Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. И. Щетников, Лука Пачоли и его трактат “О божественной пропорции”, Ма- тем. обр., 2007, выпуск 1(41), 33–44
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
7 ноября 2022 г., 00:45:07
И з и с т о р и и м а т е м а т и к и
Л у к а П а ч о л и и е г о т р а к т а т « О б о ж е с т в е н н о й п р о п о р ц и и » А. И. Щетников
В статье приведено краткое жизнеописание выдающегося деятеля науки и культуры ита
льянского Возрождения Луки Пачоли. Дан обзор одного из важнейших его сочинений "О божественной пропорции". Проанализированы обвинения в плагиате, выдвинутые против Пачоли некоторыми исследователями.
Б и о г р а ф и ч е с к и й о ч е р к
Л У К А П А Ч О Л И ( L U C A P A C I O L I ИЛИ P A C I O L L O ) родился в 1 4 4 5 г о д у в н е б о г а т о й семье Б А Р - Т О Л О М Е О П А Ч О Л И В небольшом г о р о д к е Б о р г о Сан-Сеполькро, расположенном на берегу Тиб
ра, на границе Тосканы и Умбрии, и принадлежавшем в т о время Флорентийской республике.
П о д р о с т к о м он был отдан на обучение в м а с т е р с к у ю знаменитого художника П Ь Е Р О ДЕЛЛА Ф Р А Н Ч Е С К А ( О К . 1 4 1 5 - 1 4 9 2 ) , жившего в э т о м же г о р о д к е . Обучение в мастерской не сделало его художником, однако выработало отменный вкус, а главное, здесь он впервые приобщился к математике, глубоко интересовавшей е г о учителя. В м е с т е с о своим учителем Л У К А ч а с т о посещал двор Ф Е Д Е Р И К О Д Е М О Н Т Е Ф Е Л Ь Т Р О , герцога У р б и н с к о г о . Здесь его заметил великий итальянский з о д ч и й Л Е О Н Б А Т И С Т А А Л Ь Б Е Р Т И ( 1 4 0 4 - 1 4 7 2 ) , к о т о р ы й в 1 4 6 4 г о д у рекомендовал молодого человека б о г а т о м у венецианскому купцу А н т о н и о Д Е Р о м п и А Н З И в качестве домаш
него учителя.
В Венеции Л У К А учил сыновей с в о е г о патрона и учился сам, посещая лекции знаменитого математика Д О М Е Н И К О Б Р А Г А Д И Н О В школе Риальто. В 1 4 7 0 г о д у он составил свою первую книгу — учебник коммерческой арифметики. В э т о м же г о д у он оставил Венецию и перебрался в Рим, г д е был принят А Л Ь Б Е Р Т И И поселился в е г о доме. Однако через два г о д а П А Ч О Л И покинул Рим и принял монашеский п о с т р и г , став францисканцем.
После п о с т р и г а брат Л У К А н е к о т о р о е время живёт на родине в Сан-Сеполькро. С 1 4 7 7 по 1 4 8 0 г о д он преподаёт математику в университете в Перудже. Затем в течении восьми лет он живёт в Заре (ныне — Задар в Х о р в а т и и ) , где занимается теологией и математикой, иногда совершая по делам ордена поездки по другим г о р о д а м Италии. В э т и г о д ы П А Ч О Л И начал писать главный т р у д своей жизни — энциклопедическую Сумму арифметики, геометрии, отношений и пропорций. В 1 4 8 7 г о д у е г о вновь приглашают занять кафедру в Перудже. В последующие г о д ы он живёт в Риме, Неаполе, Падуе.
1 2 о к т я б р я 1 4 9 2 г о д а у м и р а е т П Ь Е Р О Д Е Л Л А Ф Р А Н Ч Е С К А . В следующем г о д у р а б о т а П А Ч О Л И над Суммой была, наконец, завершена. С э т о й рукописью он приезжает в Венецию, где в ноябре 1 4 9 4 г о д а э т а книга, посвященная ю н о м у Г в и д о У Б А Л Ь Д О Д Е М О Н Т Е Ф Е Л Ь Т Р О ( 1 4 7 2 - 1 5 0 8 ) , ставшему в 1 4 8 2 г. после с м е р т и о т ц а г е р ц о г о м Урбинским, в ы х о д и т в свет.
Примечательно т о , ч т о книга написана не на о б ы ч н о й для учёных т р у д о в латыни, а на ита
льянском языке. У н е к о т о р ы х а в т о р о в можно п р о ч и т а т ь , ч т о Л У К А писал свои т р а к т а т ы на итальянском языке, п о т о м у ч т о он не получил с о о т в е т с т в у ю щ е г о образования и не владел латин
ским языком в совершенстве. Однако он был м а г и с т р о м теологии, а латынь была единственным языком теологических т р а к т а т о в ; он преподавал математику в различных университетах, а т а м все предметы читались на латыни; и он же перевёл всего Е В К Л И Д А С латыни на итальянский (правда, э т о т перевод т а к и не был издан). П о т о м у , х о т я он и не владел гуманистической латы
нью, школьная латынь была для него повседневным языком. Стало б ы т ь , причина, по к о т о р о й 33
он предпочёл итальянский язык латыни, состояла в д р у г о м . В о т ч т о г о в о р и т о б э т о м сам Л У К А в посвящении к Сумме (написанном и на итальянском, и на латинском языке):
Правильное понимание т р у д н ы х терминов среди латинистов прекратилось ввиду т о г о , ч т о хорошие учителя стали редки. И х о т я для Вашего Герцогского В ы с о ч е с т в а луч
ше подошёл б ы стиль Цицерона или ещё более высокий, однако я полагаю, ч т о э т и м источником красноречия не всякий с у м е е т воспользоваться. Так ч т о , принимая во внимание и н т е р е с ы общей пользы ваших почтительных подданных, я решил написать своё сочинение на р о д н о м м е с т н о м языке, ч т о б ы и образованные, и не образованные в равной мере могли получить удовольствие о т э т и х занятий.
В предисловии к Сумме П А Ч О Л И рассказывает о т е х людях, благодаря общению с к о т о р ы м и у него сложилось убеждение в т о м , ч т о математика рассматривает «всеобщую закономерность, применимую ко всем вещам». Он г о в о р и т о б астрономии, о научном подходе к архитекту
ре, воплощённом в т р у д а х Витрувия и Альберти, о многочисленных живописцах, развивавших и с к у с с т в о перспективы, «которая, если разобраться тщательно, была бы п у с т ы м м е с т о м без применения математических вычислений», среди к о т о р ы х выделяется «король нашего времени в живописи» Пьеро делла Франческа, о замечательных скульпторах. Э т о т е мастера, «кото
рые, пользуясь вычислениями в своих р а б о т а х с п о м о щ ь ю нивелира и циркуля, довели их до необычайного совершенства». Пачоли г о в о р и т также о значении математики для музыки, для космографии, для торговли, для механических и с к у с с т в , для военного дела.
Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций — э т о обширный энциклопедиче
ский т р у д , напечатанный на 300 листах in folio. Первая ч а с т ь в 224 листа посвящена арифметике и алгебре, вторая, в 76 листов — г е о м е т р и и . Нумерация л и с т о в в обеих частях начинается за
ново. Каждая часть делится на отделы, отделы — на т р а к т а т ы , т р а к т а т ы — на главы.
В арифметической части Суммы излагаются приёмы выполнения арифметических действий;
э т а часть опирается на многочисленные Книги абака, принадлежавшие разным авторам. Алгеб
раические задачи, решаемые в Сумме, не выходят за пределы к р у г а задач на линейные и квад
ратные уравнения, рассматривавшегося в арабских т р а к т а т а х по «алгебре и альмукабале»; в Ев
ропе э т и задачи были известны по Книге абака Л Е О Н А Р Д О П И З А Н С К О Г О (1180-1240). Из задач, привлёкших внимание математиков последующих поколений, следует о т м е т и т ь задачу о разде
ле ставки при незавершённой игре, к о т о р у ю сам Л У К А решил неправильно. Пожалуй, самое существенное нововведение П А Ч О Л И С О С Т О И Т В с и с т е м а т и ч е с к о м использовании синкопирован
ной алгебраической записи — своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга с о д е р ж и т таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также р у к о в о д с т в о по венецианской двойной бухгалтерии. Ч т о касается г е о м е т р и ч е с к о й части
Суммы, она следует за Практической геометрией Л Е О Н А Р Д О П И З А Н С К О Г О .
В первой половине 90-х г о д о в П А Ч О Л И живет в Урбино. Именно к э т о й эпохе о т н о с и т ся картина Я к о п о Д Е Б А Р Б А Р И , на к о т о р о й П А Ч О Л И изображён в сопровождении неизвест
н о г о молодого человека. По поводу личности э т о г о молодого человека выдвигались разные г и п о т е з ы . Наиболее правдоподобным представляется предположение о т о м , ч т о э т о — герцог Г в и д о У Б А Л Ь Д О , п о к р о в и т е л ь П А Ч О Л И .
В 1496 г о д у учреждается кафедра математики в Милане, и П А Ч О Л И предлагают её занять.
Здесь он читает учебные лекции с т у д е н т а м и публичные — всем желающим. Здесь же, при д в о р е г е р ц о г а Л о д о в и к о М О Р О С Ф О Р Ц А (1452-1508) он сближается с Л Е О Н А Р Д О Д А В И Н Ч И . В записных книжках Л Е О Н А Р Д О сохранились записи: «Научись умножению корней у м а э с т р о Л У К И » , «попроси брата из Б о р г о показать т е б е книгу о весах». П А Ч О Л И выполнил для Л Е О Н А Р Д О р а с ч ё т ы веса г и г а н т с к о г о конного памятника Ф Р А Н Ч Е С К О С Ф О Р Ц А . В Милане П А Ч О Л И написал послание О божественной пропорции, адресованное г е р ц о г у Л О Д О В И К О С Ф О Р Ц А , а Л Е О Н А Р Д О В Ы П О Л Н И Л К нему иллюстрации. Т р а к т а т был завершён 14 декабря 1498 года. К нескольким рукописным экземплярам т р а к т а т а , вручённым властительным о с о б а м , прилагался набор правильных многогранников и д р у г и х г е о м е т р и ч е с к и х тел, о к о т о р ы х брат Л У К А гово
рит, ч т о изготовил их с о б с т в е н н о р у ч н о . ( О моделях правильных многогранников он писал ещё в Сумме.) Сохранилось две рукописи э т о г о т р а к т а т а — одна в Публичной библиотеке в Женеве,
Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции» 35 вторая — в Амброзианской библиотеке в Милане.
В 1 4 9 9 г о д у французская армия заняла Милан, и герцог С Ф О Р Ц А бежал; Л Е О Н А Р Д О И Л У К А в с к о р о м времени покинули г о р о д . В последующие г о д ы Л У К А П А Ч О Л И ч и т а е т лекции в Пизе ( 1 5 0 0 ) , Перудже ( 1 5 0 0 ) , Болонье ( 1 5 0 1 - 1 5 0 2 ) и Флоренции ( 1 5 0 2 - 1 5 0 5 ) . Во Флоренции ему покровительствует П Ь Е Т Р О С О Д Е Р И Н И , пожизненный гонфалоньер Республики.
Однако не все т р у д ы П А Ч О Л И напечатаны, и п о э т о м у он снова едет в Венецию. Здесь в 1 5 0 8 г о д у он издаёт латинский перевод Е В К Л И Д А , принадлежащий Д Ж О В А Н Н И К А М П А Н О из Новары. Э т о т перевод, сделанный ещё в 1 2 5 9 г о д у с арабского языка, уже издавался в 1 4 8 2 г о д у и затем несколько раз переиздавался, но издание изобиловало опечатками и ошибками.
П А Ч О Л И отредактировал перевод; по э т о й редакции, снабжённой многочисленными коммента
риями, он и читал свои университетские лекции. Однако издание оказалось невостребованным, поскольку в 1 5 0 5 г о д у Б А Р Т О Л О М Е О Д З А М Б Е Р Т И издал новый перевод Начал, выполненный непосредственно с г р е ч е с к о г о оригинала.
Рис. 1. П о р т р е т Л У К И П А Ч О Л И И неизвестного молодого человека. К а р т и н а Я к о п о Д Е Б А Р Б А Р И
(Неаполь, Национальный музей)
В 1 5 0 9 г о д у в Венеции была издана ещё одна книга П А Ч О Л И : Divina proportione. Opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria. Ove ciascun studioso di Philosophia, Prospectiva, Pictura, Sculptura, Architectura, Musica e altre Mathematice suavissima sottile ed admirabile doctri- na consequira e delectarassi con varie questione de secretissima scientia («Божественная пропорция.
Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из к о е г о ка
ждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, о с т р о у м н о е и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами секретнейшей науки»).
Э т о печатное издание включает в себя ряд т е к с т о в . Изданию предпослано обращение к флорентийскому гонфалоньеру П Ь Е Т Р О С О Д Е Р И Н И . Первая ч а с т ь ( 3 3 листа) с о д е р ж и т посла
ние О божественной пропорции, а также т р а к т а т о б архитектуре, о пропорциях человеческого тела и о принципе построения букв латинского алфавита. За ней следует Книжка в трёх от
дельных трактатах о правильных телах ( 2 7 л и с т о в ) , из коих первый т р а к т а т рассматривает плоские ф и г у р ы , в т о р о й — правильные тела, вписанные в сферу, т р е т и й — правильные тела, вписанные друг в друга. Далее и д у т графические таблицы, отпечатанные с одной с т о р о н ы листа: пропорции человеческого лица ( 1 л и с т ) , принцип построения букв латинского алфавита ( 2 3 листа), изображения архитектурных элементов ( 3 листа), выполненные на основе рисунков Л Е О Н А Р Д О изображения правильных и д р у г и х тел ( 5 8 л и с т о в ) , и, наконец, «дерево пропорций и пропорциональности»— рисунок, к о т о р ы й П А Ч О Л И уже приводил в Сумме ( 1 л и с т ) .
В послании О божественной пропорции Л У К А П А Ч О Л И г о в о р и т о т о м , ч т о ему, как с т а р о м у человеку, пора на покой, ч т о б ы «в солнечном м е с т е п о д с ч и т ы в а т ь г о д ы » . Э т а его просьба была услышана, и в 1 5 0 8 г о д у он становится м е с т о б л ю с т и т е л е м монастыря в р о д н о м Сан-Сеполькро.
Однако в декабре 1 5 0 9 г. два монаха его монастыря передали генералу ордена письмо, в к о т о ром указывали на т о , ч т о «маэстро Л У К А неподходящий человек, ч т о б ы управлять другими», и просили о с в о б о д и т ь его о т административных обязанностей. Но поддержки у начальства они не нашли, и в феврале 1 5 1 0 г о д а Л У К А П А Ч О Л И становится полноправным приором р о д н о г о монастыря. Впрочем, распри внутри монастыря продолжались и далее.
В последние г о д ы своей жизни б р а т Л У К А продолжал ещё иногда ч и т а т ь лекции; его при
глашали в Перуджу в 1 5 1 0 г о д у и в Рим в 1 5 1 4 г о д у , причём последнее приглашение исходило о т нового папы Л Ь В А X . Умер Л У К А П А Ч О Л И В возрасте 7 2 лет, 1 9 июня 1 5 1 7 г о д а во Флоренции.
О б з о р п о с л а н и я « О б о ж е с т в е н н о й п р о п о р ц и и »
В послании Л У К И П А Ч О Л И О божественной пропорции выделяются следующие содержа
тельные части:
Введение (гл. 1 - 4 ) . Божественные качества, определение и математические свойства про
порции, возникающей при делении величины в среднем и крайнем отношении (гл. 5 - 2 3 ) . О правильных телах, почему их не м о ж е т б ы т ь больше пяти и как каждое из них вписывается в с ф е р у (гл. 2 4 - 3 3 ) . О т о м , как правильные тела вписываются друг в друга (гл. 3 4 - 4 6 ) . О т о м , как в каждое из э т и х тел вписывается сфера (гл. 4 7 ) . О т о м , как из правильных тел получаются усечённые и надстроенные (гл. 4 8 - 5 2 ) . О д р у г и х телах, вписанных в с ф е р у (гл. 5 3 - 5 5 ) . Сфера (гл. 5 6 - 5 7 ) . О колоннах и пирамидах (гл. 5 8 - 6 9 ) . О материальных ф о р м а х представленных тел и их перспективных изображениях (гл. 7 0 ) . Глоссарий (гл. 7 1 ) .
Под «божественной пропорцией» П А Ч О Л И понимает непрерывную г е о м е т р и ч е с к у ю пропор
цию т р ё х величин, к о т о р у ю Е в к л и д называет «делением в среднем и крайнем отношении», а в X I X веке её стали называть «золотым сечением». В определении э т о й пропорции и описании её с в о й с т в П А Ч О Л И следует за Е в к л и д о м . Данная пропорция возникает при делении целого на две части, когда целое т а к о т н о с и т с я к большей части, как большая часть о т н о с и т с я к меньшей.
На языке равенства площадей э т а же пропорция задаётся так: квадрат на большей части равен прямоугольнику, с т о р о н а м и к о т о р о г о служат целое и меньшая часть.
О с о б у ю ценность, выделенность отношения «божественной пропорции» среди п р о ч и х о т н о шений б р а т Л У К А о б о с н о в ы в а е т доводами метафизического и т е о л о г и ч е с к о г о характера. Един
с т в е н н о с т ь и неизменность данной пропорции сравнивается с единственностью и неизменностью Бога, т р и её члена — с тремя ипостасями Святой Троицы, иррациональность отношения — с не
п о с т и ж и м о с т ь ю и невыразимостью Бога. Но помимо э т и х доводов имеется ещё один: с э т о й пропорцией связаны процедуры построения правильного плоского пятиугольника, и телесных додекаэдра и икосаэдра. Но П Л А Т О Н В Тимее рассматривал пять правильных тел в качестве пяти элементов, из к о т о р ы х с о с т о и т Вселенная. Таким о б р а з о м , в метафизических построениях П А Ч О Л И соединяются м о т и в ы х р и с т и а н с к о г о богословия и платоновской космологии.
Далее Л У К А излагает различные свойства «божественной пропорции», известные по X I I I и
X I V книге Начал Е В К Л И Д А . Всего он рассматривает тринадцать таких свойств, связывая э т о число с числом участников тайной вечери. В о т пример о д н о г о из э т и х свойств: «Пусть прямая линия разделена в пропорции, имеющей середину и два края, т о г д а если к большей части при
бавить половину всей пропорционально разделённой линии, т о с н е о б х о д и м о с т ь ю окажется, ч т о квадрат с у м м ы всегда будет пятикратным, т о е с т ь в 5 раз большим квадрата указанной полови
ны». Все э т и свойства он с о п р о в о ж д а е т одним и т е м же числовым примером, когда длина целого о т р е з к а равна 1 0 , а его части с о с т а в л я ю т : меньшая 1 5 — л/125, а большая л/125 — 5 . Пример с алгебраическим делением 1 0 в среднем и крайнем отношении был заимствован Л У К О Й П А Ч О Л И
у Л Е О Н А Р Д О П И З А Н С К О Г О ( 1 1 8 0 - 1 2 4 0 ) , а последним — у А Б У К л.мил л ( 8 5 0 - 9 3 0 ) и А Л - Х О Р Е З М И
( 7 8 7 - 8 5 0 ) . Само вычисление корней с о о т в е т с т в у ю щ е г о к в а д р а т н о г о уравнения в т р а к т а т е не производится: здесь Л У К А ссылается на свою же Сумму, где э т о т результат получен «по пра
вилам алгебры и альмукабалы». И вообще, выбранный им жанр послания предопределяет с о б о й
Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции» 37 т о т факт, ч т о П А Ч О Л И все результаты приводит без доказательства, хотя э т и доказательства ему, вне всякого сомнения, известны.
Вслед за э т и м П А Ч О Л И рассматривает пять платоновских тел. Сначала он доказывает т е о р е му т о м , ч т о э т и х тел — ровно пять, и не больше. Затем он приводит построения всех пяти тел, вписанных в данную сферу, в следующем порядке: т е т р а э д р , куб, о к т а э д р , икосаэдр, додекаэдр.
Далее рассматривается пропорция между с т о р о н а м и э т и х тел, вписанных в одну и т у же сферу, и приводится ряд т е о р е м о соотношениях между их поверхностями. Затем рассматриваются н е к о т о р ы е с п о с о б ы , по к о т о р ы м одно правильное тело м о ж е т б ы т ь вписано в д р у г о е . Наконец, о б с у ж д а е т с я т е о р е м а о т о м , ч т о в каждое правильное тело т о ж е м о ж е т б ы т ь вписана сфера.
Теперь П А Ч О Л И на время оставляет Е В К Л И Д А и переходит к новому материалу. А имен
но, он рассматривает тела, к о т о р ы е м о г у т б ы т ь получены из правильных тел путём «усечения»
либо «надстройки». Тела, к о т о р ы е получаются из правильных тел усечением — э т о н е к о т о р ы е из полуправильных тел А Р Х И М Е Д А . В с е г о имеется тринадцать полуправильных тел, ч т о было доказано А Р Х И М Е Д О М . Н О П А Ч О Л И С о б з о р о м э т о й р а б о т ы А Р Х И М Е Д А , имеющимся у П А П - П А , не был знаком. Из тринадцати полуправильных тел он рассматривает ш е с т ь : усечённый т е т р а э д р , к у б о к т а э д р , усечённый о к т а э д р , усечённый икосаэдр, икосидодекаэдр и усечённый р о м б и к у б о к т а э д р . Два тела — усечённый куб и усечённый додекаэдр — он пропустил п о не
понятной причине, хотя их построение аналогично п о с т р о е н и ю усечённых тетраэдра, куба и икосаэдра. Ч т о касается усечённого р о м б и к у б о к т а э д р а («тела с 2 6 основаниями»), П А Ч О Л И о т крыл е г о , по-видимому, сам, и очень гордился э т и м о т к р ы т и е м : именно э т о тело, изготовленное из прозрачных стеклянных пластин и наполовину заполненное водой, изображено в левой верх
ней ч а с т и картины Я к о п о Д Е Б А Р Б А Р И .
Надстроенные правильные и надстроенные усечённые тела у П А Ч О Л И — э т о не т о же са
мое, ч т о исследовавшиеся в последующей математике звёздчатые многогранники К Е П Л Е Р А . Тела К Е П Л Е Р А получаются продлением плоскостей исходных многогранников; тела П А Ч О Л И — построением на каждой грани исходного многогранника пирамиды, боковые с т о р о н ы к о т о р о й являются равносторонними треугольниками. П А Ч О Л И приводит интересную т е о р е м у о т о м , ч т о в надстроенном икосидодекаэдре пять вершин треугольных пирамид и вершина пятиугольной пирамиды лежат в одной плоскости; опущенное доказательство «возводится тончайшей практи
кой алгебры и альмукабалы до редкой о т м е т к и » .
Далее рассматривается «тело с 7 2 основаниями», к о т о р ы м Е в к л и д пользовался как вспо
могательным в последних двух предложениях X I I книги Начал; э т о тело в литературе иногда называют «сферой К А М П А Н О » (рис. 2 ) . П А Ч О Л И утверждает, ч т о ф о р м а э т о г о тела послужила г е о м е т р и ч е с к о й основой для купола Пантеона в Риме и для сводов ряда д р у г и х п о с т р о е к .
Рис. 2. Один из рисунков Леонардо да Винчи.
Рис. 3. Гравюра из печатного издания т р а к т а т а .
Вслед за э т и м П А Ч О Л И г о в о р и т о т о м , ч т о усечением и надстройкой м о ж е т б ы т ь получе
но бесчисленное м н о ж е с т в о многогранных ф о р м , и переходит к р а с с м о т р е н и ю сферы, ещё раз касаясь вписания в неё правильных тел.
Последняя часть послания О божественной пропорции вновь возвращает нас к Е в к л и д у . Здесь р а с с м а т р и в а ю т с я многогранные призмы и цилиндр, затем — многогранные пирамиды и конус, затем — усечённые пирамиды. Пачоли приводит правила для вычисления о б ъ ё м о в всех э т и х тел, в с ю д у указывая на т о , какие из э т и х правил являются приближёнными, а какие — т о ч н ы м и .
Далее П А Ч О Л И пишет о т о м , ч т о к рукописным копиям т р а к т а т а , вручаемым г е р ц о г у и его родственникам, прилагаются таблицы с перспективными рисунками, сделанными Л Е О Н А Р Д О Д А В и н ч и , а т а к ж е «материальные ф о р м ы » всех у п о м я н у т ы х в нём тел. Рисунки и ф о р м ы много
гранников были изготовлены в двух вариантах — сплошные, с цельными плоскими гранями, и полые, с одними только рёбрами. Выполнял ли Л Е О Н А Р Д О СВОИ рисунки ч и с т о расчётным п у т ё м или с натуры, м ы не знаем. Ч а с т ь рисунков выполнена с заметной для глаза погрешно
с т ь ю , однако её можно о б ъ я с н и т ь как н е т о ч н о с т ь ю расчётов, т а к и переменой т о ч к и , с к о т о р о й рассматривалось изображаемое тело. Послание завершается словариком, в к о т о р о м ещё раз разъясняются употреблявшиеся в т е к с т е специальные термины.
З о л о т о е с е ч е н и е в « д р е в н е й » и в « н о в о й » э с т е т и к е
Многочисленные популярные и специальные книги и с т а т ь и , посвященные проблеме про
порций в искусстве, р а с с м а т р и в а ю т з о л о т о е сечение в качестве «самой совершенной» пропор
ции, причём э т о совершенство т р а к т у е т с я в э т и х книгах по преимуществу психологически:
прямоугольник с «золотым» отношением с т о р о н считается самым приятным для зрительного восприятия, и т . п. В э т и х публикациях принято рассматривать разнообразные произведения изобразительного и с к у с с т в а и памятники а р х и т е к т у р ы , созданные мастерами а н т и ч н о с т и и Возрождения, в качестве примеров, п о д т в е р ж д а ю щ и х э т о т тезис.
Надо заметить, ч т о о т а н т и ч н о с т и до нас не дошло не о д н о г о текста, в к о т о р о м деление вели
чины в среднем и крайнем отношении обсуждалось б ы в качестве ф о р м о о б р а з у ю щ е г о начала в изобразительном искусстве и а р х и т е к т у р е . Похоже, ч т о таких т е к с т о в и вовсе не существова
ло. Для сравнения можно р а с с м о т р е т ь т а к называемую музыкальную п р о п о р ц и ю 1 2 : 9 = 8 : 6, з а д а ю щ у ю с т р у к т у р у музыкальной гармонии. Э т а пропорция, о т к р ы т а я пифагорейцами, упо
минается в десятках античных т е к с т о в , посвященных т е о р и и музыки, — как специальных, т а к и общефилософских. С т р а н н о было бы, если б ы з о л о т о е сечение играло аналогичную роль в а р х и т е к т у р е , скульптуре и живописи, а у античных а в т о р о в не осталось о б э т о м ни о д н о г о свидетельства.
Все античные т е к с т ы , в к о т о р ы х о б с у ж д а е т с я деление величины в среднем и крайнем о т н о шении — э т о с у г у б о математические т р а к т а т ы , в к о т о р ы х данное п о с т р о е н и е рассматривается исключительно в связи с п о с т р о е н и е м правильного пятиугольника, а т а к ж е двух правильных платоновских тел — икосаэдра и додекаэдра ( о б з о р э т и х т е к с т о в с м . H E R Z - F I S H L E R 1 9 9 8 ) . Вер
но т о , ч т о и н т е р е с к правильным телам, а т е м самым и к з о л о т о м у сечению, не был с у г у б о математическим: ведь П Л А Т О Н вслед за пифагорейцами стал рассматривать пять правильных тел в качестве элементарных основ мироздания, поставив т е т р а э д р в с о о т в е т с т в и е о г н ю , куб
— земле, о к т а э д р — воздуху, икосаэдр — воде, а ф о р м у додекаэдра он связал с о Вселенной в целом. В э т о м плане, конечно, можно г о в о р и т ь о б э с т е т и ч е с к о й значимости з о л о т о г о сече
ния, как э т о делал в своих сочинениях А . Ф . Л О С Е В ; но сама э т а «эстетика» н о с и т о т н ю д ь не психологический, но космологический характер.
В эпоху Возрождения произошло возвращение к космологическим картинам античного пла
тонизма, и т р а к т а т Л У К И П А Ч О Л И О божественной пропорции является важнейшим памятни
ком э т о г о математико-спекулятивного направления. Л У К А воспевает «божественную пропор
цию» в начальных главах с в о е г о т р а к т а т а , называя её свойства «не природными, но поистине божественными». Однако его воззрения на значение э т о й пропорции о с т а ю т с я привязанными к космологии платоновского Тимея, и «величайшая гармония», о к о т о р о й он г о в о р и т — э т о гармония космоса, и никакая другая. И х о т я П А Ч О Л И приложил к посланию О божественной
Лука Пачоли и его т р а к т а т «О божественной пропорции» 39 пропорции т р а к т а т о б а р х и т е к т у р е и о пропорциях человеческого тела, но о з о л о т о м сечении в э т о м т р а к т а т е он не обмолвился ни единым словом. Стало б ы т ь , никакого д р у г о г о взгляда на з о л о т о е сечение, к р о м е математико-космологического, у него не было, и мысль о т о м , ч т о з о л о т о е сечение м о ж е т в ы с т у п а т ь в качестве базовой пропорции произведений а р х и т е к т у р ы и живописи, ему п р о с т о не приходила в голову.
В т о ч н о с т и такие же воззрения характерны для И О Г А Н Н А К Е П Л Е Р А И д р у г и х а в т о р о в эпо
хи Возрождения, интересовавшихся з о л о т ы м сечением и ролью правильных многогранников в «гармонии мира». Т а к ч т о искать в их сочинениях некую концепцию з о л о т о г о сечения, свя
занную с э с т е т и к о й произведений искусства, — э т о совершенно напрасное занятие, поскольку её т а м п о п р о с т у не было.
С у д ь б а с о ч и н е н и й П а ч о л и . В о п р о с о п л а г и а т е
После с м е р т и П А Ч О Л И О его сочинениях помнили не слишком долгое время. Наступала эпо
ха грандиозных научных свершений, когда в науке стали цениться в первую очередь новые результаты, а книги П А Ч О Л И представляли с о б о й о б з о р ы т о г о , ч т о было сделано в прежние времена. Д Ж И Р О Л А М О К А Р Д А Н О ( 1 5 0 1 - 1 5 7 6 ) назвал П А Ч О Л И к о м п и л я т о р о м , в чём он, с о своей т о ч к и зрения, был вполне прав. Впрочем, д р у г о й выдающийся м а т е м а т и к э т о й эпохи, Р А Ф А Э Л Ь Б О М Б Е Л Л И ( 1 5 2 6 - 1 5 7 3 ) , сказал, ч т о П А Ч О Л И был первым после Л Е О Н А Р Д О П И З А Н С К О Г О , « К Т О
пролил свет на науку алгебры».
Возрождение интереса к личности и сочинениям П А Ч О Л И датируется 1 8 6 9 г о д о м , когда Сум
ма попала в руки к миланскому п р о ф е с с о р у математики Л ю ч и н и , и он обнаружил в ней Трак
тат о счетах и записях. После э т о г о о т к р ы т и я на П А Ч О Л И стали с м о т р е т ь как на родона
чальника науки о бухгалтерском учёте, и именно э т о т т р а к т а т оказался самой в о с т р е б о в а н н о й ч а с т ь ю его наследия, м н о г о раз переводившейся на другие языки, в т о м числе и на русский.
Впрочем, уже вскоре после первых публикаций Трактата о счетах и записях среди исследо
вателей разгорелись жаркие с п о р ы о т о м , был ли Л У К А П А Ч О Л И его действительным а в т о р о м . Было высказано сомнение, мог ли человек, далёкий о т т о р г о в ы х дел, с о с т а в и т ь такой т р а к т а т . А если не мог, т о не следует ли предположить, ч т о здесь совершён плагиат? Думается всё же, ч т о обвинение в плагиате в данном случае неправомочно. П А Ч О Л И нигде не г о в о р и т , ч т о э т о он изобрёл двойную бухгалтерию; он лишь описывает её нормы «по венецианскому о б ы ч а ю » . Но ведь если м ы о т к р о е м л ю б о е современное р у к о в о д с т в о по бухгалтерскому у ч ё т у , оно будет представлять с о б о й в т о ч н о с т и такое же нормативное описание, без ссылок на предшествен
ников. И если П А Ч О Л И описывает с и с т е м у б у х г а л т е р с к о г о у ч ё т а по какой-то прочитанной им рукописи, т о ведь он и правила умножения в столбик т о ж е не сам придумал, однако в данном случае обвинять его в плагиате никому не приходит в голову. А ознакомиться с с и с т е м о й двой
ной бухгалтерии на практике он мог в т о время, когда состоял домашним учителем в б о г а т о м купеческом доме.
Д р у г о е серьёзное обвинение в плагиате было в ы д в и н у т о п р о т и в П А Ч О Л И ещё в 1 5 5 0 г о д у , когда Д Ж О Р Д Ж Е В А З А Р И ( 1 5 1 1 - 1 5 7 2 ) в своей книге Жизнеописания знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих в главе, посвященной П Ь Е Р О Д Е Л Л А Ф Р А Н Ч Е С К А , написал следующее:
И х о т я т о т , к т о должен был всеми силами стараться приумножить его славу и извест
н о с т ь , ибо у него научился всему, ч т о знал, пытался как злодей и нечестивец изни
ч т о ж и т ь имя П Ь Е Р О , своего наставника, и завладеть для себя почестями, к о т о р ы е должны были принадлежать о д н о м у П Ь Е Р О , в ы п у с т и в под своим с о б с т в е н н ы м име
нем, а именно брата Л У К И ИЗ Б о р г о , все т р у д ы э т о г о п о ч т е н н о г о старца.
Математические сочинения П Ь Е Р О ДЕЛЛА Ф Р А Н Ч Е С К А долгое время считались утерянны
ми. Однако в 1 9 0 3 г о д у Д ж . П и т т А Р Е Л Л И обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus regularibus ( « П Е Т Р А , художника из Б о р г о , о пяти правильных телах»). Несколько позже были обнаружены ещё две рукописи П Ь Е Р О : Перспек
тива в живописи (De perspectiva pingendi) и Об абаке (De abaco). Т о г д а же было установлено, ч т о найденный латинский манускрипт О пяти правильных телах и т р и итальянских т р а к т а т а
о правильных телах в печатном издании De Divina Proportione представляют с о б о й две близкие версии о д н о г о и т о г о же т е к с т а .
Сохранившаяся рукописная книжка П Ь Е Р О О пяти правильных телах посвящена Г в и д о У Б А Л Ь Д О Д Е М О Н Т Е Ф Е Л Ь Т Р О , г е р ц о г у Урбинскому. Герцогский т и т у л он получил в 1 4 8 2 г о д у после с м е р т и отца. П Ь Е Р О умер в 1 4 9 2 г о д у . Стало б ы т ь , дошедший до нас экземпляр книж
ки был переписан набело в п р о м е ж у т к е между 1 4 8 2 - 1 4 9 2 г г . Однако сама книжка могла б ы т ь создана и раньше. Л У К А П А Ч О Л И В Сумме ( V I , I , I I ) г о в о р и т , ч т о книжку по перспективе П Ь Е ¬ Р О написал на итальянском, а латинский перевод выполнил е г о д р у г М А Т Т Е О Д А Л Ь Б О Р Г О . Таким же о б р а з о м мог появиться на свет и латинский т е к с т книжки О пяти правильных те
лах. Во всяком случае, итальянский т е к с т , опубликованный впоследствии П А Ч О Л И , естественно рассматривать как исходный.
Ч т о касается э т о й публикации в приложении к изданию Божественной пропорции, её полное заглавие звучит следующим о б р а з о м : Libellus in tree partialis tractatus divisus quinque corpore regu-
larium e dependentium active per scrutationis. D. Petro Soderino principi perpetuo populi florentinia.
M. Luca Paciolo, Burgense Minoritano particulariter dicatus, feliciter incipit («Книжка, разделённая на т р и отдельных т р а к т а т а , о пяти правильных и зависимых [от них] телах, последовательно р а с с м о т р е н н ы х . Г о с п о д и н у ] П Е Т Р У С О Д Е Р И Н И , п о с т о я н н о м у предводителю флорентийского народа. М[аэстро] Л У К А П А Ч О Л И , м и н о р и т о м из Б о р г о , по частям продиктованная, счастливо начинается»).
О б каком-либо отношении П Ь Е Р О Д Е Л Л А Ф Р А Н Ч Е С К А к т р а к т а т у в э т о м заглавии действи
тельно ничего не г о в о р и т с я . Но и своё с о б с т в е н н о е «авторство» П А Ч О Л И обозначает весьма странным о б р а з о м . А именно, он г о в о р и т , ч т о книжка э т а им particulariter dicatus, «по частям (или ч а с т и ч н о ? ) продиктована», — и не более т о г о .
Э т о заставляет задуматься. Ведь Л У К А П А Ч О Л И в своих сочинениях вовсе не выглядит чело
веком, стремившимся беззастенчиво присваивать чужие результаты. Т а к в I разделе I главы Суммы он пишет:
И поскольку м ы будем следовать по большей части Л . П и з А Н С К О М У , я намерен заявить, ч т о когда имеется какое-нибудь предложение без автора, оно — э т о г о Л . А когда других, к т о был — а в т о р с т в о приведено (цит. по ГЛУШКОВА, ГлУШКОВ 1 9 8 2 , с. 5 8 ) .
Аналогичное уведомление имеется и в I V главе Божественной пропорции:
Первым делом я замечу, ч т о всякий раз, когда я буду писать «первое в первой», «чет
в ё р т о е во в т о р о й » , «десятое в пятой», « 2 0 в 6 » и т а к до пятнадцатой, под первой цифрой всегда следует понимать номер предложения, а под в т о р о й — номер книги нашего философа Е В К Л И Д А , к о т о р ы й всеми признаётся за главу данного факульте
та. Таким образом, говоря о п я т о м в первой, я г о в о р ю о п я т о м предложении е г о первой книги, и т а к же о д р у г и х отдельных книгах, составляющих цельную книгу о б элементах и первоначалах А р и ф м е т и к и и Геометрии. Но когда упоминается д р у г о е его сочинение или книга д р у г о г о автора, э т о сочинение или э т о т а в т о р называются по имени.
Не следует забывать и о т о м , ч т о в т е периоды, когда Л У К А жил в своём р о д н о м г о р о д е , он имел в о з м о ж н о с т ь общаться с П Ь Е Р О напрямую. Е с т е с т в е н н о думать, ч т о встречи двух математиков были д о с т а т о ч н о частыми, а их общение — содержательным. Т е м ы книжки О пяти правильных телах п о ч т и наверняка обсуждались в э т и х беседах, а п о т о м у они о б а могли в какой-то мере с м о т р е т ь на неё как на свою, вне зависимости о т т о г о , к т о придал ей оконча
тельную ф о р м у .
М ы н и ч е г о не знаем и о т о м , какое влияние на П Ь Е Р О Д Е Л Л А Ф Р А Н Ч Е С К А и Л У К У П А Ч О Л И оказали р а б о т ы немецкого а с т р о н о м а и м а т е м а т и к а И О Г А Н Н А М Ю Л Л Е Р А ( 1 4 3 6 - 1 4 7 6 ) , более известного под латинским именем Р Е Г И О М О Н Т А Н . А ведь он м н о г о жил в Италии и умер в Риме, т а к ч т о итальянские математики могли б ы т ь знакомы с ним и его рукописями. Среди
Лука Пачоли и его т р а к т а т «О божественной пропорции» 41 его сочинений имелся т р а к т а т De quinque corporibus aequilateris, quae vulgo regularia nuncupan- tur, quae videlicet, eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem («О пяти равносторонних телах, о б ы ч н о называемых правильными, а именно, какие из них заполняют е с т е с т в е н н о е м е с т о , а какие нет, п р о т и в А В Е Р Р О Э С А , к о м м е н т а т о р а А Р И С Т О Т Е Л Я » ) . До наших дней он не дошёл, но Р Е Г И О М О Н Т А Н даёт его о б з о р в д р у г о й своей р а б о т е . В э т о м т р а к т а т е рассматривалось п о с т р о е н и е правильных тел, их преобразования друг в друга, вычислялись их о б ъ ё м ы . Содержалась в нём и встречающаяся у П А Ч О Л И идея о т о м , ч т о последовательным изменением правильных тел можно получать безграничное количество полуправильных.
Далее, первая печатная книга по математике вышла в 1475 г о д у . П Ь Е Р О Д Е Л Л А Ф Р А Н Ч Е С К А жил ещё в мире рукописей, а более молодой Л У К А П А Ч О Л И зрелые свои г о д ы провёл уже в мире печатных книг. Рукопись могла б ы т ь переписана для с о б с т в е н н о г о пользования кем-то ещё, но каждый раз в одном экземпляре. Её переписчик совершает б о г о у г о д н о е дело уже п о т о м у , ч т о продлевает жизнь рукописи, не даёт ей п о г и б н у т ь . Т о же и в случае, когда сохранившаяся рукопись превращается в печатную книгу.
Теперь мы можем вернуться к в о п р о с у о плагиате с оценкой, в большей мере с о о т в е т с т в у ю щей системе взглядов т о г о времени. Похоже, ч т о в т у эпоху, когда жили П Ь Е Р О Д Е Л Л А Ф Р А Н Ч Е С К А и Л У К А П А Ч О Л И , в о п р о с о б а в т о р с т в е ещё п о п р о с т у не стоял. (Средневековье, между прочим, вообще не знает а в т о р с т в а : можем ли мы сказать, к т о был «автором» прекрасных г о т и ч е с к и х с о б о р о в ? Сама э т а постановка вопроса очевидным о б р а з о м бессмысленна. — В о т и в Началах Е В К Л И Д А большая часть результатов была переписана из д р у г и х математических книг, но м ы э т и м п о ч е м у - т о не возмущаемся и Е В К Л И Д А в плагиате не обвиняем.) С а м о м у П Ь Е ¬ Р О была интересна математика, а не слава в грядущих веках. В предисловии к своей латинской книжке он пишет, ч т о она будет ему «залогом и памятником», но не у п о т о м к о в вообще, а у его г е р ц о г с к о г о В ы с о ч е с т в а .
А ч т о касается а в т о р с т в а как указания на т о , к т о первый совершил т а к о е - т о о т к р ы т и е , т о здесь важен момент онтологический. М а т е м а т и к о т к р ы в а е т какие-то неизвестные доселе тела, а К О Л У М Б В Э Т О же самое время о т к р ы в а е т новые страны. Но К О Л У М Б не является
«автором» э т и х стран, и т о ч н о т а к же м а т е м а т и к не является «автором» о т к р ы т ы х им тел. И ведь когда К О Л У М Б организовывал свою экспедицию, его целью были сами новые страны, а не память п о т о м к о в о т о м , ч т о он их о т к р ы л .
Л у к а П а ч о л и и ф о р м и р о в а н и е и н с т и т у т а э к с п е р т и з ы
Обращаясь в послании О божественной пропорции к миланскому г е р ц о г у Л О Д О В И К О С Ф О Р ЦА, Л У К А П А Ч О Л И нигде не рекомендует себя так: «Я математик, п о т о м у ч т о м о г у получать новые математические результаты». Нет, он г о в о р и т о себе совершенно иначе: «Я математик, п о т о м у ч т о я знаю м а т е м а т и к у и м о г у ей научить д р у г и х » .
В о т и Д А Н Т Е В Божественной комедии называл А Р И С Т О Т Е Л Я «учителем тех, к т о знает», и Л У К А не зря э т у ц и т а т у приводит. Для уяснения э т о г о довода проведём следующее срав
нение. Врач знает медицину и п о э т о м у м о ж е т лечить. Ю р и с т знает право и п о э т о м у м о ж е т б ы т ь а д в о к а т о м . А м а т е м а т и к знает м а т е м а т и к у — и ч т о дальше? Он м о ж е т ей у ч и т ь ? Но ведь и врач, и ю р и с т т о ж е м о г у т у ч и т ь своим наукам — для чего в университете и с у щ е с т в у ю т медицинский и юридический факультеты. Но кем м о ж е т б ы т ь м а т е м а т и к вне с ф е р ы обуче
ния? Какое умение выделяет его среди п р о ч и х людей и делает к о м у - т о н у ж н ы м ? А с т р о н о м умеет вычислять движения небесных светил и составлять г о р о с к о п ы . А р х и т е к т о р способен по
с т р о и т ь прекрасную виллу, военный с т р о и т е л ь — неприступную к р е п о с т ь . Художники с о з д а ю т прекрасные произведения, услаждающие взор. А м а т е м а т и к — какой о т него м о ж е т б ы т ь п р о к ?
П о с м о т р и м , как на э т о т в о п р о с отвечает сам Л У К А . Прежде всего, он настаивает на т о м , ч т о математика в качестве самой т о ч н о й науки является основанием и п р о б и р н ы м камнем для всех п р о ч и х наук.
«В [нашем т р а к т а т е ] мы г о в о р и м о высоких и утончённых вещах, к о т о р ы е поисти
не служат испытанием и п р о б и р н ы м тиглем для всех изысканных наук и дисциплин:
ведь из них п р о и с т е к а ю т все прочие спекулятивные действия, научные, практические и механические; и без предварительного ознакомления с ними человеку невозможно ни познавать, ни действовать, как э т о будет п о к а з а н о . . . Как п о д т в е р ж д а ю т А Р И С Т О Т Е Л Ь и А в Е Р Р О Э С , наши математические науки являются самыми истинными и с т о я т на первом уровне с т р о г о с т и , а за ними и д у т естественные» (гл. I ) .
О т похвалы математике как таковой он переходит к похвалам математикам:
«Благоразумным известна пословица: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis.
To е с т ь з о л о т о проверяется огнём, и проницательность разума — математически
ми дисциплинами. Э т о высказывание г о в о р и т вам, ч т о д о б р ы й разум математиков наиболее о т к р ы т каждой науке, ведь они привычны к величайшей абстракции и т о н к о с т и , поскольку всегда рассматривали т о , ч т о находится вне чувственной материи.
Как г о в о р и т тосканская поговорка, э т о т е , к т о расщепит волос на лету» (гл. II).
Но само по себе «рассмотрение т о г о , ч т о находится вне чувственной материи» вряд ли спо
с о б н о заинтересовать властителей, к к о т о р ы м обращается ЛУКА. П о э т о м у он переходит о т вещей идеальных к вещам реальным, и приводит доводы, согласно к о т о р ы м математика явля
ется необходимым основанием военного искусства и а р х и т е к т у р ы :
«О Вашем Герцогском В ы с о ч е с т в е идёт и иная добрая слава, когда крепнет уверен
н о с т ь близких родственников и благодарных подданных в т о м , ч т о в её высочайшем Владении они защищены о т всех нападений... О т повседневного о п ы т а Вашего Гер
ц о г с к о г о В ы с о ч е с т в а не с к р ы т о , ч т о о б о р о н а больших и малых республик, называ
емая также военным и с к у с с т в о м , невозможна без знания Геометрии, А р и ф м е т и к и и Пропорций, каковые превосходно с о ч е т а ю т с я с ч е с т ь ю и пользой. И ни одно д о с т о й ное занятие из тех, с к о т о р ы м и и м е ю т дело инженеры и новые механики, т а к не ведёт к взятию [крепости] или же к долгой о б о р о н е , как т е , в к о т о р ы х в былые времена упражнялся великий г е о м е т р А Р Х И М Е Д ИЗ Сиракуз» (гл. II).
«Они называют себя архитекторами, но я никогда не видел у них в руках выдающейся книги нашего достойнейшего а р х и т е к т о р а и великого математика В И Т Р У В И Я , к о т о рый составил т р а к т а т Об архитектуре с наилучшими описаниями всякого с о о р у ж е ния. И т е , кому я дивлюсь, пишут на воде и с т р о я т на песке, наскоро р а с т р а т и в своё искусство: ведь они являются архитекторами лишь по имени, ибо не ведают разницы между т о ч к о й и линией и не з н а ю т различия между углами, без чего невозможно х о р о ш о с т р о и т ь . . . Однако е с т ь и такие, к т о восхищается нашими математически
ми дисциплинами, внедряя истинное р у к о в о д с т в о всеми п о с т р о й к а м и в согласии с сочинением вышеупомянутого В И Т Р У В И Я . Отклонение о т него заметно, если посмо
т р е т ь , каковы наши строения, как церковные, т а к и светские: какое искривлено, а какое перекошено» (гл. X L I V ) .
Говоря нынешним языком, ЛУКА рекомендует себя г е р ц о г у в качестве эксперта, причём в вопросах не с о б с т в е н н о математических (такой эксперт г е р ц о г у нисколько не нужен), но с у г у б о прикладных, имеющих самое прямое отношение к сохранению власти (военное дело) и процве
т а н и ю ( а р х и т е к т у р а ) . Ч т о же касается умения получать новые математические результаты, оно в э т у эпоху ещё не рассматривалось как необходимое отличительное качество математика в ы с о к о г о класса, оставаясь случайным, а не с у щ н о с т н ы м признаком последнего.
Л и т е р а т у р а
[1] ГЛУШКОВА Ф . Р . , ГЛУШКОВ С . С . Геометрическая часть «Суммы» Пачоли. История и методология естественных наук, 29, 1982, с. 57-63.