Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. И. Смирнов, Колебания неограниченной сло- истой пластины в потоке газа, Докл. АН СССР, 1967, том 172, номер 4, 801–804
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 22:38:09
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р
1967. Том 172. № 4
УДК 533.6.0.113.42 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
А. И. СМИРНОВ
КОЛЕБАНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СЛОИСТОЙ ПЛАСТИНЫ В ПОТОКЕ ГАЗА
(Представлено академиком Л. И. Седовым 6 IV 1966)
§ 1. Система дифференциальных уравнений изгибных колебаний пла
стины может быть сведена к одному уравнению относительно функции перемещений % (х, t) вида (*)
( 1 - М Т ^2) У2У2(Х( х , t) + ^^-(l-hT^)%(x, t)=q-^-, (1,1) л
где V2 = д2/да?; Ф, /г, Р, Q, D — постоянные, зависящие от упругих гео
метрических и массовых характеристик трехслойного стержня (подроб
нее см. (1) ) ; q(x, t) — удельная аэродинамическая нагрузка на пластину.
Прогиб w(x, t) связан с функцией перемещения соотношением
w(x,t) = (1~№$-^)%(х,1). (1,2) Выясним возможность возникновения поперечных колебаний вида
%(Xlt) =,XoeWct-x^ (1?3)
где Хо ~ некоторая постоянная (действительная или комплексная); а — волновое число; с — фазовая скорость распространения упругой волны в пластине; х — продольная координата. В силу линейности задачи примем
| аХо | =
| 2 я » / М < 1 ,
(1.4)"где % = 2л / а — длина волны.
Поскольку решение (1,3) должно быть конечным при х-ъ±оо, огра
ничимся обсуждением случая действительных волновых чисел. Для фазо
вой скорости с будет справедливо неравенство
Im (ас) < 0. (1,5) В противном случае %(х, t) будет неограниченно возрастать при £-> о о .
Величина Im (ас) определяет характер поведения упругих волн с тече
нием времени. Таким образом, если решения уравнения (1,1) в форме (1,3) существуют, то малые колебания панели будут расходящимися.
§ 2. Определим аэродинамическую нагрузку на панель. Будем счи
тать, что панель обтекается с обеих сторон потенциальным потоком иде
ального газа с одинаковыми физико-механическими характеристиками.
Ограниченное решение уравнения для потенциала скоростей Ф (#, у, t) (у — поперечная координата) в этом случае будет
Ф У г t) =• А exp [ia (ct — х) — ay | у | ] , (2,1) где
у = 1 / 1 - (V-c)*la\ Re (ay) > 0, (2,2) А —постоянная, подлежащая определению (а —скорость звука в невоз
мущенном потоке).
Учитывая (1,6), получим, что условие излучения сведется к требова
нию совместного выполнения неравенств
I m y ^ O , R e c ^ O . (2,3) Граничное условие непротекаемости пластины примет вид
(дФ I ду) у=±о = (dw I dt + v dw l дх) у=±о, ( 2 , 4 ) где V — скорость невозмущенного штока газа, направленного вдоль
оси х.
Подставляя (2,1), (1,2) и (1,3) в ( 2 , 4 ) , получим
А = -i%o(l + к^а*)у-Цс - V). ( 2 , 5 ) Следовательно,
®(x,y,t) = - ^ о ( 1 + Л2р -1а2) у -1( с - У ) е х р [ щ ( ^ - а : ) - ау\у\]. ( 2 , 6 ) Удельная аэродинамическая нагрузка на пластину равна
q(x,t) = -2р.(дФ fdt+ УдФ/дх)у=+0. ( 2 , 7 )
Подставляя ( 2 , 6 ) , найдем
q(x,t) = 2 х о Р У "1( ^ - Ю2( 1 + ^2Р ~1а2) е х р щ ( ^ - ^ ) . ( 2 , 8 )
§ 3 . Подставляя ( 2 , 8 ) в (1,1),получим
где р = 2 р / Q a — коэффициент присоединенной массы; со — фазовая ско
рость упругой волны в вакууме
С° - О/» 1 + Ла« а • ^
Такизм образом, задача сводится к исследованию поведения корней функции комплексного переменного с, заданной в форме (3,1). Если в за
данной области изменения параметров находится хотя бы один корень (3,1), то амплитуда колебаний панели будет неограниченно возрастать с течением времени.
А. Н е с ж и м а е м ы й п о т о к . Поскольку уравнение (3,1) по форме совпадает с аналогичным уравнением, полученным в (3) для однородной пластины, то случай несжимаемого потока можно проанализировать изло
женным там методом.
Б. С ж и м а е м ы й п о т о к. Введем новую переменную £ = (с — V) / V.
Уравнение (3,1) будет
/(С)
= (£ + I )2 +цг'Е
- £о2 = 0, ( 3 , 3 )где .
. E o = ' C0/ F , у = У1 - MV, Ж —Via ( 3 , 4 ) При построении границы, разделяющей области устойчивых и расходя
щихся колебаний, воспользуемся идеей И. А. Вышнеградекого (4,5) . Вве
дем плоскость параметров z = % + щ I = р, Г] = £о2 и запишем ( 3 , 3 ) в виде
№,z) = p m + Q($4-R(t,) = 0, (3,5) где
Р(0 = £2/У1 ~ Шг = щ(х, у) + т(х, у),
<?(£) = - 1 = Мх, у) + iv2(x, у),
Л (С) =-{l+lY = m{x,y)+iv3{x,y). (3,6)
802
Уравнение (3,5) эквивалентно двум следующим из(х, у) = щ(х, у)1 + и2(х, у)т\, МЪУ) = vi(x,y)l + v2(x, у)г\.
( 3 , 7 )
Система (3,7) устанавливает соответствие между отображениями /(£, z) в плоскостях £ и z. Разрешая (3,7) относительно \ и г), получим
и3г>2 — VsU2 где
Очевидно,
иг{х, у)
vi(x, у)
Vl v2
-У2 , 2ху .
— coscp + - ^ r " S i n 9 ,
2ху cosq) х2
—
у2( 3 , 8 )
( 3 , 9 )
( 3 , 1 0 )
sincp, где
г = {[1 _ М2( я2- г /2) ]2+ (2М2ху)2}\
ф = _ arc t g т
2 MVy
• М2 (ж2 — у2) ( 3 , 1 1 ) Далее,
ия(х,у) = -[(х+1)*-у*1 vB(x,y) =-2(z + i)y, (3,12) В силу (1,5) и (2,3) (а > 0), интересующие нас нули функции /(£) лежат в нижней полуплоскости. Отображение действительной оси физи
ческой плоскости Г на пло
скости параметров z явит
ся, очевидно, линией, раз
граничивающей области устойчивых и расходящих
ся колебаний (граница флаттера).
Для отыскания пара
метрических уравнений Г перейдем в выражениях
(3,11) к пределу при у -> 0 и, учитывая соотношения
(3,8), (3,9), найдем пара
метрические уравнения ис
комой границы флаттера
6 = 2(х + 1) Vi — М2х2
(2 + ШЪ2)х 2 + М ¥ ( а ? + 1 )
0 7
2 + М %2
(х+1>
(3,13) Очевидце, \х\ ^ 1 / М ,
2 3 4 5
Рис. 1. Г р а н и ц ы ф л а т т е р а неограниченной трех
слойной полосы д л я р а з л и ч н ы х чисел Маха W
поскольку в противном
случае величина \ будет мнимой, что противоречило бы физическому смыслу. Кроме того \ = р > 0. Следовательно, для границы флаттера в плоскости £ должно быть справедливо х <С 0.
Если учесть, что при Х-+-0, I 0 0 , т) 1, то граница флаттера в пло
скости параметров 5> Ц является отображением отрезка действительной оси х} расположенного между xi = —1 / М и хг = 0. Установим ориента-
цию изображения. Если (5)
А > 0 , (3,14) то отображение сохраняет ориентацию. В противном случае ориентация
изображения изменяется на противоположную. Из (3,13) имеем
Д = 2 + М2я2> 0 . (3,15)
Таким образом, ориентация изображения и оригинала будет одинако
вой. Двигаясь по оси х в плоскости: £ от точки х = — 1 / М до х = 0 и ос
тавляя справа область неустойчивых колебаний, мы будем один раз опи
сывать в плоскости | , г) границу флаттера, справа от которой будет об
ласть расходящихся, а слева — область устойчивых колебаний (рис. 1).
С учетом (3,14) получим (5) , что при переходе из верхней полуплоскости £ в нижнюю (или обратно) или, иначе, пересекая границу флаттера слева направо, функция /(£) приобретает (или теряет) один нуль. Используя принцип аргумента, можно показать (3), что /(£) имеет либо два нуля на действительной оси и не имеет нулей в нижней полуплоскости, либо имеет единственный нуль в нижней полуплоскости. Таким образом, когда точка
£ пересекает отрезок —1 / М ^ х ^ 0, переходя из верхней полуплоскости в нижнюю, /(£) приобретает указанный выше нуль и наступает режим флаттера.
% При М = О формулы (3,13) переходят в соответствующие формулы работы (3) . Расчеты были выполнены на ЭВЦМ БЭСМ-2.
Автор выражает благодарность Э. И. Григолюку за постановку задачи.
Всесоюзный институт н а у ч н о й и Поступило технической и н ф о р м а ц и и i 16 I I I 1966
Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
1 Э. И. Г р и г о л ю к, П. П. Ч v л к о в, Изв. АН СССР, Мех. и машиностр., № 1 (1964). 2 Э. И. Г р и г о л ю к , А. П. М и х а й л о в , ДАН, 158, № 3 (1964). 3 J. W . M i l e s , J. A e r o n a u t . iSci., 23, № 8 (1956). 4 H. Г. Ч е б о т а р е в , Н. Н. М е й м а н , Т р . Матем. инст. и м . В. А. Стеклова А Н СССР (1949). 5 М. А. Л а в р е н т ь е в , Б. В. Ш а б а т, Методы теории ф у н к ц и й комплексного переменного, М., 1965.
804
