физ., 1979, том 19, номер 1, 3–10

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. С. Хачатрян, Об одном методе решения системы нели- нейных алгебраических уравнений специальной структу- ры большой размерности, Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 1979, том 19, номер 1, 3–10

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 11:23:06

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Т о м 19 Январь 1979 Февраль № 1

У Д К 519:615.5 ОБ О Д Н О М М Е Т О Д Е Р Е Ш Щ И Я С И С Т Е М Ы

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К И Х У Р А В Н Е Н И Й С П Е Ц И А Л Ь Н О Й С Т Р У К Т У Р Ы Б О Л Ь Ш О Е Р А З М Е Р Н О С Т И

B.C. ХАЧАТРкн ( Ереван)

П р е д л а г а е т с я метод р е ш е н и я системы у р а в н е н и й специальной с т р у к т у р ы большой ся в э л е к т р о т е х н и к е .

н е л и н е й н ы х алгебраических размерности, встречаюгцих-

для решения систем нелинеи- размерностей является идея вычислительной машины, что

§ 1. Введение]

При решении проблемы оптимального || управления режимами совре­

менных больших электроэнергетических систем одним из важных этапов является вопрос определения установившихся режимов их сетей [*]

С математической точки зрения задача расчета установившихся режимов больших электрических систем сводится к

алгебраических уравнений с комплексными переменными больших раз мерностей [²>³], ^ч

Одним из перспективных направлений ных алгебраических уравнений больших декомпозиции, которая обеспечивает:

а) минимизацию занимаемой памяти

приводит к увеличению возможностей решения задачи,

б) минимизацию объема вычислительных работ, что обеспечивает быстрое и своевременное решение поставленной задачи,

в) большую наглядность восприятия,процесса решения соответствую­

щей задачи. \ . .

В настоящей статье рассматривается решение нелинейных алгебраиче­

ских уравнений установившихся режимов |путем декомпозиции исходной электрической системы.

§ 2. Математическая формулировка задачи

' I

Задача сводится к решению следующей Системы нелинейных алгебраи­

ческих уравнений с комплексными переменными: _п (2.1) Si y^aijXj—Ci, i = l , 2 , ...,тг,

4 В. С. Хачатрян

или обращенной формы (2.1):

п

(2.2) y i ^ b i t f ^ d , ' i = l , 2 , ...,-тг. •

. j = i

В уравнении (2.1) числа a,-j, с^г- заданные комплексные, Хг, г = 1 , 2 , . . . 72,—искомые комплексные переменные (я* — комплексно-сопряженная:

переменная относительно я*). Комплексные коэффициенты уравнения (2.1) обладают следующими свойствами [4] :

R e ( a i j ) > 0 , l m ( a^{z j}) < 0 при, i=j, • R e ( ai ;) < 0 , Im ( at J) > 0 при г=^/,

! f i e ( a n ) l ^ ^ I Re ( a , , ) J,, : l l m < a « ) I^J], И т ( а ^ ) I,'"

%Ф) ' гФ)

В уравнении (2.2) числа Ьц, с^{ заданные комплексные (с^г —комплекс­

но-сопряжённое число относительно с*), Уи г = 1 , 2 , . . ; , тг,— искомые комп­

лексные переменные {у г — комплексно-сопряженная переменная относи­

тельно г/г).

С другой стороны,

Г Д е 4 =

Ы ,

Я=|1М,

При решении проблемы оптимального управления режимами больших электроэнергетических систем для оценки состояния сетей можно поль­

зоваться формами (2.1) и (2.2). В данной статье рассматривается реше­

ние системы уравнений (2.2), при котором обеспечивается более быстрая:

сходимость по сравнению с (2.1). .

§ 3. Выбор метода решения

Для дальнейшего изложения систему (2.2) представим в виде (3.1) с^г- с р ( 1 / ) = 0 ,

или . (3.2) Ф (?/)=<).

Здесь Ф(у) есть >г-мерная вектор-функция гг-мерной комплексной пе- ременной у= (у^,..., yiⁿ⁾), Ф {у) = ( Ф4 ( у ) Ф ^п (у)).

Разлагая на действительные и мнимые составляющие комплексные переменные, векторное уравнение (3.2) можно представить в виде сово­

купности двух векторных уравнений с действительными переменными (3.3) O^p( z / / , z / - ) = 0 , .

<М/,»")=о,.

где / - R e (у), y"=Im(y). ^ч

Нетрудно заметить, что совокупность векторных уравнений (3.3) я в ­ ляется векторным уравнением 2/г-порядка.

Для большей компактности представим (3.3) в виде (3.4) /-: = ( Ф^Р, Ф „ ) \ •'.

(3.5) z:=iy',y")\ ;

Вычислительные алгоритмы по оптимизации режимов больших элек­

троэнергетических систем строятся на основе решения систем нелиней­

ных алгебраических уравнений (2.2) с применением метода Ньютона.

Применяя метод Ньютона для векторного уравнения (3.4), мы можем написать рекуррентное выражение

(3.6) z^ⁱ⁾=z^k-(yF{z^h))-ⁱF{z^k)¹ где • '•• ,

(3.7) V ^W ) - . ( ^ ] ± ) , •

\ dz I z==ZH

а к — число итераций.

§ 4. Декомпозиция графа электрических схем

Из рекуррентного выражения (3.6) следует, что для решения систе­

мы уравнений (3.4) при каждой итерации необходимо обращение мат­

рицы Якоби 2п-то порядка, что требует не только большой памяти ЭВМ, но и огромного машинного времени для ее формирования и обращения.

Это говорит о том, что классический метод; Ньютона для решения системы нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей становится практически неприемлемым. Исследования показывают, что во многих случаях при решении той или иной проблемы необходимо исходить из индивидуальных и характерных особенностей исследуемой системы. В ча­

стности, используя топологические свойства электрических систем, с при­

менением идеи декомпозиции можно систему нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей представить в виде совокупности систем нелинейных алгебраических уравнений меньших размерностей.

Предположим, что исходный граф большой электрической системы представляется в виде совокупности отдельных подграфов. При этом по условиям инвариантности уравнений состояния исходной электрической системы (исходного графа) и преобразованной электрической системы

(подграфов) строится так называемая Я-расчетная матрица, имеющая следующую структуру:

(4.1)

Bim

г •

: В- • в'

Подматрицы В ^ш ..., B^iNJN с комплексными элементами являются по­

стоянными коэффициентами нелинейных алгебраических уравнений типа

В. С. Хачатрян

(2.2), составленных для отдельных подграфов (или подсистем). Подмат­

рицы B^iijn ... ,B^iNJN образуются,, соответственно, из подматриц Вин, 1⁼

= 1, 2 , . например, каждый столбец матрицы В^ц, 1 = 1 , 2 , . . . ,iV, оп­

ределяется разностью двух столбцов соответствующей матрицы Вии, но­

мера которых совпадают с номерами тех вершин, между которыми нахо­

дилось разрезное ребро,, Число строк матрицы Bi^lj^l равняется числу раз­

резанных ребер. С другой стороны, матрица В' определяется непосредст­

венно с помощью соответствующих элементов' матрицы Вгщ. Каждая строка матрицы В^г определяется разностью двух строк матрицы B%^xj^v номера которых совпадают с номерами тех узлов, между которыми нахо­

дились разрезанные ребра.

Матрица Ъ' является квадратной, и ее порядок характеризуется чис­

лом разрезанных ребер.

Исходная В-матрица позволяет систему нелинейных алгебраических уравнений большой размерности представить в виде совокупности систем нелинейных алгебраических уравнений, имеющих низкие размерности.

Квазидиагональная форма полученных систем нелинейных алгебраиче­

ских уравнений выглядит так:

(4.2)

\^pii> W

Размерность каждой системы нелинейных алгебраических уравнений характеризуется числом вершин соответствующего подграфа.

Полученная форма (4.2) показывает, что вместо решения одной си­

стемы нелинейных алгебраических уравнений большой размерности мож­

но решить ряд систем нелинейных алгебраических уравнений, имеющих пониженные размерности.

Относительно (4.2) рекуррентное выражение Ньютона принимает вид

(4.3)

к

. . . . . .

ZN

VF, (^{S i}* ) j ^{- 1}

X X

F^N

(4)

§ 5. Алгоритм решения задачи

Сущность вычислительного алгоритма заключается в следующем.

1. Устанавливаются предварительные значения искомых переменных

(5.1) z

:-=(yo

,.»o

)

-

2. На основании (5.1) вычисляются некоторые параметры, позволяю­

щие исходную систему нелинейных алгебраических уравнений (3.4)

большой размерности с использованием Б-расчетной матрицы представить в виде совокупности систем нелинейных алгебраических уравнений (4.2), имеющих несравненно меньшие размерности.

3. Рассматривается решение первой системы нелинейных алгебраиче­

ских уравнений из (4.2) (5.2) = ( Ф^{р (}„ Ф^{9 < 1}) \

С применением рекуррентного выражения Ньютона из (4.3) получим

„⁺¹ „ || dF^Zt)

(5.3)

4. Полученные новые значения п е р е м е н н ы х из (5.3) являются исход­

ными для формирования и решения второй системы нелинейных алге­

браических уравнений из (4.3): j .

(5.4) ^ : = ( Ф р , -^{2 )}Ф^{9 й})^т. j

Применяя метод Ньютона к (5.4), полулаем рекуррентное выражение

,(5.5) ^k

Z% '—Z2 '

1 1 . ^ Г * 4 ' >

5. Полученные новые значения: п е р е м е н н ы х являются исходными для формирования и решения третьей системы нелинейных алгебраических уравнений, и т. д.

6. Аналогичным образом устанавливается и последняя TV-я система не­

линейных алгебраических уравнений из| (4.3):

(5.6) ^ : = ( Ф р ^ Ф ^ ) \

относительно которой рекуррентное выражение Ньютона принимает вид dF^N(z^N)

(5.7) ZN ^h+l -ZN^K

dz* XF^N (z^Nk).

В результате проведения одной итерации получаем новые значения искомых переменных для системы нелинейных алгебраических уравнений большой размерности как результат рершения соответствующих нелиней­

ных алгебраических уравнений,

имеющих

ные новые значения переменных являются исходными для формирования заново квазидиагональной формы (4.2) | для последующих итераций. Ите­

рационный процесс считается закончег:ным, когда обеспечиваются сле­

дующие условия для отдельных подсистем:

ft+i

\<h^h Z = l , 2 , . . . , ^ Здесь

где £/, — заранее заданные малые положительные числа, характери­

зующие требуемую точность решения системы нелинейных алгебраиче­

ских уравнений большой размерности.

8 В. С. Хачатрян

Выражения (5Л5), (5.5) —(5.7) показывают, что , вместо обращения одной матрицы порядка 2 / 2 = 2 7 2 i + . . . +2nN (где пи . . .-, nN — соответствен­

но, число вершин 1, 2 , . . ; , TV-го подграфов) необходимо обращать iV матриц низких порядков, т . е . порядков 2п^и..., 2n^N. Это приводит к уменьшению требуемого машинного времени при решении соответствующих систем нелинейных алгебраических уравнений, в связи с чем появляется воз­

можность увеличить и порядок решаемой системы нелинейных алгебраи­

ческих уравнений. Все это говорит об эффективности предложенного нового метода решения систем нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов больших систем.

§ 6. Пример расчета

Для иллюстрации метода рассмотрим решение системы нелинейных алгебраических уравнений 9-го порядка с комплексными элементами.

Разлагая комплексные переменные на составляющие, исходную систему нелинейных алгебраических уравнений можно представить с помощью системы уравнений 18-го порядка с действительными переменными. Си­

стему уравнений 18-го порядка можно представить в виде совокупности трех систем нелинейных алгебраических уравнений с действительными переменными 6-го порядка.

Представим новые системы уравнений в виде следующей квазидиаго­

нальной формы:

(6.1)

^: = (ф .,ф.)

Здесь

Фрп=(Фз>1, Ф^Р2 , Фрз), Ф<Ц,= ( Ф^в1 , Ф« 2 , Ф^я3),

Ф¹. .^г= ( Ф³. Т , Фр⁸, Ф^{Р 9}) , Ф^д« = ( Ф⁹7 , Ф« 8 , Ф^{9 9}) ,

Уи'-(у/,у/,у/),

*/.•,"=(*//', г/Л*/,"),

Уи'=(Ут',У>', У*), Уь"={у",У",У")-

Действительно, в каждом случае необходимо решить систему нелиней­

ных алгебраических уравнений 6-го порядка.

Уравнения, входящие в (6.1), имеют следующую структуру:

//д

(6.2)

Ф * . (Уи, У и") = с

' - {К'*Уи+К У и) ~

-yuⁿ(bUy^h'-bu^Uy^h")—yiT(b[^"+bu^Uy^it')==0,

Ф , . . (V и, У и") =*,"- (ktl'*y^tl"-k'^t'*y^{l'>-

-Уиж(Ъииук+Ъииун)-уи Щ^Уи -ОииУп ) = У ,

В выражениях (6.2) |

• • ' \- ' •

/vV=-Re (/с^г1), V = I m (&4,

! U \

b^{i l i l}= R e ( b^{i l i l}) , Ь ^ = 1 т ( Ь Ц .

В приведенных выше выражениях buji являются элементами Biiiiy

а комплексная величина kh учитывает связь первой системы нелинейных алгебраических уравнений с остальными. Индекс «д» означает диагональ­

ную матрицу. |.

j!

Соответствующие частные производные, входящие в матрицу Якоби, определяются с помощью приведенных''ниже выражений. При одинако­

вых индексах (i—j) имеем ||

ЭФри(уи,у^и")

(6.3) dFu(z)

дУи

дФ*и(Уи\Уи") s дУи

-дФ»ЛУи',Уи") дУи"

дФчи(Уи,Уи)

Т-[Нии+(Ьииуи'+Ьииуи") ],

[kixi— {ЬииУи'— Ь г ц Ч У г / ) "]'»

[кии+(Ьг[^иУг"-ЬМиу{1') ],

[-Huu+ibiluyiZ+bltuyi") ].

\ дУи"

В выражениях (6.3)

и ' ! . . . , • •

С другой стороны, , •

Didi^bu^yu' — b^yi", Си^х=Ь\&уи'+Ьиьу^и'..

При разных индексах (i^j) для частной производной имеем следую щие выражения:

dF^u{z) dzh

дФри(Уи',Уи"), дУи дФяи(Уи',Уи">

дУи дФуи{Уи,Уи")

дУи"

дФ,и<Уи',Уи") дУи

'(ЪииУи' + ЬиМи"),

-(-Ь^Уг"+Ьи^иуи'),

' ( ^ i d i ^ / i i /Г^Ь'гАИУ'и ).r ,

•^(КиУи' + Ъ"ьу^и").

Аналогичные выражения можно написать и для dF^h(z)/dzⁱ² и dF-u(z)fab, т . е . для элементов матрицы Якоби второй и третьей систем уравнений.

10 В. С. Хачатрян

На основании исходных данных, устанавливая начальные значения переменных, можно осуществить итерационный процесс решения этих систем нелинейных алгебраических уравнений.

В таблице приводится итерационный процесс решения первой систе­

мы. Аналогичные результаты получены для второй и третьей систем.

Число ^У'U

итера­

ций

У\ : У 2 Уз у" Уз"

о\

1 -0.5141 0.4839 -0.2781 0.2517 -0.4348 \ 0.1386 2 -0.5163 0.4870 -0.2796 . 0.2530 -0.4370 0.1396 3 -0.5162 0.4371 -0.2794 0.2530 -0.4371 0.1395 4 -0.5162 0.4871 -0.2795 0.2530 -0.4371 0.1395

Нетрудно заметить, что процесс итерации фактически стабилизируется уже на второй итерации.

С помощью предложенного метода были решены также системы урав­

нений 50-го (исходная система была представлена в виде двух систем уравнений), 100-го (исходная система была представлена в виде трех систем уравнений), 150-го (исходная система была представлена в виде трех систем уравнений) порядков и т. д.

Вычислительные эксперименты показали, что разработанный метод декомпозиции для решения систем нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей, обладающих приведенным выше свойством, обес­

печивает такую же сходимость, что и классический метод Ньютона, т. е.

.когда заданная система рассматривается в целом.

Поступила в редакцию 16.04.1977 Переработанный вариант 17.05.1978

Цитированная литература

4. Н. П. Жидков, Н. П. Илышёва, Д. В. Тимофеев. О некоторых ч и с л е н н ы х методах расчета э л е к т р и ч е с к и х ^;сетей. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, 14, № 5, 1317-1323.

2. В. С. Хачатрян. Определение у с т а н о в и в ш и х с я р е ж и м о в больших электроэнергети­

ч е с к и х систем с п р и м е н е н и е м метода Ньютона - Р а ф с о н а . Изв. АН СССР. Энер­

г е т и к а и транспорт, 1974, № 4, 36-43.

:3. В. С. Хачатрян. Р е ш е н и е у р а в н е н и й у с т а н о в и в ш и х с я р е ж и м о в больших э л е к т р и ч е ­ ских систем с применением метода декомпозиции. Электричество, 1976, № 6,

1 2 - 1 9 . , :

•4. В. С. Хачатрян. Об одном методе о б р а щ е н и я матриц, в с т р е ч а ю щ и х с я в электротех­

н и к е . Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1969, № 5, 105-108.