В. В. Ткачук, Гомеоморфизмы свободных топологических групп не сохраняют ком- пактность, Матем. заметки , 1987, том 42, выпуск 3, 455–462

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. В. Ткачук, Гомеоморфизмы свободных топологических групп не сохраняют ком- пактность, Матем. заметки , 1987, том 42, выпуск 3, 455–462

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 23:36:25

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 42, № 3 (1987)

ГОМЕОМОРФИЗМЫ СВОБОДНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП НЕ СОХРАНЯЮТ КОМПАКТНОСТЬ

В. В. Ткачук

В последнее время интенсивно и систематически изу­

чаются отношения эквивалентности тихоновских про­

странств, связанные с изоморфизмом (в разных смыслах) тополого-алгебраических оболочек данных пространств.

Хорошо известно [1], что топологический изоморфизм сво­

бодных (абелевых) групп пространств X ж Y влечет топо­

логический изоморфизм Ср (X) и Ср (F), и в этом случае X компактно, если, и только если, Y компактно. Послед­

нее верно даже для равномерного гомеоморфизма Ср (X) и Ср (У),— это теорема В. В. Успенского [2]. С. П. Гуль- ко и Т. Е. Хмылева недавно доказали, что просто гомео­

морфизма Ср (X) и Ср (Y) недостаточно для того, чтобы из компактности X следовала компактность Y.

А. В. Архангельский поставил задачу отыскания тех топологических свойств X, которые полностью опреде­

ляются только топологической структурой F (X) (А (X))—

свободной топологической (абелевой) группы простран­

с т в а х . Естественно в связи с этим назвать пространствах и Y (равномерно) F- (FA-) эквивалентными, если свободные топологические (абелевы) группы пространств X и Y (равномерно) гомеоморфны. Легко видеть, что любая из введенных эквивалентностей сохраняет сетевой вес, мощ­

ность, плотность и ряд других кардинальных инвари­

антов.

Докажем, что ни /''-эквивалентность, ни равномерная /^-эквивалентность не сохраняют компактности про-

© Издательство «Наука». 455 Главная редакция

физико-математической литературы.

странств. Это означает, что из F-эквивалентности двух пространств или из их равномерной /^-эквивалентности не следует их гг-эквивалентность (см. [2]).

1. Терминология и обозначения. Мы придерживаемся, в основном, терминологии статьи [1]. У нас со есть множе­

ство всех конечных ординалов, N = со \ {0}, Z — группа целых чисел. Запись X ~Y служит для обозначения го­

меоморфности пространств X я Y. Рассматриваются толь­

ко тихоновские пространства. Замыкание обозначается чертой сверху. Ограничение функции на подмножество записывается с помощью символа h. Выражение zn -*• z означает, что последовательность {zn: n E= N) сходится к точке z.

2. П р е д л о ж е н и е . Пусть Z — непустое про­

странство. Тогда Z равномерно FA- эквивалентно Z ф N, где натуральны* ряд N взят с дискретной топологией.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, A (Z ф N) топологически изоморфно A (Z) X A (N). Пусть ср: Z->- ->• Z определено условием ср (Z) = {1} и ф: A (Z) ->• Z — продолжение ср до непрерывного гомоморфизма A (Z) в Z.

Тогда Н = Кег ср есть открыто-замкнутая подгруппа группы A (Z) бесконечного счетного индекса, т. е. A (Z)/H бесконечно и | A (Z)/H | = со. Поскольку A (Z) открыто- замкнуто вкладывается в A (Z ф N), можно считать Н открыто-замкнутой подгруппой A (Z ф N). Пусть {ап: п ЕЕ со} — представители всех смежных классов A (Z) по Н и {Ьп: п ЕЕ о)} — представители смежных классов A (Z ф N) по И.

Д л я h Ez Н положим г|) (anh) = bnh. Получим отобра­

жение \р: A (Z) -+ A ( Z 0 N), которое, как нетрудно убе­

диться, есть равномерный гомеоморфизм.

3. С л е д с т в и е . Свойства компактности, счетной компактности и псевдокомпактности не сохраняются равномерной F^А-эквивалентностью.

4. В о п р о с . Верно ли, что для любого бесконечного пространства Z имеем F (Z) o^ F (Z ф N), т. е. всегда ли Z и Z ф N /''-эквивалентны? Будут ли эти пространства равномерно /^-эквивалентны?

5. ТЕОРЕМА. Существует счетное компактное пространство X, которое F-эквивалентно X ф N;-'

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Р = {a} (J {хп: n ЕЕ ЕЕ N} — сходящаяся последовательность, хп ->- а. Нам удобнее записывать пространство N другим символом, и в этом доказательстве N ~ Y = {уп: п Е= Щ. Наша

456

цель — доказать, что F (X) ~ F (X © У). Д л я этого нам потребуется существенное развитие техники продолже­

ния гомеоморфизмов, разработанной А. Пелчинским [3].

Следующая очевидная лемма показывает, каким методом будет проводиться доказательство.

6. ЛЕММА. Пусть пространство F есть прямой индуктивный предел возрастающей последовательности своих подпространств Fn, nEEN, т. е. Р замкнуто в F, если Р П Fn замкнуто в Fn для всех п и F — \J {Fn: п ЕЕ N}. Пусть имеется пространство G, разложенное е прямой индуктивный предел возрастающей последова­

тельности своих подпространств Gⁿ. Если существует биекция /: F ->• G такая, что / (Fⁿ) = Gⁿ и / h Fⁿ — го­

меоморфизм для всех п ЕЕ N, то / — гомеоморфизм.

Обозначим множество {г/х, . . ., уп} через Yn. Введем естественные отображения ср71: (X (J Z- 1)n ->• F (X) и

**: (X U Уп U Х-* U YJY + F (X © У). Здесь ц)^п «^{г 1}, . . ., zⁿ» = г^г-. . .-zⁿ я Ц^п «Zi, . . ., zⁿ» =

= %•. . .-zⁿ, где умножение берется в соответствующих группах. Пусть Fⁿ = cp„ ((Z U ^ T ) и Gⁿ = xpⁿ ((X [j U У^7г U *~* U ^ n ? ) . Известно [4], что F = F (Z) есть прямой предел Fⁿ, a G = F (X © Y) — прямой пре­

дел Gⁿ.

Наша задача теперь свелась к построению биекции /: F ->• G такой, как в лемме 6. На самом деле, можно считать, что множества Fn и Gn имеют несколько более простой вид. Действительно, для любых бесконечных пространств R и S утверждение F (R) ~ F (S) следует из F° (R) ~ F° (S), где, например, F° (R) = {г?.. . .-г** е ЕЕ F (R): r^t ЕЕ R для 1 < i < Л и | е, | = 1, 2 ^ е* =

= 0}. Поэтому нам достаточно доказать, что F0 =

= F0 (X) ~ G° = F0 (X © Y). Ясно, что F° (Z) (F0 (X ©

© У)) раскладывается в прямой индуктивный предел Rⁿ (соответственно Sⁿ), где Rⁿ = F²ⁿ f| F° (Z) (Sⁿ = G²ⁿ f]

П F° (X © У)). Д л я построения биекции f>: F°-+G°

такой, как в лемме 6, проанализируем строение компактов Rn и Sn.

Если R — пространство, то R' — множество его не­

изолированных точек, и i?(0) = Л , i?(n+1) = (Д<п))' для всех тг (ЕЕ со.

7. ЛЕММА. Каковы бы ни были числа п ЕЕ N и к ЕЕ ЕЕ {0, 1, . . ., 2п}, компакт S^nl) (соответственно Rn)

есть в точности множество таких точек z ЕЕ Sn (z Е= Rn)i которые в своей несократимой записи имеют вид

1) z = ah-fi-a1*-. . .-аР-гр-аР*1, где ^ e l U Ytll, X = X \ {a} (zt e X), | е, | = 1, h S Z (i =

= 1, . . .,/?), Zp+xe Z;

2) lx + . . . + lp+1 + 8 l + . . . + ep = 0;

3) p <^ 2n — k\

4) | l± | + . . . + | lP+11 + I ex | + . . . + | ep | < 2л.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Зафиксируем какую-нибудь биекцию £: N X iV —>- TV. Воспользуемся следующим за­

мечанием. Пусть h£E Sn, h = h^h^ — несократимое сло- в о и е е {—1» !}• Для любого яг е= iV последовательность {h (т, п) = h1xl^mt n)h2: n £E N} сходится к h. Варьируя т, можно найти такое т⁰, что все слова h (п) = h (m⁰, п) несократимы. Значит, для любого слова /г ЕЕ £п и включе­

ния а& в h такого, что сокращения в h либо отсутствуют, либо могут быть произведены лишь в одном месте, причем а8 лежит на стыке этих сокращений, можно построить по­

следовательность h (n) -> h такую, что h (n) несократимо и в h (n) строго меньше вхождений а, чем в h, причем длина h (n) равна 2п.

Докажем индукцией по /с, что все слова z, имеющие не­

сократимую запись вида (1)—(4), лежат в SnK\ Случай к = 0 очевиден. Если к 7> 1, то, домножая z на выражение вида а'1 а1 для некоторого I G Z , получим, что запись z встречается как минимум к раз, и длина этой записи рав­

на 2тг, причем сокращения начинаются только в одном месте, затрагивая лишь приписанные элементы (если таковые имеются). Пользуясь нашим замечанием, по­

строим последовательность z(n)-*z по произвольному а8, если домножения не производилось или по а8 на стыке, где начинаются сокращения в противном случае. Так как в каждом слове z (n) буква а встречается не больше к — 1 раз, применимо предположение индукции. Заклю­

чаем: z (n) ЕЕ Sn~x) и поэтому z ЕЕ Sn\

Доказательство обратного включения также проведем индукцией по к. Первый шаг (при к = 0) тривиален ввиду Sn = Sn. Мы будем параллельно доказывать, что для каждого к множество всех изолированных точек S^ состоит в точности из таких z ЕЕ Sn вида (1), что р = 2п — к, В случае к = 0 это утверждение выполняет­

ся, так как при р — 2п имеем несократимое слово z =

458

= zf¹». . .'Z*£ и из описания топологии слов длины 2п свободной группы [1] следует, что {^J81-. . . *{z2nn} =

= {zi1-. . .'Z2^n} есть окрестность z в Sn, т. е. z изолиро­

вана в Sn.

Пусть оба наших утверждения выполняются при к <

< г . Допустим, что какое-либо слово z вида (1), где р ^>

^> 2д — г лежит в S%\ Значит, г > 2п — р и по предпо­

ложений) индукции точка z изолирована в Snn~~p)- По­

этому z (£ ( S ^ V = *C~P+1 =) ^n}. Возьмем теперь z ЕЕ 5 ^ вида (1), где _р = 2/г -— г, и докажем, что z изоли­

рована в Sn\

Предположим противное и выберем нетривиальную по­

следовательность zm ЕЕ «S^i zm "^ z- Пусть s = min {p:

z e Sp}. Ясно, что можно считать, что длина I несократи­

мой записи zm (отождествляемой далее с zm) не менее s и одинакова для всех т. По доказанному, в записи каждого zm буква а8, где е ЕЕ {—1, 1}, встречается как минимум г раз. Общность наших рассуждений не уменьшится, если мы ограничимся случаем, когда в каждом zm буквы вида а8 встречаются ровно г раз и стоят на одних и тех же местах. Рассмотрим последовательность {tm: m EEiN} CZ С (X [J Y2n U Х-* U У"п)1 такую, что ^ (*m) = zm. Можно считать, что tm->-t для некоторой точки £ компакта

(X U У2П U *_ 1 U YZ)1. Тогда ф, («) - z. Но у точки * как минимум г + 1 координата имеет вид а8, ибо сходи­

мость tт к t у нас покоординатная, и г координат вида а8

перейдут к t от £^m, a остальные координаты t не могут быть изолированными точками из-за нетривиальности по­

следовательности tm. Значит, у t найдется еще одна коор­

дината вида а8, а всего их будет не меньше г + 1. Так как I <^ 2п, получаем, что у t строго меньше чем 2п — г изо­

лированных координат, а у z = % (t) их ровно 2п — г — противоречие. Итак, сделан шаг индукции, а вместе с ним и доказана лемма 7.

8. З а м е ч а н и е . Из доказательства первой части леммы 7 можно сделать вывод, что каждая точка z ЕЕ ЕЕ Sn* (z £= «Rn*) является предельной для множества (S^ \ $<£?>) П (Sn+i \ 5„) (соответственно (R^ \

\ Rn+?) П (Rn+i \ Rn))- Это нам понадобится в даль­

нейшем для обеспечения выполнения условия (12) при продолжении гомеоморфизмов.

Из леммы 7 легко выводится следующее

9. У т в е р ж д е н и е . Для любых п ^= N и к ЕЕ ЕЕ {0, 1, . . ., 2п} имеем S™ = Sn f] S^+2n"2n) и RV =

= Rn П Д(т+ 2 т"а п ), если т > n.

Приступим к построению нашего гомеоморфизма / ° . Д л я A G= со и тг ;> у А, п Ei N положим Z (тг, А) =

= R{nn~~x) и Г (тг, к) = 5п'2~:). Легко видеть, что Z (тг, 0) = {е} и Т (тг, 0) = {е} для всех тг ЕЕ /V и выполнены следующие условия:

5) U {Z (п, к): к f= со, п > А/2} = F0 и U {Г (тг, А): А <= со, тг > А/2} = G0; 6) Z (тг + 1, A) I J Z (тг, А), Г (тг + 1, A) Z) Т7 (тг, А);

7) Z (тг, А) (Т (тг, А)) нигде не плотно в Z (тг, А + 1)«

•(Г(/г, А + 1));

8) Z (m, к) f) Z (п, к + 1) = Z (тг, А) при ттг > тг, и Т (ттг, А) П Т (тг, А + 1) = Т (тг, А) при m > тг;

9) Z (тг, А + 1) \ (Z (тг, A) |J Z (тг - 1, А + 1)) ZD ID Z (тг, А), и Г (тг, А + 1) \ (Т (тг, A) U Т (тг - 1, А + 1)) 3

ID Г (/г, А);

10) (Z (тг, А + 1))' = Z (тг, А) и (Г (тг, А + 1))' -

= Т (тг, А).

Считая, что F0 естественно вложено в 6?°, полагаем /° (е) = е. Предположим, что построено отображение /?: Z*={J {Z (тг, А): тг > А/2} -> Гк = U {Г К к):

тг > А/2} такое, что/0. (Z (тг, А)) = Т (тг, А) и/0, h Z (тг, А) — гомеоморфизм. Если мы продолжим /J на Z ⁺¹ до /£⁺¹ с сохранением этого свойства для всех А Е= iV, то из (5) и (6) следует, что /° = (J {/J?: A (E N} будет искомым.

Это продолжение мы построим, опираясь на следующий вспомогательный результат, обобщающий лемму А. Пел- чинского [3] и имеющий, видимо, и самостоятельный ин­

терес.

10. П р е д л о ж е н и е . Пусть пространства Z и Т представлены в виде объединения последовательности своих подпространств: Z — (J {Zⁿ: п ЕЕ N], Т = |J { Г^п: тг ЕЕ ЕЕ /V}, причем Zn d Zn+1, Tn а Тп+1 для всех тг ЕЕ А^.

Пусть Zn = Ьпф0, Т'п = Мпф0, L = U {Ln: тг е GEiV},M - (J {Mⁿ: п(ЕЩ.

Предположим, что выполняются следующие условия:

460

11) Zⁿ, Tⁿ — нульмерные метрические компакты и М^ш П Т^п — М^п, L^m П Zⁿ ~ Lⁿ для произвольных т, п ЕЕ N, т^> п;

12) Zn \ (Zn^ U Ln) z> Ln, Tn \ (Гп_х U Мп) 3 Мп, п> 2;

13) существует отображение f: L -* М такое, что / (Ln) = Мп и f\*Ln — гомеоморфизм для всех п ЕЕ N.

Тогда отображение f можно продолжить до f: Z ->- Т таким образом, что f (Zn) = Гп, / h L = / гг / t4 Zn — гомеоморфизм при каждом п £Е N.

Д о к а з а т е л ь с т в о1) . Нам потребуется лемма А. Пелчинского, которая имеет следующую формули­

ровку:

Пусть X и Хг — бесконечные метризуемые компакты и Y и Yг — множества их изолированных точек. Пусть далее, Y плотно в X и Y^x плотно в Х^г. Тогда произволь­

ный гомеоморфизм / и з X \ Y на X^±\Y^X может быть расширен до гомеоморфизма из X на I j .

Из этой леммы и условия (12) следует, что существует гомеоморфизм g^±: Z^x -»- 7\ с g^x h L^x = f. Пусть отображе­

ние Д: L [J Z^x -> М (J Т^г определено так: f^x (z) = / (z) при

Z G L H / J (Z) = ^ (z) при z E 2^t \ L. Ясно, что f^± h (L [J ( J Z i ) П Zm есть гомеоморфизм для всех m.

Предположим, что уже определено отображение /ⁿ_ i : L [J Zⁿ-i - ^ М U rⁿ_! такое, что fⁿ~i t L = f и /ⁿ_i h (Z/ U Zⁿ-i) П Z^m есть гомеоморфизм для любого m.

Рассмотрим множества Ап — Zn \ (Zn_i \J Ln) = Zn\

\ (Zn_x U L) и Дл = Гд \ (TVi U Mn) = Tn\

\ (Гп-х [J M), которые состоят из изолированных (в Zn

и 7^) точек и в точках которых нам остается определить новое отображение fn. Из равенств Zn = Ln и_ Гп = М„

и из (12) легко следует, что Ап = Ап {J Ln я Вп = Вп [j U Мп. Очевидно, что Ап я Вп — метризуемые компакты.

Воспользовавшись леммой А. Пелчинского, получим'гомео- морфизм g: Ап-+Вп, совпадающий с / на Ln. Положим fn = g на Ап и fn = /п_! на L (J Zn 4 L. В силу (11) имеем Л д П (L U Zn_x; = (Ап U Ln) Г) (Ь U Zn-г) =

= (Ап п zn_x) и (in П L) и ( 4 . П £) U (Ln П ^п-0 =

х) Мы излагаем доказательство, на которое любезно обратил внимание автора С П . Гулько. Авторский вариант не использовал лемму Пелчинского и был поэтому весьма сложен технически.

Таким образом, на общей части своего определения отображения g и /п_х совпадают — это обеспечивает кор­

ректность определения /п, а из замкнутости Ап и (L (J U Zn-\) П %т следует его непрерывность на (L \J Zn) f) П Zm для всякого т.

Теперь, полагая/ = (J {fn: n ЕЕ Л^}, получим искомое продолжение. Доказательство предложения 10 завершено.

Вернемся к продолжению отображения /J?. Положим Zn = Z (л, Л + 1), Ln = Z (и, А), Тп= Т(п, к + 1), Мп = Т (п, к), / = /2 и применим предложение 10.

Это возможно в силу замечания 8, утверждения 9 и свойств (5)—(10). Итак, индуктивный шаг сделан и доказано

11. С л е д с т в и е . Свойства компактности, счет- ной компактности и псевдокомпактности не сохраняют­

ся F-эквивалентностью.

Московский государственный Поступило университет им. М. В. Ломоносова 16.12.85

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] А р х а н г е л ь с к и й А. В. О соотношениях между инва­

риантами топологических групп и их подпространств // УМН.

1980. Т. 35, вып. 3. С. 3—22.

[2] У с п е н с к и й В. В. Характеристика компактности в терми­

нах равномерной структуры в пространстве функций // УМН.

1982. Т. 34, вып. 4. С. 183—184.

13] Р е 1 с z i n s k i A. Remark on spaces 2х for O-dim X II Bull.

Acad. Polon. Sci., Ser. A, Math. 1965. V. 13, № 2. P. 85—89.

[4] Г р а е в М. И. Теория топологических групп, I // УМН.

1950. Т. 5, № 2. С. 3—56.