А. Н. Чупрунов, О пространствах числовых по- следовательностей, связанных с независимыми случайными элементами, Функц. анализ и его прил., 1994, том 28, выпуск 2, 87–90

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Н. Чупрунов, О пространствах числовых по- следовательностей, связанных с независимыми случайными элементами, Функц. анализ и его прил., 1994, том 28, выпуск 2, 87–90

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:10:30

(2)

о пространствах числовых последовательностей 87 1) А|т^ ограничена для любого к ^ 2;

2) величины | fj.Xd9x,y\ равномерно ограничены но х , у, лежащим в D.

Пусть B{Tk) — пространство вещественных ограниченных функций на Tj^, /с ^ 1. Пусть X — вещественный аддитивный характер полугруппы D, при

нимающий на слове v значение, равное длине этого слова в алфавите М.

Л Е М М А 4. Пусть w Е Т и е^ — псевдохарактер полугруппы D, опреде

ленный 6 [2]. Тогда функция

леэюит в пространстве BPX{D^ Е)

Т Е О Р Е М А 1. 1) Линейное пространство РХ{Т^Е) изоморфно прямой

сумме R4- L{T).

2) Всякий элемент f пространства РХ{Т^ Е) представляется в виде

где (3 ЕЖ, Хе L(T). ""^^

Т Е О Р Е М А 2. Пусть к ^ 1 и ф е B{Tk). Тогда функция Y.weTk^i^)^'^

леэюит в пространстве РХ{Т^ Е).

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Штерн А. И. Функц. анализ и его прил., 25, вып. 2, 70-73 (1991). 2. Фай- зиев В. А. Функц. анализ и его прил., 21, вып. 1, 86-87 (1987). 3. Файзиев В. А.

УМН, 43, вып. 5, 225-226 (1988). 4. Файзиев В. А. УМН, 47, вып. 2, 205-206 (1992).

5. Файзиев В. А. Матем. заметки, 52, №6, 126-137 (1992).

Математический институт Поступило в редакцию с ВЦ АН Таджикистана 27 января 1993г.

УДК 517.981

О п р о с т р а н с т в а х числовых последовательностей, связанных с независимыми случайными э л е м е н т а м и

Пусть У , У^, п G N, — независимые одинаково распределенные симме

тричные случайные элементы в банаховом пространстве В, О < р < сю, а C^{Y; В) (соответственно C{Y; В ) ) — пространство таких последовательно

стей (ai), о^г G М, что ряд Xliî îî сходится в топологии, определенной ква

зинормой \\Y\\p = (Е||У||^)-^/^ (соответственно почти всюду в В). Топологию

^ Р а б о т а выполнена при финансовой поддерж:ке Российского ф о н д а ф у н д а м е н т а л ь н ы х исследований ( г р а н т №93-011-16099).

(3)

пространства С^(У;Ш) определим квазипормой ||(ofz)||p = (E||5'((afi))||^)"^'^^, (ai) Е C^{Y; В), где S{{ai)) — сумма ряда Xliî îî- Топологию простран

ства C{Y; В) определим как прообраз топологии сходимости по вероятности при вложении (ai) -^ S{{ai))^ (ai) G C{Y;M). Пространства C ( F ; В), C^{Y ; В) полны [1]. При изучении пространств C^{Y ; В) мы будем всегда пред

полагать, что \\Y\\p < ос.

В работе найдены условия совпадения пространств C{Y ; В), C^{Y ; Ш) и их пересечений с пространствами Орлича и некоторыми обобщениями пространств Лоренца. В терминах этих пространств получено описание пространств устой

чивых и радемахеровских типов р.

Напомним известные определения типов банаховских пространств (см. о них в [2]). Пусть 0 < р ^ 2 , 7 f 5 ^ ^ N , — независимые стандартные р-устой

чивые случайные величины (т.е. случайные величины с характеристическими функциями jC{'jf){t) = ехр(—|t|^), t Е М), г^ — радемахеровские случайные величины (т.е. такие независимые случайные величины, что Р{гг = 1} = Р{гг = —1} = 1/2), и О < q < р. Банахово пространство В имеет радемахе- ровский тип р (соответственно устойчивый тип р), если найдется такое (7 > О, зависящее только от В, что Е | | ^^^-^ г^х^Ц^ ^ ^ S i L i 11^^11^ (соответственно (ЕII E l L i 1г^г\П'/' ^ CiZti \ЫП'^П ДЛЯ всех XI, . . . , X, G в , п G N.

Пусть ^, ^715 ^ ^ N, — независимые одинаково распределенные симметрич

ные случайные величины, такие, что {^,^п} и {У, Y^} — независимые семей

ства, g^{t) = E m i n ( ( t O ^ 1), t G М, и G^{t) = sup^^^ g^{tx)/g^{x), х G М+ . Обозначим через DAp класс случайных величин ^, обладающих следующим свойством: для некоторой последовательности ( а ^ ) , а^ > О, такой, что а^ ^ О, п ^ ос, последовательность (Sn) ^ Sn = ^п XlILi ^ ь сходится по распределе

нию к р-устойчивой стандартной случайной величине. Говорят, что случайный элемент У в В является р-предустойчивым, если распределение с характери

стическим функционалом ^p(Y)(x^) = е х р ( — Е | х ' ( У ) | ^ ) , х' G В ' , плотно в В.

Т Е О Р Е М А 1. Пусть О < р <2. Следующие условия эквивалентны:

(1) банахово пространство В имеет устойчивый тип р;

(2) для любой функции Орлича G, такой, что

— G ( a x 2 ^ ^ ^ ^ о с , (1) ж^о G(xj

равенство C{Y; В) = / ^ справедливо тогда и только тогда, когда для не

которых Ci, С2, хо > О

CiG{x-^) ^ Р { | | У | | > х} ^ C2G{x-^), X ^ Хо ;

(3) для каэюдой случайной величины ^ Е DAp и каэюдого р-предустойчи- вого случайного элемента Y, такого, что EG^{\\Y\\) < ос^ справедливо равенство C{^Y; В) = l^^ .

Пусть Н — некоторое свойство случайных элементов, Н{Ж) — множество случайных элементов в В, обладающих свойством Н ^ и ^Q — некоторый класс банаховых пространств. Введем классы

С{Н;до)= П C{Y;M), СЦН; до) = f] CP{Y;M).

Уея(в),ве5о Уея(в),ве5о

(4)

о пространствах числовых последовательностей 89 В качестве Н(Ш) мы будем рассматривать: L^(B) — множество таких У , что

\\Y\\p < ос, СЬТр{Ш) — множество таких Y, что последовательность элементов Sn{y) = ^"^'^^ SiLi-^^ сходится по распределению в В, Л(р(В) — множество таких У , что Л(р(У) = sup^^g ^^{11^11 > ^(^)} < ос, и ВЗ^{Ш) — множество таких У , что последовательность элементов Зп{У) = {^{п))~^ S l L i ^г ограни

чена в топологии сходимости по вероятности, где ср: М^ —> М^ — возрастающая функция. В качестве класса ^о мы будем рассматривать: ^ — класс всех ба

наховых пространств, ^sp — класс пространств устойчивого типа р и ^^р — класс пространств радемахеровского типа р.

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1. Пусть О < р <2.

(1) Пусть функция Орлича G удовлетворяет условию (1), ^{х) = l/G~^{l/x), X ^Ж^ , и пространство В имеет устойчивый тип р. Тогда

^\^(р 5 Ъзр) — C[BS(p ; -Ssp) — I •

(2) Пусть ip{x) = х^/^, X G М+ . Если выполнено хотя бы одно из ра

венств С{А(р; {В}) = Р, C{BS(p; {В}) = Р, то пространство В имеет устойчивый тип р.

Известно [3], что В имеет радемахеровский тип р тогда и только тогда, когда CP{Y; В) D Р при р < 2 и С7^(У; В) = Р при р = 2 для каждого симметричного случайного элемента Y Е L^(B). Пространство C^{L^; {Щ) совпадает с /^, О < р ^ 2 [4]. Поэтому справедлива

Т Е О Р Е М А 2. Банахово пространство В имеет радемахеровский тип р тогда и только тогда, когда C^{L'P ; {В}) = F.

С Л Е Д С Т В И Е 1. C7^(L^; :Srp) = l^ -

З А М Е Ч А Н И Е 1. Любое банахово пространство В имеет устойчивый тип р , р < 1, и радемахеровский тип р ^ р ^1 [2]. Поэтому в условиях предложения 1(1) мы имеем С{К^ ; ^S) = C{BS^ ; g') = / ^ при р < 1 и C7^(L^; g') = /^ при р ^ 1.

Далее функция (р: М+ -^ М+ удовлетворяет условиям:

((р1) функция if возрастающая и (р(0) = 0;

((р2) функция (р вогнутая;

((рЗ) (р(п) ^ Ст\^1^, п G N, для некоторого С > 0;

(^4) /i"^ x-^f[x) dx < ОС, где / ( х ) = sup^>o ^{щ)1^{у), х G М+ .

Заметим, что из условия (^2) следует, что функция д{п) — (р{п)—(р(п—1) > О, п G N, не возрастает. Обозначим через /^д линейное пространство, состоящее из таких последовательностей а = (а^) С М, что ||а||^ = YH^i^loi^) < ^^^

где (а*) —невозрастающая перестановка последовательности (|аг|). Простран

ство Ig^i с нормой ||а||^ является банаховым пространством. При д{п) = п~^/^, п G N, пространство /^д является пространством Лоренца /рд .

Т Е О Р Е М А 3. С7(Б5'^ ; g') = /^ д .

С Л Е Д С Т В И Е 1. Пусть 1 < q^2, р = q/{q - 1 ) . Гог^а C{CLTq, ^) = /рд .

(5)

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Чупрунов А. Н. Функциональные пространства, порожденные последова

тельностью независимых симметричных случайных величин. ВИНИТИ, №856-82.

2. Муштари Д. X. Вероятности и топологии в банаховых пространствах. Изд-во Казанского ун-та, Казань (1989). 3. Чупрунов А. Н. Изв. вузов. Математика, №9, 68-74 (1991). 4. Новиков С. Я. В кн.: Теория операторов в функциональных про

странствах. Изд-во Саратовского ун-та. Куйбышевский филиал, Куйбышев (1989), 180-191.

НИИММ Поступило в редакцию при Казанском университете 7 сентября 1992 г.

УДК 515.1

Обобщение т е о р е м ы Кейпера—Масси

Пусть к обозначает поле вещественных или комплексных чисел или тело ква

тернионов, а V есть п-мерное пространство над к. Рассмотрим несвязное объ

единение грассмановых многообразий Gi{V)UG2{V)U.. .UGn-i(V), вложенное общим образом в проективное пространство Р ^ достаточно большой размерно

сти А^. Джойн Gi{V) * G2{V) * . . . * Gn-i{V) можно рассматривать как объ

единение всех (п — 2)-мерных симплексов в Р ^ , вершинами которых являются точки {pi, . . . , p ^ _ i } этого пространства, где pi — образ некоторого элемента грассманиана Gi{V).

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е . Симплекс назовем когерентным^ если подпространства в У , соответствующие его вершинам, образуют полный флаг.

Обозначим через в (У) объединение всех когерентных симплексов в джойне G i ( y ) * G 2 ( V ) * . . . * G , _ i ( y ) .

В. А. Васильев [1] доказал, что пространство Q{V) гомеоморфно сфере 5*^, где М = dimM(A:) (^) + п - 2.

З А М Е Ч А Н И Е . Эта теорема является многомерным обобщением известной те

оремы Кейпера-Масси [2]:

Т Е О Р Е М А . Факторпространство CP^/conj гомеоморфно S^, где conj обо

значает комплексное сопрлэюение.

З А М Е Ч А Н И Е . Стандартная теорема Кейпера-Масси утверждает, что суще

ствует не только гомеоморфизм, но и PL-изоморфизм.

Пространство в (У) для любого к может быть вложено естественным обра

зом в проективное пространство большой размерности так, что образ будет вещественным полуалгебраическим множеством, и, следовательно, имеет есте

ственную PL-структуру.

В [1] поставлен вопрос, является ли в (У) и в многомерном случае также PL-сферой.