“связанных” зарядов для системы заряженных ча- стиц. Самосогласованные уравнения для вторых функций распределения, Докл. АН СССР, 1965, том 165, номер 5, 1052–1055

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. Л. Климонтович, Приближения “свободных” и

“связанных” зарядов для системы заряженных ча- стиц. Самосогласованные уравнения для вторых функций распределения, Докл. АН СССР, 1965, том 165, номер 5, 1052–1055

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 23:24:07

Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1965. Том 165, № 5

У Д К 533.9.01 + 5 3 6 . 7 5 8 . ФИЗИКА

ю . л . к л и м о н т о в и ч

ПРИБЛИЖЕНИЯ «СВОБОДНЫХ» И «СВЯЗАННЫХ» ЗАРЯДОВ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ.

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВТОРЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (Представлено академиком Н. Н. Боголюбовым 27 IV 1965)

П р и п о л у ч е н и и к и н е т и ч е с к и х у р а в н е н и й д л я п л а з м ы и с п о л ь з у е т с я п р е д п о л о ж е н и е о м а л о с т и к о р р е л я ц и о н н ы х ф у н к ц и й ( * ,²) . В н у л е в о м п р и б л и ж е н и и п о л у ч а е т с я с а м о с о г л а с о в а н н а я система у р а в н е н и й д л я п е р ­ в ы х ф у н к ц и й р а с п р е д е л е н и я и средних п о л е й — система у р а в н е н и й В л а ­ сова. Это соответствует п р и б л и ж е н и ю «свободных» з а р я д о в , т а к к а к к о р ­ р е л я ц и о н н ы е ф у н к ц и и р а в н ы н у л ю . В с л е д у ю щ е м п р и б л и ж е н и и ( п р и п о л у ч е н и и и н т е г р а л а с т о л к н о в е н и й ) к о р р е л я ц и и у ч и т ы в а ю т с я , н о п р е д п о ­ л а г а ю т с я м а л ы м и . Т а к о е п р и б л и ж е н и е о п р а в д а н о д л я полностью и о н и з и ­ р о в а н н о й р а з р е ж е н н о й п л а з м ы . О д н а к о оно н е в п о л н е у д о в л е т в о р и т е л ь н о д л я с л у ч а я слабо и о н и з и р о в а н н о й п л а з м ы , н а п р и м е р водородной, к о г д а к а ж д ы й э л е к т р о н б о л ь ш у ю ч а с т ь в р е м е н и проводит в б л и з и иона. В н а ­ с т о я щ е й статье р а с с м а т р и в а ю т с я у р а в н е н и я , к о т о р ы е о п и с ы в а ю т к а к п р и ­ б л и ж е н и е «свободных», т а к и « с в я з а н н ы х » з а р я д о в .

Вопрос об у ч е т е « с в я з а н н ы х » з а р я д о в р а с с м а т р и в а л с я по поводу с т а т и ­ стического обоснования у р а в н е н и й М а к с в е л л а (см., н а п р и м е р , (³, ⁴) ) . Н а и ­ более последовательно этот вопрос и з л о ж е н в работе М а з у р а (⁴) .

Д л я п р о с т о т ы р а с с м о т р и м здесь водородную п л а з м у . А н а л о г и ч н ы м п у т е м могут быть р а с с м о т р е н ы более общие с л у ч а и .

П у с т ь а = 1, 2 — и н д е к с к о м п о н е н т ы : 1 — и о н ы , 2 — э л е к т р о н ы ; Хаг = (<1аг, Раг) — ш е с т и м е р н ы й вектор, х а р а к т е р и з у ю щ и й состояние i-w ч а с т и ц ы к о м п о н е н т ы а\ 1 ^ i ^ N; Ni = N² = N; е±= \е²\.

Е с л и о б ъ е д и н и т ь в п а р ы э л е к т р о н ы и ионы, то у р а в н е н и е Л и у в и л л я д л я ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я всех ч а с т и ц системы J'2N{- . • x^{i t}- . . . . x²ⁱ ... * . . . , £ ) в случае к у л о н о в с к о й п л а з м ы м о ж н о з а п и с а т ь в виде

D*2N . у J _ 3UN дФ ( 1 qa i - qM 1 ) d /2N dU ( qa i) W2N\ = Q

DT 1 < г < Л Г , < Д m dqai d({ai dVai a d4ai dV ai' '

6 = £ a = l , 2 .

З д е с ь Ф — к у л о н о в с к а я п о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я п а р ы . П о т е н ц и а л опреде л я е т с я у р а в н е н и е м

д

и

= —4jtei— 2 [в (4ai — qij) — б (qai — q²j ) ] , j=f=i п р и a = 1 и л и a = 2 .

Kj<N

(2>

Вместо с и с т е м ы у р а в н е н и й ( 1 ) , (2) в к а ч е с т в е исходной м о ж н о в з я т ь у р а в н е н и е д л я микроскопического п о т е н ц и а л а U и ф а з о в о й плотности в п р о с т р а н с т в е q^a, Чъ, Pa, Рь (#, Ъ = 1, 2 ; а ф Ъ)

Nab (qa, qb, Pa, Pb, t)=

2

K i < i V

П р е н е б р е г а я е д и н и ц е й п о с р а в н е н и ю с N, п о л у ч и м д л я ф у н к ц и й N^ab, Uуравнения

dNdh , , v _ Э Ф ( | д^а- д^Ь1 ) ^^{а Ь}

_

•5^2- = — 4 n y [ e

6 ( q — q

) + ^6(q — q

)] X

X N^ab ( q^a, qb, Pa, Рь, t) dq^adq^bdVadVb- (⁵) В п р и б л и ж е н и и «свободных» з а р я д о в в к а ч е с т в е и с х о д н ы х удобней и с ­

п о л ь з о в а т ь более простые м и к р о с к о п и ч е с к и е у р а в н е н и я д л я ф а з о в ы х плот­

н о с т е й в ш е с т и м е р н о м п р о с т р а н с т в е (²)

iV

(q, р,

^{= 2} * ( q - 4 i ( ' ) ) e ( P - P a i ( « ) ) .

Э т и у р а в н е н и я следуют и з (4), (5).

В п р и б л и ж е н и и «связанных» з а р я д о в и с п о л ь з у е м п е р е м е н н ы е

* = ~ ^ T > ' = 4 1 - * . П ^ М У = р^{1 + Р 2}; р ЕЕ (IV = ± (Vi — V2) .

И з (4) д л я ф у н к ц и й A^{T a}a(R, П, г, р, t) п о л у ч и м у р а в н е н и я

™аЬ , уЗДГдь , ^v^ a b -

дФ([г[)

'^^U_

a

З д е с ь

'[/(-) (R, г) = (R + ~ ^ — V ) - U ( R - — ^ — г ) , ( 9 )

v ' ; V 1 mi + т2 / V тх + т2 / ' w

« _ _ ^{t o} , 5 [ . ( , _ ( B ^{+ s} ^ ^{s ;} , ) ) _ . ( ⁴ _ ( R ~ ^X

dq² J L V V m i + т а / / Vⁿ \ m^x + m²

X Л^го ь ( К , П , r , p , t)dRdHdrdj>. (10)

П р и в е д е н н ы е системы м и к р о с к о п и ч е с к и х у р а в н е н и й э к в и в а л е н т н ы . П р е и м у щ е с т в о т о й и л и иной ф о р м ы з а п и с и п р о я в л я е т с я п р и переходе после у с р е д н е н и я к п р и б л и ж е н н ы м у р а в н е н и я м д л я н и з ш и х моментов с л у ч а й н ы х ф у н к ц и й N^ab, U. Т а к , д л я системы (7) п р и б л и ж е н и е п е р в ы х моментов соответствует самосогласованному п р и б л и ж е н и ю д л я п е р в ы х ф у н к ц и й р а с п р е д е л е н и я f^a = N^a I п^а и среднего п о л я (²) ( у р а в н е н и я В л а с о в а ) .

П р и б л и ж е н и е п е р в ы х моментов д л я системы (8) соответствует само­

согласованному п р и б л и ж е н и ю д л я второй ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я /^аь =

= Nab In (па = щ = п) и среднего п о л я , создаваемого в с е м и ч а с т и ц а ­ ми, о к р у ж а ю щ и м и в ы д е л е н н у ю п а р у . У р а в н е н и я д л я ф у н к ц и й f^ab, U сов­

п а д а ю т с (8) — ( Ю ) , если в н и х N^ab nfab, U -> СУ. В отличие от обычно­

го самосогласованного п р и б л и ж е н и я , среднее поле зависит теперь от к о р ­ р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и g п а р з а р я ж е н н ы х ч а с т и ц

g ( R , r , l I , p , * ) = / a b ( R , r , I I , p , * ) -fa'fb. (11) Е с л и р а с с т о я н и е г в среднем з н а ч и т е л ь н о больше р а д и у с а действия,

то к о р р е л я ц и е й м о ж н о п р е н е б р е ч ь и система у р а в н е н и й д л я ф у н к ц и й jab, U сведется к обычной системе самосогласованных у р а в н е н и й .

Е с л и fab, U к а к ф у н к ц и и R м а л о м е н я ю т с я н а р а с с т о я н и и п о р я д к а р а ­ д и у с а д е й с т в и я , то система у р а в н е н и й д л я /^аь , U у п р о щ а е т с я . Т а к , н а п р и ­ мер, в п е р в о м (дипольном) п р и б л и ж е н и и у р а в н е н и я д л я ф у н к ц и й /^аь , U и м е ю т в и д

^ а Ь Л . V?hbjL ydl a b _ ^.dJab_ , / 5 \ F df<*> 4 * F ^ - 0 (\ 9\

dt ^ ^у

дк

Л

Ш)^~ш

d i v Е ( R , *) = — 4 я^{б 1}п ~ J гДь ( R , г, П , р) dt dUdp. (13) В к в а н т о в о м с л у ч а е вместо (3) и с п о л ь з у е м ф у н к ц и ю ( с р . (⁵) )

Na b =

(2^S

^

^'

~ ^

~

^

"

- (

>

З д е с ь р — о п е р а т о р н а я м а т р и ц а п л о т н о с т и .

Е с л и с п е к т р , с о о т в е т с т в у ю щ и й о т н о с и т е л ь н о м у д в и ж е н и ю ч а с т и ц в п а р а х , д и с к р е т н ы й , то в м е с т о (14) и с п о л ь з у е м ф у н к ц и ю

J V^{e b}( R , n^fr^>p ) = 2 i V S ^⁾( R . n ) / n^m( r , p )^l (15)

nm

где

N^nm(R,n, t) =

j±-^p

(R+±fiu,H—±M,

fnm

(г -1

/4 A

— собственные ф у н к ц и и о п е р а т о р а # = р²/ 2 | и , + Ф ( | г | ) . У р а в н е н и е д л я ф у н к ц и и ( R , П , t ) имеет в и д

+ J 2 №

- i Vⁿ, (R, П ) ( R - |

йб))в"

У р а в н е н и е д л я U и в ы р а ж е н и е (9) о с т а ю т с я п р е ж н и м и .

У р а в н е н и е (16) с у щ е с т в е н н о у п р о щ а е т с я , если по п е р е м е н н ы м д в и ­ ж е н и е я в л я е т с я к л а с с и ч е с к и м , а по п е р е м е н н ы м г, р и с п о л ь з о в а т ь д и п о л ь - н о е ( и л и более в ы с о к о е ) п р и б л и ж е н и е . _ _

В п р и б л и ж е н и и «свободных» з а р я д о в д л я п е р в ы х моментов N^ab, U и з ( 1 5 ) , (16) следует с а м о с о г л а с о в а н н а я система у р а в н е н и й д л я к в а н т о в ы х ф у н к ц и й р а с п р е д е л е н и я /^а, / ь , U (⁶,⁷).

В более общем с л у ч а е и з ( 1 5 ) , (16) следует система к в а н т о в ы х с а м о ­ с о г л а с о в а н н ы х у р а в н е н и й д л я пар* з а р я ж е н н ы х ч а с т и ц .

П р и в е д е н н ы е здесь у р а в н е н и я и с о о т в е т с т в у ю щ и е у р а в н е н и я д л я в з а и ­ м о д е й с т в у ю щ и х н е й т р а л ь н ы х ч а с т и ц и с п о л ь з у ю т с я д л я п о л у ч е н и я к и н е ­ т и ч е с к и х у р а в н е н и й , у ч и т ы в а ю щ и х «внутренние» степени свободы, а т а к ­ ж е д л я р е ш е н и я н е к о т о р ы х з а д а ч теории н е л и н е й н о й п о л я р и з а ц и и .

В ч а с т н о с т и , с п о м о щ ь ю у р а в н е н и я (16) п о л у ч е н о к и н е т и ч е с к о е у р а в ­ н е н и е д л я к в а н т о в о й ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я i V^{r i n}( n , t). В р а в н о в е с н о м с л у ч а е Nⁿn ( П , t) — р а с п р е д е л е н и е М а к с в е л л а по П и р а с п р е д е л е н и е Б о л ь ц м а н а по Е^п.

Д л я с и с т е м ы м о л е к у л с д в у м я у р о в н я м и п о л у ч е н о в ы р а ж е н и е д л я по­

л я р и з а ц и и с у ч е т о м н а с ы щ е н и я и теплового д в и ж е н и я м о л е к у л . В п р и ­ б л и ж е н и и , когда р е л а к с а ц и я х а р а к т е р и з у е т с я д в у м я в р е м е н а м и T i , Т2 И

э л е к т р и ч е с к о е п о л е Е (R, t) = Е cos (cot — k R ) , в ы р а ж е н и е д л я в е к т о р а п о л я р и з а ц и и Р (R, t) и м е е т в и д

Р (R, 0 = - cffl (р(о) (П) - р(о> (П)) Е X

( 0 ) 2 1 — со + kV) cos (со* — kR) + ^{J -} sin (со* — kR)

X ; . (17) ( t o²i - c o + k V ) 2 + _ L + .^1 * | r^{1 2}1² E²

З д е с ь р2<0 )(П), p i( 0 )( H ) — н а с е л е н н о с т и д л я м о л е к у л с и м п у л ь с о м П. Е с л и н е у ч и т ы в а т ь т е п л о в о е д в и ж е н и е ( р^{п ( 0 )}П = р^П6 ( П ) ) , то в ы р а ­

ж е н и е (17) с о в п а д а е т с и з в е с т н ы м в ы р а ж е н и е м д л я в е к т о р а п о л я р и з а ц и и с у ч е т о м н а с ы щ е н и я .

В ы р а ж е н и е (17) с о о т в е т с т в у е т п р и в е д е н н о м у в к н и г е (⁸) .

Московский государственный университет Поступило им. М. В. Ломоносова 26 X 1964

ЦИТИРОВАННАЯ Л И Т Е Р А Т У Р А

1 Н. Н. Б о г о л ю б о в , Проблемы динамической теории в статистической ф и з и ­ ке, М., 1946. ² Ю. Л . К л и м о н т о в и ч , Статистическая теория неравновесных процессов в плазме, М., 1964. 3 L. R o s e n f e l d , T h e o r y of Electrons, A m s t e r d a m , 1951. ⁴ P. M a z u r , Adv. Chem. Phys., 1 , 309 (1958). ⁵ Ю. Л . К л и м о н т о в и ч , ЖЭТФ, 33, 982 (1957). 6 Ю. Л. К л и м о н т о в и ч , В. П. С и л и н , У Ф Н , 70, в. 2 (1960). ⁷ R. B a l e s c u , Statistical Mechanics of Charged Particles, A m s t e r d a m , 1963.

8 В. М . Ф а й н , Я . И . Х а н и н , К в а н т о в а я радиофизика, М., 1965.

1055