Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
И. М. Гельфанд, М. И. Граев, С. А. Спирин, Гипергеометрические функ- ции и многогранник Ньютона, связанные с действием тора ( C
∗) на V
kC
n, Докл. РАН, 1996, том 348, номер 2, 155–158
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы про- читали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 15:59:58
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 1996, том 348, M 2, с. 155-158
— МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И МНОГОГРАННИК НЬЮТОНА, СВЯЗАННЫЕ С ДЕЙСТВИЕМ ТОРА (С*)
иНА Л*С
И© 1996 г. Академик И. М. Гельфанд, М. И. Граев, С. А. Спирин
Поступило 21.12.95 г.
Многогранником Ньютона, ассоциированным с линейным представлением тора (С*)", мы назы
ваем выпуклую оболочку в R" нуля и множества А характеров этого представления. В статье стро
ится правильная в смысле [2] триангуляция мно
гогранника Ньютона, ассоциированного с пред
ставлением тора (С*)л в Л* С". Показано, что чис
ло входящих в нее симплексов равно числу Эйлера А(п, к). На основе этой триангуляции строится базис пространства гипергеометричес
ких функций на Л^С", заданный гипергеометри
ческими рядами с общей областью сходимости.
1. Напомним некоторые определения и факты из [1-3].
1°. Пусть в С^ задано линейное представление комплексного тора (С*)", п < N с координатами t = (ty, ..., t„), при котором t переводит векторы е, стандартного базиса пространства С^ в векторы
t е-, = t. • •t„ е.
Предполагается, что целочисленные векторы со' отличны от 0 и линейно порождают простран
ство С". Общей гипергеометрической системой, ассоциированной с набором А = {со1, ..., со^}, на
зывается следующая система дифференциальных уравнений на функцию f(au ..., aN), ate С:
Ъ а '£
Э/т ' = /а > ci)
СП тор;
произвольный фиксированный век-
: 1,>0
П Щ / - П
j:lj<0
э
да,
/ ,(2)
Научно-исследовательский институт системных исследований
Российской Академии наук, Москва Институт физико-химической биологии им. AM. Белозерского Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
где I = (1ь ..., lN) пробегает подрешетку A c Z "
векторов таких, что V /,со' = 0. Решения систе- мы (1), (2) называются гипергеометрическими функциями, ассоциированными с набором А.
Обозначим через vol^, где M - произвольная решетка (т.е. свободная абелева группа конечно
го ранга), форму объема на M ® R, нормирован
ную так, чтобы минимальный ненулевой объем симплекса в M ® R с вершинами в M был равен единице.
Т е о р е м а 1 [4]. Число линейно-независимых решений системы (1), (2) в окрестности общей точки равно volA°P, где Р с R" - выпуклая обо
лочка точек О и со' € А, а А' с Z" - подрешетка, порожденная А.
2°. Подмножество / с [1, N] называется базой, если векторы со', / е /, образуют базис в R". С каж
дой базой / связан базис {/'• i\j <£. 1} в AQ = Л ® Q, где /'•j - вектор с координатами: lj.J = Ô, _,- при / g /, a координаты /( при i e / определяются равен
ством
-со
' = I
l, j i1
CO .'
i'e /
Произвольный базис {bk} в AQ называется согла- /,;.*
сованным с /, если в разложениях /7- '= ~S\ ck' Jb
k=ï
все коэффициенты clj t неотрицательны.
Каждой базе / отвечает набор решений систе
мы (1), (2), заданных рядами
( N h + Y, Л
/.<«•<" = S П п г ^ т т
; е Л V; = 1(3)
156 ГЕЛЬФАНД и др.
где у 6 CN удовлетворяет условиям
N
У у;й ' = ос, у , е Z при j £ I.
Э2/ Э/
dardas dardas (6)
для любой четверки r, s, r\ s' е R такой, что
'= каждый индекс i = 1, ..., к входит в г и s и r' и s'
ЧИСЛО таких попарно различных рядов равно с одинаковой кратностью.
VO1A'À(7) , где Д(/) с R" - симплекс с вершинами О и аУ, i G /. Ряды (3) сходятся при достаточно малых
Заметим, что соотношения \ 1г(йг - О, кото-
r e Ä
.._-. ь- рыми определяется подрешетка Л с ZN, эквива- значениях мономов хк = | ja,- ' , где {Ь*} - любой лентны соотношениям
/ = i
базис в Aö, согласованный с базой I.
3°. Триангуляцией многогранника Ньютона Р называется набор Т баз I такой, что Р = l^J Л(7) и
IsT
(3 = А(Л,и) =
= {(и,, ..:,ип)б R"| £ и « = *> 0 < м , < 1 } . Т е о р е м а 3.
к-\
vol°A.P = А(п,к) = £ Н ) ' . Р " 0
1 = 0
ч « - 1
(7) V /r = О для любого / = \,...,п.
Легко видеть, что многогранник Ньютона Р, связанный с А, есть пирамида, вершина которой симплексы А(/), i s Т пересекаются только по об- есть 0, а основание - гиперсимплекс*
щим граням. Триангуляция Т называется пра
вильной, если существует базис {Ьк} в AQ, согла
сованный с каждой базой I е Т.В этом случае все ряды (3), отвечающие базам I G Т, сходятся при достаточно малых значениях мономов xk = TTö, ' .
Т е о р е м а 2. Если Т - правильная триангу
ляция многогранника Р и{Ьк] - базис в Ад, согла
сованный с каждой базой I е Т, то ряды (3), от
вечающие базам / е Г , образуют в их общей обла
сти сходимости базис пространства решений системы (1), (2).
2. Предмет этой статьи - гипергеометрическая система на внешней степени V = Л* С", ассоцииро
ванная с естественным действием на Л* С" ком
плексного тора 2Г = (С*)". Элемент t = (tu ...,tn)e 2Г умножает вектор е, , = е,- л ... ле,-.е V, 1 <
< i ! < ... < ik< г, на число tt ... tt . Таким образом, Пусть далее К = {I е Л' | V /, = к} - аффинная под- действие 2Г на V задается следующим набором из решетка в Л. Очевидно, что Q ~ DW^JDj и
'п .
Vol(D; п ... r\Dj ) = 0 при р > к и попарно раз
личных j , ,..., jr. Отсюда и из известной формулы
"включения и исключения" вытекает, что vol£ß = vol£Z>-
- 1 И > ' " ( I v o l№ | n . . . n ö /A (8)
/> = 1 V o < >1< „ . , /; )S n /
Формула (7) следует из формулы (8) и следую
щих простых утверждений: 1) volfjP = к"'1, 2) vo\°K(Dh о ... о Dj) = (к-рГ- К еслиу, <...<jp
С л е д с т в и е . Число независимых решений системы (5), (6) в окрестности общей точки равно А(п, к).
Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а . Обозна
чим:
D = {(и,, ...,и„)е R"| ^ И , - = к, Vi и , > 0 } , Dj = {(и,, ...,ип)е D\ Uj> 1}, ; = 1,...,«.
N = I I целочисленных векторов в С":
А = jco""',t = e,-i + ... + e/t| 1 < ; , < . . . < / * < Л . (4) Приведем явный вид гипергеометрической си
стемы на Л*С", ассоциированной с набором А.
Положим/? = {(ii, ..., 4 ) | 1 < /j < ... < ik<n) и для краткости будем писать er, a/, r e R, вместо е{ , и ю """ *; координаты на Л*С" в базисе \ег] бу
дем обозначать через ar,re R.
П р е д л о ж е н и е 1. Гипергеометрическая и р < к, 3) vol^P = volf Ô •
система на ЛкС" эквивалентна следующей сие- П р и м е ч а н и е . Числа А(п, к) называются теме уравнений: числами Эйлера (см. [6]). Они имеют следующую
^ f комбинаторную интерпретацию. Назовем числом
Х ^ д = a,/, i = 1, ...,п,
(5)Понятие гиперсимплекса было введено в работе [5].
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 348 № 2 1996
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И МНОГОГРАННИК НЬЮТОНА 157 спусков в перестановке o s Sm мощность ее "множе
ства спусков" D(a) = {i е [l, m- 1]| O(0 > о(г + 1)}.
Обозначим через Mmj множество перестановок о е Sm, имеющих ровно j спусков.
У т в е р ж д е н и е . А(п, к) = #Мп_iд_i.
3. Построим правильную триангуляцию мно
гогранника Ньютона Р. С этой целью введем в R частичную упорядоченность, полагая (ix, ..., ik) <
< ( k), если isu ïs , s = 1, ...,k. Положим:
M,oi...,,t = { ( i „ . . . , it) e R\
Sp-i&ip&Sp, P = 1. • • • , * } .
где s0, ..., sk - любые натуральные числа такие, что 1 = s0 < $\ < ... < sk_ ! < sk = п.
О п р е д е л е н и е . Назовем л е с т н и ц а м и в R максимальные строго возрастающие последо
вательности в подмножествах Ms . _ д .
Очевидно, что любая лестница содержит ровно п элементов и что если лестница принад
лежит Мх х , то ее первым элементом является ( l , s , , ...,sk_i), а последним^,, ...,sk_l,n).
З а м е ч а н и е . Эквивалентное определение лестницы можно дать, если считать, что базис пространства С" перенумерован элементами цик
лической группы Z„. Тогда R ~ {га Z" | #г = к}.
О п р е д е л е н и е . Л е с т н и ц е й в R называ
ется такое семейство {г(}ыг <^ R, что для всех / 6 Ъп имеем rj+l = r, u {т(г') + 1 }\{х(/)}, где х(г') - такой элемент Z„, что t(i') е г,- и т(г') + 1 й г,.
Пусть / = (/'[, ..., rn) - произвольная лестница и со , ..., со - отвечающие ее элементам векторы из А. Тогда для каждого i = 1, ..., п - 1 имеем
со'+1 = o o ' - eG ( 0 + e0 ( 0 + 1,
где о(г) е [1, п - 1] - такой индекс, что e0(i) входит в разложение со ', а ео0) + { не входит. Очевидно, что любая лестница однозначно задается после
довательностью о(1), ..., 0(я - 1) и что эта после
довательность образует перестановку множества [ 1 , я - 1 ] .
П р е д л о ж е н и е 2. Перестановка О множе
ства [1, п - 1] задает лестницу тогда и только тогда, когда обратная к ней перестановка О-1
принадлежит Mn_Xtk_x.
С л е д с т в и е . Число различных лестниц рав
но А{п, к).
П р е д л о ж е н и е 3. МножествоIэлементов любой лестницы является базой.
Т е о р е м а 4. Множество Т всех лестниц об
разует правильную триангуляцию многогранни
ка Ньютона Р.
З а м е ч а н и я . 1) Из теоремы 4 следует, что (п- 1)-мерные симплексы Conv{cor| r e / } , где / пробегает все лестницы, образуют триангуляцию гиперсимплекса А(к, п) = {(и{, ..., ип)\ "V и1 =к,0<,
<щ< 1}. Эту же триангуляцию можно получить как прообраз триангуляции (п - 1)-мерного ги
перкуба [О, 1]"~ ', описанной в [7], при отображе
нии %: А(к, п) -» [О, 1]Й_1, заданном формулой
(%(щ,...,и п )) т = J X M ' [
(фигурные скобки здесь означают дробную часть числа).
2) В работе [2] для случая к = 2 описана другая правильная триангуляция многогранника Р, кото
рая может быть обобщена на случай произволь
ного к следующим образом. Поскольку Р есть пи
рамида с основанием Q - А(к, п), нам нужно пост
роить триангуляцию Q. Зафиксируем на множестве R лексикографический порядок.
Пусть г0 с [1, п] - первый (относительно этого по
рядка) элемент R. Определим многогранники Fh
/ g r0, и Gj, je r0, следующим образом: F, =
= Conv({cor| i e r} и {со"0} ), G, = Conv({co/"|y «Ê r] и и {со "} ). Легко видеть, что F, и Gj представляют собой пирамиды с вершинами со . Несложно дока
зать, что эти пирамиды пересекаются по общим бо
ковым граням и что их объединение есть Q. Заме
тим теперь, что основание пирамиды F{ конгру
энтно гиперсимплексу А(к - 1, п - 1), а основание пирамиды Gj- гиперсимплексу А(к, п - 1). Таким образом, триангуляция гиперсимплекса Q свелась к триангуляции гиперсимплексов меньшей раз
мерности, что позволяет построить ее индукцией по п (начиная с тривиального случая п = 3).
4. Приведем описание базиса в Л, согласован
ного со всеми лестницами /. Условимся в последу
ющих обозначениях отождествлять п + 1 с 1.
Обозначим для любого г = (iu ..., ik) e R: Kr- множество всех индексов i* e [1, к], для которых is + 1 g r (в частности, в силу сделанной догово
ренности, если 4 = п, то к é Kr при условии, что /; ф 1). Пусть Ег - множество все последовательнос
тей вида е = (6i,..., гк), где ev = 0 при s g Kr и е^ = 0,1 при s е Кг. Очевидно, что #ЕГ = 2 ', Положим
signe = (-!)•
„4„...„,
158 ГЕЛЬФАНД и др.
Поставим в соответствие каждому r G R, для ко
торого #КГ> 2, следующий вектор в Л*С":
br = - ] | Г (signe)er+,- (9)
ге Ег
П р е д л о ж е н и е 4. Векторы br принадле
жат подрешетке Л м образуют базис в Л, согла
сованный со всеми лестницами I.
На основании теоремы 4 и предложения 4 в об- ласти на ЛА'С", где мономы TT а/ достаточно ма-//
r'e R
лы, определен следующий базис. Он состоит из функций вида (3), где R отождествлено с [1, N], I с R пробегает множество всех лестниц, у- = 0 при i £ I, а у, при i e I определяются из соотношений
у,со = а.
/ е /
Поскольку Г(п) = °° при п < 0, суммирование в (3) фактически ведется только по тем / е Л, у кото
рых lj > 0 при у g /.
Авторы благодарят А.Е. Постникова за полез
ные обсуждения.
Второй и третий авторы поддержаны Между
народным научным фондом, грант М8Н300.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гелъфанд ИМ., Граев М.И., Зелевинский A.B. //
ДАН. 1987. Т. 295. № 1. С. 14-19.
2. Гелъфанд ИМ., Зелевинский A.B., Капранов ММ. //
Функцион. анализ и его прил. 1987. Т. 23. В. 2.
С. 12-26.
3. Гелъфанд ИМ., Граев М.И., Ретах B.C. II УМН.
1989. Т. 47. В. 4. С. 3-82.
4. Adolphson А. // Duke Math. J. 1994. V. 73. № 2.
P. 269-290.
5. Гелъфанд ИМ., Серганова В.В. // УМН. 1987.
Т. 42. В. 2. С. 107-134.
6. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
7. Stanley R. In: Combinatorics. Mathematical Centre Tracts 56. Amsterdam: Mathematich Centrum, 1974.
Pt. 2. P. 49.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 348 № 2 1996
