Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. Д. Чарушников, Асимптотическая оптималь- ность кубатурных формул с регулярным в смыс- ле С. Л. Соболева пограничным слоем, Докл. АН СССР, 1968, том 179, номер 2, 297–299
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
4 ноября 2022 г., 21:16:44
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1968. Т о м 179, № 2
УДК 518.517^392 МАТЕМАТИКА В. Д. ЧАРУШНИКОВ
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОПТИМАЛЬНОСТЬ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ С РЕГУЛЯРНЫМ В СМЫСЛЕ С. Л. СОБОЛЕВА
ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
(Представлено академиком С. Л. Соболевым 15 V 1967)
1°. В заметке (*) было показано, что задача построения оптимальной по коэффициентам кубатурной формулы в пространствах # 2 ^ ( Q ) , вложенных в пространство С, является линейной проблемой. Но, поскольку при вычис
лении интегралов высокой кратности порядок линейной системы, из кото
рой находятся оптимальные коэффициенты, будет очень большим, непо
средственное их нахождение весьма затруднительно. В заметке (2) мы ввели в рассмотрение гораздо более простые формулы с регулярным в смыс
ле С. Л. Соболева пограничным слоем и в предположении, что весовые функции принадлежат весовому классу #п<т ), т. е. являются однородными функциями измерения m > п / 2 и удовлетворяют системе неравенств
\D«F[\i-2(l)] | ^ 7ф|2™-"-1а1, (1) показали, что для квадрата нормы функционала погрешности любой такой
формулы имеет место асимптотическое выражение
M r ^ r ^ S j ^ l Q I + o ^
1) . (2)
В данной заметке мы покажем, что
1г1 я Г ^ -| П |н Г < « ) = °( / г 2 т + 1 ) (3)
(здесь через I обозначен функционал произвольной кубатурной формулы с регулярным пограничным слоем, а через 1° — функционал оптимальной по коэффициентам формулы).
Из соотношений (2) и (3) будет следовать асимптотическая оптималь
ность введенных в заметке (2) формул. Все рассуждения мы проведем для весовой функции u,(£) = | £ |т. Предварительно нам придется выяснить свойства некоторых дискретных функций, связанных с бесконечной матри
цей
И Л Я ( . р - р ' ) ) | | Ых)=Р\г*(1)\). (4) 2°. Напомним, что дискретной функцией называется функция, заданная
в точках некоторой правильной решетки (нас будет интересовать решетка, определяемая матрицей /гЯ, где \Н\ = 1, a h — малый параметр). Такие функции, как известно, образуют кольцо. Для них можно корректно опре
делить понятие скалярного произведения и свертки. Мы будем также поль
зоваться преобразованием Фурье дискретных функций. Предварительно по заданной дискретной функции (мы ее будем обозначать через фля[Р]) по
строим решетчатую функцию
Ф Ш ( * ) = 2Ф № 1 Р ] 6 ( * - ^ Р ) (5) 0
4 Доклады АН, т. 179, № 2 297
и под преобразованием Фурье дискретной функции флн[Р] будем понимать преобразование Фурье соответствующей решетчатой функции щн (х), кото
рая, как известно (см. (3) ) , будет периодической функцией. Все обычные соотношения, известные в теории преобразований Фурье, будут при этом соблюдены. Теперь мы легко можем выполнить обращение бесконечной матрицы (4). Именно, обращающая ее матрица
| | Я ( Л Я ( Р - р,) ) Н ( 6 ) будет такова, что
(1, если кЩ = О,
v
M[P].X
№lP] = *
MlP] = {
0 f е с л и Щ 5 фо . <
7>
Отсюда находим, что
Х м ( 6 ) в =
ет
= А7 ^15-р*^
1г
(8)Т е о р е м а 1. Функция кнн(£) — неотрицательная периодическая с основной матрицей периодов / г- 1Я- 1 функция, аналитическая при всех
вещественных значениях % за исключением, быть может, точек I = p / r- 1/ /- 1, в которых она имеет нули (вообще говоря, критические) кратности [2пг].
Т е о р е м а 2. Дискретная функция кнн[$] представима в виде
W P ]
= А ^ Ы Й , (9)причем для Яя[Р] справедлива оценка
| Ы Р ] | ^ # / ( 1 4 Ч Р |
2)
ш + г г / 2- (10)
Т е о р е м а 3. Свертка
KhH(x) = khH{x) *v(x) ( И )
представима в виде
KhH(x) =KH(x/h), (12)
причем для Кн(х) справедлива оценка
\КН{Х)
| ^
К J(1
+ | ^ | 2 ) m+n / 2e (13)Введем теперь одно специальное пространство дискретных функций
/ & 2( X h H ). Мы определим его как совокупность функций ф/ш[р], для которых конечен интеграл
Фмг№ 1 =
УI
Ф « (S) Р Х м (14)(здесь Q обозначает фундаментальный тор). В этом пространстве можно естественным образом ввести скалярное произведение, превратив его в гильбертово.
Заметим еще, что норму в пространстве Ji2(XhH\ в силу равенства Парсе- валя, можно определить по формуле
1 Ф
№№11А
ш)= S IPJ (Кн m * Ф,я IPJ)- (15)
Таким дискретным способом нормировки мы будем преимущественно пользоваться. В дальнейшем нам придется сравнивать между собой две дискретные функции
<н№ = \н№*РпН№, (16)
298
где
п rfti Jc3 — С°Р' е сл и
A^PeQ,
,< 7vР№[Р] = | 0) е с л и й Я р ё Я (17) (здесь через обозначены коэффициенты формулы с регулярным погра
ничным слоем, а через ср° — оптимальные коэффициенты) и
илнШ = (l(x) *v{x)) \x=hHfr (18) где I (х) — функционал погрешности любой формулы с регулярным погра
ничным слоем.
Та о р ем а 4. Среди всех функций иш [ji] ЕЕ h(*hH) и совпадающих в тон-
*
ках области Q с функцией и/гн[р], эта последняя дает наименьшее зна
чение форме К н [р] | | / АШГ
2
3°. Наметим теперь доказательство основной оценки (3). Прежде всего заметим, что .
l ^ r t - c - K f ^ c - I ^ I P l t f t ^ . (»).
Используя теорему 4 и теорему Бабушки (см. (*)), построим мажорант
ную форму
1иш[Щаш)<\\^н№ГАнУ (20)
2 2
Опираясь на свойства функционала погрешности кубатурной формулы с регулярным пограничным слоем (см. (2) ) , а также на полученные выше оценки, можно показать
2
Основная оценка (3) теперь следует из соотношений (19), (20), (21).
Отметим, что при целых m эту оценку получил в своих классах С. Л. Собо
лев (см. (4) ) .
И н с т и т у т м а т е м а т и к и П о с т у п и л о С и б и р с к о г о о т д е л е н и я А к а д е м и и н а у к СССР 7 V 1967
Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
1 В. Д. Ч а р у ш н и к о в , Д А Н , 168, № 1 (1966). 2 В. Д. Ч а р у ш н и к о в , Д А Н , 170, № 5 (1966). 3 И. Н . Г е л ь ф а н д , Г. Е. Ш и л о в , О б о б щ е н н ы е ф у н к ц и и , в. 1 и 2, 1958. 4 С. Л. С о б о л е в, Д А Н , 164, № 2 (1965).
4* 299
