Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. Н. Яненко, Ю. Е. Воскобойников, Н. Г. Преоб- раженский, Проблема редукции к “идеальной тру- бе” в экспериментальной аэродинамике, Докл. АН СССР, 1984, том 274, номер 6, 1309–1312
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
5 ноября 2022 г., 22:33:20
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1984. Том 274, №6
УДК 532.526 А Э Р О Д И Н А М И К А
АкадемикЦГн. ЯНЕНК01, Ю.Е. ВОСКОБОЙНИКОВ, Н.Г. ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ ПРОБЛЕМА РЕДУКЦИИ К "ИДЕАЛЬНОЙ ТРУБЕ"
В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ АЭРОДИНАМИКЕ
1. При исследовании характеристик турбулентного потока в следе за телом, помещенным в аэродинамическую трубу, регистрируется некоторый недетермини
рованный процесс f(t) (точка 1 на рис. 1). Этот процесс в общем случае определя
ется не только возмущениями, связанными собственно с обтеканием тела, но и возмущениями, которые обусловлены созданием и движением потока в трубе и искажающими исследуемые параметры потока. По аналогии с измерительной тех
никой можно сказать, что эти возмущения характеризуют некоторую аппаратную функцию аэродинамической трубы. Ниже рассматривается одна линеаризованная постановка задачи устранения аппаратной функции (осуществление редукции к
"идеальной трубе"), когда измеряется амплитуда пульсаций турбулентного потока.
2. В аэродинамике линейная модель исследуемого процесса нередко оказы
вается вполне разумной [1, 2 ] . В этом случае измеряемый процесс f(t) можно представить в виде
где (р (t) - исследуемый процесс, обусловленный собственно обтеканием тела, ф (t)- процесс, не связанный с обтеканием тела и присутствующий вне зоны возмущений, вызванных телом в потоке (точка 2 на рис. 1) ,£ (t) — шумы (погрешности) измери
тельной и регистрирующей аппаратуры. Процессы ф(0, Н О искажают характери
стики исследуемого процесса $(t) и с этой точки зрения эти процессы определяют аппаратную функцию трубы.
Предположив статистическую независимость процессов y(t) и ф (г) + £ (t) между собой, можно получить интегральное уравнение Вольтерра I рода
Это уравнение связьюает Pf(A) - плотность распределения амплитуды А регистри / ( О =
*(0
+ iKO +но,
(1) 7 P*t(A-A')p<,(A')dA' = pf(A), 0 < Л < о о .
Рис. 1. Схема эксперимента
Рис. 2. Результаты вычислительного эксперимента. 1 - плотность рф %(А), 2 - гистограмма gf(A), 3 - плотность Ру (А), 4 - регуляризованное решение р^^ (А)
руемого процесса / ( f ) - с плотностью распределения р^ (А) исследуемого про
цесса. Ядро уравнения рф % (А) есть плотность распределения амплитуды суммы Ф (?) + £ ( 0 - Решая уравнение ( 1 ) , можно определить плотность р^{А), устранив тем самым аппаратную функцию аэродинамической трубы. Это эквивалентно про
ведению эксперимента в некоторой "идеальной трубе", свободной от процессов, мешающих исследованию y(t). По найденной плотности р^(А) могут быть сдела
ны выводы о структуре турбулентного процесса в следе за телом [1, 2] и найдены оценки пульсационных моментов:
т = / Ар„ (A) dA, о2 = / (А - т)2р^ (A) dA, 0 о
щ (A-my'p^(A)dA, 01 о
широко используемые при диагностике турбулентных потоков.
Для решения интегрального уравнения (1) необходимо определить правую часть Pf(A) и ядро 04) интегрального уравнения. По реализации процесса / ( г ) методами математической статистики строится оценка gf(A) для плотности Pf (А) (простейшей является гистограмма). Аналогично, по реализации ф (t) + £ (t), измеренной в области, не возмущенной телом (точка 2 на рис. 1), вычисляется оценка ^ (А), что является по сути идентификацией аппаратной функции трубы. Для оценок £ / 0 4 ) £ (А) справедливы представления
gf(A) = pf(A) + е/04), gф^(A) = Рфь(А) + е ^ 0 4 ) ,
где 6 / 0 4 ) , €ф %(А) - случайные величины, числовые характеристики которых зави
сят от метода оценивания плотности.
3. Как известно, задача решения интегрального уравнения (1) некорректно поставлена [ 3 ] . Разработаны различные методы регуляризации (см., например,
[ 3 - 5 ] ) , позволяющие строить решения, устойчивые к погрешностям исходных данных. Однако рассматриваемая задача имеет некоторые особенности, обусловлен
ные разностным характером ядра интегрального уравнения, финитностью функций Р#(А),Рф % (А), а также тем, что правая часть и ядро известны со случайными ошиб
ками. Учет этих особенностей позволил построить (на основе дискретного преобразо
вания Фурье) эффективные численные алгоритмы нахождения регуляризованных решений. В случае известных дисперсий погрешностей исходных данных выбор параметра регуляризации осуществляется из критерия оптимальности регуляризо- ванного решения [ 6 ] . При неизвестном уровне погрешностей параметр регуляриза
ции вычисляется на основе метода перекрестной значимости [ 7 ] , который при опре
деленных условиях позволяет оценить оптимальное (в смысле минимума средне- квадратической ошибки решения) значение параметра регуляризации.
4. Остановимся на некоторых результатах вычислительного эксперимента.
Плотность Рф £ 04) (ядро уравнения) имела вид 1 Г (А -М)2]
Значения В = 300, М = 30 соответствуют "широкому" ядру (высокий уровень пуль
саций процесса ф (t) + £ (г)), а В = 60, М = 15 - "узкому" ядру. (Заметим, что при отсутствии процессов ф(0, £ ( 0 плотность Рф%(А) вырождается в 5-функцию.) Плотность Ру (А) задавалась выражением
Р{р(А) = 0,015 0,5 ехр < > + ехр < >
I
50J
М 25 ] .Графики плотностей приведены на рис. 2.
Соответственно плотностям Рф$(А)у р^(А) генерировались две последова
тельности псевдослучайных чисел, имитирующие процессы ф (О + Н О » < Р ( 0 + + Ф (О + Н О »по которым строились гистрограммы£ф£(A),gf (А) (рис. 2 ) . Объем выборки равен 5000, что соответствует 25% относительному уровню погреш
ностей исходных данных. По исходным данным ^(А)9 gf(A)\ вычислялось регуляризованное решение интегрального уровня ( 1 ) . Предполагалось, что дис
персии погрешностей неизвестны, и поэтому параметр регуляризации вычислялся методом перекрестной значимости. Регуляризованное решение p{fa(A) для случая
"узкого" ядра показано на рис. 2а, для "широкого" ядра — на рис. 26. Видно, что применяемые алгоритмы позволяют с приемлемой точностью восстановить плотность распределения р ^ (А).
Таким образом, используя методы регуляризации, удается устранить искажаю
щее влияние аппаратной функции аэродинамической трубы и решить проблему редукции к "идеальной трубе" в случае исследования плотности распределения амплитуды пульсации турбулентного потока.
Институт теоретической и прикладной механики Сибирского отделения
Академии наук СССР, Новосибирск
Поступило
22 IX 1983 ЛИТЕРАТУРА
1. Leslie D.C Developments in the theory of turbulence. Oxford: Clarendon Press, 1973. 348 p.
2. Турбулентность. Принципы и применение/Ред. У. Фрост и Т.. Моулден. М.: Мир, 1980. 421 с.
З.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.
А.Иванов В.К., Васин В.В., ТананаВЛ. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.
М.: Наука, 1978. 206 с. 5. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагно
стики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. 235 с. б.Воскобойников Ю.Е., Мицель АЛ. - Автометрия, 1982, № 2 , с. 6 7 - 7 2 . l.Golub G.H., Heath M.f Wahba G. - Techno metrics, 1979, vol. 21, № 2 , p . 2 1 5 - 2 2 3 .
