Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. Л. Левин, Задачи наилучшего приближения, связан- ные с двойственностью Монжа–Канторовича, Матем.
сб. , 2006, том 197, номер 9, 103–114 DOI: https://doi.org/10.4213/sm1492
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 23:02:56
УДК 517.972.8
В. Л. Левин
Задачи наилучшего приближения, связанные с двойственностью Монжа–Канторовича
Исследуются задачи наилучшего приближения ограниченных непре- рывных функций на топологическом пространствеX×Xфункциями вида u(x)−u(y). Получены формулы для значений наилучшего приближения и установлена эквивалентность существования точных решений и непустоты множества ограничений вспомогательной двойственной задачи Монжа–
Канторовича со специальной функцией стоимости. Описан вид точных решений в терминах, связанных с двойственностью Монжа–Канторовича, и для нескольких классов приближаемых функций доказано существо- вание точных решений, обладающих дополнительными свойствами типа гладкости и периодичности.
Библиография: 20 названий.
§ 1. Введение
1.1. Постановка задач и формулировка результатов. Пусть X – то- пологическое пространство,1Cb(X)– банахово пространство всех непрерывных ограниченных вещественных функций наX с равномерной нормой
kuk= sup
x∈X
|u(x)|, u∈Cb(X).
Далее рассматривается следующая экстремальная задача.
Задача 1. Найти значение наилучшего приближения m(f;H0) := inf
hu∈H0
kf−huk= inf
u∈Cb(X)
sup
x,y∈X
|f(x, y)−u(x) +u(y)| (1)
данной функции f ∈Cb(X×X)функциямиhu из подпространства H0=
hu:hu(x, y) =u(x)−u(y), u∈Cb(X) ⊂Cb(X×X).
Сформулируем абстрактный вариант этой задачи.
Задача 2. ПустьX – произвольное множество,l∞(X)– банахово простран- ство всех ограниченных вещественных функций на X с равномерной нормой, H0 – подпространство вl∞(X×X), состоящее из функций видаu(x)−u(y),
H0={hu:hu(x, y) =u(x)−u(y), u∈l∞(X)}.
Работа выполнена в рамках Программы поддержки ведущих научных школ РФ (грант
№ НШ-6417.2006.6).
1Все рассматриваемые пространства предполагаются хаусдорфовыми и вполне регуляр- ными.
c В. Л. Левин, 2006
Найти значение наилучшего приближения m(f;H0) := inf
hu∈H0
kf−huk= inf
u∈l∞(X) sup
x,y∈X
|f(x, y)−u(x) +u(y)| (2)
данной функции f ∈l∞(X×X)функциямиhu∈H0.
С каждой функцией f на X ×X мы связываем функцию стоимости c наX×X,
c(x, y) = min(f(x, y),−f(y, x)). (3) Теорема 1 (ср. [1; теорема 5.1]). 1)Для любой f ∈l∞(X×X)
m(f;H0) =−inf 1
n
n
X
i=1
c(xi−1, xi) :xi ∈X, xn=x0, n= 1,2, . . .
. (4)
2)ЕслиX – компактное пространство,то для любойf ∈C(X×X)
m(f;H0) =−inf 1
n
n
X
i=1
c(xi−1, xi) :xi ∈X, xn=x0, n= 1,2, . . .
. (5)
Другими словами, в обоих случаях значение наилучшего приближения рав- но взятой со знаком минус точной нижней грани средних арифметических зна- чений соответствующей функции стоимости по всевозможным циклам (x0 → x1→ · · · →xn−1→x0)вX.
Следствие 1. Если X – компактное пространство и f ∈ C(X×X), то m(f;H0) =m(f;H0).
Пусть теперь X – некомпактное топологическое пространство. Обозначим черезCb(X)⊗Cb(X)замыкание вCb(X×X)векторного подпространства, со- стоящего из конечных сумм видаPn
1aj(x)bj(y), гдеaj, bj∈Cb(X),j= 1, . . . , n.
Из теоремы Вейерштрасса–Стоуна легко следует, чтоCb(X)⊗Cb(X)есть в точ- ности подпространство тех функций на X ×X, которые могут быть продол- жены с сохранением непрерывности на βX×βX, гдеβX – компактификация Чеха–Стоуна пространства X, см. [2]. (Если X компактно, то C(X ×X) = Cb(X×X) =Cb(X)⊗Cb(X) =C(X)⊗C(X).)
Следствие 2. ЕслиX – произвольное(вполне регулярное хаусдорфово)то- пологическое пространство иf ∈Cb(X)⊗Cb(X),то утверждение 2)теоре- мы 1и следствие 1сохраняют силу.
Если инфимум в правой части формулы (1) или (2) достигается на некото- рой функции u∈Cb(X) или u∈ l∞(X), то эта функция называется точным решением соответствующей задачи наилучшего приближения.
Заметим, что в задаче2всегда существует точное решение, так какl∞(X)– сопряженное банахово пространство [3] (стало быть, замкнутые шары в нем
∗-слабо компактны) и функционалu7→supx,y∈X|f(x, y)−u(x) +u(y)|наl∞(X)
∗-слабо полунепрерывен снизу. В то же время, вопрос о существовании точных решений задачи1нетривиален.
Теорема 2. Если f ∈ Cb(X)⊗Cb(X), то в задаче 1 существует точное решение.
Теорема 3. Предположим,что X=Rn,f(x, y) =g(x−y),гдеg∈Cb(Rn).
Тогда найдется ограниченная бесконечно дифференцируемая функция uнаRn, являющаяся точным решением задачи 1:
m(f;H0) =kf−huk= sup
x,y∈Rn
|f(x, y)−u(x) +u(y)|. (6)
Если при этом функция g(x) = g(x1, . . . , xn) периодическая по переменным x1, . . . , xm, m 6 n, с периодами τ1, . . . , τm, то найдется ограниченная беско- нечно дифференцируемая функцияuнаRn,обладающая теми же свойствами периодичности и являющаяся точным решением задачи 1.
Теорема 4. Предположим,что X=Rn илиX=Rn+,f(x, y) =g(x, y, x−y), где g∈Cb(X×X×Rn)удовлетворяет одному из двух условий:
(а) g(x, y, z) = g(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, z1, . . . , zn) неотрицательна на X × X×Rn и не убывает по всем xi,yi,i= 1, . . . , n;
(б) g(x, y, z)неположительна наX×X×Rnи не возрастает по всемxi,yi, i= 1, . . . , n.
Тогда для каждого натуральногоrнайдется ограниченнаяCr-гладкая функ- ция на X,являющаяся точным решением задачи 1.
1.2. Обсуждение. Сформулированные выше задачи укладываются в сле- дующую общую схему задач наилучшего приближения (см., например, [4]–[7]):
даны банахово пространство E, элемент f ∈E и замкнутое линейное подпро- странство H⊂E; найти значениеm(f;H) = infh∈Hkf−hk.
Хорошо известна теорема двойственности:
m(f;H) = sup{hµ, fi:µ∈H⊥, kµk61},
где H⊥ ={µ ∈E∗ :hµ, hi= 0 ∀h∈ H} – аннулятор H в E∗. Применительно к задаче1 на компакте получаем формулу
m(f;H0) = sup Z
X×X
f(x, y)µ(d(x, y)) :π1µ=π2µ, kµk61
, (7)
где µ – мера Радона на X ×X, π1µ и π2µ – проекции меры на первую и вторую координаты, т.е. маргинальные меры на X, задаваемые равенствами π1µ(B) = µ(B×X), π2µ(B) = µ(X ×B) для каждого борелевского B ⊂ X.
Пусть для простотыf(x, y)60 при всех(x, y)∈X×X. В таком случаеf сов- падает с функциейc, задаваемой формулой (3), и мы можем сравнить (7) и (5).
Возьмем циклζ= (x0→x1→ · · · →xn−1→xn=x0)вXи свяжем с ним меру µζ наX×X,
µζ =−1 n
n
X
1
δ(xi−1,xi),
гдеδ(x,y)– мера Дирака (дельта-функция) в(x, y),δ(x,y)(M) = 1при(x, y)∈M, δ(x,y)(M) = 0при(x, y)∈/ M,M ⊂X×X. Очевидно,kµζk= 1и
π1µζ =π2µζ =−1 n
n
X
1
δxi.
Принимая во внимание равенство f =c, из (7) получаем
m(f;H0) = sup Z
X×X
c(x, y)µ(d(x, y)) :π1µ=π2µ, kµk61
>sup
ζ
Z
X×X
c(x, y)µζ(d(x, y)) =−inf
ζ
1 n
n
X
i=1
c(xi−1, xi).
Сравнивая это неравенство с равенством (5), видим, что для f 6 0 теорема двойственности является следствием теоремы 1.
Начиная с классических исследований Чебыш¨ева, точные решения задач наилучшего приближения изучаются в литературе в основном в случае конеч- номерного подпространства H. Для бесконечномерных H известно немного.
Задачи 1 и 2 впервые рассматривались в работе [1], где была сформулирова- на (без доказательства) теорема 1. Ранее Хавинсон [8] изучал близкую зада- чу о наилучшем приближении непрерывной функции двух переменных f(x, y) суммами φ(x) +ψ(y).
Наш подход к задачам наилучшего приближения типа задачи 1 основан на связи, существующей между этими задачами и двойственностью Монжа–
Канторовича. Мы покажем, что функция u является точным решением за- дачи наилучшего приближения тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству ограничений некоторой вспомогательной бесконечномерной задачи линейного программирования, двойственной по отношению к задаче Монжа–
Канторовича со специальной функцией стоимости, определяемой приближа- емой функцией f и значением наилучшего приближения m(f;H0). Указан- ная связь позволяет доказать сформулированные выше теоремы и, используя понятие редуцированной функции стоимости [9], получить некоторые точные решения в явном виде.
§ 2. Вспомогательные сведения, относящиеся к двойственности Монжа–Канторовича
Пусть X – топологическое пространство, ϕ ∈ Cb(X ×X), σ1, σ2 – поло- жительные меры Радона на X, σ1(X) =σ2(X). Задача Монжа–Канторовича (ЗМК) заключается в нахождении оптимального значения
A(ϕ;σ1−σ2) = inf Z
X×X
ϕ(x, y)µ(d(x, y)) :µ>0, π1µ−π2µ=σ1−σ2
.
Это ЗМК с фиксированной разностью маргинальных мер. Более известен дру- гой вариант ЗМК, с фиксированными маргинальными мерами, в котором ищет- ся оптимальное значение
C(ϕ;σ1, σ2) = inf Z
X×X
ϕ(x, y)µ(d(x, y)) :µ>0, π1µ=σ1, π2µ=σ2
.
Постановка обеих задач принадлежит Л. В. Канторовичу [10]–[12], который ис- следовал случай, когдаX – метрический компакт с метрикой в качестве функ- ции стоимости ϕ. В указанном случае оба варианта ЗМК эквивалентны, одна- ко для произвольной функции стоимости это уже не так.2 Обе задачи отно- сятся к бесконечномерному линейному программированию: задача с фиксиро- ванными маргинальными мерами является континуальным аналогом классиче- ской транспортной задачи, а задача с фиксированной разностью маргинальных мер может рассматриваться как обобщение транспортной задачи в сетевой по- становке с разрешенными транзитными перевозками. Оптимальное значение двойственной ЗМК с фиксированной разностью маргинальных мер задается формулой
B(ϕ;σ1−σ2) = sup Z
X
u(x) (σ1−σ2)(dx) :u∈Q(ϕ)
,
где
Q(ϕ) =
u∈Cb(X) :u(x)−u(y)6ϕ(x, y)∀x, y∈X .
По аналогии с Q(ϕ)мы будем рассматривать множестваQ0(ϕ)иQ(ϕ;l∞(X)), определяемые равенствами
Q0(ϕ) =
u∈RX :u(x)−u(y)6ϕ(x, y)∀x, y∈X , Q(ϕ;l∞(X)) =
u∈l∞(X) :u(x)−u(y)6ϕ(x, y)∀x, y∈X
и являющиеся множествами ограничений двойственных задач для некоторых нетопологических обобщений ЗМК (с фиксированной разностью проекций), см.
[1], [3]. В [13], [2] для широкого класса пространств X, включающего компак- ты и польские пространства, была развита теория двойственности в массовой постановке, дающая полное описание всех функций стоимостиϕ, для которых справедливо соотношение двойственности A(ϕ;σ1−σ2) = B(ϕ;σ1−σ2) при любых σ1 >0, σ2 > 0, σ1(X) =σ2(X). Аналогичная теория построена и для ЗМК с фиксированными маргинальными мерами [2], а также для нетопологи- ческих вариантов обеих задач [1], [3]. Нам понадобятся критерии непустоты Q(ϕ)(а такжеQ0(ϕ)и Q(ϕ;l∞(X))) и связанное с ними понятие редуцирован- ной функции стоимости.
ПустьX – произвольное множество. С каждой функцией стоимостиϕ:X× X → R можно связать редуцированную функцию стоимости ϕ∗: X ×X → R∪ {−∞},
ϕ∗(x, y) = inf{ϕn(x, y) :n∈ {0,1,2, . . .}}, где ϕ0(x, y) =ϕ(x, y), а при n6= 0
ϕn(x, y) = inf
ϕ(x, z1) +ϕ(z1, z2) +· · ·+ϕ(zn, y) :z1, . . . , zn ∈X .
Очевидно,ϕ∗ удовлетворяет неравенству треугольника:
ϕ∗(x, y) +ϕ∗(y, z)>ϕ∗(x, z)
для любых x, y, z∈X. Отсюда следует, что если функция ϕ∗ принимает зна- чение −∞ в какой-нибудь одной точке (x, y) ∈ X ×X, то она тождественно равна−∞. Таким образом, имеет место одно из двух: либоϕ∗(x, y)>−∞при
2Подробнее о связи между двумя типами ЗМК в общем случае см. [13], [2], [14].
всех(x, y)∈X×X, либоϕ∗≡ −∞. В первом случае из неравенства треугольни- ка следует, что для любого фиксированного x0∈X каждая из двух функций u(x) = ϕ∗(x, x0) и v(x) = −ϕ∗(x0, x) принадлежит Q0(ϕ∗); во втором случае Q0(ϕ∗) = ∅. Более того, из неравенства треугольника следует, что ϕ∗ >−∞
тогда и только тогда, когдаϕ∗(x, x)>0 при всехx∈X или, что равносильно, когдаPn
1ϕ(xi−1, xi)>0для каждого цикла(x0→x1→ · · · →xn−1→xn =x0) в X.
Далее, если u ∈ Q0(ϕ), то, фиксируя точку (x, y) ∈ X ×X, натуральное число n и транзитную перевозку (x = z0 → z1 → · · · → zn → zn+1 = y) и суммируя неравенства u(zi−1)−u(zi) 6ϕ(zi−1, zi), i = 1, . . . , n+ 1, получаем u(x)−u(y)6ϕ(x, z1) +ϕ(z1, z2) +· · ·+ϕ(zn, y). Так как это верно при любых x, y ∈ X, любом n и любой транзитной перевозке длины n+ 1, ведущей из x в y, то u ∈ Q0(ϕ∗). Следовательно, Q0(ϕ) ⊆ Q0(ϕ∗) и так как ϕ∗ 6 ϕ, то справедливо равенство Q0(ϕ) =Q0(ϕ∗). Аналогичное рассуждение показыва- ет, что Q(ϕ;l∞(X)) = Q(ϕ∗;l∞(X))и (для топологического пространства X) Q(ϕ) =Q(ϕ∗).
Далее, если ϕ∗ ограничена сверху, то Q0(ϕ∗) = Q(ϕ∗;l∞(X)), следователь- но, Q0(ϕ) = Q(ϕ;l∞(X)). Наконец, заметим, что если X – топологическое пространство и ϕ∈Cb(X)⊗Cb(X), то ϕ∗ ≡ −∞ либоϕ∗ ∈Cb(X)⊗Cb(X),3 причем в последнем случае для каждого x0 ∈ X функции u(x) = ϕ∗(x, x0) и v(x) =−ϕ∗(x0, x)принадлежатQ(ϕ∗) =Q(ϕ).
Приведенные рассуждения суммируются следующим образом.
Предложение 1 (ср. [15; лемма 2], [16; теорема 2.1], [1; теорема 4.1]).
Пусть X – произвольное множество,ϕ: X×X →R. Тогда Q0(ϕ) =Q0(ϕ∗), Q(ϕ;l∞(X)) =Q(ϕ∗;l∞(X))и (для топологического пространстваX)Q(ϕ) = Q(ϕ∗). Более того,следующие утверждения равносильны:
(а) Q0(ϕ)6=∅;
(б) ϕ∗(x, y)>−∞при всех x, y∈X; (в) ϕ∗(x, x)>0 при всех x∈X;
(г) для каждого цикла (x0 →x1 → · · · →xn−1→xn =x0)в X справедливо неравенствоPn
1ϕ(xi−1, xi)>0.
Если функцияϕ∗ограничена сверху,то указанные утверждения равносиль- ны любому из следующих двух:
(д) Q(ϕ;l∞(X))6=∅; (е) ϕ∗∈l∞(X×X).
Наконец,еслиX – топологическое пространство и ϕ∈Cb(X)⊗Cb(X),то список равносильных утверждений может быть дополнен еще двумя:
(ж) Q(ϕ)6=∅;
(з) ϕ∗∈Cb(X)⊗Cb(X).
§ 3. Доказательство теорем1и2 Свяжем с задачами1 и2 функции стоимости
ϕ1(x, y) =c(x, y) +m(f;H0), (8) ϕ2(x, y) =c(x, y) +m(f;H0), (9) где c(x, y) = min(f(x, y),−f(y, x)).
3Для компактногоX это следует из [13; лемма 2.4]; общий случай легко сводится к ком- пактному переходом отXкβX.
Лемма 1. 1)Для значения наилучшего приближения задачи1справедлива формула
m(f;H0) = inf{α∈R+:Q(c+α)6=∅}. (10) Более того, функцияu∈Cb(X) является точным решением задачи 1тогда и только тогда,когда она принадлежит множеству Q(ϕ1).
2)Для значения наилучшего приближения задачи 2справедлива формула
m(f;H0) = inf{α∈R+:Q(c+α;l∞(X))6=∅} (11) и функция u∈ l∞(X) является точным решением задачи 2тогда и только тогда,когда она принадлежит множеству Q(ϕ2;l∞(X)).
Доказательство. Для каждойu∈Cb(X)имеем sup
x,y∈X
|f(x, y)−u(x) +u(y)|
= inf{α∈R+:f(x, y)−α6u(x)−u(y)6f(x, y) +αдля всех x, y∈X}
= inf{α∈R+:u∈Q(c+α)}.
Отсюда следует формула (10). Также отсюда видно, что u∈ Cb(X)является точным решением задачи 1тогда и только тогда, когдаu∈Q(c+m(f;H0)) = Q(ϕ1). Первое утверждение леммы установлено. Проверка второго утвержде- ния аналогична.
Замечание 1. Утверждение 1) леммы 1 доказано для задачи 1 с любой f ∈Cb(X×X).
Следующий результат вытекает из леммы1 и предложения1.
Следствие 3. Еслиf ∈Cb(X)⊗Cb(X),то существование точного реше- ния задачи 1 равносильно выполнению условия ϕ1∗ 6≡ −∞. (При выполнении указанного условия любая из функций u(x) = ϕ1∗(x, x0), v(x) = −ϕ1∗(x0, x), x0∈X,является точным решением задачи 1.)
Доказательство теоремы1.Как следует из леммы1(см. (11)), для каж- догоα > m(f;H0)найдется функцияu∈Q(c+α;l∞). Тогда согласно предло- жению1((д)⇔(г)) для каждого циклаζ= (x0→x1→ · · · →xn−1→xn =x0) в X справедливо неравенствоPn
1ϕ(xi−1, xi)>0, гдеϕ(x, y) =c(x, y) +α. По- лучаемPn
1c(xi−1, xi) +nα>0. Следовательно, α>−inf
ζ
1 n
n
X
1
c(xi−1, xi),
и так как это верно для любогоα > m(f;H0), то
m(f;H0)>−inf
ζ
1 n
n
X
1
c(xi−1, xi). (12)
Пусть теперьα < m(f;H0). В этом случаеQ(c+α;l∞) =∅. Следовательно, (c+α)∗ ≡ −∞ и существует цикл (x0 → x1 → · · · → xn−1 → xn = x0), для которого Pn
1c(xi−1, xi) +nα <0. Получаем
α <−1 n
n
X
i=1
c(xi−1, xi)6−inf
ζ
1 n
n
X
i=1
c(xi−1, xi),
и так как это верно для всехα < m(f;H0), то
m(f;H0)6−inf
ζ
1 n
n
X
i=1
c(xi−1, xi) (13)
и (4) следует из (12), (13). Доказательство (5) (и следствия 2) аналогично с очевидной заменойQ(c+α;l∞)наQ(c+α).
Доказательство теоремы 2. Согласно лемме 1 достаточно проверить, что Q(ϕ1)непусто. Допустим противное. Тогда согласно предложению 1най- дется циклζ= (x0→x1→ · · · →xn−1→xn=x0)в X, для которого
n
X
1
ϕ1(xi−1, xi) =
n
X
1
(c(xi−1, xi) +m(f;H0))<0.
В таком случаеPn
1(c(xi−1, xi) +m(f;H0) +α)<0, еслиα >0достаточно мало.
Тогда из предложения1((г)⇔(ж)) вытекаетQ(c+m(f;H0) +α) =∅, но это невозможно, так как противоречит лемме1, см. (10).
§ 4. Доказательство теорем3и4
Нам понадобятся некоторые понятия и факты, относящиеся к теории лиф- тинга [17].4 ПустьX– локально компактное метризуемое пространство,σ0– по- ложительнаяσ-конечная борелевская мера на нем, носителем которой является все пространство, L∞=L∞(X, σ0)– банахово пространство всех ограничен- ных σ0-измеримых вещественных функций на X (σ0-эквивалентные функции не отождествляются), наделенное равномерной нормой kuk = supx∈X|u(x)|, u∈L∞. ПространствоL∞ является вещественной банаховой алгеброй отно- сительно естественной (поточечной) операции умножения. (Оно также явля- ется банаховой решеткой относительно поточечных операций взятия верхней и нижней граней.) Гомоморфизм банаховых алгебр, т.е. мультипликативный линейный оператор ρ: L∞ → L∞, называется сильным лифтингом L∞ = L∞(X, σ0), если выполняются следующие четыре условия:
1) ρ– проектор, т.е.ρ2=ρ;
2) для каждойu ∈L∞ множество {x∈X : ρ(u)(x) 6=u(x)} σ0-пренебре- жимо, т.е. ρ(u) =u σ0-почти всюду (п.в.);
3) для каждойu∈L∞u= 0п.в.⇒ρ(u)≡0;
4) ρ(u) =uдля всехu∈Cb(X).
Из этих условий в соединении с линейностью и мультипликативностьюρсле- дует, чтоρявляется также гомоморфизмом банаховых решеток, т.е.ρ(u∨v) = ρ(u)∨ρ(v) и ρ(u∧v) = ρ(u)∧ρ(v) для любых u, v ∈ L∞. Более того, ес- лиu>v σ0-п.в., тоρ(u)(x)>ρ(v)(x)при всехx∈X. (В самом деле, так как w=u−v>0 σ0-п.в., то найдется функцияw1∈L∞такая, чтоw=w21σ0-п.в., и, используя мультипликативность ρ, получаем ρ(u)(x)−ρ(v)(x) =ρ(w)(x) = (ρ(w1)(x))2>0при всехx∈X.)
Главным фактом, который нам понадобится, является существование силь- ного лифтингаL∞=L∞(X, σ0)[17] (см. также [5; следствие 1 теоремы 3.8]).
4См. также [5; гл. 3].
Заметим, что стандартное лебегово пространство L∞=L∞(X, σ0)является банаховой алгеброй и банаховой решеткой, а линейный операторπ:L∞→L∞, отображающий каждую функциюu∈L∞в класс функций,σ0-эквивалентных ей, является гомоморфизмом банаховых алгебр и банаховых решеток. Таким образом,πесть каноническое отображение L∞ на факторпространствоL∞= L∞/N0, где N0 – подпространство σ0-пренебрежимых функций в L∞. При этом стандартная норма L∞ есть в точности факторнорма относительно π.
Так как ρ(u) = ρ(v) при u−v ∈ N0, ρ порождает гомоморфизм банаховых алгебр (и банаховых решеток) ρ0:L∞ → L∞ (сильный лифтинг L∞) такой, что ρ0◦π=ρи π◦ρ0= idL∞.
Лемма 2. Пусть X – локально компактное метризуемое пространство, σ0 – положительная σ-конечная борелевская мера на нем, носителем кото- рой является все пространство, f ∈Cb(X ×X). Тогда непусто множество Q(ϕ1;L∞) =Q(ϕ1;L∞(X, σ0)),где
Q(ϕ1;L∞(X, σ0)) :=
u∈L∞(X, σ0) :u(x)−u(y)6ϕ1(x, y)∀x, y∈X . Доказательство. Как следует из леммы1, для каждогоnнайдется функ- ция un ∈ Q(ϕ1+ 1/n). Фиксируем точку x0 ∈ X и будем считать, не умень- шая общности, что un(x0) = 0, n = 1,2, . . .. При каждом x ∈ X имеем
−ϕ1(x0, x)−1 6 un(x) 6 ϕ1(x, x0) + 1, следовательно, {un} есть ограничен- ное по норме подмножествоCb(X). Поскольку носителемσ0 является все про- странство X, Cb(X) естественным образом линейно изометрично замкнутому подпространству в L∞ = L∞(X, σ0). Тогда последовательность {un} ∗-слабо ограничена, стало быть, ∗-слабо предкомпактна в L∞ =L1∗ и из нее можно выбрать ∗-слабо сходящуюся подпоследовательность5 {unk}. Чтобы не услож- нять запись, будем считать, что сама последовательность{un} ∗-слабо сходится к некоторому элементу пространства L∞. Тогда найдется функция v ∈ L∞ такая, что {un} ∗-слабо сходится к π(v). Отсюда вытекает, что последователь- ность {un(x)−un(y)} ⊂ Cb(X ×X) ⊂ L∞(X×X, σ0×σ0) ∗-слабо сходится к элементуL∞(X×X, σ0×σ0), являющемуся классом эквивалентности функ- цииv(x)−v(y). Далее, так какun(x)−un(y)6ϕ1(x, y) + 1/nи положительный конусL∞+(X×X, σ0×σ0)∗-слабо замкнут (стало быть, можно переходить к пре- делу в неравенствах), получаем
v(x)−v(y)6ϕ1(x, y) при (σ0×σ0)-п.в.(x, y)∈X×X. (14) Положим
N(y) :={x∈X :v(x)−v(y)> ϕ1(x, y)}, y∈X.
Из (14) следует, что множество
N :={y∈X:N(y)не являетсяσ0-пренебрежимым}
σ0-пренебрежимо. Рассмотрим y как параметр и заметим, что для каждого y /∈N неравенство
v(x)−v(y)6ϕ1(x, y)
5Пространство L1(X, σ0) сепарабельно (это следует, например, из [18; гл. VII, § 1, тео- рема 3]). Тогда согласно [19; теорема V.5.1] на ограниченных подмножествахL∞∗-слабая топология метризуема, поэтому мы можем выбрать обычную, а не обобщенную,∗-слабо схо- дящуюся подпоследовательность.
справедливо приσ0-почти всехx∈X. Применяя сильный лифтингρк обеим частям этого неравенства, получаем
ρ(v)(x)−v(y)6ϕ1(x, y) (15) при всех x ∈ X и всех y /∈ N. Теперь, считая x параметром и применяя ρ к обеим частям (15), рассматриваемым как функции отy, получаем
ρ(v)(x)−ρ(v)(y)6ϕ1(x, y) ∀x, y∈X, (16) т.е. ρ(v)∈Q(ϕ1;L∞).
Переходим непосредственно к доказательству теорем 3и 4.
Доказательство теоремы3.Согласно лемме2существует функцияu1∈ Q(ϕ1;L∞), гдеL∞ =L∞(Rn;σ0),σ0 – мера Лебега наRn. Пусть η – какая- нибудь неотрицательная бесконечно дифференцируемая функция на Rn, для которой
Z
Rn
η(x)σ0(dx) = 1 и ∂i1+···+inη(x)
∂xi11· · ·∂xinn
∈L1(Rn, σ0)при любых i1, . . . , in. (Например, можно взять η(x) =π−n/2e−(x21+···+x2n), x= (x1, . . . , xn)∈Rn, или любую неотрицательную бесконечно дифференцируемую функцию с компакт- ным носителем, интеграл от которой равен 1.) Пусть u– свертка u1 сη:
u(x) = (u1∗η)(x) = Z
Rn
u1(z)η(x−z)σ0(dz) = Z
Rn
u1(x−z)η(z)σ0(dz).
Очевидно,u– ограниченная бесконечно дифференцируемая функция наRn. Так какf(x, y) =g(x−y), имеемc(x, y) = min(g(x−y),−g(y−x)). Следова- тельно,c(x−z, y−z) =c(x, y)иϕ1(x−z, y−z) =ϕ1(x, y). Тогда справедливо неравенство
u1(x−z)−u1(y−z)6ϕ1(x, y) ∀x, y, z∈Rn. (17) Умножая обе части этого неравенства наη(z)и интегрируя поσ0(dz)с учетом равенства
Z
Rn
η(z)σ0(dz) = 1, получаемu(x)−u(y)6ϕ1(x, y)при всехx, y∈Rn. Следовательно, u ∈ Q(ϕ1) и применение леммы 1 завершает доказательство первого утверждения теоремы.
Для доказательства второго утверждения примем заX1топологическое про- изведениеmокружностей с длинамиτ1, . . . , τmи пространстваRn−m. Указан- ные окружности удобно представлять в виде отрезков[0, τi]со склеенными кон- цами. При этом положение точки на i-й окружности определяется числом xi, 06xi < τi. ПространствоX1является гладким многообразием6и, одновремен- но, локально компактной абелевой группой относительно операции сложения, определяемой соглашением x+y := z = (z1, . . . , zn), где zi = xi+yi (modτi) при i= 1, . . . , m и zi =xi+yi приi=m+ 1, . . . , n. Очевидно, каждая (глад- кая) функция на X1 может рассматриваться как (гладкая) функция на Rn, обладающая сформулированными свойствами периодичности по первымmпе- ременным.
Согласно лемме2найдется функцияu1∈Q(ϕ1;L∞), гдеL∞=L∞(X1;σ0), σ0 – мера Хаара7 наX1, т.е. в рассматриваемом случае – произведениеm ли- нейных мер Лебега на соответствующих окружностях и (n−m)-мерной меры
6Дляn= 2X1 есть тор (приm= 2) либо цилиндр (приm= 1).
7Подробнее о мере Хаара см., например, [20].
Лебега на Rn−m. (В случае компактной группы X1 из теоремы2 следует су- ществование функции u1 ∈ Q(ϕ1).) Дальнейшее доказательство аналогично доказательству первого утверждения теоремы. Используя специальный вид функции f, получаем неравенство (17) для всех x, y, z ∈X1. Умножение это- го неравенства на неотрицательную бесконечно дифференцируемую функцию с компактным носителем
η:X1→R, Z
X1
η(z)σ0(dz) = 1,
с последующим интегрированием по мере Хаараσ0(dz)показывает, что сверт- ка u1 с η бесконечно дифференцируема и принадлежит Q(ϕ1). Применение леммы1 завершает доказательство.
Доказательство теоремы 4. Согласно лемме 2 найдется функцияu1 ∈ Q(ϕ1;L∞), где L∞ = L∞(X;σ0), σ0 – мера Лебега на X. Используя спе- циальный вид функции f, получаемc(x, y) = −g(y, x, y−x), если выполнено условие (а), иc(x, y) =g(x, y, x−y), если выполнено условие (б). В обоих слу- чаях функция ϕ1(x, y) = c(x, y) +m(f;H0)имеет видϕ1(x, y) =h(x, y, x−y), где hудовлетворяет условию (б). Получаем для каждого z∈Rn+
u1(x+z)−u1(y+z)6h(x+z, y+z, x−y)6h(x, y, x−y), x, y∈X.
Умножение обеих частей этого неравенства на η(z) =e−(z1+···+zn) с последую- щим интегрированием по мере Лебега на Rn+ и с учетом равенства
Z
Rn+
η(z)σ0(dz) = 1
дает
u2(x)−u2(y)6h(x, y, x−y) =ϕ1(x, y), x, y∈X, где
u2(x) :=
Z
Rn+
u1(x+z)η(z)σ0(dz), x∈X.
Полагаяx+z=t, получаем
u2(x) =u2(x1, . . . , xn) =ex1+···+xn Z ∞
x1
· · · Z ∞
xn
u1(t1, . . . , tn)e−(t1+···+tn)dt1· · ·dtn,
откуда вытекает дифференцируемость u2. Кроме того, функция u2 ограни- чена, что следует из ограниченности u1. Применяя приведенное рассуждение к функции u2 вместоu1, получаем функцию
u3(x) :=
Z
Rn+
u2(x+z)η(z)σ0(dz), x∈X,
которая принадлежит Q(ϕ1) и дважды дифференцируема. Повторяя описан- ную процедуру r+ 1 раз, мы получим функциюur+2 ∈Q(ϕ1), которая имеет все частные производные до порядкаr+ 1и, стало быть, являетсяCr-гладкой.
Применение леммы1 завершает доказательство.
Список литературы
[1] V. L. Levin, “Topics in the duality theory for mass transfer problem”,Distributions with given marginals and moment problems, eds. V. Bene˘s, J. ˘St˘ep´an, Kluwer Acad.
Publ., Dordrecht, 1997, 243–252.
[2] V. L. Levin, “General Monge–Kantorovich problem and its applications in measure theory and mathematical economics”,Functional analysis,optimization,and mathe- matical economics, A collection of papers dedicated to memory of L. V. Kantorovich, ed. L. J. Leifman, Oxford Univ. Press, Oxford, NY, 1990, 141–176.
[3] В. Л. Левин, “К теории двойственности для нетопологических вариантов задачи о перемещении масс”,Матем.сб.,188:4 (1997), 95–126.
[4] Е. Г. Гольштейн,Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения, Наука, М., 1971.
[5] В. Л. Левин,Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его при- менение в математике и экономике, Наука, М., 1985.
[6] П.-Ж. Лоран,Аппроксимация и оптимизация, Мир, М., 1975.
[7] В. М. Тихомиров,Некоторые вопросы теории приближений, МГУ, М., 1976.
[8] С. Я. Хавинсон, “Чебышевская теорема для приближения функций двух пере- менных суммамиφ(x) +ψ(y)”,Изв.АН СССР.Сер.матем.,33:3 (1969), 650–665.
[9] V. L. Levin, “Reduced cost functions and their applications”,J.Math.Econom.,28:2 (1997), 155–186.
[10] Л. В. Канторович, “О перемещении масс”,Докл.АН СССР,37:7–8 (1942), 199–
201.
[11] Л. В. Канторович, “Об одной проблеме Монжа”,УМН,3:2 (1948), 225–226.
[12] Л. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн, “Об одном пространстве вполне аддитив- ных функций”,Вестн.ЛГУ.Сер.матем.,мех.,астрон.,13:7 (1958), 52–59.
[13] В. Л. Левин, А. А. Милютин, “Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстре- мальных задач”,УМН,34:3 (1979), 3–68.
[14] V. L. Levin, “The Monge–Kantorovich problems and stochastic preference relations”, Adv.Math.Econom.,3(2001), 97–124.
[15] В. Л. Левин, “Формула для оптимального значения задачи Монжа–Канторовича с гладкой функцией стоимости и характеризация циклически монотонных отоб- ражений”,Матем.сб.,181:12 (1990), 1694–1709.
[16] V. L. Levin, “A superlinear multifunction arising in connection with mass transfer problems”,Set-Valued Anal.,4(1996), 41–65.
[17] A. Ionescu Tulc´ea, C. Ionescu Tulc´ea,Topics in the theory of lifting, Springer-Verlag, Berlin, 1969.
[18] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин,Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1976.
[19] Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц,Линейные операторы.Общая теория, ИЛ, М, 1962.
[20] А. Вейль,Интегрирование в топологических группах и его применения, ИЛ, М., 1950.
В. Л. Левин (V. L. Levin)
Центральный экономико-математический институт РАН, г. Москва
E-mail:vllevin@mail.ru
Поступила в редакцию 12.01.2006