для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге–Кутты с нетривиальным предиктором, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998, том 38, номер 1, 68–84

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. Ю. Куликов, Численное решение задачи Коши

для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге–Кутты с нетривиальным предиктором, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998, том 38, номер 1, 68–84

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 21:26:36

УДК 519.6222

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ НЕЯВНЫХ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ С НЕТРИВИАЛЬНЫМ ПРЕДИКТОРОМ

© 1998 г. Г, ГО. Куликов

(432700 Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, Ульяновский гос. университет)

Поступила в редакцию 28.06.96 г.

Переработанный вариант 15.12.96 г.

Предложены три класса комбинированных численных методов решения задачи Коши для си­

стемы дифференциально-алгебраических уравнений с нетривиальным предиктором, постро­

енные на основе неявных формул Рунге-Кутты. Для этих комбинированных методов доказа­

ны теоремы сходимости и получены оценки точности решения. Рассмотрены численные ме­

тоды как с фиксированным шагом, так и с автоматическим выбором шага интегрирования.

Найден наиболее эффективный по затратам машинного времени класс численных методов ^ из предложенных выше. Полученные результаты подкреплены численными примерами.

1. В В Е Д Е Н И Е

В настоящее время системы дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 (в соот­

ветствий с определением Гира [1])

xV) - g(x(t),y(t),a(t)), y{t) - Д * ( 0 , у ( 0 , а ( 0 ) ; *(*о) = У('О) = У\ ( Ы ) г д е г е [t⁰ⁱt⁰ + T],x(t)e U^m,y(t)e Uⁿ,a(t)e W,g :DaU^{m + n + l}—^R^m,f:Dc:U^{m + n + l}—*~Ш^п,причем

начальные условия заданы корректно: у⁰ =/(JC°, у⁰, ос(г⁰)), считаются хорошо изученными. Для них доказаны т е о р е м ы существования и единственности [2] и предложены устойчивые численные методы с постоянным и переменным шагом интегрирования, использующие неявные ф о р м у л ы Р у н г е - К у т т ы [3]-[6].

С помощью методов Рунге-Кутты непрерывная задача (1.1) заменяется дискретной, для ре­

шений которой применяется тот или иной итерационный процесс. В качестве итерационного ме­

тода о б ы ч н о берут либо метод простых итераций, либо метод Ньютона, либо модифицирован­

ный метод Н ь ю т о н а . Описанный подход к решению задачи (1.1) обладает высокой э ф ф е к т и в н о ­ стью, так как позволяет строить численные методы произвольного порядка сходимости. К р о м е того, при достаточном числе итераций удается обеспечить сходимость того ж е порядка, к о т о р ы й имеет формула Р у н г е - К у т т ы , положенная в основу комбинированного метода [5], [6]. Единст­

венным недостатком являются значительные затраты машинного времени, связанные, во-пер­

вых, с увеличением размерности задачи (1.1) в / + 1 раз при использовании /-стадийного неявного метода Р у н г е - К у т т ы и, во-вторых, с ростом числа итераций, необходимого для обеспечения схо­

димости порядка 0(x^s) при увеличении порядка s формулы Рунге-Кутты. Таким образом, ис­

пользование комбинированных численных методов решения задачи (1.1) высокого порядка схо­

димости м о ж е т оказаться под большим вопросом, если вычислительные затраты будут превос­

ходить выгоду от применения численных методов высокого порядка сходимости.

В статье [6] приведены некоторые соображения, позволяющие сократить з а т р а т ы машинно­

го времени в несколько раз. В настоящей статье показано, как модифицировать численные ме­

тоды, предложенные в [5], [6], с тем, чтобы существенным образом сократить число итераций.

Т а к а я возможность кроется в использовании численных методов с нетривиальным предикто­

ром.

П р е д л о ж е н н ы е ранее численные методы для решения задачи (1.1) как с постоянным, так и с переменным шагом интегрирования при нахождении приближенного решения в т о ч к е ^^{+ 1}в ка­

честве начального приближения использовали решение, найденное в точке t^k. Такие методы в дальнейшем будем называть численными методами с тривиальным предиктором. Если на-

68

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 69 чальное приближение при решении задачи (1.1) в точке t^{k + l} определять более сложным образом, то получим численные методы с нетривиальным предиктором.

В отличие от систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых существует несколько подходов к выбору начального приближения [7], [8], задачи типа (1.1) допускают только тот из них, который базируется на использовании интерполяционных полиномов. Этот подход требует, с одной стороны, дополнительной памяти для хранения информации, необходи­

мой при построении интерполяционного полинома, а с другой - дополнительных затрат машин­

ного времени, связанных с вычислением начального приближения. Поэтому важно выяснить, будут ли численные методы с нетривиальным предиктором более э ф ф е к т и в н ы по сравнению с численными методами, использующими тривиальный предиктор.

В разд. 2 предложены комбинированные численные методы решения систем дифференци­

ально-алгебраических уравнении типа (1.1) с нетривиальным предиктором. В разд. 3 на тестовой задаче с известным решением проведен сравнительный анализ численных методов с тривиаль­

ным и нетривиальным предиктором. В разд. 4 доказаны теоремы сходимости для численных ме­

тодов с нетривиальным предиктором, даны оценки точности численного решения. В разд. 5 ре­

зультаты статьи обобщены на случай методов с переменным шагом интегрирования, даны реко­

мендации по практическому использованию численных методов с нетривиальным предиктором.

2. Ч И С Л Е Н Н Ы Е М Е Т О Д Ы С Н Е Т Р И В И А Л Ь Н Ы М П Р Е Д И К Т О Р О М Б е з ограничения общности далее будем рассматривать только автономные задачи

* ' ( 0 = У(0), y(t) = f(x(t),y(t)), (2.1а)

х(0) = х°, у(0) = у⁰, (2.16)

где t е [О, Л , x(t) е U^m, y(t) е Ш^п, g : D с Ш^{т + п} — I R^W, / : D с Ш^{т + п} — Ш^п и начальные условия (2.16) заданы корректно, т.е. у⁰ ^f(x°, у⁰).

В качестве нормы и расстояния в R^{m + п} возьмем

И - , max | 4

p(*\z")

- Ik-zl:

1<1<т + п

Для численного решения задачи (2.1) введем на отрезке [0, 7] равномерную сетку Щ = ih+\ = h + x, k = О, 1, ...,K-l, t⁰ = 0, xK= Т}.

Применяя неявный /-стадийный метод Рунге-Кутты (Р. К.) [8], [9], с учетом автономности зада­

чи (2.1) получаем следующую систему алгебраических уравнений:

*ki = *к + ^ а ^ ( х ^{к р} y^kj), y^ki = f(x^ki,y^ki), i = 1,2, . . . , / , (2.2a) i

= i

- x^k + xy\big(x^ki9y^ki)⁹ у^к+^Л = / ( * * + ! , . ) > * + 1 ) ,

^ (2.26) к = 0, 1, A > 1 , x⁰ == / , y⁰ = y°,

где a^ij9 bi = 1 , 2 , . , . , / ) - коэффициенты P. К.-формулы.

Обозначим через z(f) вектор, составленный из компонент векторов x(t) и y(t) (z(t) = (x(i), y(t))^T e

e U^{m + n}), а через G - отображение, полученное объединением отображений g nf(G == (g,j)^T : D a

a R^{m + n} — ^ !R^{m + n}) . Пусть z(t^k) - значение точного решение задачи (2.1) в точке t^k, z^k - значение

точного решения задачи (2.2) в точке t^knz^k~ z^k (N) - значение приближенного решения задачи (2.2) в точке t^k, полученное после N итераций некоторого итерационного метода.

Дополнительно введем вектор

^k+l - UiU> Zkb Z^k+\) E 1ГЪ

и определим отображения

Gl: D c R( w + n ) ( / + 1 ) —

u

^{m+nKl+1

\

Gl : D c R^{( m+ n)(/+ 1}U +

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 38 № 1 1998

к = 0, 1, 1, следующим образом:

Г ¹

GkZk + l =

^ 7=1 7=1 i=\ J

f 1 ' I

+ x h ^{a i} J ^g ^ K^Zk^ ^{+ %}b^anS^kjl f(Zki), *k + ^ 2^ < g^{( z}* < ) ' 1 )

^ 7=1 7=1 / = 1 У ч и т ы в а я введенные обозначения, переписываем задачу (2.2) в более компактном виде:

Zt +i = # Zt +i , * = 0 , 1 , . . , , « - - 1 , . Z0 = Z° = (Z 0, . . . , . z ° )Te R( m + ") ('+ 1\ (2.3) Далее, следуя [5], для решения задачи (2.3) рассматриваем три класса комбинированных числен­

ных методов.

Метод Рунге-Кутты простых итераций (Р. К. п. и.) с нетривиальным предиктором:

Zlk+l = GlZ?k-+\,- к = q,q+\,...,K-\, i = \,2,...,N, (2.4а) 4⁺i = (Я,(**+.с,т), ...,H^q(t^k + ^Clx),H^q(t^k+1)y е R( m + n ) ('^{+ 1 )}, (2.46)

Z^k = Z^k = (z^k,...,z^kye U( m + n ) ( l + l ), к = 0 , 1 , . . . , * , (2.4в) где c^t (i = 1, 2, Z) - к о э ф ф и ц и е н т ы P. К.-формулы, положенной в основу Р. К . п. и.-метода, а

Hq (t) - интерполяционный многочлен Ньютона степени q, построенный по последним q + 1 точ­

кам Z j J = k,k-l,...,k-q. Считаем, что стартовые значения г^;, у = 0, 1, ..., q, известны.

Метод Рунге-Кутты-Ньютона (Р. К. Н.) с нетривиальным предиктором:

4+ 1 =

Z ^ - a F ^ Z ^ ^ F l z ; ;

¹

! ,

k = q,q+l,...⁹K-l⁹ i = 1,2, (2.5а)

z2

⁺

i

= (H^q(t^k*^Clx),...,H^q(t^k+ ^R( »⁺" ) ( /⁺D^{f (2 -5б)} Z^k = Z^k = {z^h...,z^k)^Te 1 Г + п ) ( / + 1 ), * = 0 , 1 , . ( 2 . 5 B )

где Fk = £, ( m + n ) (;+ 1 } - Gk9 a dFk(Zk + l) - якобиан отображения F*, вычисленный в т о ч к е j

( £( т + + 1 } - единичная матрица размера (m + «)(/ + 1)).

Метод Рунге-Кутты модифицированный Ньютона (Р. К. м. Н.) с нетривиальным предик­

тором: '

Zlk+l = Z[\\-dFl(Zl+\)~lFlZlk~+lu k = q9q+l, ...,К-19 i = 1,2,...,/V, (2.6a) Z "⁺1 = (H^q(t^k + ^Clx)⁹ ...,H^q(t^k + ^ClT),H^q(t^k+l))^Te U( m + n ) ( l + l\ (2.66)

Zk = Zk = (zk, . . . , Z , )TG [R( m + n ) ( / + 1 )

, fc

⁼

о,

1, ...,q.. (2.6B) Н и ж е относительно стартовых значений будем предполагать, что они являются н е к о т о р ы м

приближением к точному решению задачи (2.1), т.е. \\z(tj)-Zj\\ = 0(xr)⁹j = 0, 1, q, и г > 1. Одно­

временно, в силу т е о р е м ы 1 из [5] и очевидного неравенства Р^;- ^ 1 < | ^ - г ( 0 ) | ⁺ |^г^ ) - г⁷1 ,

стартовые значения будут приближением порядка 0(xmin[r^]) для первых q + 1 т о ч е к решения за­

дачи (2.2), где s - порядок Р. К.-метода, положенного в основу задачи (2.2).

Ч т о б ы оценить влияние нетривиального предиктора на сходимость методов (2.4)-(2.6), рас­

смотрим несколько численных примеров.

3. Ч И С Л Е Н Н Ы Е П Р И М Е Р Ы В качестве теста используем задачу

x\(t) = 1 0 r e x p [ 5 ( y2( 0 - l ) ] *2( 0 , x2(t) = -2tln[yi(t)]9 (3.1а) У 1 « = * i ( 01 / 5, y2(t) = (x2(t)2 + y2(t)2)/29 te[t0,t0 + T]9 (3.16)

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 71 с начальными условиями

x^x(t⁰) = exp[5sin(*o)L х²( /⁰) " = cos(ro), y\(t⁰) = e x p [ s i n( 4 ) ] , y²(t⁰) = " м п ( ф + 1. (3.2) Задача (3.1), (3.2) имеет точное решение:

xx(t) = e x p [ 5 s i n ( f2) ] , x2(t) = cos(*2), уДО = e x p [ s i n ( f2) ] , y2(t) = s i n ( f2) + 1. (3.3) Н а базе метода Хаммера-Холлингсуорта 4-го порядка сходимости и метода Кунцмана-Бут- чера 6-го порядка сходимости [8, с. 217-218] в соответствии с формулами (2.4)-(2.6) построим 6 комбинированных методов. В качестве предиктора возьмем интерполяционный полином Н ь ю ­ тона 2-го порядка. Стартовые значения определим, исходя из формул для точного решения (3.3).

Решим задачу (3.1) на отрезке [1.0708712, 1.4123836] каждым из 6 построенных методов и срав­

ним полученные результаты с данными статьи [5], приведенными для задачи (3.1) и для тех ж е самых методов, но с тривиальным предиктором. Таким образом м ы сможем оценить влияние предиктора на сходимость различных классов комбинированных методов.

Сопоставление глобальных ошибок численных методов с тривиальным и нетривиальным предиктором (табл. 1-6) позволяет сделать вывод о том, что использование предиктора второго порядка значительно увеличивает эффективность комбинированных численных методов.

В этом случае удается достичь максимального порядка сходимости при меньшем числе итераций и тем самым существенно сократить затраты машинного времени, так как суммарные з а т р а т ы на вычисление начальных приближений для каждого численного метода не п р е в ы ш а ю т 0.5% от общих затрат машинного времени¹).

Таблища 1. Р. К. п. и.-метод 4-го порядка N

т

N

ю-

^{1 ю-2 1(Г3. КГ4}

ю-

⁵

10 1.436 х 10'2 , 3.689 х Ю-6 4.765 х Ю- 9 4.894 х Ю-^{1 2} 5.329 х Ю-^{1 5} 20 1.733 Х10-2 1.712 х Ю "⁶ 1.648 х Ю^{- 1 0} 1.066x 10"1 4 8.188 х 10"1 6

30 1.734 х 10"2 1.719 х Ю-6 1.718 х Ю-1 0 1.760 х Ю-^{1 4} 8.188 х 10"^{1 6} 40 1.734 х10~2 1.719 х Ю "⁶ 1.718 x l O "^{1 0} 1.760 х Ю-^{1 4} 8.188 х Ю-^{1 6} 50 1.734 х10~2 1.719 хЛОг6 1.718 х Ю-1 0 1.760 х 10"1 4 8.188 х Ю- 1 6

Таблица 2. Р. К. п. и.-метод 6-го порядка

N

N ю-¹ 10 2 10"3 ЛОГ⁴ ю-⁵

20 9.360 х Ю-5 7.511 х 10"9 7.678 х 10~12 7.522 х 10"1 5 8.327 х 10"1 6

40 8.906 XI О"⁵ 8.785 х 10 2.637 х Ю-^{1 6} 2.082 х 10"^{1 6} 8.327 х Ю-^{1 6} 60 8.906 х 10"⁵ 8.785 х Ю "^{1 1} 2.637 х Ю "^{1 6} 2.082 ХЮ"^{1 6} 8.327 X 10"^{1 6} 80 8.906 х 10"5 8.785 х 10"1 1 2.637 х 10"1 6 2.082x 10"1 6 8.327 х Ю "1 6

Таблища 3. Р. К, Н.-метод 4-го порядка

N

N ю-¹ ю-² ю-³ 10"4 ю-⁵

1 6.283 х 10"² 1.7.59 х Ю "⁶ 1.718 х Ю-1 0 . 1.708 х 1СГ¹⁴ 9.368 х Ю "1 6

.2 1.734 х Ю-2 1.719 х Ю "6 1.718 х Ю "1 0 1.760х КГ^{1 4} 8.049 х ИГ^{1 6} 3 1.734 х 10"2 1.719 х Ю^{- 6} 1.718 х Ю "^{1 0} 1.761 х И Г^{1 4} 8.188 х 10 ^{1 6} 5 1.734 х 10"² 1.719 х 10"6 1.718 х Ю-1 0 1.761 х 1(Г1 4 8.188 х 10"^{1 6} 7 1.734 х 10'2 1.719 х Ю- 6 1.718 х Ю "^{1 0} 1.761 х 10"^{1 4} 8.188 х Ю-1 6

' Все расчеты проводились на IBM PC 486DX-2 в арифметике с плавающей точкой и 19-20 разрядами для хранения мантиссы чисел.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 38 № 1 1998

Таблица 4. Р. К. Н.-метод 6-го порядка

N ^Т

N

ю-

¹

ю-

^{2 10'3 10"4}

ю-

⁵

1 7.462 х КГ² 5.055 х Ю-8 5.142 х Ю "^{1 4} 2.359 х Ю- 1 6 9.388 х Ю "1 5

. 2 8.864 х 10"⁵ 8.783 х Ю"¹¹ 2.914 х 10"1 6 2.220 х Ю-^{1 6} 8.327 X Ю-1 6

3 8.906 х КГ⁵ 8.783 х Ю "1 1 2.498 х Ю-1 6 2.220 X I О"16 8.188 X 10-^{1 6} 5 8.906 x l O "⁵ 8.783 х 10-1 1 2.498 х Ю-^{1 6} 2.220 x l O "1 6 8.188 х Ю-^{1 6} 7 8.906 х 10~5 8.783 х Ю "^{1 1} 2.498 х 10"1 6 2.220 х 10-^{1 6} 8.188 х Ю "1 6

Таблища 5. Р. К. м. Н.-метод 4-го порядка

N ^X

N

ю-

^{1 10'2}

ю-

³

ю-

⁴

ю-

⁵

1 6.283 х 10"² 1.759 х Ю "⁶ 1.718 х Ю-1 0 1.708 х Ю-^{1 4} 9.368 х Ю-^{1 6} . 2 1.710 х 10"² 1.719x10-* 1.718 х Ю"1 0 1.760 х 10"1 4 8.049 х 10"^{1 6} 3 1.733 х 10"2 1.719x10-* 1.718 х Ю"^{1 0} 1.761 х 1 0^{- 1 4} 8.188 х Ю-^{1 6} 5 1.734 х Ю-2 1.719 х Ю "⁶ 1.718 х Ю-^{1 0} 1.761 х 10"^{1 4} 8.188 х 10"1 6

7 1.734 х 10"2 1.719 х 10-6 1.718 х Ю-^{1 0} 1.761 х 10"^{1 4} 8.188 х К)"1 6

Таблища 6. Р. К. м. Н.-метод 6-го порядка

ю-

¹

ю-

²

ю-

^{3 10"4 10~5}

1 7.462 х 10"² 5.055 х Ю-⁸ 5.142 х Ю "^{1 4} 2.359 X I О"¹⁶ 9.388 х К Г^{1 5} 2 1.112 х 10"3 8.695 х 10"1 1 2.914 х 10"1 6 2.220 х 10"1 6 8.327 х Ю-^{1 6} 3 9.389 х 10"⁵ 8.783 х Ю"^{1 1} 2.498 х Ю^{- 1 6} 2.220 х 10"^{1 6} 8.188 х Ю-^{1 6} 5 8.906 х Ю-5 8.783 х Ю "1 1 2.498 х 10"^{1 6} 2.220 х Ю-1 6 8.188 х К Г1 6

7 8.906 х 10~5 8.783 х 10-1 1 2.498 х 10~1 6 2.220 х 10~1 6 8.188 х 10-1 6

И т а к , полученные данные подтверждают высокую э ф ф е к т и в н о с т ь численных методов с не­

тривиальным предиктором, по крайней мере для некоторого класса задач вида (1 Л).

4. Т Е О Р Е М Ы С Х О Д И М О С Т И ДЛЯ Ч И С Л Е Н Н Ы Х М Е Т О Д О В С Н Е Т Р И В И А Л Ь Н Ы М П Р Е Д И К Т О Р О М

В этом разделе докажем сходимость численных методов (2.4)-(2.6) и оценим погрешность численного решения в зависимости от порядка Р. К.-метода, степени интерполяционного поли­

нома Н ь ю т о н а и точности стартовых значений.

В дальнейшем нам понадобится оценка точности интерполирования достаточно гладкой функции ДО в случае, если ее значения в точках произвольной сетки на отрезке [а, Ь] известны с некоторой ошибкой.

Лемма 1. Пусть функция/: [a, b]czU —^ Um + n и fit) е СЦ1Ь]. Если / (tt), i = 0, 1, ..., q, - значе­

ния функции ДО, известные с некоторой погрешностью, тогда интерполяционный полином Ньютона q-й степени H^q(t), построенный по точкам f(t^t), аппроксимирует функцию ДО с точностью

\\f(t)-H4(t)

<

7 = 0/ = 0

. ( 0 1 / = о,

\m-hh)

^(4.1)

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 73 где

sup

||/

^{( , + , )}

(r)i<;c,

^{+ 1}

,

Wj(t)

= JJit-t,),

t G [a,b]

1 = 0

причем если j < 0, mo Wj = 1.

Доказательство. Для левой части формулы (4Л) справедлива оценка

|/(?) - H⁴(t)\\ < | / ( 0 - H^tl(t)\\ + \\H⁴(t) - H^q(t)\\, (4.2) где Я^(0 - интерполяционный полином Ньютона, построенный по точкам Д^), / = 0, 1 ,q . П е р ­

вое слагаемое правой части формулы (4.2) согласно [10, с. 133] можно оценить как

т о - е д < ( ^ Т ) ] | а д • <⁴-³>

Оценим второе слагаемое. Используя определение интерполяционного полинома Ньютона, получаем

\\H^q(t)-H^q(t)\\ =

= \\f (h)

+ (*-

^t0)f(t0, *,) + ... + U-h)• • ,(t- t^q_^x)f{t^a, ..., t^q) - f(t⁰)- (t-t⁰)f(t⁰,

f,)-...

•... -{1-1⁰)...{1-1^ч_Шо, .... r,)|"^ ||/(r⁰)-/(ifo)ll

+ Ut-ro)/('o.'i)-(f-'o)/(ifo,'i)|| + -

^(4.4)

.... +\\(t-t⁰)...(t-t^q_^l)f(t⁰,

-(f-f

^Q

).»(*-',-i)/fa>.

^{...,tq)\\ =}

= ||/(*o) - / ( ' o ) |

+

| W

⁰

( 0 | | / ( ^ * i ) " / C o . + ••• + l ^ _ , ( 0 | | | / ( ^ - ' , ) - / ( * < > . ....

где Д^⁰, tj) - разделенная разность j - г о порядка, вычисленная по точкам Д^), / = 0, 1, а /(t⁰, ..., tj) - разделенная разность j-ro порядка, вычисленная по точкам /

(£,), / = 0,1,...,

j .

Для разделенной разности j - r o порядка справедливо представление (см. [10, с. 130])

f(t⁰,...,tj) = ^ / ( о

/ = 0

П

/ = о,

Используя

(4.5),

для j - r o слагаемого правой части формулы

(4.4)

имеем

(4.5)

| / ( г⁰, ...,tj)-f(t⁰, ...,tj)\\ =

/ = 0

П <'<-'<)

[/(',)-/(',)]

t = 0 L / = 0, / * i

i = 0

, 7

^{= 0 ,}

(4.6)

Ил*,-) - ж ) | П l ' < - / < i i = 0 V / = 0, l*i у

Подставляя оценку

(4.6)

в

(4.4),

а затем

(4.3)

и

(4.4)

в

(4.2),

получаем

(4.1),

что завершает до­

казательство леммы.

Перейдем к доказательству сходимости численных методов с нетривиальным предиктором.

Предположим, что на компактном множестве D^x задача (2.1) удовлетворяет таким условиям.

L Условие гладкости. Отображение G' : D^{ с Ш^{т + п} —Ш^{т + п} имеет на множестве D^x непре­

рывные частные производные до порядка s + 2 включительно, где s - порядок Р. К.-формулы, положенной в основу задачи

(2.2).

В частности, отсюда следует дифференцируемость G и

| | 3 G ( z ' ) - a G ( z " ) | | < Y l k ' - z 1 Vz\z"eD^u где у - н е к о т о р а я константа.

II. Условие иевырождеииости. Матрица Еп - dyf(x, у) невырожденна для любого ze D{. III» Условие

в&лщтемия1 .

²⁾ Существует выпуклое множество D⁰ такое, что z° е D⁰ с D^x.

2^ Включение D⁰ с D^{ означает, что множество D⁰ содержится в D^x вместе с некоторой окрестностью.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 38 № 1 1998

Известно [2], что в этом случае задача (2Л) имеет единственное решение z(i) е D0.

Следующая лемма дает оценку ошибки приближенного решения задачи (2.2) в зависимости от числа итераций N метода (2.5).

Лемма 2» Пусть задача (2.1) удовлетворяет на множестве Д условиям гладкости, невы­

рожденности и включения, причем z(t) е С^о^т) и стартовые значения z,-, i = 0, .1, ..., q, заданы с точностью 0(х^г), г > 1. Тогда для любого достаточно малого хприближенное решение задачи (2.2), полученное с помощью Р. К. Н.-метода с нетривиальным предиктором (2.5), существует и сходится к точному решению этой задачи при N —• °°. При этом выполняется

\\'z^k-z^k(N)\\ = 0(Х»), к = q + l,q + 2,...,K, (4.7) где р = min{^ • 2^М- 1, Q , £ = min{q + 1, v } , £ = min{r, .у}, q-порядок интерполяционного поли­

нома Ньютона, я V us- соответственно, стадийный и классический порядок формулы Рунге- Кутты [3], [8], положенной в основу метода (2.5).

Доказательств©» Рассмотрим множество

D = {ze U^m+n :p(z,D0)<Rx{},

которое выпукло [11] и при некотором х^{ содержится в Д . Причем из условия л е м м ы следует, что при достаточно малом х^х для стартовых значений справедливо е Д к = 0, 1, q. Н и ж е покажем, что константу R можно выбрать так, чтобы для любого k = q+l,q + 2, ...,К величины zk и zk принадлежали множеству Д

З а ф и к с и р у е м произвольное достаточно малое х < х{ и воспользуемся индукцией по к.

1. Пусть к = q. Докажем, что лемма 2 в этом случае выполнена. При к - g задача (2.2) имеет вид

F^%qZ^{q + l} = 0. (4.8)

Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что задача (4.8) имеет единственное ре­

шение, а затем покажем справедливость оценки (4.7).

Для доказательства первого ф а к т а используем метод Ньютона

K

^+L

= z ^ - a ^ z ; ;

¹

, ) "

¹

^ ; ;

¹

, ,

1 = 1,2,..., (4.9) с тривиальным предиктором

z j+ 1 = Zq = ZA = (Zq, . . . . z , )Te U^ ⁺^ \ (4,10) т.е. в качестве начального приближения на (q + 1)-м шаге берем приближенное решение задачи

(2.2), найденное на q-м шаге. Доказательство этого ф а к т а проведем достаточно кратко, акцен­

тируя внимание только на принципиальных моментах, в связи с тем что оно практически дослов­

но повторяет изложение соответствующей части теоремы 1 из [5].

У ч и т ы в а я условия леммы 2, имеем следующее.

а. Существует dFq(Zq + l) , причем

I H ( Z ;

^{+ 1}

) 1 N P ,

где Р - некоторая константа.

б. С учетом (4.10) получаем

< р т а х { т т а х { A , B}\\g(z⁴)\\, \\y^q- f(z^q)\\} < р т а х { т т а х { A, B}\\g(z^q)\\, \\y^q- у , | + | / ( z , ) - /.(г,)Ц}, где

A

= ^ \ h

^a

A

^в

= ш

В силу т е о р е м ы 1 из [5] имеем

Ь

^ч

- U + !/(«,) - / М *

^{(1 + d)\\zq -}

i

^q

\\ <

^{(1 + d)(\zq -}

z(t

^q

)\\

⁺

\\z(t

^q

) - Ц)

⁼

0(f),

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ.ЗАДАЧИ КОШИ 75

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 38 № 1 1998

где sup ^ d. Таким образом, окончательно получаем оценку

\\dF^zl⁺yF⁴Z^0q+i<4 = 0 ( х ) .

в. Якобиан отображения F\ удовлетворяет условию Липшица на множестве D^l+l = D х ...

... x D c R( m + n ) ( , + 1 ):

' |aF^(Z

^,

)-d.Fj(Z

^,,

)H<YllZ

^,

-Z

^,,

ll

V Z ' , Z " G D/ + 1.

г. П о л о ж и м а = РуП- Тогда а = О(т) и, следовательно, а < 1/2 при достаточно малом т.

д. К р о м е того, при достаточно малом т замкнутый шар S(Z°^{q + ъ} р*) c D^{l + 1}, где

/>* = ( р у г ' а - Л ^ с ) .

^{, (4.11)}

И з выпуклости множества D ( D^{/ +}* ) и утверждений а-д следует, что в точке Z°^{q + l} справедлива теорема Канторовича [12, с. 404], поэтому итерации (4.9) лежат в S(Z°^{q + 1 ?} /?*) и сходятся к +1 - единственному решению системы (4.8) в S(Z^q + \, р**) n D^l+ \ где

/ 7 * * = ( p Y )^{_ 1}( l + V l - 2 a ) . (4.12)

При этом имеет место оценка ошибки

\%^-г^ч+1\\<(2'$уу\2а)²', i = 0 , 1 , . . . . (4.13) Следствием (4.13) является оценка

\\z^q+l-z[⁺l<(2^y)'\2af⁹ / = 0 , 1 , . . . . (4.14) Таким образом, доказано существование и единственность решения задачи (4.8) при доста­

точно малом т и даже получена оценка погрешности (4.14). Однако эта оценка не обеспечивает выполнения (4.7), т а к как, в силу п. г, а есть величина порядка О(т).

Учитывая экстраполяцию g-го порядка при выборе начального приближения, докажем (4.7).

Н о прежде получим полезную оценку

\\z^q+i-Z^{q +} i\\ =

0(т

^с

).

^(4.15)

Обозначая через X^q + \ и X^q + \ х-компоненты векторов Z^q+i и Z^q+\, по аналогии с доказательст­

вом оценки (3.13) из [5] нетрудно получить

i z . ^ - Z. / i l U m a x i b^ ^ l l x ^ i - X^ i l , . (4.16) где

sup\\[Eⁿ-d^yf(z)T^l\\<d^b sup||a,/(z)||<</². Тогда с учетом (2.2) имеем

\\x^{q +} i-kq+i\\<(l+msK{^^

где

s u p | | 3 g ( z ) | | < C .

ze Dx

Отсюда и из (4.16) вытекает

117 7 II ^ ^{( 1} + Ш а Х { A ? В} C T)^{m a X} <*2 > ,^r - и ГА пч

\\Z^{q +} i-Z^{q +} A< ^{W m a x { A > g } C T} ~ (4.17) П о условию, z^q = z^q и, следовательно, в силу теоремы 1 из [5],

|2,-z,NP,-z(g|| + lz(g-z,| = о(т

^с

).

Подставляя последнюю оценку в (4Л7), получаем (4.15).

Докажем оценку (4.7)^? Итак, теперь в качестве начального приближения для (4.9) используем

Z^{q +} i = (H^q(t^q + с^хт), ...,H^q(t^q + cfl),H^q(t^q+l))^T.

И з изложенного в ы ш е следует, что выбор новой начальной точки скажется только на п. б и, сле­

довательно, г. Остальные пункты доказательства останутся без изменения.

б'. Для новой точки Z°^q+! справедливо

< ( i + d m \ \ z

^{q +}

1 - z

^q+

ill+\\z

^q+

1 - z(

^tq+

oi+|z(^

⁺¹

)-z;

⁺¹

||),

где Z(t^q+X)•= -ь cxt), z ( ^ + c/c), Z ( ^ + I) )^t e [R(^{m +} " X^{/ +} D. Формула (4.1) в случае равномерной сетки с шагом т примет вид

я

||дО-я,(оМ^^

где

V(i) =

( g + D !

^.(?-; + 1 )!а -'Ж

i = 1,2, ...,(?,

и V(0) = 1. Тогда, в силу теоремы 1 из [5], (4.15) и леммы 1, имеем dF^q(Z%^x)' F^qZ%^x\\<if] = О(т^).

г'. Т а к как, по определению, а = (Зуп, т о а == О(т^).

Подстановка (4.14) с учетом новой оценки для а и (4.15) в неравенство

ll^+l

^~Zq+

l|| -

\\z>q+\ ~Z^q+

lH +

\\Zq+\ ~Zq+

l||

дает (4.7), ч т о завершает доказательство леммы 2 при к = д.

2. Пусть для & = g + l , g + 2 , л е м м а 2 справедлива. Докажем, что в этом случае она выпол­

няется и при к = j + 1.

Задача (2.2) при к = j имеет вид

F]Z^j+l = 0. (4.18)

Используя для решения (4.18) метод Ньютона с тривиальным предиктором

= z ^ - a ^ z ; ^ ) -

¹

^ ^ , t

= 1 , 2 , ( 4 . 1 9 ) z ;+ 1 = Z; = ( Z^;- , . . . , Z/ ER^(M+W)(/+1),

как и в случае п. 1, нетрудно показать, что задача (4.18) имеет единственное решение Zj+ \. А ис­

пользуя итерации (4.19) с предиктором порядка q

Z°^i+X = {Н^ч{г^с^хх\...,Н^ч{г^с{1\Н^ч{г^^х))\

удается показать, что

||2^J.^{+ 1}- z 7+ 1| | < ( 2^A' P Y ) -^,( 2 a )²' ' ,

где a = О(т^). Осталось доказать, что для z^{j + x} выполнена оценка (4.7).

Введем матрицу

(4.20)

Р =

1 + т а х { А , В}Сх т а х { А , В } С х

1 - т а х { 1 , d , d²} m a x { A , В}Сх 1 -max{\,d^xd²}max{A, В}С%

d^xd²(\ + т а х { А , В}Сх) й^уй^гтм{А, В}Сх 1 - т а х { 1 , d^xd²}max{A, В}Сх 1 - т а х { 1 , d , d²} m a x { A , В}Сх точку

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

⁷⁷

Тогда из (2.2) и теоремы о неявной функции нетрудно получить

( м-

w + i i i <Р

Следствием (4.20) и (4.21) будет оценка

г\\~^х

I \\y

^j+

i-y

^j+

i\\ j

\\^xj+l~ ^xj+\\\

( I I -

- и

л

\\^х<,-^х«п

V

i - q,q+ 1,

+ <2^wPY)^{_ 1}(2a)²

/ = 0

\\Уд^Уд\\ J

П р о с т ы м перемножением легко проверить, что для степеней матрицы Р справедливо

p

i __ ( 1 + (1 +flWmax{A, В}Сх у'"

(4.21)

(4.22)

1 - ш а х { 1 , ^ ! ^²} т а х { А , В}С%) Р, i = 1,2,..., К,

что гарантирует ограниченность матрицы Р⁽ при достаточно малом X для любого /. Поэтому, принимая во внимание (4.22), точность задания стартовых величин и теорему 1 из [5], получаем оценку (4.7). Лемма доказана.

Следствием леммы 2, теоремы 1 из [5] и очевидного неравенства Hh) - z^k(N)\\ * \\z(h) - ~z^k\\ + \\~z^k - z^k(N)\\

является следующая теорема о сходимости Р. К. Н.-методов с нетривиальным предиктором.

Теорема 1. Пусть задана (2.1) удовлетворяет на множестве D^x условиям гладкости, невы­

рожденности и включения, причем z(t) € С^"^ и стартовые значения z^h i = 0, 1, q, заданье с точностью 0(т^г), г > 1. Тогда при X — • 0 приближенное решение задачи z^k,k-q^ 1, <? + 2, ..., К, полученное с помощью Р. К. Н.-метода с нетривиальным предиктором (2.5), существует и сходится к точному решению задачи (2.1). При этом справедлива оценка

\\z(t^k)-z^k(N)\\ = 0(Х^П), k = q+ \ ,q + 2, К, (4.23)

где р = min{£ • 2^N - 1, Q , £ = min{g + 1, v } , £ = min {г, s), q - порядок интерполяционного поли­

нома Ньютона, av us- соответственно, стадийный и классический порядок формулы Рунге- Кутты, положенной в основу метода (2.5).

И з (4.23) следует, что если

N > l o g²[ ( j + l ) / £ ] (4.24а)

и

r>s, (4.246) то Р. К. Н.-метод имеет порядок s, т.е. его порядок совпадает с порядком Р. К.-формулы, поло­

женной в основу Р. К. Н.-метода. Таким образом, если % > (s + 1)/4, то для обеспечения сходимо­

сти со скоростью 0(x^s) достаточно двух итераций. Более того, условие N > 2 является необходи­

м ы м для обеспечения максимального порядка. Это следует из того, что при одной итерации мак­

симальный порядок комбинированного Р. К. Н.-метода возможно обеспечить только при выполнении условия 2; > (s + 1)/2, которое не может быть выполнено, так как стадийный порядок Р. К.-методов не превышает s/2.

Проиллюстрируем сказанное на численном примере. Табл. 3, 4 дают глобальные ошибки Р. К. Н.-методов 4-го и 6^Jr o порядков соответственно. Так как стартовые значения определялись точно, т.е. Zi = z(ti), то неравенство (4.246) выполнено. Порядок интерполяционного полинома ра­

вен двум. Стадийный порядок для первого метода равен двум, а для второго метода - трем. П о ­ этому для обоих методов условие (4.24а) примет вид N > 2. Таким образом, для этих методов до­

статочно двух итераций в каждой точке сетки, чтобы обеспечить сходимость максимального по­

рядка, что подтверждается табличными данными (см. табл. 3 и 4).

Перейдем к изучению следующего класса комбинированных методов. Докажем сходимость и оценим точность Р. К. м. Н.-методов с нетривиальным предиктором.

Лемма 3. Пусть задача (2.1) удовлетворяет на множестве D^{ условиям гладкости, невы­

рожденности и включения, причем zif) е С\^^Т] и стартовые значения z^h i =• 0, 1, ..., q, заданы с точностью 0(х^г), г > 1. Тогда для любого достаточно малого х приближенное решение задачи

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 38 № 1 1998