Н. В. Ульянычев, В. А. Кочегуров, В. Ф. Ульянычева, Моделирование форси- рованного выдоха для функциональной диагностики нарушений в дыхательной системе человека, Сиб. журн. индустр. матем., 2002, том 5, номер 1, 157–165

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. В. Ульянычев, В. А. Кочегуров, В. Ф. Ульянычева, Моделирование форси- рованного выдоха для функциональной диагностики нарушений в дыхательной системе человека, Сиб. журн. индустр. матем., 2002, том 5, номер 1, 157–165

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 22:46:19

(2)

Январь–март, 2002.ТомV,№1(9)

УДК519.2:517.9

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРСИРОВАННОГО ВЫДОХА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ДИАГНОСТИКИ НАРУШЕНИЙ

В ДЫХАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ЧЕЛОВЕКА

Н . В . Ульянычев , В . А . Кочегуров , В . Ф . Ульянычева

Выводится соотношение,которое связывает альвеолярное давление,скорость по- тока и размеры дыхательных путей на различных уровнях трахеобронхиального дерева и голосовой щели.На этой основе анализируется форсированный выдох при различных вариантах поведения внутри-и внегрудных дыхательных путей. По- казано существенное влияние на характеристики форсированного выдоха(кривые поток-давление,поток-объем)поведения голосовой щели. Получено удовлетвори- тельное согласие модели с известными экспериментальными данными.

Изообъемные кривые поток-давление форсированного выдоха характери- зуются наличием плато, отражающего прекращение дальнейшего нарастания скорости потока при увеличении транспульмонального давления свыше опреде- ленного уровня[1]. Существующие модели механики дыхания[2, 3]объясняют этот феномен увеличением аэродинамического сопротивления в результате ди- намической компрессии внутригрудных дыхательных путей в процессе выдоха. В то же время в работах [4, 5]убедительно показана существенная роль цент- ральных дыхательных путей и голосовой щели в изменении аэродинамического сопротивления. Попытка учесть влияние голосовой щели была сделана также в [6],где установлена линейная зависимость между размерами голосовой щели и объемом легких. Однако существующие модели решают эту задачу путем вве- дения в уравнения Бернулли[7]или Рорера[3]эмпирически подобранных связей и коэффициентов. До настоящего времени отсутствуют подходы,позволяющие моделировать аэродинамику форсированного выдоха при изменении размеров как внутри-, так и внегрудных дыхательных путей. В предлагаемой работе выводится соотношение, которое связывает альвеолярное давление, скорость потока и размеры дыхательных путей на различных уровнях трахеобронхиаль- ного дерева и голосовой щели. В частных случаях это соотношение приводит к известным перечисленным выше модельным представлениям.

Рассмотрим массу газа, которая в момент времени t занимает объем V, окруженный произвольной поверхностью S. Движение этой массы в соответ- ствии с[8]описывается уравнением

dRI dt =

V

K dVR +

S

T dS,R (1)

где RI — импульс газа как целого, KR — объемные силы, TR — поверхностные силы. Учитывая малость поверхностных диссипативных сил, можно считать,

что

S

T dSR =

S

P RN dS, а

V

K dVR =−FR_тр, c ²⁰⁰² Ульянычев Н. В.,Кочегуров В.А.,Ульянычева В.Ф.

(3)

158 Н.В.Ульянычев,В. А.Кочегуров,В.Ф.Ульянычева

гдеP —давление наS,NR —внешняя нормаль кS,FR_тр—суммарная сила тре- ния в системе. Для расчета имеющихся интегралов представим поверхность S в виде,показанном на рис. 1. Здесь она разбита на три составляющих: попереч- ное сечение выходного отверстияS_о, суммарное поперечное сечение на уровне альвеолS_аи боковая поверхностьS_б. Боковую поверхность можно представить в виде набора ступеней, причем каждая ступень соответствует переходу от од- ной генерации бронхов,характеризующейся суммарным объемомV_i,суммарным поперечным сечением Siи длиной li,к следующей,характеризующейся другим набором параметров (i изменяется от 1 до n, где n —количество генераций).

Рис. 1. Схематическое изображение изменения величины поверхности легких в зависимости от номера генерации

Тогда

S

P RN dS=

S_а

P RN dS+

S_о

P RN dS+

S_б

P RN dS. (2)

В этой сумме

S_а

P RN dS=−P_аS_аRτ ,

где Rτ —единичный вектор в направлении потока,P_а — среднее альвеолярное давление, а

S_о

P RN dS = 0, поскольку внешнее давление равно атмосферному. Интеграл поS_б разбивается на сумму интегралов по горизонтальным и верти- кальным частям ступеней. Сумма интегралов по горизонтальным частям равна нулю вследствие симметрии системы. Сумма интегралов по вертикальным ча- стям будет равна

S_б

P RN dS=P_а(S_а+S_о)Rτ .

Исходный интеграл принимает вид

S

P RN dS=P_аS_оRτ .

Изменение импульса рассматриваемой массы воздуха складывается из двух час- тей: JRS_о иJRV или

dRI

dt =JR_S_о +JR_V. (3)

(4)

В свою очередь, JRS_о соответствует импульсу,приносимому в систему или уно- симому из нее соответственно приходящей или уходящей массой газа. Легко показать,что

JRS_о =ρRu²_оS_о,

где Ru_о — средняя массовая скорость движения газа в сечении S_о, ρ — плот- ность воздуха,равная1,3кг/м³(при температуре37^◦Cи относительной влаж- ности100 %). Второе слагаемое в (3)соответствует изменению импульса газа в объемеV:

JRV =ρd

dt(Ru_оS_оL).

Учитывая малость изменения плотности воздуха вдоль воздухоносных путей, вынесем ρза знак интеграла и дифференциала. Затем, раскладываяJRV по Vi, получаем

JR_V =ρd dt

V_о

Ru_оdV_о+

V₁

R

u₁dV₁+· · ·+

V_i

Ru_idV_i+· · ·+

V_n

R u_ndV_n

,

где Rui —средняя скорость движения газа в сеченииSi. После несложных пре- образований приходим к следующему выражению:

JR_V =ρd

dt(Ru_оS_оL),

где L—средняя длина воздухоносных путей. Учтем, чтоRu_оS_о=QRτ, гдеQ— объемная скорость движения воздуха. Таким образом,

JRV =ρd dt(QL)Rτ . Аналогично,

JR_S_о= ρQ² S_о Rτ . Дифференцируя,получаем

JRV =

ρLdQ

dt +ρQdL dt

Rτ .

ПодставляемJRS_о и JRV в (3):

dRI dt =

ρLdQ

dt +ρQdL dt +ρQ²

S_о

R τ .

Можно показать, что второе слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с третьим(менее 0,1 %). Тогда исходное уравнение(1)принимает вид

ρLdQ dt +ρQ²

S_о =P_аS_о−F_тр. (4) Перейдем к вычислению сил трения. Известно, что в трахее и крупных бронхах поток носит турбулентный характер, в мелких — ламинарный. По- этому разобьем F_тр на две части (ламинарную F_тр_._л и турбулентную F_тр_._т) и найдем,в какой части воздухоносных путей происходит переход от одного ти- па течения к другому. Можно считать,что если число Рейнольдса на данном

(5)

участке больше 1000, то поток здесь турбулентный, если меньше— ламинар- ный. Число Рейнольдса в рассматриваемом случае имеет вид

Re = Q νmD,

гдеν —кинематическая вязкость воздуха,равная1,25×10⁻⁵м²/с(при темпе- ратуре37^◦Си относительной влажности100 %),m—количество ветвей в дан- ной генерации,D—диаметр ветви. Используя данные Вейбеля[9]для значений m и D, получаем, что смена типов течений происходит на четвертой–восьмой (в зависимости от скорости потока)генерациях бронхов.

Ламинарную силу трения будем рассчитывать исходя из формулы Пуазейля

∆P =8ηlQ πR⁴,

гдеη—динамическая вязкость воздуха,равная1,98×10⁻⁵кг/м·с,l—длина ци- линдрической прямолинейной трубки,R—ее радиус, ∆P—разность давлений на концах,Q—скорость потока. Сила трения в потоке определяется величиной скорости и не зависит от того,имеет поток стационарный или нестационарный характер. Поэтому без ограничения общности рассмотрим стационарный слу- чай. Условие стационарности имеет вид

∆P =F_тр_._л/S,

где S — поперечное сечение трубки. Тогда сила трения на данном участке данного бронха будет равна

F_тр.л= 8πηlQ/S.

Суммируя силы трения вначале по всем бронхам данной генерации,а затем по всем генерациям,найдем общее ламинарное трение, воздействующее на весь поток:

F_тр.л= 8πηQAk,

где A=Lj/Sj — среднее отношение суммарной длины бронхов в данной гене- рации к их суммарному поперечному сечению, k —количество генераций, где существует ламинарный поток.

Выражение для силы трения турбулентного потока будет зависеть от того, является трубка гладкой или шероховатой. Расчет в соответствии с известной формулой[10],проведенный нами с учетом характерных размеров неоднородно- стей поверхности бронхов,показывает,что можно пользоваться приближением гладкой трубки:

∆P= λ(Re)l D⁵

ρQ² 2 , где

λ(Re) = 0,3

√4

Re.

Проводя дальнейшие расчеты аналогично случаю ламинарного потока,по- лучаем

F_тр.л= 0,3√⁴ ν ρB

4

Q⁷ S₁³,

гдеS₁—среднее суммарное поперечное сечение по генерациям с турбулентным потоком,

B =

$M

j=0

L_j⁴ D_j,

(6)

здесь M — количество генераций с турбулентным потоком, Lj — суммарная длина бронхов вj-й генерации,Dj —средний диаметр бронха вj-й генерации. После подстановки полученных выражений уравнение(4)принимает вид

ρLdQ dt +ρQ²

S_о =P_аS_о−8πηQAk−0,3√⁴ ν ρB

4

Q⁷ S³₁.

В терминах аэродинамических сопротивлений оно выглядит следующим образом:

ρL S_о

dQ

dt +rQ=PA.

Выражение дляrсодержит три слагаемых: первое слагаемое—сопротивление, связанное с необходимостью ускорения внешнего воздуха, второе —сопротив- ление ламинарному потоку, третье — сопротивление турбулентному потоку. ПараметрS_о—поперечное сечение голосовой щели(для сопоставления с экспе- риментом все расчеты проводились при дыхании через пневмотахографическую трубку,т.е. через рот),A—величина,обратная поперечному сечению мелких дыхательных путей, S₁ — поперечное сечение крупных дыхательных путей. В общем случае за S_о следует принимать суммарное поперечное сечение того участка дыхательных путей,где оно принимает наименьшее значение.

Полученные уравнения позволяют решать широкий круг физиологических задач в области механики дыхания. В частности,до настоящего времени значи- тельные трудности представляет интерпретация кривых поток-давление. В со- ответствии с разработанной моделью основной физиологический механизм, обусловливающий характерную форму кривых, — изменение размеров дыха- тельных путей во время выдоха. Исходные данные для расчетов возьмем со- гласно[9]:

L= 0,3м, A= 4×10³м⁻¹, B= 0,08м·м¹^/⁴, S₁= 3×10⁻⁴ м². На рис. 2 изображена рассчитанная зависимость между альвеолярным давлением и скоростью потока при форсированном выдохе и постоянных раз- мерах дыхательных путей. Незначительно уменьшаются только поперечные сечения альвеолярных ходов в конце выдоха. Как видно, петля поток-давление имеет исчезающе малую ширину, что противоречит экспериментальным дан- ным[11].

На рис. 3представлены данные, рассчитанные для случая,когда во время форсированного выдоха в семь раз уменьшается среднее суммарное поперечное сечение на уровне трахеи и трех первых генераций бронхов. Видно, что петля поток-давление расширяется, но не настолько, чтобы объяснить упомянутые экспериментальные данные.

На рис. 4изображена петля,рассчитанная для сужающейся во время форси- рованного выдоха голосовой щели. Размер ее поперечного сечения уменьшается в пять раз, от 2 до 0,4 см за время, равное 3/2 времени достижения макси- мального альвеолярного давления. Остальные размеры дыхательных путей во время маневра не меняются. Из рисунка видно, что петля приближается по форме к регистрируемым в эксперименте, причем максимум потока опережает по времени максимум давления.

Более наглядно это демонстрирует рис. 5,где давление и поток изображены в зависимости от времени.

(7)

Рис. 2. Зависимость скорости потока от альвеолярного давления при форсированном выдохе и постоянных размерах дыхательных путей

Рис. 3. Зависимость скорости потока от альвеолярного давления при уменьшении в7раз поперечного сечения центральных

воздухоносных путей во время форсированного выдоха

(8)

Рис. 4. Зависимость скорости потока от альвеолярного давления при уменьшении в 5раз поперечного сечения голосовой щели при постоянных размерах внутригрудных дыхательных путей

Рис. 5. Зависимость альвеолярного давления(сплошная линия) и скорости потока(пунктирная линия)от времени при условиях рис. 4

(9)

Изменение альвеолярного давления от времени аппроксимировалось функ- цией sin(t)при значении t, меняющемся от0 до 3/2времени достижения мак- симального давления, а затем спадающего экспонентой. Следовательно,можно говорить,что ширина кривой поток-давление (площадь петли) и сдвиг между максимумами давления и скорости при форсированном выдохе практически пол- ностью определяются степенью и скоростью сужения голосовой щели во время маневра. Этим же механизмом можно объяснить образование плато на изообъ- емных кривых давление-поток.

Как показано выше,влияние сужения трахеи крупных,а тем более мелких бронхов на размер и форму петли практически отсутствует. Однако если мы по тем же исходным данным построим зависимость сопротивления от времени (рис. 6), то обнаружим, что ее форма не соответствует экспериментальным данным[11].

Введя в расчет сужение трахеи и крупных бронхов,получим согласие с экс- периментом и по поведению кривой аэродинамического сопротивления(рис. 7).

Петля поток-давление при этом практически не меняется.

Таким образом, мы показали, что определяющее влияние на форму кри- вой поток-давление оказывает сужение голосовой щели в начале форсирован- ного выдоха. Чем значительнее это сужение и чем дольше длится, тем шире петля и выраженнее запаздывание максимума давления по отношению к макси- муму потока. Все это безусловно верно и для спокойного дыхания. На основе изложенного можно предположить, что определяющим механизмом изменения формы кривой поток-объем форсированного выдоха является не изменение раз- меров дыхательных путей,а рефлекторное изменение поведения голосовой щели. Разработанная модель может оказаться полезной при анализе не только форсированного выдоха,но и спокойного дыхания,в том числе газами различной плотности,а также может лечь в основу построения диагностических критериев и алгоритмов.

Рис. 6. Зависимость аэродинамического сопротивления воздухоносных путей от времени при условиях рис. 4

(10)

Рис. 7. Зависимость аэродинамического сопротивления воздухоносных путей от времени при уменьшении в5раз поперечного сечения голосовой щели в начале

и в7раз поперечного сечения воздухоносных путей в конце во время форсированного выдоха

ЛИТЕРАТУРА

1. Hyatt P. E.Expiratory flow limitation // J. Appl. Physiol.: Respirat. Environ. Exercise Physiol. 1983. V. 55. P. 1–8.

2. Dawson S. V., Elliot E. A.Wave-speed limitation on expiratory flow. A unifying concept //

J. Appl. Physiol.: Respirat. Environ. Exercise Phisiol. 1977. V. 43. P. 498–515.

3. Fry D. L.A preliminary lung model for simulating the aerodynamics of the bronchial tree //

Comput. Biomed. Physiol. 1968. N 2. P. 111–134.

4. Macklem P. T., Wilson N. J.Measurement of intrabronchial pressure in man // J. Appl.

Physiol. 1965. V. 20. P. 653–663.

5. Stanescu D.C. et al.Glottis opening and airway resistanse // J. Appl. Physiol. 1972. V. 32.

P. 460–466.

6. Baier H. et al. Relationship among glottis opening, respiratory flow and upper airway re- sistance in humans // J. Appl. Physiol.: Respirat. Environ. Exercise Physiol. 1977. V. 43.

P. 603–611.

7. Drazen J. M.Physiological basis and interpretation of indices of pulmonary mechanics //

Environ. Health Persp. 1984. V. 56. P. 3–9.

8. Страхович К.И.Гидро-и газодинамика.М.:Наука, 1980.

9. Вейбель Э.Р.Морфометрия легких человека.М.: Медицина, 1970.

10. Лойцянский Л.Г.Механика жидкости и газа.М.: Наука, 1973.

11. Кузнецова В.К.,Любимов Г.А.Оценка физических свойств легких человека на основе исследования сопротивления дыхательных путей//Физиология человека. 1985.Т. 11.

С. 55–78.

г. Благовещенск

Дальневосточныйнаучныйцентр физиологии и патологии дыхания г. Томск

Томскийгос. политехн. университет г. Благовещенск

Амурскийгос. университет E-mail: educate@amur.ru

Статья поступила27марта2001г.