слово имеет пустые наборы концевых и начальных букв.
Следующие две леммы доказаны в [3] в несколько иной формули
ровке.
Л е м м а 3. Пусть XY = ZA в полугруппе nn+i. Каждая буква а\, где f = l , 2,..., пу которая не является концевой буквой слова X, является на
чальной буквой слова Y.
Л е м м а 4. Слово X тогда и только тогда имеет в своем концевом (начальном) наборе все буквы аи а2,..., ап, когда для некоторого Y в Яп+i имеется равенство X=YA.
Л е м м а 5. Если буква ai не является концевой (начальной) буквой некоторого отрезка Fj, то слово Fjai (соответственно слово aiFj) является отрезком.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Fj — отрезок, то существует такое слово Fp (которое по лемме 2 является отрезком), что FjFp = A в яп+1- По лемме 3 и так как буква ai не является концевой буквой слова Fj, она является начальной буквой слова Fp, т. е. для некоторого слова Fq
имеем Fp = aiFq в Яп+i. Следовательно, FjaiFq = A в пп+и и слово Fjui является отрезком.
Пусть буква ai не является начальной буквой отрезка Fj. Существует такой отрезок FPy что FpFj = A в яп+ь По лемме 3 Fp = Fqai в пп+\ и FqaiFj = A в Яп+i, т. е. aiFj — отрезок.
Л е м м а 6. Пусть Fj — некоторый отрезок и BFj = Cai в яп+1. Если каждая буква ар, являющаяся концевой буквой слова В, является на
чальной буквой отрезка Fj, то буква ai является концевой буквой отрез
ка Fj.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть буква ai не является концевой буквой отрезка Fj. Тогда по лемме 5 слово Fjai является отрезком, т. е. сущест
вует некоторое слово Ft из списка (6) такое, что Ft = Fjai в nn+i. Для отрезка Ft существует такой отрезок Fq, что FtFq = A в пп+и откуда FjaiFq = A в Яп+i, и по лемме 1 aiFqFj = A в nn+i.
Рассмотрим слово Az°iBFjFqFj. A = CaiFqFj = CA в пп+и и по лемме 3 каждая буква аг, где г = 1, 2,..., п, является либо концевой для слова В,
174 Г. С. Маканин
либо начальной для слова FjFqFj. Набор начальных букв слова FjFqFh
очевидно, содержит в себе набор (начальных букв слова Fj, а последний по условию содержит в себе набор концевых букв слова В. Следователь
но, каждая буква аг, где г = 1 , 2,...,/г, является начальной для слова FjFqFj. По лемме 4 FjFqFj = ZA в яп+1 для некоторого Z, и из A = aiFqFj в Яп+i следует FjFqFj = ZciiFqFj в яп+1. Из последнего равенства получаем Fj=Zai в группе 9Эп-м, и по теореме Гарсайда Fj = Za{ в nn+i. Полученное противоречие доказывает лемму.
Каждому отрезку Fj припишем п а р а м е т р d(Fj), определяемый следующим образом:
d(Ff)= n(n+i) -d(Ff). (8)
Ясно, что для любого отрезка Fj имеют место следующие неравенства:
0 < О Д < *(*2 + 1 ) . (9) Л е м м а 7. Если Fj — отрезок и AFjB = CA в пп+и то существуют та
кие отрезки Fr и FP9 что A=A\Fr, B = FPB\ и FrFjFp = A в Яп+ь
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по параметру d(Fj).
Если d(Fj)=Q, то d(Fj)=n(n+l)/2, и следовательно, Fj = A в яп+1.
А поскольку пустое слово является отрезком, то лемма очевидна.
Пусть для каждого отрезка Fu для которого d(Ft)^k, где & ^ 0 , лемма верна. Докажем лемму в предположении, что d(Fj)=k+l. Воз
можны три случая.
С л у ч а й I. Пусть B = apD для некоторого D в Jtn+i, где буква ар не является концевой буквой слова Fj.
По условию AFjdpD = CA в jtn+i. По лемме 5 слово Fr^FjaP есть отре
зок, а из (8) следует, что d(Fr)=k. Применим индуктивное предполо
жение к слову Fr в равенстве AFrD = CA. По индуктивному предположе
нию существуют такие отрезки Fv и FWi что A=A\FV, D = FwBi и FvFrFw=A в Яп+i, или FvFjapFw = A в яп+1. По лемме 2 слово apFw
является отрезком.
С л у ч а й II. Пусть А=Еар для некоторого Е в яп+ь где буква ар
не является начальной буквой слова Fj.
Доказательство, такое же, как в случае I.
С л у ч а й III. Набор начальных букв В содержится в наборе кон
цевых букв Fj, а набор концевых букв А содержится в наборе начальных букв Fj.
Из условия следует, что набор начальных букв В содержится в набо
ре концевых букв AFj. Следовательно, по лемме 3, каждая буква аи где i'=l, 2,..., /г, является концевой буквой слова AFj. Но так как набор кон
цевых букв А содержится в наборе начальных букв Fj, то по лемме 6 каждая буква аи где i = l , 2,..., /i, является концевой буквой слова Fr
Из леммы 4 следует, что ^- = Д, т. е. d(Fj)=0. Но по предположению d (Fj) = k + 1 ^ 1. Противоречие.
Л е м м а 8. Если АХ = ХВ в пп+и то X — HiH^... Hk в Jin+i, где каждое Hj—отрезок, и существует такая последовательность слов Л0, Аи Л2,...,Л/„
что A0JE.A, AuJrB и Ai-iHi = HiAi (£=1, 2,..., ft) e jtn+i.
Д о к а з а т е л ь с т в о -проведем индукцией «по д(X).
Если д{Х)=0, то А = В в jtn+i, ft=l и tfiiszl.
Пусть для слов X таких, что д(Х)^т, где т ^ О , лемма доказана.
Докажем лемму при д(Х) = т + 1.
Пусть Fj — максимальный по длине отрезок такой, что X = FjY для некоторого У IB jtn+i. Из леммы 5 следует, что любая буква аг, где г= 1, 2, ..., я, является отрезком. Следовательно, Fj — непусто ,и <3(У) = ^ т
Для отрезка Fj существует (см. лемму 1) отрезок Fv такой, что FvFj = A в Лп+ь Из последовательности равенств FpAFjY = FvFjYB =
= ДУВ = УВД в Яп+1 следует равенство
FpAF}Y=YB/i (10*
В Яп+1.
По лемме 7, примененной к слову F} из равенства (10), существуют такие отрезки Fr и Ft, что FvA = CFr, Y = FtZ для некоторых С и Z и FrFjFt = A в Яп+1. Так как слово Fj/7* является отрезком, то из макси
мальности Fj в слове X следует, что F ^ l , откуда y = Z и FrFj = & в яп+ь а следовательно, и Fr = Fp в яп-н.
Таким образом, в яп+1 имеются следующие равенства: FPA = CFV. X = FjYy FpЛFj = CД = AC^ и, наконец,
AFj = FjC, (И) СУ=УВ. (12) Поскольку д ( У ) г ^ т , к равенству (12) можно применить индук
тивное предположение, из которого получаем, что Y = H2H3... Hk в пп+и где каждое Hj — отрезок, и существуют слова Аи Л2,..., Л& такие, что
c: r f i , АижВ и Ai-iHi = HiAi (f = 2, 3,..., ft) в jtn+i. Для доказательства леммы осталось обозначить Fj через Яь Л через Л0 и воспользоваться равенством (11).
§ 2. Система образующих для нормализатора
Последовательность положительных слов
Ло, Ни Аи Я2, Л2, #з,..., 4ft-i, Hk, Ak, (13) где ft>0, назовем б а з и с н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю слова Л0,
если
1) каждое Hi является непустым отрезком;
2) Ai-iHi = HiAi в Лп+1 для всех t = l , 2,..., ft;
3) если O ^ t ^ f t — 1 , 0 ^ / ^ f t — 1 , i¥=j, то Лг#Лд- в jin+i;
4) существует такое число и из 1, 2,..., ft, что Ak = Av-i в Яп+i.
Две базисных последовательности (13) и Во, Gi, Bi, G2, В2, G3,..., Sm_i, Gm,
176 Г. С. Маканин
будем считать с о в п а д а ю щ и м и , если a) m = k;
Р) Ai = Bi в Яп+1 для всех i' = 0, 1,2,...,&;
у) Gi = H{ в яп+1 для всех г = 1 , 2,..., &.
В противном случае две базисные последовательности будем считать р а з л и ч н ы м и .
Л е м м а 9. Если в базисной последовательности (13) д(А0) = р, то k^nP.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из однородности полугруппы nn+i и усло
вия 2) следует, что d(Ai) =р для любого / = 0, 1, 2,..., &. Совершенно оче
видно, что существует пр графически попарно различных положительных слов длины р в алфавите аи а2,..., ап. Следовательно, условие 3) пред
полагает, что k не превосходит п?.
Л е м м а 10. Для слова А0 длины р существует не более, чем (/г+ 2)*, где
К^ПРП(П+1) +(ПР+ 1)р + 2пР+ 1, (15)
различных базисных последовательностей.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если в базисной последовательности (13) д(А0) =р, то длина всей последовательности (рассматриваемой, как еди
ное слово в алфавите из п+ 1-го символа: аи #2, ••, а<п и запятая) не пре
вышает числа fe + +(k+l)p + 2k+l.
Поскольку (см. лемму 9) k^n?, то какова бы ни была базисная по
следовательность для слова Ло, ее длина не превышает числа к.
Две различные базисные последовательности, записываемые как слова, не могут быть графически равными. Следовательно, для слова А0
существует не более, чем (я + 2)к различных базисных последователь
ностей.
Л е м м а 11. Существует алгоритм, который для всякого положи
тельного слова Л0 выписывает все различные базисные последователь
ности этого слова.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Искомый алгоритм состоит в переборе все
возможных слов в алфавите из п + 1-го символа (аи а2,..., ап и запятая) с длиной, не превышающей числа к (см. (15)), причем число к вполне определяется порядком группы кос S3n+i и длиной слова Л0, и проверке свойств 1), 2), 3), 4) определения базисной последовательности. Такая проверка возможна, так как в яп+1 разрешима проблема тождества слов.
Будем говорить, что базисная последовательность (13) п о р о ж д а е т б а з и с н о е с л о в о
W^H±H2 . . . HV^HV . . . HkHZ-г . . . H?HZ\ (16) Это определение вместе с определением базисной последовательно
сти указывает правило, которое каждой базисной последовательности
ставит в соответствие вполне определенное базисное слово. Заметим, что базисные слова являются положительными словами только при v=l.
Будем говорить, что W есть базисное слово, о т н о с я щ е е с я к сло
ву Л, если существует базисная последовательность слова Л, которая порождает базисное слово W.
Базисные слова Wi и W<L, о т н о с я щ и е с я к о д н о м у и т о м у ж е с л о в у Л, назовем с о в п а д а ю щ и м и , если они равны в группе 93n+i, и р а з л и ч н ы м и, если они не равны в 3n+i.
Ясно, что если две базисные последовательности (совпадают, то по
рожденные ими базисные слова относятся к одному и тому же слову и совпадают. Однако, две различные базисные последовательности одного и того же слова Л могут порождать совпадающие базисные слова.
Л е м м а 12. Если д(А0) = р , то существует не более, чем (п-\- l )v, где v = (п + l)n^+1, различных базисных слов, относящихся к слову Л0, при
чем длина каждого базисного слова не превышает числа v.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если в базисной последовательности (13) д(А0) =р, то длина порожденного ею базисного слова (16) не превышает числа kn(n+\), так как d(Hj) ^:п(п+ 1)/2 для любого /, причем k^ZnP
(см. лемму 9). Следовательно, длина базисного слова не превышает числа v = {n+l)nP+l, и существует не более чем ( n + l )v различных б?-
<*исных слов, относящихся к слову Л0.
Из леммы И и теоремы Дртина немедленно следует
Л е м м а 13. Существует алгоритм, который для всякого положи- тельного слова Л0 выписывает все различные базисные слова, относя- щиеся к слову Л0.
Л е м м а 14. Пусть А — произвольное положительное слово, и пусть W\, W2j..., Wt — список всех различных базисных слов, относящихся к слову А. Тогда среди слов Wu W2,... ,Wt либо найдется слово, равное слову А2 в Jtn+i, либо найдется слово, равное слову А в Jtn+i.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Возможны два случая: либо АфА в пп+и либо А=А в jtn+i. В первом случае последовательность Л, А, Л, А, Л является базисной, и А2 является базисным словом, относящимся к сло
ву А. Во втором случае последовательность Л, А, Л является базисной, и А является базисным словом, относящимся к слову Л.
Л е м м а 15. Если W — базисное слово, относящееся к слову Л0, то A0W=WA0 в группе »n+i.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть последовательность положительных слов (13) является базисной последовательностью слова Л0, и пусть эта
последовательность порождает базисное слово
W-H^ ... Hv-iHv ... HkH-±x... Н-*НсК
Из условия 2) определения базисной последовательности следует, что
Л0#1#2... Hv-tHv ... Hk = HiH2... #„_!//„... HhAh (17) в группе 39n+i, причем Аи есть последний член последовательности (13).
Из условия 4) определения базисной последовательности следует, что
178 Г. С. Маканин
Ak = Av-i в группе S3n+i. Из условия 2) следует, что H-r-1Ai-i = AiH7-1
в группе Sn+i Для всех i= 1, 2,..., &, т. е.
А^Н^ - НГ1НГ1=Н^1 - " Г ^ Г ^ о (18) в группе Эп+1. Теперь искомое равенство следует из равенств (17), (18)
и равенства Ak = Av-i в группе S3n+i.
Л е м м а 16. Если А0Х = ХА0 в полугруппе пп+и то X=WiW2... Wr, r^Q, в группе Ъп+и где каждое Wj есть некоторое базисное слово, отно
сящееся к слову Ло.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по д(Х).
Если д(Х) = 0, то лемма очевидна. Пусть для слов X таких, что д(Х)^т, где т ^ О , лемма доказана. Докажем лемму при д(Х)=т+\.
Прежде всего заметим, что из леммы 8 сразу следует такое утверж
дение:
Если А0Х = ХА0 в полугруппе пп+и то X=HiH2... Ht в Яп+i, где каж
дое Hj — непустой отрезок, и существует такая последовательность слов Л0, Ль Л2, ..., Аи что AQ—At, и Ai-1Hi = HiAi для всех i = l , 2, ..., t в яп+1.
Пусть последовательность Л0, Ль Л2,..., Л& является минимальным на
чалом последовательности Л0, Аи Л2,..., Л&,..., At таким, что среди слов Ло, А±9 Л2,..., Ak-i найдется слово Av-u равное слову Ak в тсп+и Так как Ao = At в Яп+i, то такая последовательность существует. Составим после
довательность положительных слов
Ло, Ни Аи #2, Л2, #з,..., Л*_!, Я,, Л,. (19) Легко проверить, что последовательность (19) является базисной последова
тельностью слова Л0, и, следовательно, слово W± з : # i #2 . . . HVr-xHv . . . . . . HkHvLx . . . H^Hi1 является базисным словом, относящимся к слову Л0.
По лемме 15 имеем
Л0№1=ИМо (20)
в группе Эп+1.
Рассмотрим слово Yz°zHiH2... Hv-iHk+i... Ht. Так как v^Zk, и каждое Hj — непустой отрезок, то
д(У)<д(Х). (21) Кроме того, непосредственно вычисляется, что
X=WiY (22) в группе Эп+1.
Из условия леммы и равенств (20) и (22) следует, что A0Y=YAo в группе 33n+i, а так как У и Л0 — положительные слова, то по теореме Гарсайда
A0Y=YA0 (23)
в полугруппе пп+и
По индуктивному предположению (см. (21) и (23)) мы получаем, что Y=W2... Wr в группе S9n+i, где каждое Wj (/ = 2,..., г) есть базисное слово, относящееся к Л0. Но и Wt — тоже базисное слово, относящееся к
Л0, а из равенства (22) имеем X=WiW2... Wr в группе Эп+i. Лемма до
казана.
Из леммы 4 вытекает, что для каждой буквы аи, где k=l, 2,..., п, су
ществует свое положительное слово Dk такое, что Dkak = A <в Jtn+i. А из этого факта и равенства (5) немедленно следует (это указано и :в [3])
Л е м м а 17. Для каждого слова Z в группе 33n+i. найдется такое положительное слово X и такое число v^O, что Z = A~2vX в группе 8n+i.
Л е м м а 18. Пусть А — положительное слово и AZ = ZA в группе 95ft+i.
Тогда Z = W\xWl2 . . . WEpp, p > 0, е< = ± 1, в группе 35/г+1 а каждое Wt есть некоторое базисное слово, относящееся к слову А.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По лемме 17 Z = A~2vX в S3n+i, где X — неко
торое положительное слово, откуда
AA~2vX=A~2vXA (24)
в 8п+ь Из равенств (5) и (24) имеем ЛХ = ХА в Эп+ь а следовательно, и в Яп+i. По лемме 16 Х= ViV2... Vr, ^ 0 , в Sn+i, где Vj — базисные сло
ва, относящиеся к слову А. По лемме 14 либо Д, либо А2 есть базисное слово, относящееся к А. Следовательно, Z= We^W^... Wspp , р ^ О , 8 г = ± 1 , в группе S3n+i, где каждое Wj есть базисное слово, относящееся к слову Л.
Т е о р е м а . Существует алгоритм, который для всякой косы С груп
пы кос Sn+i строит такие косы Ки Кг,..., Kw, что каждая коса Кг переста
новочна с косой С, и каждая коса У, перестановочная с косой С, принад
лежит подгруппе группы кос Эп+i, порожденной косами Ки Кг,..., Kw. Д о к а з а т е л ь с т в о . По лемме 17 для слова С существуют такое положительное слово D и такое число и ^ О , что C = A~2vD в группе Sn+i.
По лемме 13 для слова D мы можем выписать все различные базисные слова, относящиеся к слову D. Обозначим эти слова через Ки Кг,..., Kw
По лемме 15 DKi = KiD для каждого Кг в 8n+i, т. е. A2vCKi = KiA2vC в Sn+i, я при помощи равенства (5) мы легко получаем, что CKi = KiC в8п+1. Бели CV=VC в Sn+i Для некоторого V, то Д-2*ЯУ=УД-2«£>
в Sn+i, и при помощи равенства (5) получаем, что DV=VD в 8n+i.
По лемме 18 V=W*№?... №f , e * = ± l , в группе 8n+i, где каждое Wi есть некоторое базисное слово, относящееся к слову и. Другими слова
ми, V принадлежит подгруппе группы кос 8n+i, порожденной косами Ки Кг, ..., Kw
(Поступила в редакцию 2/VII 1970 г.)
Литература
1. Е. A r t in, Theorie der Zopfe, Abh. math. Semin. Hamburg Univ., 4 (1926), 47—72.
2. E. A r t i n,'Theory of Braids, Ann. Math., 48 (1947), 101 — 126.
3. F. А. С a r s i d e, On the braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford, 20,
№ 7 8 (1969), 235—254.
4. G. B u r d e , Uber Normalisatoren der Zopfgruppe, Abh. math. Semin. Hamburg Univ., 27 (1964), 97—115.
