физ., 1979, том 19, номер 2, 523–527

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

И. Б. Вапнярский, Модульные задачи математической теории стандартизации, Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 1979, том 19, номер 2, 523–527

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:37:32

Цитированная литература

1. А . А . Корбут, И. X. Сигал, Ю. Ю. Фйнкельштейн. Метод ветвей »и границ (обзор теории, алгоритмов, программ и приложений). Math. Operat.-Sforch. Statist. Ser, Optimization, 1977, 8, № 2, 253-280.

2. Дж. А. Бабаев, К. HI. Мамедов, M. Г. Мехтиев. Методы построения субоптималь­

ных решений многомерной задачи р ранце. Ж. вычисл. матем. и матем, физ., 1978, 18, № 6, 1443-1453.

3. S. Walukiewicz. The size reduction of a binary knapsack problem. Bull, Acad. Po­

lonaise Sci. Ser. Sci. Techn., 1975, 23, № 5, 41-46.

4. R. M. Nauss. An efficient algorithm for the 0—1 knapsack problem. Manag. Sci., 1976,

23, № 1, 27-31. : УДК 519.85

МОДУЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТАНДАРТИЗАЦИИ

И. Б. ВАПНЯРСКИЙ (Москва)

Рассматривается класс задач межпроектной унификации и стандар­

тизации для параметрического ряда изделий, состоящих из набора мо­

дулей, входящих в состав различных изделий, при неопределенном (не­

однозначном) и (или) нестационарном спросе и при наличии ограниче­

ний интегрального характера. Для этих задач разработана математиче­

ская модель и предложен алгоритм решения.

1. При разработке численных методов решения задач математической теории стандартизации обычно (см. 2]) основываются на том, что выполняется сле­

дующее

Предположение 1. Суммарные затраты на изделия данного вида зависят от потребной численности изделий этого вида и могут быть определены независимо ют численности других изделий оптимизируемого параметрического ряда.

Это предположение оправдывается для многих сравнительно простых задач опти­

мизации параметрических рядов и позволяет (при некоторых дополнительных пред­

положениях, см. [3]) использовать для решения указанных задач эффективные вычислительные алгоритмы, в частности алгоритмы, основанные на применении динамического программирования.,

Для широкого класса важных для приложений задач стандартизации, таких как задачи унификации подсистем, задачи планирования модификаций технических систем, задачи выбора оптимального типажа и т. д., предположение 1, как правило, не имеет места. В общем случае предположение 1 перестает быть справедливым, если представлять изделия оптимизируемого параметрического ряда с учетом их структуры, т. е. рассматривать эти изделия как слож'ные системы, состоящие из подсистем (модулей), входящих в состав различных изделий. Будем считать, что при этом выполняется

Предположение 2. Суммарные затраты на параметрический ряд техниче^

ских систем, каждая из которых состоит из соответствующих подсистем (модулей), равны сумме затрат на все используемые подсистемы. Суммарные, затраты на каж­

дую подсистему зависят от потребной' численности этих подсистем и могут быть определены независимо от численности других подсистем.

Задачи, в которых предположение 2 имеет место, будем называть модульными задачами математической теории стандартизации.

Заметим, что если каждая из технических систем параметрического ряда состоит только из одного модуля, то предположение 2 становится эквивалентным предпо-

ложению 1. Это значит, что класс модульных задач стандартизации включает в себя как частный случай обычные задачи оптимизации параметрических рядов.

Для решения модульных задач стандартизации требуется разработка адекват­

ной математической модели и соответствующего вычислительного алгоритма. Этим вопросам и посвящена настоящая статья. ' Основное внимание уделяется техническим системам многоразового примене­

ния, функционирование которых происходит в изменяющихся условиях, в связи с чем представляется важным в постановке задачи учесть неопределенность- (неод­

нозначность) и (или) нестационарность спроса, а также некоторые дополнительные ограничения интегрального характера. Для случая, когда спрос задается единствен­

ным образом и отсутствуют дополнительные ограничения, аналогичная по физиче­

скому смыслу задача рассматривалась в [⁴].

2 . Пусть каждая альтернативная техническая система, входящая в состав опти­

мизируемого параметрического ряда, состоит из к=1, 2 , т и п о в подсистем (мо­

дулей). $с его имеется sk=l, 2,..., mk различных видов модулей к-то типа. Каждая комбинация модулей (s4, . . . , sp) , взятых по одному виду из каждого типа, опреде­

ляет, вообще говоря, одну из альтернативных технических систем.

На некоторые из указанных комбинаций по физическим соображениям может быть наложен запрет. Множество всех допустимых систем - ( s i ,s p) удобно пред­

ставить в виде множества i=l, 2,. [., m. При отсутствии запретов

п

В реальных задачах, для которых характерно большое число запретов,

v

Ь—1

Между номером альтернативной системы ъ и комбинацией модулей ( s i , sp)

имеет место взаимно-однозначное соответствие, позволяющее указать, какие именно виды модулей к-то типа, А;=1, 2, входят в состав £-й системы. В общем слу­

чае будем считать, что каждая i-я система может включать и§ы 5-х модулей к-то типа, u^Ski>0.

Требуется определить оптимальный ряд технических систем, доставляющий ми­

нимум суммарных затрат на разработку, производство и эксплуатацию и удовлет­

воряющий заданным вариантам спроса.

Считаются заданными множество различных видов работ'/=1, 2, — , п и воз­

можные варианты спроса 1=1, 2,..., q. Предполагается, что известны: CSM — стои­

мость начальных затрат на разработку и подготовку к производству 5-го модуля

к-то типа; CShc, CSh3 — стоимость серийного изготовления и среднегодовые эксплуата­

ционные затраты для единичного s-ro модуля к-то типа; Ga — производительность i-й технической системы при выполнении /-х работ; G&1 — объемы j - x работ в 1-м варианте спроса; Т >- планируемый период эксплуатации.

В качестве неизвестных определим: Nm — суммарные численности i-x техниче­

ских систем; ^ / — численности i-x технических систем, выделяемых на выполнение /-х работ в 1-м варианте спроса; Mskn — суммарные численности s-x модулей к-то типа.

? Суммарные затраты на параметрический ряд технических систем, минимум ко­

торых подлежит определению, на основании предположения 2 равны

Р rn^k ' (1) (SshCahO + CateMskz + TCtigMskz),

где б8л — целочисленные переменные, позволяющие учесть начальные затраты:

(2) *л- { ° > ;.

(3) ⁴ Мм^'У^ивмЪъ &=1,2,...,/>, s=l, 2,..., т?г^&.

В качестве ограничений следует ввести условия гарантированного удовлетворе­

ния всех заданных вариантов спроса ' т '• .

(4) V^G^³- ' = G^{/ 2}< , 7=1,2,.... п, /=1,2,....,?,

ф_9& ' . . . . v

и условия достаточности суммарной численности технических систем с учётом неопределенности спроса .• . ;• '

(5) J ^ i V< i V^{i s}, 1=1,2,...",™,-'' Z=l,2,...,g. I

На множества различных видов серийно выпускаемых модулей к-то типа могут быть наложены ограничения ,

(6)

^

где ^ — заданные числа, KQk<mk- Кроме того, возможны ограничения на суммар­

ную численность технических систем и на суммарную численность!;обслуживающего персонала (см. [3]). Искомые переменные должны удовлетворять требованиям неот­

рицательности

(7)' N^it>0, Nij^l>0. \

Сформулированная задача (1) — (7) представляет собой математическую форма­

лизацию модульной задачи стандартизации.

Нетрудно привести более общую формулировку модульной задачи стандарти­

зации, в которой дополнительно учитывались бы такие факторы, как возможность выхода из строя (с некоторой ненулевой вероятностью) рассматриваемых техниче­

ских систем при выполнении соответствующих работ, влияние нестационарности спроса, наличие дополнительных ограничений на численность технических систем после удовлетворения спроса, многоразовость использования технических систем, влияние морального и физического износа, влияние дисконтирования й т. д.

3. Величины C⁸kc и C^Sfe³, входящие в (1), нелинейно зависят от искомых пере­

менных: ,!

(8) CSkc(M^8kj:)= askM^8hll , C8^ ( M8 f t 2) = °skMskn ,

где a^sh, b^sk, aSft, ре* — постоянные величины, причем a^Sk, ps& — величины отрицатель­

ные со значениями из интервала (—1, 0). '.

Подставляя (8) в (1), получаем, что критерий

Р mh ,

ft=l s = l

является разрывной при Ж^-^+О и вогнутой при М⁸ю>0. функцией, нелинейно зависящей от переменных MShz, область допустимых значений которых определена условиями связи (2) — (7).

Характерными особенностями задачи (1) — (7) являются высокая размерность, целочисленный характер условий (2) и многоэкстремалъность критериальной функ­

ции. Заметим, что многоэкстремалъность задачи (1) - (7) не связана непосредствен­

но с условиями целочисленности (2), она имеет место и при нулевых начальных

затратах и определяется вогнутостью минимизируемой функции (1'), определенной на выпуклом множестве, задаваемом ограничениями (3) — (7).

Таким образом, модульные задачи стандартизации в математическом плане фор­

мулируются как многоэкстремальные частично-целочисленные задачи нелинейного программирования высокой размерности. Решение таких задач наталкивается на серьезные математические трудности и требует привлечения современных вычис­

лительных методов и использования мощных ЭВМ с высоким быстродействием и большой памятью. -

4. Для решения таких задач, т.е. для отыскания их глобального, а не произволь­

ного локального минимума, может быть использован подход, предложенный и реа­

лизованный в [3]. Этот подход заключается в последовательном двухэтапном пре­

образовании исходной задачи нелинейного программирования сначала к, б-форме задачи сепарабельного нелинейного программирования [⁵], а затем к частично-цело­

численной задаче линейного программирования (л.п.). Указанные преобразования связаны с введением относительно небольшого числа новых переменных и условий связи и приводят к частично-целочисленной задаче л.п.. несколько более высокой размерности по сравнению с исходной задачей нелинейного программирования (1) —

(7У. Для решения полученной частично-целочисленной задачи л.п. используется метод ветвей и границ [⁶] и мультипликативный алгоритм симплекс-метода [⁷].

Метод ветвей и границ используется для определения оптимального частично-цело­

численного решения, а мультипликативный алгоритм применяется для решения обыкновенных, нецелочисленных задач л.п., которые решаются в процессе ветвле­

ния, задаваемом методом ветвей и границ.

Рассмотрим коротко вопросы учета специфики задачи (1) - (7) и некоторые особенности используемых алгоритмов.

Перед началом итераций осуществляется формирование матрицы А ненулевых коэффициентов полученной частично-целочисленной задачи л.п. и одновременное вычеркивание некоторых ее строк и столбцов. Приведем наиболее важные правила, используемые для сокращения объема матрицы А .

Если при некоторых i и / имеем Gn=0, то столбцы, соответствующие перемен­

ным Ay,./ = 1 , 2 ,, * . , д, могут быть вычеркнуты из матрицы А .

Если при некоторых / и I имеем Gjs'=0, ^{т о} строка, соответствующая условию (4) с правой частью может быть вычеркнута из матрицы А . В этом случае вычеркиваются также все столбцы, соответствующие переменным Nrf, i=l, 2 ,^г. . . , т.

При сведении задачи (1) — (7) к частично-целочисленной задаче л.п. (см. [3]) возникают дополнительные ограничения типа 0<б< 1 . В целях сокращения числа условий связи эти ограничения (а также аналогичные по форме ограничения сверху на переменные Nix) не включаются в состав матрицы коэффициентов, а учи­

тываются -как двусторонние ограничения с помощью специальной логики введения в базис и выведения из базиса, описанной в [8].

Наиболее важным шагом в мультипликативном алгоритме является возобновле­

ние базиса. Здесь выбирается такое представление обратной матрицы, которое со­

держит минимальное число ненулевых элементов (см. [⁷]), что позволяет умень­

шить объем вычислений и требуемую память, а также повысить устойчивость вы­

числительного процесса к ошибкам округления.

При реализации метода ветвей и границ используется стратегия одностороннего обхода дерева вариантов, при которой нет необходимости хранить информацию о всех вершинах дерева вариантов. Достаточно иметь информацию лишь о текущей вершине, а также помнить наилучшее из уже просмотренных целочисленных ре­

шений. При разработке алгоритма одностороннего обхода использованы идеи ра­

боты [9]. Применение стратегии одностороннего обхода дерева вариантов в сочетаний с мультипликативным алгоритмом для вычисления нижней границы имеет ряд особенностей и требует отдельного подробного изложения.

Следующие простые мероприятия позволяют улучшить начальную оценку ниж­

ней границы и уменьшить объем вычислений.

Если для выполнения некоторого вида работ обязательно использование s-ro модуля к-то типа, то определение начальной оценки осуществляется при 6Sk— 1.

Если известно,-что общее число видов всех серийно выпускаемых модулей равно

< ? 2 , то начальная оценка определяется при дополнительном ограничении

р т^к

I I

Ограничение такого типа дозволяет осуществить расслоение исходной общей задачи на ряд задач, требующих для решения значительно меньшего объема вы­

числений.

Совокупность указанных приемов позволяет максимально учесть специфику ре­

шаемой задачи и во много раз сократить требуемую память и время счета.

* ⁴ i ' ' • Поступила в редакцию 16.01.1978 Переработанный[вариант 6.05.1978 Цитированная литература

1. Ю. В. Чу ев, Г. П. Спехова. Технические задачи исследования операций. М., Воен- издат, 1970.

2. д. X. Гимади, В. Т. Дементьев. О методах решения некоторых задач оптимизации параметрических рядов. Стандарты и качество, 1971, № 12, 10—12.!

3. И. Б. Вапнярский. О численных методах решения задач математической теории стандартизации. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, 18, № 2, 484-487;

4. В. Л. Б ере сне е. О задаче выбора оптимальных рядов изделий и' комплектующих узлов. В сб, «Управляемые системы». Вып. 16. Новосибирск, Ин-т матем. СО АН СССР, 1977, 35-45.

5. Д. Хедли. Нелинейное и динамическое программирование. М., «Мир», 1967.

6. А . А . Корбут, Ю. Ю. Финкелъштейн. Дискретное программирование. М., «Наука», 1969.

7. У. X. Жалкое. Алгоритмы для решения задач линейного программирования на альфа-языке. В сб. «Программы и алгоритмы». Вып. 15. М., ЦЭМИ АН СССР, 1968.

8. Л. С. Лэсдон. Оптимизация больших систем. М., «Наука», 1975.

9. И. В. Романовский, М. Г. Сорокина. Односторонний обход дерева вариантов в ме­

тоде Лэнд и Дойг. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, 13, № 1, 221—227.

УДК 519.83 . ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ

В ИГРАХ С ФИКСИРОВАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ХОДОВ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

А. Д. ХАЛЕЗОВ (Москва)

На примере игры двух лиц с фиксированной последовательностью ходов развивается теоретико-игровой подход к анализу иерархических систем управления, сформулированный Ю. Б. Гермейером, Рассматри­

вается случай, когда первый игрок не знает точно множество выборов второго, а знает лишь множество, этих множеств с заданной на нем ве­

роятностной мерой. Построена оптимальная гарантирующая стратегия первого игрока для этого случая.

В различных экономических моделях процессы принятия решений удобно опи­

сывать при помощи введенного Гермейером класса игр с фиксированной последова-