В. В. Сильвестров, Краевая задача Гильберта для одной бесконечносвязной области в классе автоморф- ных функций, Тр. сем. по краев. задачам, 1980, вы- пуск 17, 180–194

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. В. Сильвестров, Краевая задача Гильберта для одной бесконечносвязной области в классе автоморф- ных функций, Тр. сем. по краев. задачам, 1980, вы- пуск 17, 180–194

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 05:58:46

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

Вып. 17 Труды семинара по краевым задачам 1980

УДК 517.544:517.862

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА

ДЛЯ ОДНОЙ БЕСКОНЕЧНО-СВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ В КЛАССЕ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

В. В. Сильвестров

В настоящей работе для конечносвязной или бесконечно- связной области, граница которой состоит из конечного или счетного множества окружностей, конгруэнтных между 'собой относительно некоторой функциональной группы Г

дробно-линейных преобшрований [1], и множества точек сгущения этих окружностей, решается краевая задача Гиль­

берта в классе функций, автоморфных относительно Г. С по­

мощью метода симметрии и закона автоморфности эта задача сводится к эквивалентной задаче Римана для автоморфных функций относительно новой группы Г, определяемой груп­

пой Г. При условии, что Г является группой первого класса [2, С. 391—397], решения задачи Гильберта записываются через интегралы и ряды, выражаемое явно через преобразо­

вания группы Г.

§ 1. Постановка задачи

# 1°. Пусть Г — конечнопорожденная функциональная группа дробно-линейных преобразований a0(z) = z, <*k(z), k = \, 2, ...- с областью инвариантности S. Обозначим через R фундамен­

тальное множество группы Г, расположенное в S. Оно полу­

чается присоединением к /?0 (R0 — внешность всех изометри­

ческих окружностей группы, расположенная в S) всех некон­

груэнтных между собой точек границы dR0.

В фундаментальной области /?0 возьмем бкружность или прямую Z0, ограничивающую односвязную область, принад­

лежащую R0. Внешность всех окружностей Lk = ok(L0), k = 0, 1,..., расположенную в 5, обозначим через D. Так как

180

окружности Lk расположены вне друг друга, то D является конечносвязной (случай конечной группы Г) или бесконечно- связной (Г — бесконечная группа) областью с границей dD=*

= dS U {£*}S-o. dS есть множество точек сгущения окруж­

ностей Ift, & ~ 0 , 1,...

В дальнейшем будем рассматривать функции /(г), одно­

значные и аналитические на множестве D*, получаемом при­

соединением к D всех параболических точек р границы dSr

удовлетворяющие условиям

f[°k{z)]=f{z)%'\jz£D\ Vaf e^r. (1) Аналитичность f(z) в точке p£D* означает, что f(z) при

z—*р по точкам области D имеет вполне определенный ко­

нечный предел. Такие функции будем называть Т-автоморфг ными на множестве D* или автоморфными на D* относи­

тельно группы, Г.

Особый класс4 функций на D* образуют решения следую­

щей краевой задачи Гильберта:

Найти все „аналитические Т-автоморфные на множестве D* функции f(z) = u(z) + iv(z), непрерывно продолжимые на LQCZR0, no граничному условию

a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t),t£LQ, * (2) где а (0, b\t\ с (t) — действительные функции, удовлетво­

ряющие на LQ условию Гёльдера; причем a2(t) + 62(/)= 1.

Используя соотношения (1), легко записать краевые усло­

вия для / ( г ) на всех окружностях Lk. Они имеют вид a\o^{t)\u(t) + b{o^(t)}v(t) = c[c^(t)l t£L^k, £ = 0,1,...

Следовательно, задача (1), (2) представляет собой задачу Гильберта для конечносвязной или бесконечноСвязной об­

ласти D в классе Г-автоморфных функций.

В иной постановке задача (1), (2) и более общая задача в случае фуксовых групп второго рода рассматривалась Л. И. Чибриковой [3—5]. В этих работах условие (2) зада­

ется на свободных дугах главной окружности, которые в силу конгруэнтности концов играют роль замкнутых кривых, а функция /(г) ищется внутри главной окружности. Исполь­

зуя метод симметрии и закон автоморфности, автор этих работ исследует задачу (1), (2) сведением к эквивалентной краевой задаче Римана для автоморфных функций заданной группы.

§ 2. Сведение кэквивалентной задаче Римана ._ Без ограничения общности можем считать, что L0 совпа­

дает с действительной осью (-—оо; + оо), ибо в противном

*случае можем брать изоморфную группу И^оГо W~~l, подо­

брав дробно-линейное преобразование W{z) так, чтобы W(L0) = (-оо; +оо).

*•; 2°. Итак, пусть /,0 = (— оо; + оо) и ограничивает одно- связнуй область, принадлежащую 7?0, т. е. граница dR0 рас­

положена по одну сторону от Z0. Для определенности будем считать, что д#0 расположена в верхней полуплоскости.

Преобразование Т(г) = г ( Г "1» Т) преобразует dRQ в dRl, симметричную с д%0 относительно L0. д$> является грани­

цей фундаментальной области /?* группы Г* = То Г о Т дроб- 'но-линейных преобразований TakT(z)y k = 0, 1,..., которая

также функциональна. Так как д/?0 и д/?о расположены по разные стороны от L0i то внешность и граница области 7?0

додержатся полностью внутри области /?*, а внешность и граница области /?о—внутри /?0. Поэтому [1, с. 65—68]

труппа Г, порожденная группами Г и Г*, является функцио­

нальной и имеет фундаментальную область 1?0== JR0f)jR*, сим­

метричную относительно Z,0. Г называется группой типа Шоттки. Обозначим преобразования группы Г через

' Щ(г)**г, wk(z)^^±^, 4h~hb=h * = 1 , 2,...

Л е м м а 1. Если w£T, mo TwT^T.

Возможны три случая:

* 1) wf Г. Тогда TwT£Y*czf. >

2) w^T*. Тогда найдется преобразование е£Г, что w =

"= Га Г. Следовательно, TwT= ГГсГГ = а^Г.

3) ^ ^ Г и Г * . Представим w в виде w = wkwk ...wk^ , где

*0*.^ГуГ*. Тогда преобразование

TwT== Twk Т о Twk Т о ... о Tw^ T,

являясь суперпозицией преобразований Twk.T(^T[}Y*, снова будет принадлежать пруппе Г.

Л е м м а 2. Область инвариантности S группы Т^атак- же множество S\L, Z, = U ^ ( £0) симметричны относи- тельно L0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть z-£S. Тогда найдется пре»

образование т £ Г , что z = w(fy, b£R. Имеем

z= T(z)=Tw(t)^TwTT{l)==TwT{ll где TwT^T, a ££/?, так как фундаментальное множество /?

симметрично относительно /,0. Следовательно, z £ S , т. е. 5 симметрична относительно L0.

Аналогично доказывается и симметричность множества S \ L относительно 1⁰.

3°. Рассмотрим функцию Ф (г), которая на множестве R\L0 определяется формулой

Ф(г)-т*\°>: (3)

1/(г), z£Do

(DQ — частъ множества R, расположенная в верхней полу­

плоскости; Do = r(D⁰)), а на всем множестве S \ L получа­

ется согласно „закону Г-автоморфности

Ф(г)^Ф{^г(г)]9 z£wk(R)\wk(LQ), Л - 1 , 2,... (4) В области D функция Ф (г) = / ( г ) . Это следует из тео­

ремы единственности и тождества Ф(г)==/(г), Z^DQCZD.

Записав краевое условие (2) в виде

Да - ib)f(t) + (а + 1Ь)Щ - 2с (О,

с учетом равенств Ф+ (t) =f(t)1 Ф~ (/)=/(*), /£L0, получаем

.Ф + ( 0 = _£±^ф-( 0 +2£(й *€£ . ( 5 )

В точках множества 5 \ Z , функция Ф(г) удовлетворяет условию симметрии

Ф(г) = Ф(г), _ V 2 £ S \ I . (6) Действительно, для V z £ S \ Z , найдется преобразование

да£Г, что z = w(l), %£R\L0. Согласно свойству (4), лем­

мы 1 и формулы (3) имеем

Ф (г) - Ф [да (Щ = Ф (I),

Ф (г) = Ф [Г(г)] =Ф [Tw{\)\ =Ф[Т™Т{Щ - Ф (5) =

Следовательно, Ф(г) является ограниченным Г-автоморф- ным решением краевой задачи Римана (5), удовлетворяющим условию симметрии (6). Очевидно, имеет место и обратное,

л*

т. е. любое ограниченное Г-автоморфное решение задачи (5), (6) определяет в области D Г-автоморфное решение задачи Гильберта (2).

§ 3. Построение канонической функции

4 . В дальнейшем будем считать, что Г является группой I класса, т. е.

21т*Г'<оо. ' (7)

Группы Г, для которых выполняется это условие, образуют достаточно широкий класс. Укажем некоторые из них.

,1) Г —фуксова группа второго рода, неподвижная (т. е.

главная) окружность С0 которой ортогональна L0. Ясно, что С0 будет^неподвижной окружностью и для Г*. Каждое пре­

образование группы Г, являясь суперпозицией конечного числа преобразований, принадлежащих Г или Г*, будет остав- лять С0 на месте, вначит, Г также является фуксовой груп­

пой второго рода, т. е. принадлежит I классу.

2) Г — группа Шоттки, фундаментальная область JR0 кото­

рой ограничена 2/г окружностями одинакового радиуса г0, расположенными вне друг друга на расстоянии большем, чем (4/г— 5/2) v и удаленными от действительной оси 10 на рас- стояние, большее, чем — (4п Jr0. Тогда Г также явля­

ется группой Шоттки. Фундаментальная область /?0 группы Г ограничена An окружностями одинакового радиуса г^, расстояние между которыми больше, чем (4/г —5/2)г0. Как показал Т. Аказа [6], для таких групп тета-ряды Пуанкаре измерения — 1, значит, и измерения —2, сходятся. Так как выполнение условия (7) равносильно сходимости тета-рядов Пуанкаре измерения —2, то Г является группой I класса.

Пусть р — род фундаментальной области R0. Тогда фун­

даментальная область 7?0 группы Г будет иметь род р = 2р.

5°. Решение задачи (5), (6) для Г — автоморфных функций начнем с построения канонической функции Х(г) однородной задачи, удовлетворяющей условию симметрии (6)" (схема Л. И. Чибриковой [5]). Обозначив, через

184

<%*

индекс задачи (5), рассмотрим в классе Г-автоморфных функций вспомогательную однородную задачу Римана

*£(*)-i(a + ib)X?(t), '€Ai. (8) имеющую индекс х. Краевое условие (8) задано на бесконеч­

ном контуре. Это создает некоторое неудобство при реше- нии задачи. Поэтому в силу Г-автоморфности Х0 (г) запишем рассматриваемую задачу так:

Х0+ (0 - i {а {о? (01 + ib К1 (/)]) Хо~ </), t€Lx-ox (LQ). (8') Приняв точку tx*=ox(oo) за начало обхода Ъи будем искать Х0(г) в виде

2р 2л

Х0(г) = еГ(*}/Гх[г, ^ . М М П *(*. «у. e0)f| £*'[?. ^ ( U U где ftQ £ R0\ L0 — фиксированная точка; 0у£/?о\А>» б/¥=бо»

/«=1, 2р; /Яу — целые числа; ^ ( г ) , . . . , та;2||(г) — порождающие преобразования группы Г;

г ( г ) = ~ t J ln {i (a Iorl (x)1+ '* ^l ° rl (x)1)} K{Zt x) *•

Я (г, в, G0) = exp(j/C(e, t)rft), а ядро К (г, т) определяется рядом [7, 8]

КГг т ) « Г Г — 1 I 1 - У ^

(9)

y«o /—о

сходящимся абсолютно и равномерно по z на любом ком­

пакте множества 5 \ 1 . При преобразованиях wk(z) ядро /С (г, *) приобретает слагаемые

Ъ(*) = К[пк(г):%]-К(г, т ) = / ( К ( о о ) , х], Л — 1 , 2,..., (10) среди которых 2р слагаемых (пусть это ^i('c),..., ^pW) ли"

нейно независимы, а все остальные выражаютбя. через них.

Интегралы [9]

?*(*)- / Ч А М ' Л , * - i 7 2 S (И)

рассматриваемые как функции компактной римановой поверх­

ности S*/Г, S*=SU{/?}, образуют базис интегралов первого рода. Каждый из слагаемых

wj(B0) :•-••.

% у = Ъ [Wj (г)] - <fk (г) ^ <?k [Wj (%)] = J -цк (т) Л , у = 1, 2,.., функции <рЛ(г) либо совпадает с одним из циклических перио­

дов интеграла yk{z) на S*/Г, либо является линейной комби­

нацией с целыми коэффициентами от этих периодов. Обратно, все циклические периоды интеграла yk{z) надо искать среди слагаемых %>р j = 1, 2/г и числа 2**, так как значения функ­

ции yk{z) определяются, вообще говоря, с точностью до 2ш.

Значит, все периоды интеграла yk{z) представляют собой линейную комбинацию с целыми коэффициентами от слагае­

мых v\ktp у = 1, 2/г и 2ти.

Функция E{z, 9, 80) в области S однозначна и в случае неконгруэнтных между собой точек 60 и 9 в этих точках имеет простой полюс и нуль кратности 1 соответственно.

Если точки 60 и 'в между собой конгруэнтны, то E(z, 9, 90) в области 5 ограничена и нигде не обращается в нуль:

Учитывая соотношение

К [г, *,(*)]<* К ( т ) ] - К ( г , т)Л, запишем Х0(г) в виде

2р 2/г

X0(z) = ev(z)E-x(z, оо, 60)f[E(z, в;, %)Х\^[*> ^/(9о), U

Г(г) = —Г/С(г, T)ln[/(a + iA)]rft. <12)

27С/ J

Х0 (г), удовлетворяя краевым условиям (8) и (8'), вообще говоря, не будет Г-автоморфной, ибо в силу (10)

Х0К(е)] = Х0( г ) А

оо

Нк = —• j 4 (*) In [/ (а + ift)] Л - х j \ (т) Л +

2р е; 2/г w;. (90)

2р 2/г

- А* - *<Р* (оо) + J ] ?* (»/) + J ] л»/Ъ.,, * -= 1, 2, ...

У=1 / - 1 186

Потребовав, ч-Гобы все Hk = 0 (mod 2ni), с учетом линейной зависимости функций ?h (*),..., Т1²?(*), ъ(^х) ^ПР^{И k} > 2р д л я определения точек 0у, у = 1, 2р и целых чисел /Яу, у — 1, 2 / г , . nk, k = 1, 2р, получим следующую проблему обращения Якоби:

2р 2л

2?*(в;)+ 2 ^ ^ , у + ^ 2 ^ = ~ ^ + ^(оо), Л«1, 2р, (13)

у - 1 ; = 1

интегралов (11). Как известно [10, с. 296—322], проблема (13) всегда разрешима и решениями ее с т о ч н о с т ь ю д о периодов интегралов (11) являются нули в-функции Римана, явно вы­

ражаемой через базис (11) (значит, и через преобразования группы Г), или некоторой ее частной производной по инте­

гралам (11). Вычислив нули в-функции или с о о т в е т с т в у ю щ е й производной ©-функции, подберем числа т^ и n^k так, чтобы все равенства (13) выполнялись. Причем, используя произвол точки 6⁰, всегда можем добиться, чтобы точки 0у, у = 1,2р, принадлежали множеству R⁰\L⁰ и не совпадали с точками 60, 0О, а т а к ж е с точками 0fe, & = 1, 2р. Пусть 61 ?. . . , Ьт все эти точки с кратностями Х^1э-..., X^m(X¹ + ... + Х^т = 2р) соответ­

ственно, различные между с о б о й . Тогда функция Х0( г ) Г-автоморфна, удовлетворяет граничному условию (8) и имеет в точках д^г,..., д^т нули к р а т н о с т е й ^ , . . . , \^т соответственно, а в точке 0^О имеет порядок * — 2р.

Рассмотрим функцию Xj (z) = X⁰ (z). Согласно лемме : 2 областью определения Х ^ г ) является множество S \ Z , . И з Г-автомтффности функции Х0( г ) и леммы 1 следует, что

x^^^i^Xot^^^xjr^r^^x^^x,^),

т. е. Xt (z) автоморфна относительно Г. Так как вдоль L0

Х ? (t) mm X* (t), a X0(^) удовлетворяет условию (8), то

Xl+ W "

T — м

M> '*

°' <

>

— j (a — lb)

И з краевых условий (8) и (14) следует, что X(z) = X0(z)Xl(z)-XQ(z)X0(zj

является Г-автоморфной канонической функцией однородной задачи (5), c(t) = 0t удовлетворяющей на множестве S \ Z

условию симметрии Х(г) = Х(г). В точках 9fe, вЛ, &=== t, m X(z) имеет нули кратностей \ , k = 1, /я, соответственно, а в каждой из точек 60 и 60 имеет порядок х — 2р.

§ 4. Общее решение задачи

6°. Используя соотношение

a — ib Х - ( О *

запишем краевое условие (5) в виде

Ф ^ - Ф ^ ^ *&—, t^L, (15) Х+ (О Х- (О Х+ (0 (а - /ft) ^ ° • V '

Это есть задача о нахождении Г-автоморфной кусочно-меро- морфной функции Ф(г)/Х(г) по скачку (15), имеющей в точ­

ках 6lf 0j,..., 6m, 0m множества R\L0 полюсы порядков не выше ^i,..., ^соответственно, в каждой из точек 0О, 0О

имеющей порядок 2р —х и удовлетворяющей условию сим­

метрии (6).

Решение полученной задачи Римана будем проводить по схеме, указанной Л. И. Чибриковой [11, с. 179], используя автоморфный аналог ядра Коши [8]

А (г, т ) - / е ( г , *)-;|.<0;Ю/С(г, а,).

Точки а;-, У=1,2р, выберем так, чтобы они принадлежали множеству /?0\Z,0, не совпадали с точками 6^, 0д, <7 = 0, т, и, кроме того, удовлетворяли условию a9+j=&p у = 1, р. Такой выбор возможен. Очевидно, функция Х(г) [F0(z) + F0(z)l ТДе

с ( т ) . А (г, т)Л =

• « - • s - j

Lf. £W ./ггг. T W T - ^

2 ^{r r f v}!iw J X+ (x) (a — *#) £ j^{+ /- wT ) -M* (g}» ^ - > > Л ( г , fly), J J

17 2™ J X+ (x)(a — ib) '

(i6)

Г^автоморфна и удовлетворяет условиям (15), (6). Теперь через^ коэффициенты

188

2? (17)

-%<№*(*, «,). ^ = -»r(g/(v-D!,

q = 0, m\ v == 1, 2,...

тейлоровского разложения

А (г, *) — 2 С ( г ; b^q)(x-b^qy-\ b^R⁰\L⁰,

v = l

общее решение задачи (5), (6) запишется формулой Ф (г) = Х0 (г) Х0 (г) [F0 (г) + F0 (z) + % (z) +

+ W0(z) + Wl(z) + W{(z)l

Wi(*) = X%9c.btz; 60), x > 2 p ; ^ ( s J ^ O , x < 2 p ,

где постоянные ^ , v, а также постоянные сч при х > 2р должны удовлетворять системе

g=l v = l , v = = 1

= — dj — d9+J, j = ТГР^ (19)

При х < 2p, кроме системы (19), где все с, = 0, должны вы­

полняться еще 2р —х комплексных условий

^[W0(z) + W0{z)] = bj9 ^ - - ^ [ F o ^ + Fo^)], (20) / = 1 , 2р--х.

Так как при любом х* число полюсов функции ЧГ (г) =

^^0(z) + W0(z) + W{(z) + W{(z) не меньше 4р —2р, т . е . всегда больше 2р — 2 , то в силу теоремы Римана — Роха [10, с. 125—131] и соотношения ЧГ (2:) = ЧГ (з) функция ¥ (г) при х > 2р содержит 2х — 2р + 1 произвольных вещественных постоянных, а при х < 2р число этих постоянных равно 2р + 1.

Притом эти постоянные при х < 2р должны удовлетворять системе 4р—- 2х вещественных линейных уравнений (20).

Обозначим через г ранг матрицы вещественной системы (20) 0 < r < m i n { 4 p - 2 x ; 2р+1}. . V

Если система (20) неоднородна, т. е. с ( 0 # 0 , то ее раз­

решимость эквивалентна выполнению следующих 4р — 2х — г вещественных условий

*Е(Щ kRebj + Ж;+2р-х,нIm *;) — 0, А — 1, 4Р- 2 х - г , (21) где Л41>й, М2 > й,..., Л/4р-2х,х, А=-= 1, 4р — 2л — г — полная си­

стема линейно-независимых решений соответствующей одно­

родной транспонированной вещественной системы. При вы­

полнении этих условий система (20) имеет / = 2р — г + 1 линейно-независимых над полем вещественных чисел реше­

ний. Причем при г = 2 р + 1 решение будет единственным.

Пусть теперь с (t) == 0. При р < х < 2р число уравнений всегда меньше числа неизвестных. Поэтому однородная система (20) имеет /0 = 2р — г + 1 решений, линейно-независи­

мых над полем вещественных чисел. Однородная система (20) имеет нетривиальные решения и тогда, когда 0 < х < р и г < 2р + 1. ЕСли же г =2р + 1, то нетривиальных решений нет. Если х < 0, то Г-автоморфная функция Ф(г)/Х(г) в R должна иметь 4р полюсов и 4р —х нулей, что не может быть, ибо 4р — х > 4р. Поэтому Ф (z) == 0. Это значит, что однород­

ная система (20) имеет лишь тривиальное решение, т. е.

г — 2 р + 1 .

Итогом изложенного является следующая таблица.

х > 2р

0 < % < 2Р > г < 2Р + 1 , 0 < % < р, г = 2^Р + 1

% < 0

'о 2х — 2р + 1

2р — г + 1 нет нет

/ 2* — 2Р + 1

2р —г + 1 единственно единственно

и

нет 4р.— 2х — г

2р — 2 % — 1

2Р — 2% — 1

В таблице через /0 и I. обозначен^ числа линейно-незави­

симых над полем вещественных чисел решений однородной и неоднородной задач Гильберта (1), (2) соответственно;

190

4 — число условий разрешимости (21) неоднородной задачи Д1), (2); г —ранг матрицы вещественной системы (20); •,•% — ин­

декс задачи (1), (2).

Для получения общего решения задачи Гильберта (1), (2) (если задача разрешима) просто надо положить f(z) = 0(z), z£D, где Ф(.г) определяется формулами (16) —(20), (12).

7°. Используя изложенный выше метод решения задачи (1), (2), сведением к эквивалентной задаче Римана можно решать и более общие задачи. Не останавливаясь на самих решениях, укажем 2 такие задачи.

1) Краевая задача Римана — Гильберта для конечносвязной или бесконечносвязной области D в классе кусочно-мероморф- -ных функций, которые при преобразованиях группы Г при­

обретают мероморфные в D слагаемые и множители, когда на окружности L0 задается краевое условие Гильберта, а на кусочно-гладкой линии A0c z D — краевое условие Римана.

Одна подобная задача рассмотрена в [5].

2) Краевая задача Римана — Гильберта — Карлемана для фундаментальной области функциональной группы дробно- линейных преобразований, из которой выкинута односвязная область, ограниченная окружностью />0. В этом случае крае­

вое условие Гильберта задается на 10, краевое условие Римана — на кусочно-гладкой линии А0, расположенной в рассматриваемой области, а краевое условие Карлемана, в котором сдвиг определяется порождающими преобразова­

ниями группы, — на границе фундаментальной области. Кроме того, у искомой функции допускаются полюсы в конечном числе точек рассматриваемой области.

Частные случаи задачи 2) для прямоугольника и фунда­

ментальных областей фуксовых групп первого рода, когда окружность L0 отсутствует или отсутствуют L0 и линия раз­

рыва Л0, рассмотрены в работах [4, 12 — 15].

§ 5. Задача Шварца

8°. Рассмотрим частный случай задачи (1), (2), когда

# ( / ) = = ! , fy(t) = 0, т. е. задачу восстановления аналитической Г-автоморфной в конечносвязной или бесконечносвязной круговой области D функции f(z) по значениям ее действи­

тельной части на границе Z,0 = (— оо; + оо).

Для конечносвязных круговых областей, удовлетворяющих различным геометрическим условиям, эта задача различными методами решалась многими авторами, подробный обзор результатов которых имеетСя в [16]. В работе [171 указана схема решения этой задачи в одном классе аналитических функций, определенных в счетно-связных круговых областях, удовлетворяющих некоторым геометрическим условиям. Реше­

ния этой задачи записываются в виде рядов интегралов, ядра

которых определяются функциями Гильберта. Однако явный вид этих функций не приводится. Е. Л. Пацевич [18], исполь­

зуя метод симметрии, построила эти функции в явной форме в виде равномерно сходящихся рядов в случае, когда все центры граничных окружностей расположены на одной прямой.

В нашем случае, как было показано в § 2, эта задача эквивалентна задаче Римана

Ф+( 0 - - Ф - ( 0 + 2*(0, < € W - (22) в классе Г-автоморфных функций, удовлетворяющих усло­

вию (6). Непосредственно проверяем, что канонической функ­

цией однородной задачи Х+(/) = — Х~~ (/), t£L0, удовлетво- ряющей "условию (6), является кусочно-постоянная Г-авто- морфная .функция Х+ (г) = /, Х"~ (г) = — i. Функция

<b(z) = X(z)[F0(z) + FQ(z) + c0],

>.W.-^Jf>A(..„* ⁽²³⁾

— о о

где £0 — вещественная постоянная, удовлетворяя условиям (22), (6), имеет в точках ai и а;+р = а/,-у — 1, р, простые по­

люсы С вычетами dj + dj+9 и d, + dj+9 соответственно:

— оо

Для того, чтобы она была аналитическим решением_задачи (22), (6); необходимо и [достаточно, чтобы все d; + dj+9 бы­

ли равны нулю, т. е.

J с (т) [о>;(т) + чъШ Л - О, J = 177. (24)

— оо

При выполнении условий (24) решение задачи Шварца дается формулой / ( г ) = Ф+(г), г £ D. Из (23) и (24) находим

+ оо + о о

— оо —оо

По формуле (9)

fUV t-Wj(z) t —«V(») J

==

f,r__l 1 1 . <

>

Согласно лемме 1 преобразование TwjT также принадлежит группе Г, причем когда w^ пробегает все преобразования группы Г, преобразование Tw^T также пробегает все преоб­

разования группы Г, не повторяя дважды ни одно из них.

Поэтому в силу абсолютной сходимости ряда (25) /((.?, t)***

= K(z, *) и

+ оо

'/(г) = Л [с(*)К (г, х) йт + /с0, (26)

— оо

где £0 — вещественная постоянная.

На основе изложенного можем сделать такое заключение:

Задача Шварца для области D в классе Т-автоморф- них функций разрешима и имеет решение, определяемое формулами* (26), (9), тогда и только тогда, когда выпол­

нены р условий разрешимости (24).

В заключение выражаю глубокую благодарность профес­

сору Л. И. Чибриковой за помощь и постоянное внимание к работам.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Ф о р д Р. Автоморфные функции. М.— Л., ОНТИ, 1936.

2. Г о л у б е в В. В. Однозначные аналитические функции. Авто­

морфные функции. М., Физматгиз, 1961.

3. Ч и б р и к о в а Л. И. О краевой задаче Гильберта на конечной римановой поверхности. — Сб.: Краевые задачи теории функций комплекс­

ного переменного. Изд-во Казанского ун-та, 1962, с. 59—72.

4. Ч и б р и к о в а Л. И. К решению краевой задачи Гильберта. — Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 2. Изд-во Казанского ун-та, 1964, с. 201—212.

5. Ч и б р и к о в а Л. И. Граничная задача Римана на римановой поверхности с краем. — Ученые записки Казанского ун-та, т. 123, кн. 9, 1964, с. 3—14.

6. A k a z a T. Poincare theta series and singular sets of Schottky gro­

ups. — Nagoya mathematical journal, v. 24, 1964, p. 43—65.

7. Ч и б р и к о в а Л. И., С и л ь в е с т р о в В. В. К вопросу об эффективности решения краевой задачи Римана для автоморфных функ­

ций.— „Известия вузов. Математика", 1978, № 12.

8. Ч и б р и к о в а Л. И., С и л ь в е с т р о в В. В. Построение авто- морфного аналога ядра Коши для одного класса собственно разрывных групп. — Труды семинара по краевым задачам. Вып. 16. Изд-во Казанского ун-та, 1979, с. 202—217.

9. С и л ь в е с т р о в В. В. Построение кусочно-мероморфных квази- автоморфных функций. Деп. в ВИНИТИ, № 3701-78 ДЕП.

10. Ч е б о т а р е в Н. Г. Теория алгебраических функций. М.— Л., Гостехиздат, 1948.

11. Ч и б р и к о в а Л. И. Основные граничные задачи для аналити­

ческих функций. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1977.

12. Ч и б р и к о в а Л. И. О граничных задачах для прямоуголь­

ника. — Ученые записки Казанского ун-та, т. 123, кн. 9, 1964, с. 15—39.

13. П о к а з е е в В. И. Краевая задача Карлемана для фундаменталь­

ного многоугольника. — Там же, с. 40—57.

14. П о к а з ее в В. И. Задача Римана для одного класса аналитиче­

ских функций, определенных на фундаментальном многоугольнике.— Там же, с. 58—70.

15. К а б а й л а В. Условия существования обобщенных автоморфных функций и краевая задача Карлемана. — Литовский математический сбор­

ник, т. 7, № 1, 1967, с. 45—55.

16. А л е к с а н д р о в И. А., С о р о к и н А. С. Задача Шварца для многосвязных круговых областей.— Сибирский математический журнал, т. 13, № 5, 1972, с. 971—1001.

17. Д у н д у ч е н к о Л. Е. Интеграл Шварца для одного класса функций, регулярных в счетно-связной круговой 5-области.— Математиче­

ские заметки, т. 12, № 4, 1972, с. 349—354.

о 18. П а ц е в и ч Е. Л. Экстремальные свойства гармонических функ­

ций и применение к обратным краевым задачам. Автореф. канд. дисс.

Казань, 1976.

Доложено на семинаре 20 декабря 197S года.