Е. М. Шахов, Нестационарная задача об испарении с поверхности цилиндра, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, том 43, номер 10, 1549–1561

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Е. М. Шахов, Нестационарная задача об испарении с поверхности цилиндра, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, том 43, номер 10, 1549–1561

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:36:11

УДК 519.634

Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н А Я З А Д А Ч А ОБ ИСПАРЕНИИ С ПОВЕРХНОСТИ Ц И Л И Н Д Р А

© 2 0 0 3 г, Ео Мо Шахов

(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) Поступила в редакцию 01.10.2002 г.

Для кинетического уравнения Больцмана с модельным оператором столкновений рассматри­

вается нестационарная осесимметричная задача об испарении с поверхности кругового цилин­

дра в окружающее пространство, заполненное паром испаряемого конденсированного вещест­

ва, при внезапном повышении температуры поверхности цилиндра до некоторой постоянной.

Задача решается методом конечных разностей. Основное внимание уделено режиму сильного испарения при малых числах Кнудсена. Прослеживаются три фазы возникающего движения:

начальный слой, переходный режим и режим газодинамического движения при наличии тонко­

го пристеночного кнудсеновского слоя. Получено, что значения макропараметров на цилинд­

рической поверхности и скорость испарения устанавливаются довольно быстро. В целом же ре­

шение даже при очень больших временах остается нестационарным. Библ. 8. Фиг. 7.

В В Е Д Е Н И Е

П р о б л е м ы поверхностного испарения-конденсации составляют целую область кинетической теории газов. В большинстве работ, относящихся к этой области, рассматриваются стационар­

ные задачи. Между тем во многих случаях процесс испарения носит существенно нестационар­

ный характер. Влияние нестационарности довольно полно изучено в одномерном случае, когда испарение происходит с плоской поверхности, причем с постоянной интенсивностью (см., напри­

мер, [1]). Нестационарное и стационарное испарение с поверхности сферы для малых чисел Кнудсена изучалось в работах [2] и [3] соответственно. Отмечено, что решение довольно быстро устанавливается, причем вся область изменения параметров потока простирается лишь на не­

сколько радиусов или несколько десятков радиусов сферического источника. Исключение со­

ставляет случай испарения, осложненный теплопередачей на бесконечности, отмеченный в [3], в котором выход на равновесие происходит медленно.

Осесимметричный случай нестационарного испарения с поверхности цилиндра в затопленное пространство, по-видимому, до сих пор не рассматривался. Этот случай представляет самостоя­

тельный интерес как с точки зрения приложений, так и в смысле развития расчетных методов.

Во многом плоское радиальное течение похоже на пространственное радиальное течение от ис­

паряющей сферы. Однако осесимметричные решения могут качественно отличаться от прост­

ранственных из-за медленного затухания возмущений на бесконечности. В частности, в [4], по­

священной численному р е ш е н и ю кинетического уравнения для задачи о стационарном испаре­

нии с поверхности цилиндра в вакуум, показано, что область решения распространяется на чрезвычайно далекие расстояния от испаряющей поверхности.

Ц е л ь данной работы - прояснить особенности осесимметричного нестационарного решения при постоянных граничных условиях. Основное внимание уделено сильному испарению при ма­

лых числах Кнудсена и построению решения при больших временах.

Прослеживаются три ф а з ы возникающего движения, соответствующие значениям безраз­

мерного времени: t < I, t = 0(1) т t > 1. При малых временах имеет место чисто кинетический режим течения (начальный слой). Во второй фазе происходит формирование пристеночного кнудсеновского слоя и отделение его от внешнего газодинамического решения. К этому времени относится установление параметров течения у испаряющей поверхности и массовой скорости испарения. Течение в этой ф а з е определялось также решением кинетического уравнения. П р и больших временах область решения уже определенно разбивается на кинетический пристеноч­

ный (кнудсеновский) слой и область газодинамического решения. При расчете третьей ф а з ы движения в кнудсеновском слое решается кинетическое уравнение, а во внешней области - урав-

^Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 01-01-00078).

1549

нения Эйлера. Для решения кинетического уравнения использовался метод расщепления по вре­

мени и неявные схемы конечных разностей для решения расщепленных уравнений.

Д а ж е при очень больших временах решение в целом оказывается нестационарным. Разлет продуктов испарения вблизи испаряющей поверхности происходит почти в стационарном р е ж и ­ ме, по закону истечения в вакуум от стационарного цилиндрического источника. Однако движе­

ние пара вдали от этой поверхности и тем более окружающего газа, вытесняемого продуктами испарения, остается нестационарным.

В [5] численным методом построено стационарное решение задачи об испарении с поверхно­

сти цилиндра в о к р у ж а ю щ е е пространство, заполненное паром испаряемой конденсированной ф а з ы , и дан детальный анализ полученного решения в широком диапазоне параметров задачи.

О т м е ч е н о , что условия на бесконечности не являются свободными параметрами задачи. К а к и в одномерном случае испарения с плоскости, стационарное решение возможно только при опре­

деленной зависимости отношения давления насыщенного пара (соответствующего заданной температуре поверхности цилиндра) к давлению на бесконечности от отношения т е м п е р а т у р ы поверхности к температуре пара на бесконечности.

В данной работе условия на бесконечности являются свободными, определяемыми начальны­

ми условиями задачи, заданными постоянными. При этих условиях ф р о н т волны, распространя­

ющейся по невозмущенному газу, отделяет (в газодинамическом приближении) зону течения от области покоя, которая является окрестностью бесконечности. Таким образом, условия на бес­

конечности в данной работе отличаются от условий на бесконечности р а б о т ы [5]. В терминах данной р а б о т ы , понятие "бесконечность" и соответствующая асимптотика являются промежу­

т о ч н ы м и . Возможности достижения стационарного решения обсуждаются в разд. 4.

К а к у ж е было отмечено, для сильного испарения при малых числах Кнудсена скорость испа­

рения устанавливается быстро и соответствует скорости испарения в первоначальный вакуум.

Р е ж и м перехода к состоянию покоя не влияет на эту величину.

1. Ф О Р М У Л И Р О В К А З А Д А Ч И

Рассмотрим осесимметричную нестационарную задачу о течении одноатомного разреженно­

го газа, возникающем при испарении на поверхности кругового цилиндра радиуса а в о к р у ж а ю ­ щее пространство, заполненное паром (газом) испаряемого конденсированного вещества. Для времени t < 0 окружающий газ находится в состоянии покоя и в термодинамическом равновесии с цилиндрической повехностью тела. Плотность, температуру и давление о к р у ж а ю щ е г о газа обозначим через п^, 7U, р^. В момент t = 0 температура поверхности цилиндра скачком приобре­

тает значение T^w > 7^, к о т о р о е остается постоянным для всех t > 0. Температуре T^w отвечают дав­

ление и плотность насыщенного пара p^w(T^w), n^w(T^w), превышающие соответствующие н а ч а л ь н ы е равновесные значения р^, п^, что и является причиной испарения с поверхности цилиндра.

Процесс испарения является молекулярным и существенно неравновесным и потому требует кинетического описания на уровне функции распределения молекул по скоростям по крайней мере в некоторой окрестности испаряющей поверхности. П а р будем считать одноатомным га­

зом.

Введем цилиндрическую систему координат (х, г, ср), где ось Ох совпадает с осью цилиндра, г - расстояние от этой оси, ф - азимутальная координата. Рассматриваемое осесимметричное состо­

яние разреженного газа не зависит от х и в любой точке (х, г) меридиональной плоскости в к а ж ­ дый момент времени t определяется функцией распределения Дг, г, £^г, ^^ф) молекул по скоро­

стям, где ^ , ортогональные компоненты вектора молекулярной скорости в осевом, ради­

альном и азимутальном направлении соответственно. В пространстве скоростей т а к ж е введем цилиндрическую систему координат с осью, параллельной оси Ох. Пусть ^ обозначает составля­

ю щ у ю скорости, л е ж а щ у ю в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, а со - угол между этой составляющей и радиальным направлением от оси симметрии. Связь между ортогональны­

ми составляющими скорости ^^ф и ее полярными координатами дается формулами

^^r = ^cosco, £^ф = ^sinco.

Для упрощения задачи будем считать, что функция распределения удовлетворяет уравнению Б о л ь ц м а н а с модельным оператором столкновений в форме Крука, к о т о р о е в принятой цилин-

дрической системе координат записывается в виде

4- + C c o s c o ^ - ^ - = v ( / - / ) ,

Л) Я . 2^Л 2 ^ + ( ^ - ^ )^{2 +} ^ ф ^{п 1Л}

(K2RT) 2 R T

v = рцГ¹, JLX = ^-mnJnlRTX, p - mnRT.

16

З д е с ь /⁰ - локально-максвелловская функция распределения, и-и^г- составляющая скорости потока в направлении возрастания г, т - масса молекулы, R - газовая постоянная, X - средняя длина свободного пробега молекул, ц - вязкость газа, р , Г - давление и температура.

К а к обычно, принимаем, что испарение с поверхности происходит с равновесной функцией р а с п р е д е л е н и я ^ при температуре T^w и с плотностью n^w(T^w). К р о м е того, положим для простоты, что отражения молекул от поверхности не происходит, а все падающие на поверхность молеку­

л ы поглощаются ею (конденсируются). И н ы м и словами, к о э ф ф и ц и е н т испарения принимаем равным единице. Таким образом, в качестве граничного условия на поверхности испаряющего цилиндра полагаем

В начальный момент газ находится в покое:

/ = =

^

* р ( 4 ^ '

'

' <

>

(IKRTS V 2RT⁰⁰)

Необходимые макропараметры определяются как соответствующие моменты функции рас­

пределения. Плотность газа, поток вещества, составляющие тензора потока импульса и поток энергии выражаются следующим образом:

п = J M , пи = J ^ M , М^хх = Р^хх = m j ^ M ,

M^rr = P^rr + pu² = mj^lfd^, M^w = = m j ^ / f i ^ , p = mn, 2E^r = т^^г(С + ^Ж

^ = db&A, = ^ W ( 0 , p = (P^xx + P^rr + P^w)/3 = pRT.

Сформулированная выше задача допускает упрощение путем предварительного аналитичес­

кого интегрирования по переменной £,^х. Взамен полной функции распределения fit, г, ^ , ^^ф) введем две редуцированные функции распределения по формулам

-f оо -f-oo

F(t, г, С, (0) = \ fd%^x, G(t, г, С, со) = J gf<%^x.

Аналогично введем функции

t ) ^{} d} ^ 2nRT^QXP{ 2RT Г

G°= \l^2xfd\^x = RTG\

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 10 2003

Уравнения для F, G получаются из уравнения (1.1) путем умножения его на единицу и на ^ и последующего интегрирования по ^^х в пределах от -оо до +оо. Полученные таким образом урав­

нения по виду совпадают с (1.1), но вместо ф у н к ц и и / с т о и т F или G, а в м е с т о /⁰ стоит F⁰ или G⁰. Все необходимые макропараметры выражаются через функции F , G в виде следующих инте­

гралов по ^ от интегралов по со:

п = J F ⁰ ^ , nu^r = j ^ F ^ , М^хх = m J G⁰^ ,

о о о

оо оо

M^{r r} =

m|C

F

fC,

m[S

(F

-F

K,

о о

2 £^г = т | С²( С^{1 +} С²^ ) ^ -

О

Функции F^k = F^k(t, г, Q, G^z = G/(f, г, Q суть следующие интегралы по со:

л л

F* = 2 J F c o s^/W c o , G ^T = 2 J G c o s W c o , Л, I = 0, 1, 2 . (1.4)

о о

Множитель 2 перед интегралами появился в силу симметрии подынтегральных функций от­

носительно со = 0.

Граничные и начальные условия переписываются в терминах функций F , G очевидным обра­

зом.

При переходе к безразмерным переменным в качестве масштабов длины, времени, скорости, плотности, температуры, вязкости и функции распределения были использованы величины

я , , ^а , « о о , Т», ju^, п^{0 0}(2/ г Г^{0 0}) "^{3 / 2}.

В дальнейшем, если не оговорено особо, используются безразмерные переменные, к о т о р ы е обозначаются теми же буквами, ч т о и размерные. Кинетическое уравнение в безразмерных пе­

ременных сохраняет свою форму (1.1), где п о д / п о д р а з у м е в а е м пару функций F , G, а безразмер­

ная частота столкновений представляется в виде, содержащем число Кнудсена Кп - параметр разреженности газа:

8 1 пТ „ К

v = — = - , Кп = — .

5jn^Kn V ^а

Всюду ниже для простоты принимаем ц = Г, что соответствует газу из псевдомаксвелловских молекул.

2. Ч И С Л Е Н Н Ы Й А Л Г О Р И Т М I

В работе применяются два подхода к решению задачи. В первом подходе решается только ки­

нетическое уравнение. При этом применяется процедура расщепления по времени и неявные разностные схемы для решения расщепленных уравнений с переменным шагом по г и постоян­

ным шагом по времени. Таким путем удается построить решение даже при очень малых числах Кнудсена, но сравнительно небольших t (реально t < 6), поскольку с ростом t время счета ката­

строфически нарастает. Второй подход, приспособленный для решения задачи при малых чис­

лах Кнудсена и для больших значений времени г, является комбинированным. В этом алгоритме кинетическое уравнение решается т о л ь к о в области, п р и м ы к а ю щ е й к испаряющей поверхности и содержащей кнудсеновский слой. Вне этой области решается газодинамическая система урав­

нений Эйлера, соответствующая этой задаче при Кп — * 0. Б о л е е того, решение в слое Кнудсена проводится только до некоторого момента времени t^c = 0 ( 1 ) , для больших t это решение можно считать установившимся и р е ш а т ь т о л ь к о уравнения Эйлера. Разумеется, при этом некоторые

8 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 10 2003

детали решения (структура возникающей ударной волны и т.п.) загрубляются, но они в рассма­

триваемом случае не представляют основного интереса. В кинетической области для получения решения применяется первый подход.

Обратимся сначала к первому подходу, а затем отметим те изменения, которые необходимо внести при переходе ко второму алгоритму.

П о л у бесконечный интервал по г заменим конечным 1 < г < с верхней границей г*,, за пре­

делами которой газ покоится. В этом случае на внешней границе расчетной области г = г^{о т} для

\^г < 0 задается граничное условие, соответствующее невозмущенному начальному условию (1.2).

К р и т е р и е м достаточной удаленности является получение в расчете той ж е начальной функ­

ции распределения и для \^г > 0.

Введем разбиение по времени с постоянным шагом т.

Известно (см., например, [6]), что изменения по г вблизи испаряющей поверхности происхо­

дят р е з к о . Поэтому в разбиении по г введем переменный шаг:

г^п = пт, rj = l + [ ( ; - l ) / i⁰]², j = 1,2 J , щ = к + (k - 1)Асо, Асо = -п/К^п, k = 1, 2 , . . . , К^п + 1.

В проведенных расчетах, р е з у л ь т а т ы которых даны в следующем разделе, обычно принима­

лось h⁰ = 0.01.

Кинетическое уравнение (1.1) для функции распределения решалось методом расщепления по времени: первый этап соответствовал свободному разлету молекул, а второй - пространст­

венно-однородной релаксации. Для реализации первого и второго этапов применялись неявные схемы конечных разностей первого порядка точности. В ы б о р неявной схемы для первого этапа обусловлен наличием очень мелких шагов по г и невозможностью в связи с этим удовлетворить условию устойчивости Куранта, особенно при малых значениях Выбор неявной схемы для второго этапа связан, к а к о б ы ч н о , с предельным переходом при Кп — 0 . Разностное уравнение для первого этапа имеет вид

- T - ^ j - r ^ - ^ - °- ^{( 2 Л)}

Здесь p = signcos%. Звездочкой обозначено промежуточное значение функции распределе­

ния, определяекое в результате первого этапа. Заметим, что дробные множители при разностях, заключенных в скобки, неотрицательны.

Неявная схема (2.1) должна б ы т ь дополнена начальными и граничными условиями. Началь­

ные условия непосредственно следуют из (1.3). Граничные условия на внешней границе расчет­

ной области совпадают с начальными для £^г < 0:

/л¹ = fjk = f*k = fl t < 0 . (2.2) Разностное уравнение (2.1) представляется в виде, разрешенном относительно искомого зна­

чения f%:

* 1 ^п А ^'к В ^к

fjlc = 7 Г" / д + 7 Т - / / - р Д + 7 7- / / Д - 1 > (2.3)

^jk ^jk ^jk

где

Ст cos ось ^л Cxsinco^ _

Равенство (2.3) рассматривается в качестве системы уравнений для нахождения искомой ве­

личины функции распределения при фиксированном значении определяемом выбором квад­

ратурной формулы.

К а к и в стационарном случае (см. [6]), решение системы (2.5) начинается с к = 1, что соответ­

ствует со = гс, cos со = - 1 , Ъ,^г < 0, sin со = 0, р = - 1 . П р и этом В = 0 и из равенства (2.2) последовательно определяются все значения / *² по убывающим значениям индекса j через заданное граничное значение f% = ft.

Далее переходим к значению к-2. Поскольку при А: — 1 = 1 решение уже определено, т о т р е ­ тье слагаемое в (2.2) известно и потому, как и в предыдущем случае, решение / *² м о ж н о опре­

делить для всех у, убывающих от большего к меньшему. Таким о б р а з о м решение определяется для области ( 1 < г < г^{с о}, л; < со < я/2). Переход в область (1 < г < г*,, тс/2 < со< к) сопровождается изменением порядка обработки узлов по г. Теперь значения функции f*^k для заданного к опре­

деляются по возрастающим значениям индекса j, т.е. от испаряющего цилиндра г = 1 до внешней границы г = г^, поскольку Р = 1, £^г > 0. Предельное положение со = 0 м о ж е т б ы т ь рассчитано не­

зависимо от предыдущих.

Рассчитанная т а к и м образом ф у н к ц и я / * ( £ , г, со) (точнее - пара функций F*(£, г, со), G*(£, г, со)) используется для вклада соответствующих слагаемых в интегральные суммы при вычислении макропараметров по формулам (1.4), (1.3). Далее производится переход к следующему значению составляющей молекулярной скорости С, и вычисления повторяются до полного определения ма­

кропараметров я*, и? , Г*, необходимых для расчета второго этапа в схеме расщепления по вре­

мени.

Второй этап применяемого алгоритма расщепления соответствует процессу релаксации газа на временном интервале т и рассчитывается по следующей неявной схеме:

£ ^ S = vⁿ;\f%^n+x-r;^kl). (2.4)

Выписанная схема обеспечивает правильный предельный переход f^njk1 —/°/^{к п + 1} при Кп — • 0.

В силу того что макропараметры п, и^п Г, входящие в локально-максвеллову ф у н к ц и ю /⁰ и в частоту столкновений v, на этапе релаксации не изменяются, значения этих величин могут б ы т ь взяты с промежуточного временного слоя, отмечаемого звездочкой. Тогда уравнение (2.4) м о ж ­ но р а з р е ш и т ь относительно искомой величины

П о э т о й функции рассчитываются все необходимые макропараметры и производится пере­

ход к следующему временному слою.

Все интегралы вычислялись по квадратурной формуле Симпсона.

Описанный метод дает возможность эффективного решения задачи при малых t и при t = G(l).

3. Ч И С Л Е Н Н Ы Й А Л Г О Р И Т М П

Для решения задачи при малых числах Кнудсена и при больших временах применялся комби­

нированный метод, включающий в себя решение кинетического уравнения для приповерхност­

ного кнудсеновского слоя и внешнее газодинамическое решение, основанное на уравнениях Эй­

лера. Т а к а я схема приемлема при числах Кп <^ 1. Вопрос состоит в практической реализации этой концепции.

Для расчета кинетической области применялся метод, изложенный в предыдущем разделе, но с измененными граничными условиями на внешней границе.

К а к и ранее, полубесконечный интервал по г заменяется конечным 1 < г < г^, но э т о т интер­

вал, в свою очередь, разбивается на два: 1 < г < и г^ш < г < г^. П е р в ы й из этих интервалов со­

ответствует кинетической области, второй - газодинамической или п о к о ю . Для кинетической области по-прежнему выбирается переменный шаг, в то время как для газодинамической обла­

сти шаг h принимается постоянным. Приведенные в следующем разделе результаты были полу­

ч е н ы при h = 0.01.

Поскольку решение кинетического уравнения теперь сопрягается не с покоем, а с газодина­

мическим решением, на границе кинетической области г = г^^п функция распределения принима­

ется не начальной, а локально-максвелловской с параметрами, получаемыми из расчета. Этот ф а к т не в ы з ы в а е т вопросов для явной схемы, для неявной же схемы (2.3) требует некоторого по-

яснения. Действительно, в соответствии со сказанным вместо граничного условия (2.2) ставим условие

f% = fjl t < 0 . (2.5) Таким образом, хотя схема (2.3) неявная, граничное условие берется с предыдущего времен­

ного слоя. При этом допускается ошибка порядка т. Ошибка э т а не нарастает со временем. Б о ­ лее того, как показывают расчеты, при больших временах решение в кнудсеновском слое стаби­

лизируется и перестает зависеть от времени.

Во внешней области г > г^Ып решение задачи получалось в результате интегрирования системы уравнений Эйлера, которая записывалась в виде

ЭА дАи _ дБ

Э , + Э г = ~ ^э ' <3.»

т т 3 1 2

А = (гп, гпи, гЕ)^т', В (0,гр,гри)^т, С = (0, р, 0 )^т, Е = -р + -пи .

Решение системы (3.1) строилось по явной разностной схеме из [7], причем в простейшем ва­

рианте, без коррекции потоков, что соответствует аппроксимации первого порядка. Для опреде­

ления неизвестной величины А^{п + {} на (п + 1)-м временном слое по известным значениям на п-м слое на пространственной сетке по г с постоянным шагом h использовались следующие форму­

л ы из [7]:

о» «

пел °-

*

;

J h l±(e^nj±l-zⁿj)

•е

о')

Условие устойчивости схемы т а х | £ " | < 1/2. Выбранная схема (3.2) соответствует первому ша­

гу алгоритма SHASTA (см. [7]). Эта схема обладает значительной диффузией, что прежде всего сказывается на поведении решения вблизи газодинамических р а з р ы в о в . Однако для наших це­

лей детали поведения решения вблизи разрывов несущественны. Н а гладкой части решения при достаточно мелком шаге по г диффузия незначительна. Кроме того, она оказывает стабилизи­

рующее действие на решение и предохраняет от развития паразитных колебаний.

Выписанная схема применялась для расчета течения газа при м а л ы х числах Кнудсена (обыч­

но Кп = 0.001), когда тонкий кнудсеновский слой отделяется от внешнего течения при t - 0(1).

Проверено, что в этих условиях сквозной счет по кинетическому уравнению и расчет по комби­

нированному методу с разбиением области на кнудсеновский слой и в н е ш н ю ю газодинамичес­

кую область, рассчитываемую по схеме (3.2), приводит к близким результатам при счетных па­

раметрах h - 0.01, т = 0.001. Обычно схема (3.2) использовалась для времени t > 1. В этом случае начиная с некоторого момента времени t* расчет течения в кинетической области прекращался, а рассчитывалась только газодинамическая область течения, ч т о приводило к большой эконо­

мии счетного времени.

Подчеркнем, что, несмотря на большую протяженность газодинамической области, шаг по координате г оставлялся мелким во избежание заметных ошибок.

4. А Н А Л И З Р Е З У Л Ь Т А Т О В

Решение задачи зависит от параметра разреженности Кп, от температуры поверхности ци­

линдра T^w и от функциональной зависимости n^w(T^w), определяемой характерными свойствами ве­

щества. Поскольку конкретные газы не рассматриваются, n^w м о ж н о считать независимым пара­

метром задачи. Все приводимые ниже результаты относятся к случаю T^w = 4, n^w = 10, который является достаточно представительным для характеристики сильного испарения. П р и упомяну­

тых фиксированных параметрах изучалось влияние числа Кнудсена и главным образом разви­

тие и формирование течения при больших временах, а также возможности выхода течения на

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 10 2003 8*

стационарный режим. Если не оговорено особо, большинство результатов относится к варианту Кп = 10"³. В расчетах на большие времена для границы кинетической области обычно принима­

лось г^ш = 1.25. При этом в пределах кнудсеновского слоя располагалось 50 расчетных точек.

Число точек по углу со = 201. К а к уже отмечалось выше, h⁰ = 0.01, h = 0.01, т = 0.001.

Фундаментальной искомой величиной является скорость испарения M^{e v}, представляющая со­

бой поток массы испаренного вещества с единицы поверхности цилиндра. Величина скорости испарения определяется к а к результат взаимодействия двух конкурирующих процессов: прямо­

го и обратного. Прямой процесс есть собственно испарение с поверхности, а обратный процесс - конденсация молекул о к р у ж а ю щ е г о газа из области, п р и м ы к а ю щ е й к испаряющей поверхности.

Таким образом, скорость испарения представима в виде M^{e v} = M l , - M l ,

М ; = — M l ^v = f r = a .

J2KRT, ^J

*.r<0

Здесь М*^у, Ml^v - скорости прямого и обратного процессов испарения. При этом скорость пря­

мого испарения M*^v представляет собой скорость испарения в вакуум и определяется (в размер­

ных переменных) простой формулой (см., например, [8]).

Полная скорость испарения равна скорости испарения в вакуум только при M~^v = 0. Однако такое возможно только в предельном случае сильно разреженного газа. О б ы ч н о M~^cv > 0 даже в случае испарения в первоначальный вакуум, т.е. при = 0, поскольку продукты испарения не отводятся с достаточной скоростью и плотность газа у поверхности имеет порядок n^w.

Величина скорости испарения зависит от степени разреженности газа (числа Кнудсена), а также от параметров T^w, n^w. В предельном свободномолекулярном режиме (Кп = °°) скорость ис­

парения определяется выражением (в безразмерных переменных) М~ = - ^ ( ^ 7 7 ^ - 1 ) .

В дальнейшем скорость испарения отнесена к своему предельному значению M"^v и обознача­

ется той ж е буквой.

Kn= 1

Фиг. 1.

режим для различных чисел Кнудсена. Видно, что для всех чисел Кнудсена скорость испарения монотонно убывает со временем и практически устанавливается ко времени t = 0.3. Величина M^{e v} монотонно убывает и по числам Кнудсена. Предельные значения при t —<*> для чисел Кп = 1, 10"¹,10~² соответственно равны 0.99,0.935,0.875. Проследим изменение предельной скорости ис­

парения по числам Кнудсена. Видно, что в дипазоне 1 < Кп < °о эта величина изменяется весьма слабо, т а к что значение M^{e v} при Кп = 1 отличается от свободномолекулярного всего на 1%. Ос­

новное изменение рассматриваемой величины происходит в диапазоне 10~² < Кп < 1 (практичес­

ки линейно с изменением InKn). Однако и при 10³ < Кп < Ю^{- 2} изменения весьма значительны.

И только при Кп < Ю^{- 3} происходит асимптотический выход на предельное значение.

Помимо скорости испарения несомненный интерес представляет картина развития течения и влияние степени разреженности газа.

Прежде чем приступать к анализу полученных численных результатов, полезно мысленно представить себе ожидаемую картину течения на основе общих газодинамических представле­

ний. Инжектируемый в результате испарения газ расширяется в газе, окружающем испаряющий цилиндр. Механизм расширения двоякий: 1) путем проникания в окружающее пространство ф о ­ нового газа за счет молекулярного движения (свойство разреженного газа); 2) путем выталкива­

ния окружающего газа (свойство сплошной среды). П е р в ы й механизм превалирует при больших степенях разреженности, а второй - при малых. Число Кнудсена является управляющим параме­

тром, характеризующим долю участия каждого из механизмов.

Фиг. 2 дает представление о влиянии числа Кнудсена на картину развитого по времени тече­

ния. На ней приведены распределения плотности газа для времени t = 5 по результатам числен­

ного решения кинетического уравнения для различных чисел Кнудсена. В пристеночном слое происходит резкое изменение всех параметров потока, начиная со значений на поверхности.

Кривая Кп = оо отвечает свободному расширению выделившегося газа в среде о к р у ж а ю щ е г о га­

за без взаимодействия с ним путем межмолекулярных столкновений. Включение механизма столкновений препятствует свободному расширению выделившегося газа, поэтому все кривые для конечных чисел Кнудсена в окрестности испаряющего цилиндра прижимаются к нему, при­

чем тем больше, чем меньше число Кнудсена, т.е. чем больше роль столкновений. Одновремен­

но несколько поодаль от испаряющей поверхности расширяющийся газ тормозится, плотность возрастает. Степень торможения зависит от интенсивности межмолекулярных столкновений,

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 10 2003

т.е. от того, насколько мало число Кнудсена. У ж е при Кп = 1 видна немонотонность в распреде­

лении плотности, а при Кп = Ю^{- 1} кривая плотности приобретает основные качественные ч е р т ы газодинамического распределения с р а з м ы т ы м и ударными волнами. Виден характерный мини­

мум, отделяющий приповерхностную зону расширения от зоны сжатия истекающего газа. Кри­

вые на фиг. 2, отвечающие числам Кнудсена 10~² и Ю^{- 5}, в диапазоне 1.3 < г < 3 почти неотличимы.

Для Кп < 10~² расширение испаренного вещества идет практически по предельному закону, а именно по закону газодинамического сверхзвукового истечения в вакуум от цилиндрического источника. Сжатие же соответствует сжатию в ударной волне, имеющей структуру, соответст­

вующую переходу от сверхзвуковой ветви газодинамического источника к дозвуковой его ветви.

С другой стороны, испаренный газ воздействует на о к р у ж а ю щ и й его газ и сжимает его. В ок­

ружающем газе образуется волна сжатия, переходящая в ударную волну при Кп — • 0, которая распространяется по неподвижному невозмущенному о к р у ж а ю щ е м у газу и вовлекает его в дви­

жение. Фиг. 2 регистрирует распределение плотности в момент времени t = 5 этого процесса для г > 1.3. Пристеночная область, в к о т о р о й происходит резкое падение плотности, опущена. Видно, что уже при Кп = Ю^{- 1} возникающая линия распределения плотности характерна для малых чисел Кнудсена. С уменьшением параметра Кп картина распределения становится более отчетливой.

При малых числах Кнудсена выделившийся газ приближенно отделен от о к р у ж а ю щ е г о газа зоной молекулярного перемешивания. Характерная ширина этой зоны имеет порядок числа Кп.

На фиг. 2 эта зона характеризуется наличием немонотонностей в распределениях плотности на кривых, соответствующих Кп = 10"² и 10"⁵. При Кп — 0 зона перемешивания переходит в кон­

тактный разрыв. В газодинамическом пределе этот р а з р ы в м о ж н о рассматривать как поршень, не имеющий массы, а движение в о к р у ж а ю щ е м газе - как движение, возбуждаемое движением поршня. Однако закон движения поршня должен определяться совместным решением задачи как во внутренней области (между испаряющим цилиндром и поршнем), т а к и во внешней обла­

сти. При этом если во внешней области можно пользоваться т о л ь к о уравнениями газовой дина­

мики, то во внутренней области одними уравнениями газовой динамики не обойтись. В силу гра­

ничных условий испарения, формулируемых на уровне функции распределения, всегда сущест­

вует приповерхностный слой, в к о т о р о м необходимо решается кинетическое уравнение.

Дальнейшие результаты относятся к числу Кп = Ю^{- 3}. Фиг. 3-5 иллюстрируют картину разви­

тия течения (поля плотности) по времени. Фиг. 3 представляет начальную стадию развития про­

цесса. У ж е при t = 0.2 видна сформировавшаяся бегущая волна, зона расширения и волна сжатия.

Далее радиус зоны расширения выделившегося газа увеличивается, точки минимума и максиму­

ма в распределении плотности опускаются и сдвигаются вправо. Н а этих графиках уже отчетли- п

7 6 5 4 3 2 1 0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 г

Фиг. 3.

I I I I I I I

О 2 4 6 8 10 12 14 г

Фиг. 4.

п 6 -

4 -

1 I I I I I

0 5 10 15 20 25 г

Фиг. 5.

во видно, что падение плотности вблизи испаряющей поверхности происходит по единой универ­

сальной кривой. П о испаренному газу распространяется ударная волна. Испаренный газ отделен от фонового размытой поверхностью контактного разрыва, о котором говорит наличие точки минимума в распределении плотности между ударными волнами.

Расчет начальной стадии процесса производился по кинетическому уравнению, без выделе­

ния кнудсеновского слоя. Распространение этого подхода на большие времена приводит к кар­

тине течения, изображенной на фиг. 4, где представлены распределения плотности для г > 1.3 в моменты времени t = 2, 4, 6 (здесь и ниже участки кривых, соответствующие невозмущенному газу, оборваны). Качественно картина распределения плотности почти не отличается от изобра­

женной на фиг. 3, за исключением естественного падения амплитуды возмущения со временем.

Однако дальнейший счет для t > 6 обнаруживает нарастание этой амплитуды, что говорит о не­

приемлемости результатов расчета по кинетическому уравнению при принятых счетных пара­

метрах задачи и о целесообразности перехода к алгоритму II.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 43 № 10 2003

I 1 ^{i i i} 0 50 100 150 200

r

Фиг. 6. Фиг. 7.

Фиг. 5 иллюстрирует развитую стадию процесса по результатам расчета с выделением кнуд­

сеновского слоя при г^{й п} = 1.25. Видна, во-первых, единая асимптотическая кривая, на к о т о р у ю ложатся все левые ветви линий распределения плотности, соответствующие стадии расширения испарившегося газа. Видно т а к ж е , что стадия расширения заканчивается ударной волной. Эта ударная волна со временем удаляется от испаряющего цилиндра, но распространяется она по в ы ­ делившемуся газу. С другой стороны, по невозмущенному фоновому газу т а к ж е распространя­

ется ударная волна. Ф р о н т ы ударных волн резкие. Между ударными волнами видны немонотон­

ности в линиях плотности, соответствующие положению поверхности контактного разрыва, от­

деляющей выделившийся газ от фонового.

Фиг. 6 иллюстрирует поведение решения на больших временах. Качественно картина распре­

деления плотности близка к рассмотренным ранее. Н о теперь контактный разрыв виден весьма отчетливо. Напомним, что температура T^w = 4, т.е. существенно отличается от температуры ади­

абатического торможения газа, поэтому по разные стороны от контактного р а з р ы в а темпера­

тура и плотность различаются весьма значительно. Со временем (и, соответственно, с удалением от испаряющего цилиндра) интенсивность передней ударной волны ослабевает, волна вырожда­

ется в акустическую, распространяющуюся со скоростью звука. В свою очередь, амплитуда аку­

стической цилиндрической волны затухает по закону 1/ Jr, т.е. довольно медленно. Ч т о касается внутренней ударной волны, распространяющейся по выделившемуся газу, то интенсивность ее со временем не ослабевает. Скорость этой волны с течением времени уменьшается, т а к что она стремится занять стационарное положение. Контактный разрыв разделяет газы в существенно различных состояниях: плотность и температура газов, лежащих по разные стороны разрыва, отличаются на конечную величину. При больших t характерный радиус объема, занятого возму­

щенным газом, возрастает со временем линейно, а радиус контактного разрыва - к а к Jt, по­

скольку масса испаренного вещества растет со временем пропорционально t. Поэтому зона те­

чения, расположенная между контактным разрывом и передним фронтом волны, занимает ос­

новную часть расчетной области.

Фиг. 7 дает представление о поведении параметров течения газа в совокупности; кривыми на ней изображены распределения плотности, температуры, давления и скорости для момента вре­

мени г = 40. В связи с резким расширением выделившегося при испарении газа скорость его (не­

четный момент функции распределения) круто возрастает вплоть до ударной волны, где она практически скачком падает, а затем монотонно убывает вплоть до головной ударной волны.