Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. В. Ягжев, Об обратимости эндоморфизмов свободных ассоциативных алгебр, Матем. за- метки , 1991, том 49, выпуск 4, 142–147
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 23:36:49
Математические заметки
том 4 9 выпуск 4 апрел Л 9 9 1
ОБ ОБРАТИМОСТИ ЭНДОМОРФИЗМОВ СВОБОДНЫХ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР
А. В. Ягжев
Один из центральных вопросов об эндоморфизмах свободных алгебр состоит в выяснении условий их обратимости. В статье [1]
был сформулирован аналог для случая произвольного многообра
зия [2] (не обязательно ассоциативных) алгебр классической ги
потезы о якобиане [3, 4]. Справедливость этого аналога для сво
бодных ассоциативных алгебр (некоммутативных многочленов) установлена А. Скофилдом [51 после работы У. Дикса и Ж . Ле
вина [61. В статье [71 решена алгоритмическая проблема распо
знавания автоморфизмов среди эндоморфизмов.
В настоящей статье мы покажем, что некоторое развитие рас
суждений работы [71 позволяет значительно прояснить вопрос об обратимости эндоморфизмов. Д л я формулировки полученной тео
ремы нам потребуются несколько естественных определений.
Пусть Р — конечномерная ассоциативная алгебра над беско
нечным полем /с, к (х1ч . . ., хп} — свободная ассоциативная ал
гебра [81 над к, а — ее эндоморфизм,
a: xs - > As (xv . . ., хп), s е Ы == {1, . . ., п). (1) С эндоморфизмом а и алгеброй Р связано полиномиальное ото
бражение
Ар: Рп -> Рп
(где Рп — декартово произведение п экземпляров линейного про
странства Р ) , определенное соотношением
АР: (рх, . . ., рп) - > ( . . . , A* {Pii • • ., Рп), • • •)•
Зафиксировав в алгебре Р базис и записав отображение Ар в со
ответствующих координатах, получим эндоморфизм ар кольца полиномов от п dinifc P переменных.
Далее считаем Р подалгеброй алгебры к^ всех (N X ^ - м а т риц над к. Ясно, что PnAbN С Рп и АР = A^N \pn.
О п р е д е л е н и е . Подалгебра Р < ; к^ называется тестовой для эндоморфизма а, если множество к^ \ Рп не инвариантно
© А. В. Ягжев, 1991
относительно AkN: существует элемент Ь е А# \ Рп, образ ко
торого при отображении A^N лежит в Рп.
Отметим, что в случае существования тестовой подалгебры эндоморфизм а заведомо не является автоморфизмом (в противном случае Р М ^ С Р " ) .
О п р е д е л е н и е . Тестовая подалгебра Р <^ fcjv называется специальной, если существуют натуральные т, г, р такие, что JV = тгр и Р состоит из всех матриц вида
Л 0 0 Л
•*
0
•#
где матрица Л ЕЕ кт повторяется на диагонали г раз.
О п р е д е л е н и е . Эндоморфизм а алгебры к <^х, . . ., хпу называется рационально обратимым, если каждый из элементов xs рационально выражается через элементы хха, . . ., хпа в не
котором теле Т ^> к (хг, . . ., хпу.
О п р е д е л е н и е . Эндоморфизм р алгебры полиномов к [zx, . . ., zm\ называется рационально обратимым, если каждый из элементов zs рационально выражается (в поле к (zx, . . ., zm)) через элементы zxp, . . ., zmp.
ТЕОРЕМА. Для каждого эндоморфизма а алгебры к (х-^ . . . . . ., хпу справедливо хотя бы одно из двух утверждений:
(а) эндоморфизм а рационально обратим и для любой конечно
мерной ассоциативной алгебры Р эндоморфизм ар соответствую
щей алгебры полиномов рационально обратим;
(б) для эндоморфизма а существует специальная тестовая ко
нечномерная алгебра.
Эта теорема является усилением ключевой леммы 3 статьи [71.
Далее мы ограничимся случаем, когда основное поле к имеет характеристику нуль.
С л е д с т в и е . Для свободных ассоциативных алгебр спра
ведлив аналог гипотезы о якобиане:
а Е= Aut k <£> <=> а £= Aut к <#, г/>, где х — конечное мнооюество переменных.
Автор благодарен JI. А. Бокутю за поддержку при изучении автоморфизмов свободных алгебр, а также И. В. Львову и дру- тим участникам семинара «Ассоциативные кольца и кольца Ли»
при Институте математики СО АН СССР за внимание.
§ 1. Доказательство теоремы. Если линейная часть aL [1, с. 1831 эндоморфизма а вырожденна, то, используя линейную за
мену переменных, можем считать х{аь = х{ при i ЕЕ [т\, где т < п, и XJCLL = О при / ^> т. Подставляя в элементы As (хг, . . .
143
/О 1\
. . ., хп) вместо переменных Xj, j Е= [п\ \ [ml, матрицу L QI , а вместо переменных хь i Ег [т], нулевую (2 X 2)-матрицу, по
лучим, что алгебра матриц вида diag (А,, Я), ^ Е ^ , является тес
товой для эндоморфизма а.
Поэтому мы можем считать линейную часть невырожденной, и, более того, тождественной: х8а^ = xs для всех s ЕЕ [п\. Рассмот
рим п «общих» (т X 7?г)-матриц
Xs = II 4j*] Иг, #=Е«г]э ^ е [ n l ,
где ж?5 — новые (коммутирующие между собой) переменные. Рас
смотрим систему
A1(ZV . , .,Zn) = Хх
• • • • • • • • • • • \^/
An(Zv . . . , Zn) = Хп
относительно неизвестных (т X 7тг)-матриц Zs.
Система (2) разрешима над кольцом матриц i?w, где R =
= Щ . . ., # $ , . . . 11 — алгебра рядов (как и в аналогичных си
туациях из статей [1, 71 для обоснования разрешимости достаточ
но обратиться к доказательству предложения 10 на с. 76 кни
ги [91). Следовательно, существует конечное расширение К# по
ля К = к ( . . ., x\j, . . .) такое, что система (2) разрешима над кольцом К*т. Если [К% : К] = N ^> 1, то, считая, сначала ха
рактеристику поля к равной нулю, обозначим через 0 примитив
ный элемент расширения К# \ К, так что
Для произвольного поля F обозначим, как обычно, через F™ ли
нейное пространство F — строк длины т с базисом
где ei = (0, . . ., 1, . . ., 0). Отождествим каждую матрицу из Fm с оператором, матрицей которого в базисе (3) является данная матрица. Пусть М — произвольная (тXт?г)-матрица над полем К%,
^ = 20sSs<Jve*MW,
где М№ ЕЕ Кт, 0 <^ s < N. С матрицей М свяжем Z-линейный оператор М на пространстве К^ = К^ (g)K Km с базисом
{6s ® а | 0 < s < N, 1 < i < m}, (4) который получится, если мы рассмотрим Ж" как if-линейный опе
ратор ^-пространства К™. Имеем
(9
s<g>
ei) й = е ч м = 9
s2 ^
<iVe'M*
pl=
(5) 144
где 8s 4 i = 2J0 < : U <JV H S ^ * - Д л я произвольной матрицы V ЕЕ Кт
матрицей оператора V в базисе (4) будет, согласно (5), блочно- диагональная матрица diag (У, . . ., V) (элементы базиса (4) счи
таются упорядоченными следующим образом: 0s (х) ei < 9' (g) ej 4=^
<=> s < £ либо s = t и i <C j). Из условия iV ]> 1 получаем теперь существование специальной тестовой подалгебры в Кт^.
Если характеристика поля к положительна, то нужно сначала провести предыдущее рассуждение для пары (К#, К') вместо па
ры (К^ К), где К* ;> К' ;> i£, причем К* = К' [6], а затем рассмотреть соответствующие Z'-линейные операторы как if-ли- нейные операторы, чтобы убедиться, что в случае N ^> 1 для эндоморфизма (1) существует специальная тестовая подалгебра.
Тем самым доказано, что если специальной тестовой подал
гебры для эндоморфизма а не существует, то эндоморфизм аР ра
ционально обратим в случае Р — кт. Совершенно аналогично рас
сматривается и случай произвольной конечномерной алгебры Р с базисом {/х, . . ., fm}: вместо «общих» матриц Xs следует рас
смотреть «общие элементы» 21 егтт Л /г» ГДе х\ — коммутирую
щие между собой новые переменные, а Р следует рассмотреть как подалгебру некоторой алгебры матриц.
Осталось показать, что если утверждение (б) из теоремы не выполнено, то эндоморфизм а рационально обратим. Как и в статье [7] обозначим через К правое тело частных кольца Р [х\ е] косых многочленов, где Р = к (t) — поле рациональных дробей над по
лем к от множества переменных t = {tm I s ЕЕ [тг], m ЕЕ Z}, a 8 — автоморфизм расширения Р | /с, заданный соотношением е:
tm -> tm+i, 5 б Ы , т ЕЕ Z. В силу вложения я: к (хх, . . . . . .,хпу ->- К, где xsn = xt\ , мы можем и будем считать свобод
ную ассоциативную алгебру к <хх, . . ., хпу подалгеброй fc-ал-
гебры К. g Рассмотрев подтело в К, порожденное множеством к (хг, . . .
. . ., хпу, получим, согласно [7], что если эндоморфизм а не явля
ется рационально обратимым, то существуют указанные в пунк
те (б) леммы 3 из [7] матрицы Z1? . . ., Zn. Пусть q — простое число такое, что q ^> 2 | т\ для всех элементов tm\ входящих хо
тя бы в одну из компонент какой-либо матрицы Zs. Введем в рас
смотрение новые (коммутирующие между собой) переменные
£, r[s\ . . ., т]|8], S ^ [п], и положим Т8 = diag (T|S ], . . ., %[qsl).
Диагональные (q X д)-матрицы JTS, sEE[n], конечно, коммутиру
ют между собой. Пусть а = (1 . . . q) — цикл длины д, Еа — матрица перестановки а ЕЕ Sq. Преобразуя во всех компонентах матриц Zi, i ЕЕ [п], входящие в них элементы tm согласно соотно- шению tm = х~тц хт, а затем производя подстановку
х-+%Е0, As]-+Ts, s(^[n], (6)
145
получим корректно определенные матрицы, дающие существова
ние тестовой подалгебры. Теорема доказана.
§ 2. Доказательство следствия. Предположим, что эндомор
физм Якоби а обратим (и, без ограничения общности, имеет тож
дественную линейную часть).
ЛЕММА. Для каждого натурального т эндоморфизм. аи яв
ляется автоморфизмом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Р = кт. Согласно [1, лем
ма 2] эндоморфизм аР является автоморфизмом, так что доста
точно [10, лемма 3; 4, теорема 2.1] доказать, что эндоморфизм а р рационально обратим. Предположив противное, согласно до
казательству теоремы получим, что существует тестовая подал
гебра для а, состоящая из блочно-диагональных матриц diag (V, . . ., У), где V ЕЕ кт. Поскольку для любых элементов kt £Ez к \ {0}, i ЕЕ [N], блочно-диагональная матрица Q =
= diag (к^т, . . ., XNEm), где Ет — единичная (т X ^ - м а т р и ца, централизует все элементы нашей тестовой подалгебры, со
пряжение матрицей Q показывает, что для некоторых блочно- диагональных матриц Xs система вида (2) имеет бесконечно много решений (Z1? . . ., Zn), вопреки локальной инъективности [1, лем
ма 2] эндоморфизма dkmN. Лемма доказана.
Поскольку благодаря доказанной лемме для эндоморфизма а не может существовать специальных тестовых подалгебр, соглас
но теореме существуют элементы fs EEz К, s ЕЕ [п], такие что
А* (/i> • • •» fn) = x„ s ^ M. (7) Поскольку кольцо Р [х; el обладает левым алгоритмом деления
[81, для каждого s G [п\ имеем fs = hsw~sl, где элементы hs, ws GE ЕЕ Р [х; е] таковы, что для некоторых gs, vs GG Р [х; el gshs + + vsws = 1. Если для некоторого г GG [п] wr ф. Р, то, исполь
зуя аналогично доказательству теоремы подстановку вида (6), получим из элементов fs матрицы fs со свойством
A Aft • • • , / * ) = 1ЕаТ„ S G W , (7')
причем gr-hrWr"1 + vr = Wr'1, и, следовательно, хотя бы одна компонента матрицы /r = hrWr'1 не принадлежит кольцу поли
номов к [g, . . ., T|S ], . . . 1 (если wr = xma (t) -j- . . ., а Ф 0, где многоточием обозначена сумма членов меньшей степени по х, т>1, то det E-mw* = %т*Ь (. . ., х\8\ . . . ) + . . . , b Ф 0
(простое число q достаточно велико), так что матрица wr~ сущест
вует, но все ее компоненты быть полиномами по £ не могут). Это противоречит, однако, доказанной лемме, так как компоненты всех матриц из правых частей равенств (7') лежат в к [£, . . . 1.
Итак, fsGaP [x; el для всех s ЕЕ Ы , так что /s =
= 2 J • x%Qis (*)» гДе (?;s £= Р- Пусть d — стандартная степен
ная функция на кольце Р [х; е]. Сравнивая однородные состав-
л я ю щ и е d степени 0 в п р а в ы х и л е в ы х ч а с т я х р а в е н с т в (7), п о л у чим As (Q01, . . ., Q0n) = 0, s GE Ы , о т к у д а по лемме (при т =
— 1)» Qoi = . . . = Qon = 0- П у с т ь элементы Z?s а л г е б р ы р я д о вf
к ^хъ . . ., хпУ т а к о в ы , что
Bs {Ах (я), . . ., Ап (х)) = х„ s G [ Л ] ; (8) тогда Б8 ( 4Х (А, . . ., /п) , . . ., Лп (Д, . . ., /„)) = /8 (подстанов
к а ^ - > Д в с о о т н о ш е н и и (8) имеет смысл б л а г о д а р я (?o i = О, i е [/г1), о т к у д а в с и л у (7) 5S fo, . . ., хп) = /s, т а к что к а ж д ы й и з р я д о в Bs я в л я е т с я элементом свободной а л г е б р ы к <#> (имею
щ и м степень < ; d (fs)) и тем самым а я в л я е т с я автоморфизмом.
Следствие д о к а з а н о .
Муромский филиал Поступило Владимирского политехнического 09.06.88
института
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Я г ж е в А. В. Об эндоморфизмах свободных алгебр // Сиб. мат. журн.
1980. Т. 21, № 1. С. 181—192.
[2] Ж е в л а к о в К. А., С л и н ь к о А. М., Ш е с т а к о в И. П., Ш и р ш о в А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.
[3] K e l l e r O . H . Ganze Cremond-Transformationen // Monatsh. Math, und Phys. 1939. V. 47. S. 299—306.
[4] B a s s H., C o n n e l l E . H . , W r i g h t D. The Jacobian conjecture:
Reduction of degree and formal expansion of the inverse // Bull. Amer.
Math. Soc. (New Series). 1982. V. 7, N 2. P. 287—330.
[5] S c h o f i e l d A. H. Representations of rings over skew fields // London Math. Soc. Lecture Note Series. N 92. Cambridge: University Press, 1985.
[6] D i c k s W., L e v i n J. Jacobian conjecture for free associative al
gebras// Comm. in Algebra. 1982. V. 10, N 12. P. 1285—1306.
[7] Я г ж е в А. В. Об алгоритмической проблеме распознавания авто
морфизмов среди эндоморфизмов свободных ассоциативных алгебр ко
нечного ранга // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 1. С. 193—199.
[8] К о н П. Свободные кольца и их связи. М.: Мир, 1975.
[9] Б у р б а к и Н . Алгебра. Многочлены и поля, упорядоченные группы.
М.: Мир, 1966.
[10] Я г ж е в А. В. О проблеме Кэлера // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 5.
С. 141—150.