физ., 1975, том 15, номер 2, 501–505

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. М. Горлов, О построении множеств достижимости для задачи быстродействия, Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 1975, том 15, номер 2, 501–505

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 22:01:26

Научные сообщения 501

ч и с л е н н ы м и по ф о р м у л а м (12) и (13), если п о л о ж и т ь в н и х 0 = я / 2 . К а к , с л е д у е т и з а с и м п т о т и ч е с к и х ф о р м у л {10) и (11)'- р е з к и е и з м е н е н и я з н а ч е н и й Sn,m( 0 ) !и Гп т( 0 ) в окрестности н у л е й этих ф у н к ц и й .при б о л ь ш и х т о б ъ я с н я ю т с я тем, что соз(ф0—Р) и з т ( ф с — р ) , скорость и з м е н е н и я к о т о р ы х достигает м а к с и м а л ь н о й в е л и ч и н ы п р и переходе ч е р е з н у л ь , у м н о ж а ю т с я на большие числа ехрСтО+а").

' • • • ' ' • \ 4 • ' • . • . • •

Поступила в редакцию 25.06.1973 Переработанный вариант 30.08.1974

, Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а

1. М. П. Ж урина, Л. Н. Кармазина. Т а б л и ц ы ф у н к ц и й Л е ж а н д р а P~42+iX(x). М.г

Изд-во АН СССР, 1960. .

2. М. И. Журина, Л. Н. Кармазина. Т а б л и ц ы ф у н к ц и й Л е ж а н д р а W v ^ . , В Ц

АН СССР, 1963. ' r: t -

3. М. И. Журина, Л. Н. Кармазина. Т а б л и ц ы и ф о р м у л ы д л я с ф е р и ч е с к и х ф у н к ц и й P™i/2+ix(z).M., ВЦ АН СССР, 1962. ' . ' '

-4. A. Kalnins. Effect of b e n d i n g on v i b r a t i o n s of spherical shell. J. Acoust. Soc. A m e r .rf

1964, 36, № 1, 7 4 - 8 1 , . . . .

5. А. Д. Лизарев. О н и з ш и х ч а с т о т а х собственных осесимметричных колебаний н е - пологих сферических оболочек. И н ж . ж., 1967, 7, № 3, 66—72. *j » 6. Е. В. Гобсон. Т е о р и я с ф е р и ч е с к и х и э л л и п с о и д а л ь н ы х ф у н к ц и й . М., Изд-во и н .

лит., 1952.

7. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Т а б л и ц ы интегралов, сумм, р я д о в . и п р о и з в е д е н и й . М., Ф и з м а т г и з , 1963. . •

8. А. А. Абрамод. Т а б л и ц ы l n T ( z ) в комплексной области. М., к з д - в о АН СССР, 1953.

9. Т а б л и ц ы логарифмов г а м м а - ф у н к ц и и в к о м п л е к с н о й области. М., ВЦ АН СССР, 1966.

- УД]£ .519.3:62-50 О ПОСТРОЕНИИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ

Д Л Я З А Д А Ч И Б Ы С Т Р О Д Е Й С Т В И Я : ^ в. м. горлов ,

. (Москва)

П р е д л а г а е т с я ч и с л е н н ы й метод р е ш е н и я у р а в н е н и я Б е л л м а н а .

Р а с с м а т р и в а е т с я з а д а ч а оптимального быстродействия: необходимо н а й т и в е к т о р - ф у н к ц и ю в к р а т ч а й ш е е в р е м я п е р е в о д я щ у ю у п р а в л я е м у ю систему

(1) dx/dt=f(x,u); ж ( 0 ) е Г ( 0 ) ,

из заданного терминального м н о ж е с т в а Т ( 0 ) в произвольную точку, х\. При этом в ы ­ бор u(t) стеснен условием

(2) u(t)^U д л я всех £, \ * 7 " " *

где U — з а м к н у т а я о г р а н и ч е н н а я область, и={и\, к2} , , вектор х={х^ я2} , т. е. з а д а ч а р е ш а е т с я в двумерном фазовом пространстве.

Вводя ф у н к ц и ю со (х), . я в л я ю щ у ю с я о п т и м а л ь н ы м временем, з а которое система (1) из точки х(0) м о ж е т быть переведена в точку #i, Б е л л м а н п о л у ч и л д л я нее у р а в ­

н е н и е динамического п р о г р а м м и р о в а н и я - '

(

, fix, и) | = 1.

дх, / . . * !

*> П р и обработке алгоритма использовалось ^ 5 0 4 - 1 0 0 точек, а их расположение, определялось видом области Т (0). «Сгущение» точек выбиралось там, где область' имеет более «сложный» вид. .

V

Основным п о н я т и е м , и с п о л ь з у е м ы м в д а л ь н е й ш е м , будут области Т(^—сово­

к у п н о с т ь точек х, д л я которых к р а т ч а й ш е е в р е м я перехода системы (1) из точек тер­

минального м н о ж е с т в а н а T(t) не превосходит t п р и у с л о в и и в ы п о л н е н и я (2).

З а м е т и м , что T(ii)^T(t), если ti<t. Таким.образом,- множество д о с т и ж и м о с т и щ =

и ^{г ( 0 ,}

т. е. T(t) о т д е л я е т множество точек х, д о с т и ж и м ы х из точек терминального м н о ж е ­ с т в а за в р е м я м е н ь ш е е либо равное t, от м н о ж е с т в а я, д о с т и ж и м ы х л и ш ь за боль­

ш е е в р е м я . . -

Система (1) м о ж е т достигнуть любой точки T(t) за в р е м я т, с т а р т у я с некоторой т о ч к и поверхности T(t—т), но п р и достаточно м а л о м х й м а л о м e i > 0 система не мо­

ж е т , достигнуть Tit), с т а р т у я с поверхности Г ( г — ( l + e i ) t ) .

Л и н и ю у р о в н я t ф у н к ц и и Б е л л м а н а со (я) обозначим ч е р е з R(t) и определим ее с л е д у ю щ и м образом: ..

R(t) = lim [T(t)\T(t-dt)], - dt>0.

dt^O ,

В работе .[*] п р е д л а г а е т с я м е т о д о п р е д е л е н и я Т (t) (T(t) — л и н и я у р о в н я со (л:) д л я л и н е й н ы х у р а в н е н и й - г

, dx/dt=A(t)x+B(t)u.

Множество д о с т и ж и м о с т и Т(кх) строится с помощью н е р а в е н с т в в и д а Chx>ch, и д л я перехода от Т(кх) к Т(кх+х) и с п о л ь з у е т с я следствие теоремы Минковского - Ф а р - к а ш а [2] . (Следует отметить, что в [*] с у щ е с т в е н н ы м я в л я е т с я н е п р е р ы в н о с т ь ф у н к ­ ции Б е л л м а н а и в ы п у к л о с т ь м н о ж е с т в достижимости.)

Здесь будет р а с с м а т р и в а т ь с я другой метод, и с п о л ь з у ю щ и й д л я п о с т р о е н и я обла­

с т е й Т(кх) в ы п у к л ы й к о н у с К [3~5] , построенный из в с е в о з м о ж н ы х векторов вида f(x, и)\и<=и в точке х. Алгоритм был р е а л и з о в а н д л я численного р е ш е н и я з а д а ч в д в у м е р н о м фазовом пространстве. Б ы л а составлена с о о т в е т с т в у ю щ а я п р о г р а м м а н а ' я з ы к е Ф О Р Т Р А Н д л я ЭВМ БЭСМ-6.

Х а р а к т е р н о й особенностью я в л я е т с я то, что линейность системы (1) н и к а к не ис­

п о л ь з у е т с я . Кроме того н е т р е б у е т с я н е п р е р ы в н о с т и ф у н к ц и и Б е л л м а н а и в ы п у к л о с т и о б л а с т е й Т(кх).

Алгоритм п о с т р о е н и я областей состоит в следующем. Г р а н и ц а T(t) з а д а е т с я на­

бором в е р ш и н , соединенных п р я м ы м и л и н и я м и . З а д а ч а п р и б л и ж е н н о г о интегрирова­

н и я у р а в н е н и я '(3) состоит в том, ч т о б ы по и м е ю щ е й с я з а д а н н о й л и н и и T(t) полу­

ч и т ь к р и в у ю Т (t+x) (это один ш а г и н т е г р и р о в а н и я ) ч

В н а ч а л ь н ы й момент п р и б л и ж е н н о з а д а е т с я область Т (0) н е к о т о р ы м количест­

вом ребер, п р о в е д е н н ы х ч е р е з точки, в ы б р а н н ы е на ее г р а н и ц е * ) . Е с л и т е р м и н а л ь н а я область состоит из одной, точки, то в качестве л и н и и Т(0) б е р е т с я ' о к р у ж н о с т ь р а д и у ­ с а е, где s — малое число.

В основу алгоритма п о л о ж е н о исследование д в и ж е н и я у г л о в ы х точек л и н и и T(t) [•].

Пусть число рёбер равно ч и с л у в ы б р а н н ы х точек Р.г, £ = 1 , 2, . . . , N0. Обозначим ребро, с о е д и н я ю щ е е точки Рг и Pi+i, через к+ч2: Построим область Т(пх), если Т(пх-х) у ж е определена. Точки, з а д а ю щ и е л и н и ю Т(пх), обозначим через а Т(пх-х) — ч е р е з Хг={х^г х?}. При этом число точек Р{, о п р е д е л я ю щ и х л и н и ю

Г ( я т - т ) , равно Nn-i. .

Д а л е е берем три т о ч к и Хг-и хи' xi+i и ребра k-t+42, к+ъ- Р а с с м о т р и м случай, ког­

да эти т о ч к и и л и л е ж а т н а одной п р я м о й , и л и ребра образуют в ы п у к л ы й угол (фиг. 1ва) (если. i=Nn-U,то б е р у т с я точки хи xNn_l9 XN^-I).

Научные сообщения 503

За в р е м я т система (1) и з точки xi м о ж е т быть переведена в y=Xi+xf(xi, к ) , где u<^U, х^Т(пх—х). , <

В соответствии с (1), в точку у система м о ж е т войти по любому н а п р а в л е н и ю , совокупность к о т о р ы х образует в ы п у к л ы й конус, построенный и з в с е в о з м о ж н ы х век­

торов вида и) lu e= и. >•

Т(пт)

Определим в н е ш н и е н о р м а л и тг4 и п² к ребрам A - 1+ V 2 и U+y2 соответственно (фиг. 1, а ) . З а т е м среди в с е в о з м о ж н ы х векторов и)\и<=и выберем два таких, один из которых дает м а к с и м а л ь н у ю п р о е к ц и ю н а вектор wi, а д р у г о й — н а вектор гс2, т. е.

и⁴: ; m a x ( « i ,/ ( ^ г , и)) = (пи f{x^h и^л)),

и2: тах(тг2, f(xi, и)) = (п², fX^u вг).).,

Рассмотрим вопрос о д в и ж е н и и угловой точки жг^ 7 ( ^ т — т ) з а в р е м я т.

С л у ч а й 1. Е с л и в ы п о л н е н ы у с л о в и я согласованности [в] , т. 'е. с у щ е с т в у е т

V^LU такое, что ^

(4)

m a x (пи f (х{, и)) = (щ, f (хи и)), m a x (п², f (xi, и)) = ( n2, / {х^и v)), то у г л о в а я точка xt переидет в точку у?. '

' 1 \

y.j=Xi + xf(Xi, v); .

где / — н у м е р а ц и я точек л и н и и Т(пх) (см. фиг. 1, а ) .

С л у ч а й 2. Е с л и у с л о в и я согласованности (4) н е в ы п о л н е н ы , то точка xi «раз­

дваивается» и в области Т{пх) п о я в л я е т с я новое ребро Z;+v2, т. е. V">

Уз=^г + Х/(Хг,щ)1 yj+l = Xi + Xf{Xi, и2), ^ 7

где . • t \ ' . !

(5) , (пи f(xi, Wi)) = m a x ( n i , f(xi, и)), (гс2, f(x^u и2)) = m a x ( n2, f(x^h и)).

w e J 7 - -

В о з н и к а е т с и т у а ц и я , и з о б р а ж е н н а я н а фиг. 1, б.

Е с л и в области Т(пх-х) имелось Nn-i точек, тр число точек, о п и с ы в а ю щ и х об­

л а с т ь Т(пх), у в е л и ч и т с я по сравнению с iVn_i н а число точек, в к о т о р ы х условие согласованности не в ы п о л н я е т с я .

С л у ч а й 3. Если встретилась « с и т у а ц и я вогнутая» (фиг. 1, в ) , то здесь необхо­

д и м о определить точки \ Zi^Xi + tfiXi, tti), zⁱ²=xⁱ+xf{x^il и²),

аде Ui и и2 н а х о д я т с я из у с л о в и я (5). • ,ч - '

З а т е м через точки z£ и z^2 п р о в о д я т с я п р я м ы е , п а р а л л е л ь н ы е ребрам и /г+'/г соответственно, а далее о п р е д е л я е т с я #точка п е р е с е ч е н и я этих п р я м ы х , к о т о р а я и .-является точкой у^Т(пх) (фиг. 1, б). ,

5 х1

Т(д)

.Фиг. 2

При о б х о д е всех точек Pi всегда имеет место один из трех с л у ч а е в . Перебрав все

* = 1 , 2, . . . , Nn^u п о л у ч а е м точки у$, j= 1, 2, . . , . , Nny причем Nn-i<Nn. Последователь­

но с о е д и н я я эти точки ребрами, п о л у ч а е м тем самым линию Т^(пх), т. е. совокупность точек, д л я к о т о р ы х к р а т ч а й ш е е в р е м я перехода системы (1) из точек х(0) ^Т(0) н а Т (пх) равно пх. Шаг по в р е м е н и т д о л ж е н у д о в л е т в о р я т ь условию, что области до­

с т и ж и м о с т и , построенные в соседних у г л о в ы х точках, не д о л ж н ы п е р е с е к а т ь с я . П ш н а р у ш е н и и этого у с л о в и я в о з н и к а е т бесчисленное самопересечение отрезков. Ш а г ин­

т е г р и р о в а н и я х в ы б и р а е т с я п р о п о р ц и о н а л ь н ы м длине самого короткого ребра.

В н а ч а л е , когда д л и н ы ребер очень малы, ш а г т т о ж е д о л ж е н быть мал. В д а л ь ­ н е й ш е м он м о ж е т быть увеличен. '

, В качестве и л л ю с т р а ц и и рассмотрим построение л и н и й Т(пх) д л я системы х¹=х², х²=и,

Научные сообщения 505

где Ы < 1 , а т е р м и н а л ь н а я л и н и я Т(0) о п р е д е л я е т с я у р а в н е н и е м о к р у ж н о с т и

(7) . {х')2+(х2-Ъ)2=0Л. , ;

Пример интересен тем, что ф у н к ц и я Б е л л м а н а р а з р ы в н а , если 6=^0. Конус К в данном случае есть отрезок в е р т и к а л ь н о й п р я м о й {к{—х2; — К / с2< 1 } .

Пусть 6 = 0 . При расчете первоначальное число точек iV0 н а о к р у ж н о с т и (7) бра­

лось р а в н ы м 50, т = 0 . 0 1 .

Р е а л и з а ц и я проводилась с ш а г о м заведомо меньшим, чём длина каждого ребра.

Полученные л и н и и Т(п%), тг=100, 200, 300, представлены на фиг. 2, а. Р е з у л ь т а т ы хо­

рошо согласуются с и з в е с т н ы м х а р а к т е р о м точного р е ш е н и я системы (6). Точное

решение п о к а з а н о ш т р и х о в о й линией. ^ '"

Пусть &=1. Р е ш е н и е представлено на фиг. 2, б, там ж е штриховой линией пока­

зано точное р е ш е н и е . Следует заметить, что точное решение построено д л я термйналь-

; ного м н о ж е с т в а Т(0), заданного в виде точки {х01=^0, хо2=1}1 поэтому имеется неко­

торое отличие от р е ш е н и я , полученного с помощью приведенного в ы ш е алгоритма (тг=100, 200, 300).

З а м е ч а н и е . С в о з р а с т а н и е м числа ш а г о в п число точек у$, о п и с ы в а ю щ и х ли­

нию Т(п%), у в е л и ч и в а е т с я , поэтому возникает н е о б х о д и м о с т ь , с л е д и т ь за длиной ре­

бер /»+»/,.

Если длина нескольких с л е д у ю щ и х одно за другим ребер «невелика», тр эти реб­

ра можно «слить» в одно, и, наоборот^ если длина какого-то ребра становится «боль­

шой», то это ребро м о ж н о разбить н а несколько частей., Подробно зд,есь на этом оста­

н а в л и в а т ь с я не будем, т а к к а к в к а ж д о й отдельной задаче свой метод «слияния» или

р а з б и е н и я ребер. ; Автор благодарит Р. П. Федоренко за п о л е з н ы е советы.

Поступила в редакцию 16.07.1973 Переработанный вариант 12.11.1973

Цитированная литература

1. Л. В. Лотов. Ч и с л е н н ы й метод построения множеств достижимости д л я линейной у п р а в л я е м о й системы. Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1972, 12, № 3, 785—788.

2. Д. Тейл. Теория л и н е й н ы х экономических моделей. М., Изд-во и н . лит., 1963.

3. Р. П. Федоренко. З а м е ч а н и е в с в я з и с к р и т и к о й у р а в н е н и я Б е л л м а н а . Ж . вычисл.

матем. и матем. физ., 1967, 7, № 5, 1193—1198. - - 4. В. Г. Болтянский. Математические методы оптимального у п р а в л е н и я . М.,. «Нау­

ка», 1966. • ' . : >

5. В. М. Горлов: О с у щ е с т в о в а н и и цены, и г р ы в з а д а ч а х преследования. Ж . вычисл.

матем. и матем. физ., 1972, 12, № 1, 78—88. • • ,.

6. Р. П. Федоренко. К задаче К о ш и д л я у р а в н е н и я динамического программирова­

н и я Б е л л м а н а . Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1969, 9, № 2, 426—431.

УДК 518.90 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ИГРЕ *

' С ПЕРЕДАЧЕЙ ИНФОРМАЦИИ В. В. ФЁДОРОВ

v (Москва) ' ' ^' В игре д в у х л и ц с ф и к с и р о в а н н ы м порядком ходов п о л у ч е н ы необ­

ходимые у с л о в и я оптимальности стратегии первого игрока.

1.. Н а и л у ч ш и й г а р а н т и р о в а н н ы й р е з у л ь т а т первого игрока в игре двух лиц с пере­

д а ч е й и н ф о р м а ц и и I1'2] м о ж е т быть з а п и с а н к а к г ' (1) s u p inf F(x, у),

хеХ y(=N(x) k . . .

/28

2