Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. П. Яшников, О гармонических функциях, связан- ных с конечными алгебрами фон Неймана, УМН , 1971, том 26, выпуск 5(161), 229–230
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 22:57:46
В МОСКОВСКОМ М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М О Б Щ Е С Т В Е
229
О ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ, СВЯЗАННЫХ С КОНЕЧНЫМИ АЛГЕБРАМИ ФОН НЕЙМАНА
В. П. Я ш н и к о в
Пусть Я — комплексное сепарабельное гильбертово пространство, Я0— вещест
венное банахово пространство, базисное для Я . Если вещественная функция cp(z)' опре
делена и дважды непрерывно дифференцируема в смысле Фреше в некоторой области Q с Я0, т о Дл я любой точки г ^ й и любого вектора а£Я функция cp(z + Ха) комплексного переменного X = т + io определена и дважды непрерывно дифференцируема по пере
менным т, о в некоторой окрестности начала координат, поэтому имеет смысл выражение (dtfi cp(z + ha))b=0, где dj, = дх — id0, д~ = дх + id0.
Л е м м а . Пусть z£Q фиксировано. В комплексном гильбертовом пространстве Я существует и притом единственный ограниченный эрмитов оператор Т такой, что
(Ta,a) = (dxdi<$(z4-ka))k==0
для любого вектора а^Н. Здесь (, > означает скалярное произведение в Я .
Доказательство состоит в фактическом построении ограниченной эрмитово-билиней- ной формы, которая на диагонали гильбертовой суммы Я 0 Я совпадает с выражением {д%д^ cp(z + ка))х=0тз. в последующем применении теоремы об общем виде ограниченных эрмитово-билинейных форм.
Оператор Т из леммы называется комплексным гессианом функции ср вточкег£&
и обозначается #ф(г).
Пусть А — конечная алгебра фон Неймана, действующая в комплексном гильбер
товом пространстве Я ([1], гл. 1, § 6) и пусть Тг означает канонический центральный след алгебры А в смысле Диксмье [2] (см. также [1], гл. III, § 4).
О п р е д е л е н и е . Вещественная функция cp(z) называется А-гармонической в области й с Я о , если выполняются следующие условия:
1) cp(z) определена и дважды непрерывно дифференцируема в смысле Фрешэ в Q;
2) Яф(г) £ А для всех точек z£Q;
3) Тг(Яф(г)) = 0 для всех точек z£Q.
П р и м е р 1. Если гильбертово пространство Я конечномерно, А — алгебра всех линейных операторов в Я , то данное выше определение приводит к обычным гармониче
ским функциям.
П р и м е р 2. Если А — коммутативная алгебра фон Неймана в Я (мы не пред
полагаем, что Я конечномерно), то, используя некоторые результаты [4], можно показать, что функция cp(z) Л-гармонична в односвязной области Q, если и только если cp(z) является вещественной частью некоторой функции, голоморфной в смысле Фреше в Q.
Пусть Q — ограниченная область в Я0. Задача Дирихле, как обычно, состоит в отыс
кании Л-гармонической функции в Q, непрерывной в замкнутой области Q и принимаю
щей заданные непрерывные значения на границе bQ.
Т е о р е м а 1. Пусть А — конечная алгебра фон Неймана в Я , Q — ограниченная область в Я0, cp(z) — вещественная функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) cp(z) дважды непрерывно дифференцируема в смысле Фреше в Q', 2) Яф(г)£Л для всех точек z£Q;
3) Тг(Яф(г)) ^ 0 {соответственно Тг(Яф(з)) ^ 0) для всех точек z£Q.
Если (p(z) ^ 0 {соответственно cp(z) ^ 0) для всех точек z£bQ, то cp(z) <J 0 {соответ
ственно cp(z) ^- 0) для всех точек z^Q.
В качестве следствия получается теорема об однозначной разрешимости задачи Дири
хле для А -гармонических функций
Т е о р е м а 2. Пусть А — конечная алгебра фон Неймана в Я . Если вещественная функция ф(г) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области Q, А-гармо- нична в Q и cp(z) = 0 для всех точек z£bQ, то cp(z) = 0 для всех точек z£Q.
Следующий результат показывает, что принцип аналитического продолжения, хорошо известный для вещественно-аналитических функций, справедлив также для А~
гармонических функций.
230 В М О С К О В С К О М М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М О Б Щ Е С Т В Е
Т е о р е м а 3. Пусть А — конечная алгебра фон Неймана. Если вещественная функция (p(z) А-гармонична в области Q и (p(z) = 0 для всех точек z некоторого непустого открытого множества U cz Q, то cp(z) = 0 для всех точек z£Q;
Наконец, классический принцип максимума для обычных гармонических функций обобщается на случай А -гармонических функций.
Т е о р е м а 4. Пусть А — конечная алгебра фон Неймана. Если вещественная функция cp(z) А-гармонична в области Q и если существует точка ZQ£Q такая, что ф(г) ^
<^ ф(г0) для всех точек z некоторой открытой окрестности z0, то cp(z) = (p(z)o) для всех точек z£Q.
При доказательстве теорем 1, 3 и 4 используются результаты Диксмье [2] о суще
ствовании унитарно инвариантных, счетно-аддитивных состояний на конечных алгебрах фон Неймана, и результаты Дая [3] о структуре таких состояний. Кроме того, в доказа
тельстве теорем 3 и 4 существенно используется структурная теорема для конечных алгебр, принадлежащая Даю [3].
Пользуясь случаем, приношу благодарность Г. Е. Шилову за постоянное внимание к этой работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] J. D i х m i е г, Les algebres d'operateurs dans l'espace Hilbertien, Paris, Gauthier—
Villars, 1957.
[2] J. D i x m i e r, Les anneaux d'operateurs de classe finie, Ann. Ec. Norm. Sup. 66 (1949), 209—261.
[3] H. A. D у е, The Radon-Nicodym theorem for finite rings of operators, Trans. Amer.
Math. Soc. 72 (1952), 243—280.
[4] A. E. T a y l o r , Biharmonic functions in abstract spaces, Amer. J. Math. 60 (1938), 416—422.
Поступило в Правление общества 1 марта 1971 г.